4.5.1 函数的应用（二）-零点与二分法（讲义，知识点&10大题型&刷好题）高一数学人教A版必修第一册

第 四 章 指数函数与对数函数 4.5函数的应用（二）-零点与二分法 课标要点 1、理解函数零点的概念，掌握“方程的根”与“函数图象与 轴交点横坐标”的等价转化关系。 2、结合具体连续函数图象，理解并掌握“函数零点存在定理”，能利用该定理判断零点所在区间。 3、理解二分法的基本思想，掌握用二分法求方程近似解的步骤与流程。 4、能够结合二次函数的图象，研究一元二次方程根的分布情况。 5、经历“用函数观点处理方程问题”的过程，体会数形结合与函数方程思想 学习重难点 重点： 1、函数零点概念的准确理解及零点、方程根、图象交点三者的相互转化。 2、熟练应用“零点存在定理”及其推论（结合单调性）来判定零点是否存在及唯一性。 3、掌握二分法求变号零点近似解的规范步骤（定区间、取中点、算符号、缩区间）。 4、掌握利用二次函数的开口、判别式、对称轴及端点函数值符号来处理“根的分布”问题。 难点： 1、复合函数与多零点问题：涉及分段函数或形如 的复合方程，如何由外层向内层逐层剥离，做到不重不漏地判断零点个数。 2、含参零点的动态分析：在参数变化时，如何通过“分离参数”或“数形结合”，准确找到临界状态（如相切、过端点），从而确定参数范围。 3、对称性与零点和/积：当多个零点分布在不同的单调区间时，如何寻找隐含的对称关系（如轴对称、中心对称、反函数关于 对称）来求零点之和或积。 知识点 函数的零点 1．零点的概念 （1）零点的定义：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点． （2）零点与根的关系：方程有实根函数有零点函数的图像与轴有交点 2、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 3、函数零点存在定理的重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 4、零点的性质 如果函数图象通过零点时穿过 轴,则称这样的零点为变号零点,如果没有穿过 轴,则称这样的零点为不变号零点。 特别提醒 1、函数的零点是实数，而不是点 2、并不是所有的函数都有零点，若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内. 3、零点存在定理能判断零点是否存在，但是反之则不成立，因为不变号零点的存在。 随学随练 1．（25-26高二下·云南·学业考试真题）设函数，则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数，易知函数在定义域上单调递增， 又因为，， 所以， 根据零点存在性定理可知，的零点所在区间为. 知识点 二分法求方程的近似解 1、二分法的定义 对于在区间 上图象连续不断且 的函数 ,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2．二分法求方程的近似解的过程 ①确定区间，验证，给定精确度； ②求区间的中点； ③计算：若，则就是函数的零点； 若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）； ④判断是否达到精确度，即若，则得到零点的近似值 (或）；否则重复②~④． 特别提醒 (1)用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点,且在零点两侧附近函数值异号),对函数的不变号零点(曲线通过零点,且在零点两侧附近函数值不异号)不适用. (2)用二分法求函数零点的近似值,定初始区间时要尽可能地找到含有零点的较小的区间,这样可以减少用二分法的次数,减少计算量. 随学随练 1．（26-27高一上·辽宁大连·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，且，，，得在内有零点； 由且，，，得在内有零点； 所以经过2次二分法后确定的零点所在区间是. 知识点 零点与方程 1、数形结合找零点 对于函数的函数的零点问题，可以分解成两个函数的交点问题，通过数形结合来分析。 （1）将函数的零点个数问题转化为函数图像与函数图像的交点个数 （2）画出函数图像与函数图像，如果含参的话，需要讨论端点、间断点等临界情形，找到关键的点位。通过数形结合来解决问题。 2、二次函数的零点分布 二次方程的根 两个不等的根 两个相等的根 无根 与轴的交点 无交点 零点个数 2 1 0 3、复合方程的零点问题 （1）求复合函数实数根的个数：由外向内求解根的个数 （2）根据复合函数实数根的个数求参：由内向外讨论根的个数，从而确定参数范围。 随学随练 1．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）若函数的两个零点都在区间内，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】由二次函数根的分布的性质，结合对称轴，顶点纵坐标及特殊点函数值得到不等式组，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 顶点纵坐标为， 要想函数的两个零点都在区间内，需满足， 解得，故实数m的取值范围是 题型 求函数的零点跟零点区间 ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的零点是______. 【答案】 【详解】由知， 令，解得：或， 所以函数的零点是. ▌例2（26-27高一上·北京·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数零点存在性定理判断即可. 【详解】已知， ，，， ，， ， 根据零点存在性定理可知，区间一定包含的零点. 解题贴士 若求具体零点，直接令 解方程（注意定义域）。若判断所在区间，优先利用函数的单调性，再计算区间端点的函数值，利用 结合“零点存在定理”锁定区间。遇到复杂函数，可先进行换元（如 ）转化为一元二次方程简化计算。 ▌对点练1-1（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数的零点为______. 【答案】 【分析】通过换元，将问题转换成一元二次方程，进而可求解. 【详解】设，令，去分母，得， 整理得，即， ，，即， . ▌对点练1-2（25-26高一上·广西百色·期末）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知函数在上单调递增， 因为，，且在上连续不间断， 由零点存在定理可得在上存在零点. 题型 求函数零点个数 ▌例1（2026高一上·全国·专题练习）方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】在同一坐标系中画出函数与的图象， 如图所示： 由图象可得，函数与的图象有3个交点， 则方程的实数解的个数是3. ▌例2（2026高一上·全国·专题练习）（多选）已知函数，且，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（    ） A．当时，有3个零点 B．当时，有2个零点 C．当时，有4个零点 D．当时，有1个零点 【答案】CD 【分析】令得，利用换元法将函数分解为和，作出函数的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】令，得， 设，则方程等价为. ①若，作出函数的图象如图： 因为，所以方程有两个根其中，， 由，此时有两解， 由，此时有两解， 共有4个解，即函数有4个零点； ②若，作出函数的图象如图： 因为，所以方程有一个根，其中， 由，此时只有1个解， 即函数有1个零点. 解题贴士 核心方法是“数形结合”，将方程 变形为的形式，分别画出两个较易绘制函数的图象，交点个数即为零点个数。对于分段函数或复合函数，需根据外层函数的零点，分段讨论内层方程的解的个数，做到不重不漏。 ▌对点练1-1（2026高一上·全国·专题练习）方程的实数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数多 【答案】C 【分析】根据题意，转化为，设与，画出两个函数的图象，结合图象的交点个数，即可得到答案. 【详解】由方程，得，设函数与， 画出与的图象有两个交点， 故方程的实数解的个数为2个. ▌对点练1-2（2026高一上·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实根个数是________． 【答案】7 【分析】画出时函数的图象，数形结合即可求出方程解的个数. 【详解】 如图，我们先绘制出时函数的图象，因为当时，， 故将时的函数图象向右平移2个单位，纵坐标缩小为原来的，即可得到时函数图象， 再利用前述规则即可画出整个的函数图象（三条虚直线方程依次是，和）． 方程的解为或，由图可知的解有3个． 因为是奇函数，由对称性可知方程的解的个数与的解的个数相等，显然此方程有4个解． 综上，方程的所有实根个数为7． 题型 根据函数零点个数求参 ▌例1（26-27高一上·重庆江北·阶段检测）已知函数，关于的方程有1个解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过去绝对值将函数转化为分段函数，分析各分段函数的单调性，画出函数图象，结合图象即可求解. 【详解】函数的定义域为，分情况去绝对值讨论： ①当且时，， 时，单调递减，值域为； 时，单调递减，值域为. ②当且时，， 时，单调递减，值域为； 时，单调递减，值域为. ③ 时，， 画出函数图象如下： 由图可知 当或时，方程有2个解； 当时，方程仅存在1个解， 所以的取值范围是. ▌例2（26-27高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，若图象与轴恰有两个交点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若函数的图象与x轴恰有两个交点，则方程有两个不等实数根. 因为方程的实数根为，，方程的实数根为， 所以当时，方程有两个实根，； 当时，方程有一个实根； 当时，方程有两个实根，； 当时，方程有一个实根. 综上，实数a的取值范围为． 解题贴士 通常采用“分离参数法”或“图象法”。若易分离参数，可将方程化为 ，通过单调性来画出大概图像，转化为水平直线 与 图象的交点问题。若无法分离，则直接画出含参函数的动态图象（或直线），观察满足交点个数时的临界位置来确定参数范围。 ▌对点练1-1（26-27高一上·山东济南·开学考试）若关于的方程恰有一个实根，则的取值范围为________． 【答案】或 【分析】令，换元后转化为方程有一解，结合根与系数的关系及判别式分类讨论即可. 【详解】令， 则原方程等价为， 当时，方程为，不成立，故， 由可得， 代入可得， 即，显然时方程不成立， 所以方程有一解， 当即时，方程有一解，符合题意； 当时，设， 二次函数开口向下，且， 所以方程有一正根，符合题意； 当时，， 且，可知方程有两不等正根，不符合题意； 当时，，方程无实数根，不符合题意； 当时，，此时方程为， 解得，符合题意； 当时，，且， 可知方程有两不等正根，不符合题意. 综上，的取值范围为或. ▌对点练1-2（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数a的最大值为（   ） A． B．3 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据，和分别讨论不等式的解的情况，进而确定实数a的最大值. 【详解】根据题意作出的图象，如下图所示： 由得：， 当时， ，不等式无解； 当时，由得：， 若不等式恰有个整数解，则整数解为， 又，，所以； 当时，， 当时，不等式无整数解， 当时，不等式至少有两个整数解； 综上，实数的最大值为. 题型 根据零点相同求参 ▌例1（25-26高二下·广东深圳·期中）已知函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数和指数型函数的单调性，结合零点的定义、构造函数法，利用导数的性质进行求解即可. 【详解】因为，且函数和都是上的增函数， 所以要想恒成立，则需函数和的零点相同， 令， 令， 所以，则， 设，则， 当时，在上单调递增， 当时，在单调递减， 故，所以最大值为. ▌例2（25-26高一上·河北·期末）若，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由题意，可得恒成立，则函数与有相同的零点，即得，求出的值即可判断. 【详解】由，可得恒成立， 则函数与有相同的零点． 又因在定义域上单调递增，且， 故，解得，故． 故选：C. 解题贴士 当两函数零点相同或要求恒成立时，常转化为两函数具有相同的变号点。解题关键在于利用函数图象的相对位置关系（如开口方向、增减性）推断出两函数在相同位置取得零点，从而建立等量关系式（如 ），再结合导数或基本不等式求目标式的最值。 ▌对点练1-1（26-27高一上·北京东城·阶段检测）函数，当时，，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析二次因式有一正一负根，要使时恒非负，需一次因式零点与二次因式正零点重合，由此建立关系式求出的范围再验证选项. 【详解】令，则， 是开口向上的二次函数，，恒有两个零点， 因为，所以两个零点一正一负，不妨设，又的零点为， 因为时，，所以时，与同号，可得， 所以，得，因为，所以，解得，即且， 所以， 当时，，得，所以； 当时，，得，所以， 所以. 因为，，所以A正确，B、C、D错误. ▌对点练1-2（26-27高一上·全国·课后作业）设分别是关于的方程和的根，则________． 【答案】4 【分析】将方程问题转化为函数交点问题，借助于反函数的性质即可求出答案. 【详解】分别作出函数的图象，相交于点，可知， 而与互为反函数，直线与直线互相垂直， 所以点与关于直线对称， 因此．所以． 题型 根据函数零点区间求参 ▌例1（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）已知函数在内有且仅有一个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按一次函数、二次函数分类，二次函数再分“重根在区间内”和“端点函数值异号（含端点验证）”两类讨论，最终合并所有符合条件的取值. 【详解】设，题意为在开区间内有且仅有一个零点，分情况讨论： （1），此时，令，解得，满足条件，故符合； （2）， ①方程有重根（判别式），且重根在区间内， 判别式，解得， 此时，零点为，满足条件，故符合； ②区间端点函数值异号（零点穿过区间）， ，， 由零点存在定理，时，区间内恰有一个零点， 即，解得且， ③验证端点函数值为0的情况， 当时，，此时零点为和，是区间端点（不算在开区间内）， 仅，满足条件，故符合； 当时，，此时零点为和， 是区间端点（不算在开区间内），仅，满足条件，故符合； 综上，或， 所以的取值范围是. ▌例2（26-27高一上·辽宁·期中）若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的图象是开口向上的抛物线，且， 根据零点存在定理可知，若在区间上有零点， 则需满足 ，解得，因此的取值范围为. 解题贴士 利用零点存在定理“卡端点”，列出端点函数值异号（或端点值为0）的不等式组。切忌遗漏判别式 （重根恰在区间内）以及端点刚好为零的特殊情况。对于二次函数，还需结合对称轴位置进行综合判断。 ▌对点练1-1（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. ▌对点练1-2（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 题型 函数根的分布问题 ▌例1（26-27高一上·山西大同·阶段检测）已知关于的方程有两个不同的实数根，其中一个属于，另一个属于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设函数，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】设函数， 由方程的两根分别在、内， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. ▌例2（26-27高一上·全国·期中）若方程 −的两根都大于，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的根与函数的零点之间的关系，结合二次函数的图象，列出相应不等式组，求解可得. 【详解】设 ， 则函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为. 由方程 −的两根都大于， 得函数的零点大于. 所以，解得，所以. 所以实数的取值范围是. 解题贴士 处理一元二次方程根的分布，必须“四管齐下”：看抛物线开口方向、看判别式 的符号、看对称轴的位置、看区间端点处的函数值符号。将这四个维度的限制转化为关于参数的不等式组，求交集即可得出最终范围。 ▌对点练1-1（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三个二次的关系，数形结合列出不等式，求解即得. 【详解】设,依题意，该函数有2个零点（也可能有1个零点），且都大于1， 则有，解得. ▌对点练1-2（26-27高一上·江苏常州·阶段检测）若函数的两个零点分别为，，且有，，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用零点存在定理， 开口向上，由 ，，对各端点建立函数值符号不等式，联立求解参数 的范围. 【详解】设 ，其图象开口向上. 由 及零点存在定理，需满足 且 ；由 需满足 且 . 计算 ，得 . 计算 ，得 . 计算 ，得 . 计算 ，得 . 四个条件取交集：，，，，化简得 . 故 的取值范围为 . 题型 函数零点的大小关系 ▌例1（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用零点存在定理求出、的取值范围，并求出的值，即可得出、、的大小顺序. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为，故，故. ▌例2（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知正实数，满足，则下列关系不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，即可得到，，，画出，，的图象，结合图象即可判断． 【详解】因为为正实数，令， 所以，，， 因为在上单调递增且，， 在上单调递增且，，， 在上单调递减且， 在同一平面直角坐标系下画出，，的图象， 根据图象可知，、在第一象限必有一交点，设此交点的横坐标为， 则可知，当时，，即存在的情况， 当时，，即存在的情况， 当时，，即存在的情况， 而对于，恒成立，不存在的情况，即不可能． 解题贴士 针对不同函数（如指数、对数、多项式）对应的零点比大小问题，通常可以通过构造函数，然后通过函数图像的交点来分析交点大小问题。 ▌对点练1-1（25-26高一下·黑龙江·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由指数函数、对数函数的基本性质判断a、b、c的大致范围，据此可以得到a与b、c的大小关系，再根据可得，将其转化为与的交点问题即可判断b、c的大小． 【详解】因为，而当时，，当时，，所以， 因为，而当时，，所以， 因为，而当时，，所以， 由，得， 所以为和图象交点的横坐标， 为和图象交点的横坐标， 在同一个平面直角坐标系作出和的图象，如图所示， 由图可得，综上，． 故选：A． ▌对点练1-2（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合指数函数、对数函数、幂函数的单调性确定函数的单调性，再利用零点存在性定理确定对应零点所在区间即可. 【详解】函数都是R上的增函数，函数是上的增函数， 因此函数都是R上的增函数，函数是上的增函数， 由，得； 由，得； 由，得， 所以. 故选：B 题型 函数零点的和 ▌例1（26-27高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数是偶函数，如果方程恰有2026个实数根，则所有实根之和为（ ） A．-2026 B．2026 C．-4025 D．4052 【答案】D 【分析】根据已知条件可得函数关于对称，再根据函数的对称性求解函数所有实数根之和即可. 【详解】已知函数是偶函数，则有， 由此可得：函数关于轴对称，故函数所有实数根也会关于两两对称， 即函数的个实数根可分为组，每组根之和为， 综上可得：函数所有的实数根之和为. ▌例2（26-27高一上·浙江·开学考试）已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、、三种情况，在前两种情况下，直接验证不符合题意；在时，根据题意求出三个零点的表达式，并求出的取值范围，结合对数的运算性质以及对数函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】当或时，，有唯一解，不满足方程有三个不等实根； 当时，大致图象如图所示，    若有三个不等实根，则，可得， 设，令，解得，即， 令，解得：，， 因为， 所以，故. 解题贴士 当多个零点来自同一函数的不同分支时，常利用函数的对称性（如轴对称 或中心对称）将零点两两配对，求出对称中心的坐标，从而快速得出零点之和。若涉及指对函数混合，可通过巧妙构造函数（如 ），利用同构思想找到零点间的关系（如 ），进而求和。 ▌对点练1-1（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知函数，， 的所有零点之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断含糊的对称性以及函数的单调性，数形结合，可判断出函数的零点，即可求解.. 【详解】由， 可得， 故，即的图象关于点对称； 由于单调递增，故在R上单调递增，且增加的趋势较平缓， 当时，，当时，， 为增函数，其图象也关于点对称， 作出函数的图象如图： 由此可知的图象有唯一的交点， 所以1是的唯一零点， 所以函数的所有零点之和是1. ▌对点练1-2（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数与函数的零点分别为，，则______． 【答案】 【分析】先根据零点的定义得到，，从而得到，，再构造函数，进而结合该函数的单调性即可求出的值． 【详解】依题意可得，， 则，， 令，则，且， 又在上单调递增，则有唯一解， 所以，得， 所以． 题型 函数多零点的综合运算 ▌例1（25-26高一上·浙江·期末）已知函数，的零点分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先令得到，再逐项分析即可. 【详解】由题意得，，即， ，即，令，， 故都为方程的解， 令，单调递增，也单调递增，故在单调递增， 又， ，即，故B错误， 对于A，，对勾函数在上单调递减，， ，故A错误， 对于C，，两边同时取以2为底的对数得， ，故C正确， 对于D，，故D错误. 故选：C. ▌例2（26-27高一上·全国·期中）（多选）已知函数，若存在不相等的实数满足且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ABC 【分析】由知直线与的图象恰有四个交点，数形结合求得k的范围判断A；根据对称性和对数运算性质计算判断BC；将化为，利用对勾函数性质求解范围即可得解. 【详解】由知直线与的图象恰有四个交点. 在同一平面直角坐标系中作出的图象,如图所示： 知直线与的图象恰有四个交点,横坐标依次为，且. 由图可知在和上单调递减，在和上单调递增. 因此，，，. 对于A，由图可知，A正确. 对于B，由得，由得. 所以，这与在的图象关于直线对称一致，B正确. 对于C，由得，由得. 所以，C正确. 对于D，. 令，则，而对勾函数在上单调递增. 故，即. 当时,，上界可取到， 而时，下界取不到，D错误. 解题贴士 将零点问题转化为函数图象交点的横坐标问题。结合图象确定各个零点（横坐标）的取值范围或对称关系。对于乘积或代数和的最值，常利用对称性化简，最后转化为关于参数 的函数（如对勾函数），利用单调性求范围。 ▌对点练1-1（25-26高一上·河南·阶段检测）（多选）已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，运用零点存在定理可判断；对于B，运用指对同构将转化为，得到，再根据函数的单调性得到，即可判断；对于C，将选项B代入，即可判断；对于D，运用零点存在定理求出的范围，再将选项C代入选项D，解出，即可判断. 【详解】对于A：易知与在上单调递减，故在上单调递减， 又因为，， 根据零点存在定理，可知零点，故A正确； 对于B：由题可知，，， ，易知与在上单调递增， 因此在上单调递增， 又因为，故，得，即，故B正确； 对于C：由B可知，，， 故，得，故C正确； 对于D：由B可知，在上单调递增， ，，由零点存在定理可知. 由C可知，则，因此， 令，解得，与矛盾，故D错误. 故选：ABC. ▌对点练1-2（25-26高一上·天津南开·阶段检测）函数，直线与的图象的四个交点的横坐标从左到右依次为、、、，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据条件画出函数的图象，根据图象以及函数的性质求解. 【详解】作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 由图可知点与点关于直线对称，所以，且， 所以， 因为函数在上单调递减，因为，所以， 且，因为，所以， 且有，故，即， 所以， 故的取值范围为. 故答案为：. 题型 二分法的应用 ▌例1（26-27高一上·全国·单元测试）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数在上单调递增，得函数在上单调递增， 由，， 得该近似解所在的区间是. ▌例2（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的定义判断. 【详解】二分法要求函数在某个区间上有定义且区间两端点处函数值异号， A，定义域是，，，满足二分法的要求； B，定义域是R，但，不存在区间，使得，不可用二分法求根； C，定义域是，，，满足二分法的要求； D，定义域是R，，，满足二分法的要求. 解题贴士 二分法的前提是“变号零点”，即 ，对于不变号零点（如 在 处）不可用。解题时严格按照“取中点—算函数值—缩区间”的步骤进行。涉及精确度的计算，需注意当区间长度 小于或等于精确度时即停止，并注意数形结合确定初始区间以简化步骤。 ▌对点练1-1（26-27高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】计算区间两端点处函数值，根据二分法定义判断. 【详解】，， 取区间，，计算， 取区间，计算， 取区间，，计算， 取区间，，因此零点在区间上，因此二分区间至少4次. ▌对点练1-2（2026高一·全国·专题练习）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的定义和计算方法求解即可. 【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为，且函数单调递增， 因为， ， ，， 结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为， 基础通关 1．（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据零点的概念，结合函数与方程的关系，利用指数函数与一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由，即，易知与方程组只有一组解， 由函数为增函数，函数为减函数， 则两函数有且仅有一个交点，即方程存在唯一解， 当时，，所以函数的零点为. 故选：C. 2．（25-26高一下·湖北黄石·期末）函数的零点个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，令，按分段，借助函数单调性及对数函数图象特征求出零点个数. 【详解】函数的定义域为R，由，得， 令，，当时，函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，， 函数在上有唯一零点，即方程在有唯一解； 当时，对两边取对数，得，即， 而过原点的直线与对数函数的图象最多两个交点， 显然或时，等式成立，因此直线与对数函数的图象有两个交点， 即方程在有两解，所以函数的零点个数为3. 3．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知二次函数有且仅有一个零点，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】借助根的判别式与基本不等式计算即可得. 【详解】由题意知，，∴， 则， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 4．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若函数在区间有零点，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】若或. 当时，由； 当时，由. 若，此时方程有两个不相等的根. 当这两个根只有1个在区间内时，； 当这两个根都在区间时，，结合，可得. 综上可得，的取值范围是. 5．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知为实数，是函数的零点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据函数零点得到，再构造函数，利用函数单调性构建关于的方程求解即可. 【详解】由是函数的零点可知， 整理得，即， 设，易知在上单调递增， 因为， 所以， 所以，故， 故选：A． 素养提升 1．（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】令，由可得，令，数形结合可知函数在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】令，由可得，令， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，直线与函数图象的交点个数为； 当时，直线与函数图象的交点个数为. 因为函数有四个零点， 则函数有两个不等的零点、，且、， 由二次函数的零点分布可得，解得. 故实数的取值范围是. 2．（25-26高一上·山东威海·期中）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（   ） A．实数m的取值范围为 B． C． D．最大值为1 【答案】B 【分析】根据分段函数分别讨论方程在与上的解的个数，由存在三个不同实根确定的范围，再表示并逐项判断． 【详解】当时，． 若在上有两个不同的解，则且，即． 当时，在上单调递增，且值域为，因此方程有唯一解． 于是存在使当且仅当，故A错误． 由，得，故B正确． 又，故C错误； 并且从而，其最大值不能取到，故D错误． 3．（26-27高一上·辽宁大连·阶段检测）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的取值集合是____________. 【答案】 【分析】令，且，将问题转化为直线与函数的图象只有一个交点，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】由题意可得且， 因为，即， 所以， 即只有一个解， 令，且， 即直线与函数的图象只有一个交点， 作出函数与直线的图象，如图所示： 由此可得或或， 所以的取值集合是. 4．（25-26高一上·天津津南·阶段检测）已知函数，若正实数 互不相等，且，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据分段函数可得函数图象，从而可得的范围，据此可求的取值范围. 【详解】的图象如图所示： 不妨设，则且， 其中， 故即， 故， 故答案为：. 5．（25-26高一上·广东东莞·期末）（多选）已知函数的零点分别为a，b，c，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意得函数，，与函数的交点的横坐标分别为，画出函数图，结合图象及函数的对称性即可逐项求解. 【详解】由函数的零点分别为， 得函数，，的图象与函数的交点的横坐标就是， 如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，    由图知，，故A错误，B正确； 因为，互为反函数，其图象关于直线对称. 因为与垂直，所以与的中点是直线与的交点. 由得，所以，. 又，所以，所以，故C正确； 又，，所以，故D正确. 故选：BCD 6．（25-26高一上·安徽合肥·期末）函数的所有零点之和为___________． 【答案】-2 【分析】根据函数的零点定义得到，令，，转化为有两根，设这两个根为，由得到，得到，从而得到函数的所有零点之和. 【详解】已知，令，得， 令，整理得，， 令，由在时单调递减，在时单调递减， 所以与图像只有两个交点，方程有两根 假设，即。可得。 又因为，所以， 所以，则， 故答案为：-2 7．（25-26高一上·广东清远·期末）已知函数的零点分别是，则实数的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析每个函数的单调性，再计算关键点的函数值，利用零点存在性定理锁定零点区间，最后比较区间的位置. 【详解】易知在上单调递增， 又，. 由零点存在性定理得. 易知在上单调递增， 又， 由零点存在性定理得. 易知在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理得. 由区间位置可知：，，，因此. 故选：A 8．（25-26高一上·湖北恩施·期末）（多选）已知函数，，的零点依次为a，b，c，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】把零点问题转化为函数图象交点问题和方程的解的问题，即可作出判断. 【详解】由，， ，的零点a，b，分别为、图象交点的横坐标， 通过上面函数图象可得：， 而，即， 所以，，正确，错误； 故选：ACD 9．（26-27高一上·全国·期中）已知函数,的零点分别为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数的零点定义，可得即函数图象与直线的交点的横坐标，结合函数图象的对称性即可求得答案. 【详解】由可得，由，， 依题意，如图所示，即函数图象与直线的交点的横坐标. 由图知，因函数是一对反函数，图象关于直线对称，则点也关于直线对称， 由解得，则点关于点对称，故. 10．（26-27高一上·辽宁大连·期中）设函数，若满足，则的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】可先画出函数图象，设，结合图象确定的范围，及与的关系，的关系，根据的范围求的范围即可. 【详解】当时，，此时，函数在上单调递减， 当时，，此时，函数在上单调递增， 因为函数在上单调递减，上单调递增，时，， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 当时，，，， 当且时，，当且时，， 当时，，， 作函数的大致图象如下： 设，则为方程的四个不同的实数根， 故函数的图象与直线的图象有四个交点，交点的横坐标分别为，， 结合可得，， 故，， 所以，，， 所以，， 所以， 令，则，， 所以， 函数在上单调递增，因此， 可得原式的取值范围是， 故的值可能是. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 四 章 指数函数与对数函数 4.5函数的应用（二）-零点与二分法 课标要点 1、理解函数零点的概念，掌握“方程的根”与“函数图象与 轴交点横坐标”的等价转化关系。 2、结合具体连续函数图象，理解并掌握“函数零点存在定理”，能利用该定理判断零点所在区间。 3、理解二分法的基本思想，掌握用二分法求方程近似解的步骤与流程。 4、能够结合二次函数的图象，研究一元二次方程根的分布情况。 5、经历“用函数观点处理方程问题”的过程，体会数形结合与函数方程思想 学习重难点 重点： 1、函数零点概念的准确理解及零点、方程根、图象交点三者的相互转化。 2、熟练应用“零点存在定理”及其推论（结合单调性）来判定零点是否存在及唯一性。 3、掌握二分法求变号零点近似解的规范步骤（定区间、取中点、算符号、缩区间）。 4、掌握利用二次函数的开口、判别式、对称轴及端点函数值符号来处理“根的分布”问题。 难点： 1、复合函数与多零点问题：涉及分段函数或形如 的复合方程，如何由外层向内层逐层剥离，做到不重不漏地判断零点个数。 2、含参零点的动态分析：在参数变化时，如何通过“分离参数”或“数形结合”，准确找到临界状态（如相切、过端点），从而确定参数范围。 3、对称性与零点和/积：当多个零点分布在不同的单调区间时，如何寻找隐含的对称关系（如轴对称、中心对称、反函数关于 对称）来求零点之和或积。 知识点 函数的零点 1．零点的概念 （1）零点的定义：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点． （2）零点与根的关系：方程有实根函数有零点函数的图像与轴有交点 2、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 3、函数零点存在定理的重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 4、零点的性质 如果函数图象通过零点时穿过 轴,则称这样的零点为变号零点,如果没有穿过 轴,则称这样的零点为不变号零点。 特别提醒 1、函数的零点是实数，而不是点 2、并不是所有的函数都有零点，若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内. 3、零点存在定理能判断零点是否存在，但是反之则不成立，因为不变号零点的存在。 随学随练 1．（25-26高二下·云南·学业考试真题）设函数，则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 知识点 二分法求方程的近似解 1、二分法的定义 对于在区间 上图象连续不断且 的函数 ,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2．二分法求方程的近似解的过程 ①确定区间，验证，给定精确度； ②求区间的中点； ③计算：若，则就是函数的零点； 若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）； ④判断是否达到精确度，即若，则得到零点的近似值 (或）；否则重复②~④． 特别提醒 (1)用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点,且在零点两侧附近函数值异号),对函数的不变号零点(曲线通过零点,且在零点两侧附近函数值不异号)不适用. (2)用二分法求函数零点的近似值,定初始区间时要尽可能地找到含有零点的较小的区间,这样可以减少用二分法的次数,减少计算量. 随学随练 1．（26-27高一上·辽宁大连·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 知识点 零点与方程 1、数形结合找零点 对于函数的函数的零点问题，可以分解成两个函数的交点问题，通过数形结合来分析。 （1）将函数的零点个数问题转化为函数图像与函数图像的交点个数 （2）画出函数图像与函数图像，如果含参的话，需要讨论端点、间断点等临界情形，找到关键的点位。通过数形结合来解决问题。 2、二次函数的零点分布 二次方程的根 两个不等的根 两个相等的根 无根 与轴的交点 无交点 零点个数 2 1 0 3、复合方程的零点问题 （1）求复合函数实数根的个数：由外向内求解根的个数 （2）根据复合函数实数根的个数求参：由内向外讨论根的个数，从而确定参数范围。 随学随练 1．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）若函数的两个零点都在区间内，则实数m的取值范围是________． 题型 求函数的零点跟零点区间 ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的零点是______. ▌例2（26-27高一上·北京·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（） A． B． C． D． 解题贴士 若求具体零点，直接令 解方程（注意定义域）。若判断所在区间，优先利用函数的单调性，再计算区间端点的函数值，利用 结合“零点存在定理”锁定区间。遇到复杂函数，可先进行换元（如 ）转化为一元二次方程简化计算。 ▌对点练1-1（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数的零点为______. ▌对点练1-2（25-26高一上·广西百色·期末）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 题型 求函数零点个数 ▌例1（2026高一上·全国·专题练习）方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 ▌例2（2026高一上·全国·专题练习）（多选）已知函数，且，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（    ） A．当时，有3个零点 B．当时，有2个零点 C．当时，有4个零点 D．当时，有1个零点 解题贴士 核心方法是“数形结合”，将方程 变形为的形式，分别画出两个较易绘制函数的图象，交点个数即为零点个数。对于分段函数或复合函数，需根据外层函数的零点，分段讨论内层方程的解的个数，做到不重不漏。 ▌对点练1-1（2026高一上·全国·专题练习）方程的实数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数多 ▌对点练1-2（2026高一上·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实根个数是________． 题型 根据函数零点个数求参 ▌例1（26-27高一上·重庆江北·阶段检测）已知函数，关于的方程有1个解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌例2（26-27高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，若图象与轴恰有两个交点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 解题贴士 通常采用“分离参数法”或“图象法”。若易分离参数，可将方程化为 ，通过单调性来画出大概图像，转化为水平直线 与 图象的交点问题。若无法分离，则直接画出含参函数的动态图象（或直线），观察满足交点个数时的临界位置来确定参数范围。 ▌对点练1-1（26-27高一上·山东济南·开学考试）若关于的方程恰有一个实根，则的取值范围为________． ▌对点练1-2（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数a的最大值为（   ） A． B．3 C．8 D．9 题型 根据零点相同求参 ▌例1（25-26高二下·广东深圳·期中）已知函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·河北·期末）若，则（   ） A． B．1 C． D． 解题贴士 当两函数零点相同或要求恒成立时，常转化为两函数具有相同的变号点。解题关键在于利用函数图象的相对位置关系（如开口方向、增减性）推断出两函数在相同位置取得零点，从而建立等量关系式（如 ），再结合导数或基本不等式求目标式的最值。 ▌对点练1-1（26-27高一上·北京东城·阶段检测）函数，当时，，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（26-27高一上·全国·课后作业）设分别是关于的方程和的根，则________． 题型 根据函数零点区间求参 ▌例1（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）已知函数在内有且仅有一个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． ▌例2（26-27高一上·辽宁·期中）若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解题贴士 利用零点存在定理“卡端点”，列出端点函数值异号（或端点值为0）的不等式组。切忌遗漏判别式 （重根恰在区间内）以及端点刚好为零的特殊情况。对于二次函数，还需结合对称轴位置进行综合判断。 ▌对点练1-1（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． ▌对点练1-2（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型 函数根的分布问题 ▌例1（26-27高一上·山西大同·阶段检测）已知关于的方程有两个不同的实数根，其中一个属于，另一个属于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌例2（26-27高一上·全国·期中）若方程 −的两根都大于，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解题贴士 处理一元二次方程根的分布，必须“四管齐下”：看抛物线开口方向、看判别式 的符号、看对称轴的位置、看区间端点处的函数值符号。将这四个维度的限制转化为关于参数的不等式组，求交集即可得出最终范围。 ▌对点练1-1（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． ▌对点练1-2（26-27高一上·江苏常州·阶段检测）若函数的两个零点分别为，，且有，，则的取值范围为__________． 题型 函数零点的大小关系 ▌例1（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知正实数，满足，则下列关系不可能的是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 针对不同函数（如指数、对数、多项式）对应的零点比大小问题，通常可以通过构造函数，然后通过函数图像的交点来分析交点大小问题。 ▌对点练1-1（25-26高一下·黑龙江·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 题型 函数零点的和 ▌例1（26-27高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数是偶函数，如果方程恰有2026个实数根，则所有实根之和为（ ） A．-2026 B．2026 C．-4025 D．4052 ▌例2（26-27高一上·浙江·开学考试）已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解题贴士 当多个零点来自同一函数的不同分支时，常利用函数的对称性（如轴对称 或中心对称）将零点两两配对，求出对称中心的坐标，从而快速得出零点之和。若涉及指对函数混合，可通过巧妙构造函数（如 ），利用同构思想找到零点间的关系（如 ），进而求和。 ▌对点练1-1（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知函数，， 的所有零点之和是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数与函数的零点分别为，，则______． 题型 函数多零点的综合运算 ▌例1（25-26高一上·浙江·期末）已知函数，的零点分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． ▌例2（26-27高一上·全国·期中）（多选）已知函数，若存在不相等的实数满足且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．的取值范围为 解题贴士 将零点问题转化为函数图象交点的横坐标问题。结合图象确定各个零点（横坐标）的取值范围或对称关系。对于乘积或代数和的最值，常利用对称性化简，最后转化为关于参数 的函数（如对勾函数），利用单调性求范围。 ▌对点练1-1（25-26高一上·河南·阶段检测）（多选）已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高一上·天津南开·阶段检测）函数，直线与的图象的四个交点的横坐标从左到右依次为、、、，则的取值范围是___________. 题型 二分法的应用 ▌例1（26-27高一上·全国·单元测试）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． ▌例2（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 二分法的前提是“变号零点”，即 ，对于不变号零点（如 在 处）不可用。解题时严格按照“取中点—算函数值—缩区间”的步骤进行。涉及精确度的计算，需注意当区间长度 小于或等于精确度时即停止，并注意数形结合确定初始区间以简化步骤。 ▌对点练1-1（26-27高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌对点练1-2（2026高一·全国·专题练习）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（ ） A． B． C． D． 基础通关 1．（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高一下·湖北黄石·期末）函数的零点个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知二次函数有且仅有一个零点，则的最小值为__________． 4．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若函数在区间有零点，则的取值范围是________． 5．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知为实数，是函数的零点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 素养提升 1．（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围为______． 2．（25-26高一上·山东威海·期中）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（   ） A．实数m的取值范围为 B． C． D．最大值为1 3．（26-27高一上·辽宁大连·阶段检测）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的取值集合是____________. 4．（25-26高一上·天津津南·阶段检测）已知函数，若正实数 互不相等，且，则的取值范围为______． 5．（25-26高一上·广东东莞·期末）（多选）已知函数的零点分别为a，b，c，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·安徽合肥·期末）函数的所有零点之和为___________． 7．（25-26高一上·广东清远·期末）已知函数的零点分别是，则实数的大小为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·湖北恩施·期末）（多选）已知函数，，的零点依次为a，b，c，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（26-27高一上·全国·期中）已知函数,的零点分别为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（26-27高一上·辽宁大连·期中）设函数，若满足，则的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $