精品解析：天津市武清区大良中学2026-2027学年高三上学期第一阶段月考数学试卷

大良中学2026－2027学年高三上学期第一阶段月考数学试卷 一、选择题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，所以 2. 已知平面向量，若与共线，则实数的值为（ ） A. 9 B. 4 C. －4 D. －9 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】由题可知，，解得. 实数的值为. 故选：C. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 4. 已知角是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】一方面，；另一方面，时，或，从而可得答案. 【详解】在中，，， 又当时，或，推不出， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 5. 已知平面向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据模的坐标运算得，根据垂直关系可得，再根据模长关系运算求解. 【详解】因为，所以，， 又因为，所以，则， 所以. 故选：C. 6. 已知 ，，，则（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法即可判断. 【详解】由于； ； ， 所以. 7. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，确定函数单调性，利用零点存在性定理判断得解. 【详解】函数在上都单调递增，则函数在定义域上单调递增， 而，， 所以的零点所在区间为. 故选：C 8. 函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的图像关于点中心对称， 所以，即， 所以的最小值为. 9. 数的部分图象如图所示，给出下列结论： ① ②在区间上单调递减 ③在区间上有且仅有个零点 ④把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象 其中所有正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象，求出解析式，然后逐项分析函数性质即可. 【详解】由图象可知，最大值为，因此，周期，因此， 代入最大值点，有，解得， 结合，则， 因此，函数表达式为， 对于①，由图象可知，故①正确； 对于②，当时，有，在上不单调， 因此在区间上不单调，故②错误； 对于③，解方程，解得，在区间内满足条件的， 对应零点，共个，故③正确； 对于④，函数的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到， 是偶函数，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个. 二、填空题 10. 命题“”的否定是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据命题否定的定义改写即可． 【详解】命题“”的否定是“”． 故答案为：． 11. 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 12. 已知扇形面积为，圆心角为弧度，则扇形的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式及弧长公式即可求解． 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则， 又圆心角为，且扇形面积为， 又，即，解得， 所以扇形的周长为． 13. 已知正实数，满足，则的最小值为_______ 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用已知替换所求式中的常数，将原式化简为，再通过乘""法构造基本不等式的适用形式求解最小值. 【详解】已知正实数，满足，所以，且，， 因为 ， ， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 将代入，解得，，均满足正实数条件， 所以， 即所求最小值为. 14. 在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作出向量在向量上的投影向量，在直角三角形中求出；以点为坐标原点，为轴建立直角坐标系，利用坐标法求出的最小值. 【详解】过点作垂直于点，则向量为向量在向量上的投影向量， 由题意知点为线段的中点，所以， 所以，又为锐角，故. 以点为坐标原点，为轴建系如图，则，，. 因为，所以. 因为点为线段上的动点，所以设，故点. ，. 当时，取到最小值. 故答案为：；. 15. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围_______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定的定义域，再求出，从而将有两个极值点转化为在上有两个不同正根，进而结合二次方程根的判别式及韦达定理即可求． 【详解】由，，则， 又有两个极值点，等价于在上有两个不同的变号零点， 即在上有两个不同的正根，不妨设为，， 则由判别式得，解得， 由韦达定理得，得， 所以实数的取值范围． 三、解答题 16. （1）求值：； （2）已知，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1） ； （2）可得， 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的值； （2）若的面积为，，求a的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式，结合三角形内角和性质可求解A； （2）利用三角形的面积公式和余弦定理即可求解； （3）利用二倍角公式，两角和的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 已知， 由正弦定理得 所以. 因为，所以.所以. 又因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以. 因为，所以. 因为，所以，则. 由余弦定理得. 所以. 【小问3详解】 由，，所以. 又，， 所以. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求单调递减区间； （3）当时，求函数的最大值以及取得最大值时的值． 【答案】（1）最小正周期为； （2）单调递减区间为，； （3）最大值为，取得最大值时； 【解析】 【分析】（1）化简得，根据周期公式求解即可； （2）令，，求解即可； （3）结合三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 所以最小正周期为. 【小问2详解】 令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，. 【小问3详解】 由题意得， 因为，所以. 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以当，即时，取到最大值，且. 所以函数的最大值为，取得最大值时的值为. 19. 已知函数 （1）求在处的切线方程． （2）求的单调区间． （3）求在区间上的最值． 【答案】（1）切线方程为； （2）单调递减区间为，单调递增区间为； （3）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域并求导，利用导数几何意义求切线方程； （2）通过分析导函数符号确定单调区间； （3）比较区间内极值点和端点的函数值得到最值. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 所以，即切点为，， 由点斜式得切线方程为，即. 【小问2详解】 将导函数整理为， 令，解得，令，解得， 所以单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点， 计算端点与极值点的函数值： 比较大小：，因此：最小值为；最大值为. 20. 已知，函数， （1）求曲线在处的切线方程； （2）当时，若曲线和有公共点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由解析式求得切点坐标,再求导得切线斜率,最后用点斜式写出切线方程. （2）把两曲线有公共点转化为方程在上有解,分离参数得,于是问题转化为求函数的值域,用导数确定其单调性与最大值,再结合两端的变化趋势写出值域. 【小问1详解】 由得,所以切点为. 求导得,所以曲线在点处的切线斜率为. 由点斜式得切线方程为,即. 【小问2详解】 当时,. 曲线与有公共点,即方程有解,其中. 当时,方程左边为,右边为,方程不成立,所以公共点的横坐标. 于是.记(),则的取值范围就是的值域. 求导得. 当时,,在上单调递增;当时,,在上单调递减. 所以在处取得最大值. 又当从右侧无限接近于时无限减小,当无限增大时也无限减小,且在各段上连续,所以的值域为. 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大良中学2026－2027学年高三上学期第一阶段月考数学试卷 一、选择题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，若与共线，则实数的值为（ ） A. 9 B. 4 C. －4 D. －9 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知角是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知平面向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知 ，，，则（　） A. B. C. D. 7. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 数的部分图象如图所示，给出下列结论： ① ②在区间上单调递减 ③在区间上有且仅有个零点 ④把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象 其中所有正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 命题“”的否定是__________． 11. 函数的定义域是_________． 12. 已知扇形面积为，圆心角为弧度，则扇形的周长是_______． 13. 已知正实数，满足，则的最小值为_______ 14. 在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________． 15. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围_______． 三、解答题 16. （1）求值：； （2）已知，求的值； 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的值； （2）若的面积为，，求a的值； （3）若，求的值． 18. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求单调递减区间； （3）当时，求函数的最大值以及取得最大值时的值． 19. 已知函数 （1）求在处的切线方程． （2）求的单调区间． （3）求在区间上的最值． 20. 已知，函数， （1）求曲线在处的切线方程； （2）当时，若曲线和有公共点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $