精品解析：上海市奉贤区2025--2026学年九年级上学期数学期中练习卷

2025学年第一学期九年级数学学科期中练习卷 完卷时间：100分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个平行四边形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 2. 下列函数中，关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线，分别与，，相交于点，，和点，，．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 在中，．下列四个选项，正确的是（    ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 如果，那么； B. 如果、都是单位向量，那么； C. 如果为单位向量，那么； D. 如果，那么． 6. 如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（　　） A. 0＜CP≤1 B. 0＜CP≤2 C. 1≤CP＜8 D. 2≤CP＜8 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果在比例尺为1：1000000的地图上，，两地的图上距离是1.6厘米，那么、两地的实际距离是__________千米． 8. 计算：______． 9. 如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为，那么这两个三角形的面积比为________． 10. 已知点P是线段的黄金分割点，．若，则_____． 11. 抛物线的顶点坐标是______． 12. 如果点是的重心，是边的中点，那么的值为______． 13. 我国2000多年前的《墨经》记载了有关“小孔成像”的论述．物体经“小孔成像”成倒立的实像，像可能放大，也可能缩小．如图，小嘉制作了一个简易小孔成像仪来开展蜡烛成像实验，测得蜡烛火焰的像的高度是3厘米．则蜡烛火焰的实际高度为______厘米． 14. 《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形的边长为____________． 15. 如图，图中提供了一种求的方法，作，使，，再延长到点，使，联结，即可得，如果设，则可得，那么，运用以上方法，可求得的值是______． 16. 在同一平面直角坐标系中，作、、的图像，下列结论正确的有______．（将正确结论的序号全部写在横线上） ①都是关于轴对称；②顶点都在坐标轴上；③图像都有最低点；④都与轴有交点． 17. 如图，在四边形中，，，，，的角平分线交边于点．则______． 18. 如图，在，，，，是的中点，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，线段交边于点，联结，当是直角三角形时，的长为_______． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 已知二次函数的图像经过点， （1）求二次函数解析式； （2）将此抛物线向右平移个单位，顶点移到点位置，函数图像与轴交于点，连接，，求的面积． 21. 如图，，相交于点，，，，在一条直线上．，，． （1）求的长： （2）设，，向量______，______（用向量、表示）． 22. 综合与实践 在学习“探索三角形相似的条件”的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“自相似点”进行研究． 定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在中，如果至少有一个三角形与相似，那么称点是的“自相似点”． 例：如图，点在内部，，则，故点为的自相似点． 【推理判断】 （1）如图1，在中，，点是上一点且在的垂直平分线上，则点____________（填“是”或“不是”）的自相似点． 【初步运用】 （2）如图2，若为钝角三角形，点是的自相似点，且点在上，．求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，为锐角三角形，若点是的自相似点，且相似三角形中，点与点对应，点在的平分线上．若，请直接写出的长． 23. 如图，在中，是边上的中线，点E在上（不与A，D重合），连接，并延长交于点F，． （1）求证：； （2）当时，求证： 24. 如图，在平面直角坐标系中，点、，点在第一象限，点在线段上，，，，，垂足为，连接、． （1）请直接写出图中与相似的三角形，直接写出线段的长（用含的代数式表示）； （2）当时，求的值； （3）的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 25. 已知：矩形，在边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级数学学科期中练习卷 完卷时间：100分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个平行四边形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； B、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意； C、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； D、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列函数中，关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如（其中）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，分母有未知数，不是二次函数； B． ，最高次项次数不为2，不是二次函数； C． ，时最高次项次数不为2，不是二次函数； D． ，符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 3. 如图，直线，直线，分别与，，相交于点，，和点，，．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得，然后代入求出，再通过线段和差即可求解，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4. 在中，．下列四个选项，正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，再根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，熟知对应的三角函数的定义是解题的关键． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 如果，那么； B. 如果、都是单位向量，那么； C. 如果为单位向量，那么； D. 如果，那么． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查向量的基本概念，包括向量的模、方向、单位向量和平行向量的定义． 根据向量的性质，逐一判断各选项． 【详解】A：∵向量平行是指方向相同或相反，表示与大小相等、方向相反，∴，故A正确； B：∵单位向量模均为1，但方向不一定相同，∴不一定等于，故B错误； C：∵是单位向量，但与方向可能不同，∴不一定成立，故C错误； D：∵只表示模相等，方向可能不同，∴不一定等于，故D错误； 故选：A． 6. 如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（　　） A. 0＜CP≤1 B. 0＜CP≤2 C. 1≤CP＜8 D. 2≤CP＜8 【答案】B 【解析】 【分析】分四种情况讨论,依据相似三角形的对应边成比例,即可得到AP的长的取值范围． 【详解】如图所示,过P作PD∥AB交AC于D或PE∥AC交AB于E,则△PCD∽△BCA或△BPE∽△BCA,此时0＜PC＜8; 如图所示,过P作∠BPF＝∠A交AB于F,则△BPF∽△BAC, 此时0＜PC＜8; 如图所示,过P作∠CPG＝∠B交AC于G,则△CPG∽△CAB, 此时,△CPG∽△CBA, 当点G与点A重合时,CA2＝CP×CB,即42＝CP×8, ∴CP＝2, ∴此时,0＜CP≤2; 综上所述,CP长的取值范围是0＜CP≤2． 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的性质. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果在比例尺为1：1000000的地图上，，两地的图上距离是1.6厘米，那么、两地的实际距离是__________千米． 【答案】16 【解析】 【分析】实际距离=图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离． 【详解】解：根据题意，1.6÷=1600000厘米=16千米． 即实际距离是16千米． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换． 8. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了向量的运算． 根据向量的数乘和加减法运算法则，先进行分配律运算，再合并同类向量． 【详解】 故答案为：． 9. 如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为，那么这两个三角形的面积比为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答． 【详解】解：∵相似三角形对应高的比等于相似比， ∴两三角形的相似比为1：4， ∴两三角形的面积比为1：16． 故答案为：1：16． 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比． 10. 已知点P是线段的黄金分割点，．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的定义，根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，，， 则． 故答案为：． 11. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标“若二次函数的顶点式为，则它的顶点坐标为”，熟练掌握求二次函数的顶点坐标的方法是解题关键．直接根据二次函数的顶点式求解即可得． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12. 如果点是的重心，是边的中点，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了重心的性质“重心将每条中线分成两部分，其中从顶点到重心的部分与从重心到中点的部分之比为”．根据重心的性质进行求解即可． 【详解】解：∵点是的重心，是边的中点， ∴， 故答案为：． 13. 我国2000多年前的《墨经》记载了有关“小孔成像”的论述．物体经“小孔成像”成倒立的实像，像可能放大，也可能缩小．如图，小嘉制作了一个简易小孔成像仪来开展蜡烛成像实验，测得蜡烛火焰的像的高度是3厘米．则蜡烛火焰的实际高度为______厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过作于点，过作于点，证明，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，过作于点， 由题意得，厘米，厘米，厘米，， ∴， ∴， ∴， ∴厘米， 即蜡烛火焰的实际高度为厘米， 故答案为：． 14. 《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形的边长为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】先设正方形的边长为x，再表示出，，然后说明∽，并根据对应边成比例得出答案. 【详解】根据题意可知，． 设正方形的边长为x，则，. ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴∽， ∴， 即， 解得. 所以正方形的边长为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法． 15. 如图，图中提供了一种求的方法，作，使，，再延长到点，使，联结，即可得，如果设，则可得，那么，运用以上方法，可求得的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】作，使，，再延长BC到点，使，联结，即可得，设，然后用t表示出CD，最后根据余切的定义作答即可． 【详解】解：如图：作，使，，再延长CB到点，使，联结，即可得 设，则BC=t，AB=BD=t 所以DC=BC+AB=t+t=（1+）t 所以． 故答案为． 【点睛】本题主要考查的是解直角三角形和三角函数，构造出含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°角的直角三角形成为解答本题的关键． 16. 在同一平面直角坐标系中，作、、的图像，下列结论正确的有______．（将正确结论的序号全部写在横线上） ①都是关于轴对称；②顶点都在坐标轴上；③图像都有最低点；④都与轴有交点． 【答案】② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过分析每个二次函数的顶点、对称轴、开口方向及与x轴交点情况，判断各结论是否正确． 【详解】对于：顶点为 ，在 x 轴上；对称轴为 ，不是 y 轴；开口向上，有最低点；与 x 轴有交点； 对于：顶点为 ，在 y 轴上；对称轴为 y 轴，关于 y 轴对称；开口向下，有最高点，无最低点；不与 x 轴相交； 对于：顶点为 ，在坐标轴上；对称轴为 y 轴，关于 y 轴对称；开口向上，有最低点；与 x 轴有交点； 结论①：不是所有函数都关于 y 轴对称（第一个函数对称轴为 ），错误； 结论②：所有函数的顶点都在坐标轴上（第一个在 x 轴，第二个在 y 轴，第三个在原点），正确； 结论③：不是所有函数都有最低点（第二个函数有最高点），错误； 结论④：不是所有函数都与 x 轴有交点（第二个函数无交点），错误； 故答案为：②． 17. 如图，在四边形中，，，，，的角平分线交边于点．则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作于点G，证明出是等腰直角三角形，求出，证明出是等腰直角三角形，设，利用勾股定理表示出，然后求出，证明出是等腰直角三角形，求出，进而求解即可． 【详解】解：过点F作于点G， ∵，， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 设，则 ∵是的平分线， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，二次根式的混合运算等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 18. 如图，在，，，，是的中点，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，线段交边于点，联结，当是直角三角形时，的长为_______． 【答案】2或 【解析】 【分析】分两种情况讨论， 当时，则，利用锐角三角函数先求解，，，设，再表示，再利用勾股定理求解即可得到答案；当时，如图，联结，过作于，先证明：，再证明 设，利用的锐角三角函数可得 利用勾股定理求解可得答案． 【详解】解： 是的中点， 当时，则， ， 设 则，， 即： 当时，如图，联结，过作于， 同理可得： ，， ， ， 设 由 ， 当，不合题意，舍去． 综上：的长为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查的是折叠的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键，要注意分情况讨论． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键． 【详解】解：原式 20. 已知二次函数的图像经过点， （1）求二次函数解析式； （2）将此抛物线向右平移个单位，顶点移到点位置，函数图像与轴交于点，连接，，求的面积． 【答案】（1）二次函数解析式为； （2）的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的平移等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）延长交轴于点，将此抛物线向右平移个单位，则平移后解析式为，求出，，再根据待定系数法求出直线解析式为，从而可得，所以，最后通过即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图，延长交轴于点， 由（）得，二次函数解析式为， ∵将此抛物线向右平移个单位， ∴平移后解析式为， ∴， 当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为． 21. 如图，，相交于点，，，，在一条直线上．，，． （1）求的长： （2）设，，向量______，______（用向量、表示）． 【答案】（1）6 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，实数与向量相乘等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）先得到，再证明，即可求解； （2）先证明，然后得到的数量关系，即可用向量表示；然后用向量的加法运算表示，再得到的数量关系，即可用向量、表示． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，． 22. 综合与实践 在学习“探索三角形相似的条件”的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“自相似点”进行研究． 定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在中，如果至少有一个三角形与相似，那么称点是的“自相似点”． 例：如图，点在内部，，则，故点为的自相似点． 【推理判断】 （1）如图1，在中，，点是上一点且在的垂直平分线上，则点____________（填“是”或“不是”）的自相似点． 【初步运用】 （2）如图2，若为钝角三角形，点是的自相似点，且点在上，．求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，为锐角三角形，若点是的自相似点，且相似三角形中，点与点对应，点在的平分线上．若，请直接写出的长． 【答案】（1）是； （2）证明：∵为钝角三角形，点是的自相似点，且点在上，， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确理解题意是解题的关键． （1）由等边对等角和三角形内角和定理得到，由线段垂直平分线的性质得到，则，则可证明，据此可证明则，点是的自相似点； （2）根据题意可得，则，据此可证明结论； （3）分和两种情况，通过证明求出的长，进而利用相似三角形的性质列出比例式即可求出答案． 【详解】解（1）∵， ∴， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点是的自相似点； （2）略 （3）∵点E是的自相似点，点A与点B是对应点， ∴当时，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，则， ∴，即， ∴； 综上所述，的长为或． 23. 如图，在中，是边上的中线，点E在上（不与A，D重合），连接，并延长交于点F，． （1）求证：； （2）当时，求证： 【答案】（1） 证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由是边上的中线，得，由，证明，得，所以，因为，所以； （2）由，得，而，所以，因为，所以，则，由，得，则，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，点、，点在第一象限，点在线段上，，，，，垂足为，连接、． （1）请直接写出图中与相似的三角形，直接写出线段的长（用含的代数式表示）； （2）当时，求的值； （3）的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）的面积为定值 【解析】 【分析】（1）证明，结合，可得，可得，结合，可得，，； （2）如图，延长于，证明，，可得，可得，而，可得，结合，，再建立方程求解即可； （3）由（1）得：，，，可得，利用，再计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，； 【小问2详解】 解：如图，延长交x轴于， ∵，即， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，， 经检验：不符合题意，舍去， ∴； 【小问3详解】 解：的面积为定值，理由如下： 由（1）得：，，， ∴的纵坐标为， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法等知识点，掌握以上基础知识是解本题的关键． 25. 已知：矩形，在边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和三角函数定义，先得到，再由折叠的性质可得到； （2）由三等角证得，从而得，求出即可； （3）过点作于点，可证得．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵沿翻折，使点C恰好落在边上点F处， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：过点N作，垂足为G， ∵平分，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，，则，， 在直角三角形中，根据勾股定理，得， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题注意考查了矩形的折叠，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的应用，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $