专题4.6 用二分法求方程的近似解重难点题型专训（1个知识点+5大基础题型+1大提高题型+自我检测）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题4.6 用二分法求方程的近似解重难点题型专训 （1个知识点+5大基础题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、用二分法求近似解的条件 题型二、二分法求方程近似解的过程 题型三、二分法求函数零点的过程 题型四、利用给定函数模型解决实际问题 题型五、建立拟合函数模型解决实际问题 第二部分·练提高题型 题型一、二分法的相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 二分法 1．二分法 (1)二分法的定义： 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二， 使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点. (3)用二分法求方程的近似解： 用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在 要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内. (4)用二分法求函数零点的近似值的步骤 给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤如下： 1.确定零点的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0. 2.求区间(a,b)的中点c. 3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)=0(此时=c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)f(c)<0(此时∈(a,c))，则令b=c； (3)若f(c)f(b)<0(此时∈(c,b))，则令a=c. 4.判断是否达到精确度：若|a-b|<，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 【即时训练】 1．（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海徐汇·期末）用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则__________. 【基础题型一 用二分法求近似解的条件】 【例1】（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 1．（26-27高二·山东·学业考试模拟）下列函数不宜用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南南阳·阶段检测）（多选）下列方程中，可以用二分法求近似解的有（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称___________次就可以发现假币. 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数在区间上有个零点. （1）求实数a的取值范围； （2）若，用二分法求方程在区间上的根. 【基础题型二 二分法求方程近似解的过程】 【例2】（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）（多选）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）用“二分法”求方程在区间内的实根，第一次应取点___________进行判断. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同.你能用一架天平尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？ (1)当时，若只称3次就可以找到此“坏乒乓球”，并得出它是偏轻还是偏重，该如何称？ (2)若已知“坏乒乓球偏轻”，当时，至少称几次就一定可以找到此“坏乒乓球”？ 【基础题型三 二分法求函数零点的过程】 【例3】（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）用二分法求函数零点近似值时，第一次取的区间是，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海徐汇·期末）若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为________． 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）求曲线和直线的交点的横坐标（误差不超过0.05）． 【基础题型四 利用给定函数模型解决实际问题】 【例4】（2026·广东清远·二模）生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：kg）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是105次，则的体重为（   ） A． B． C． D． 1．（2026·辽宁抚顺·一模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2026高二·全国·专题练习）（多选）血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况与相关阈值如图所示（服用药物时间对应0时），则下列说法中正确的有（    ） A．服药1单位后约10分钟到5.5小时之间药物发挥疗效 B．若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药 C．若每次服药1单位，首次服药后，3小时之后可以再次服药 D．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 3．（25-26高一上·山西·阶段检测）已知某企业产品年投入成本万元时获得的纯利润为万元，且与成正比，当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为万元，当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为________万元. 4．（24-25高一上·上海·阶段检测）某公司欲将一批货物从A地运往B地，现有汽车、火车两种运输工具可供选择，设两地距离为S，汽车速度50km/h，途中每千米费用为8元，装卸货物需2h，火车速度100km/h，途中每千米费用为4元，装卸货物需4h．若这批货物在运输过程中（含装卸时间）的损耗为300元/h． (1)请写出汽车运输的最终费用？ (2)请问采用哪种运输工具比较合适（即运输过程中的费用与损耗之和最小）？ 【基础题型五 建立拟合函数模型解决实际问题】 【例5】（24-25高一下·湖南长沙·阶段检测）在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为个感染者在每个传染期会接触到个新人，这个人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者传染人数为．已知某种传染病在某地的基本传染数，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）某厂因技术改革，今年上半年两个季度生产总值持续增加.第一季度的增长率为，第二季度的增长率为，则该厂这两个季度生产总值的平均增长率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段检测）（多选）某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示： 时间（天） 1 2 3 4 利润（万元） 2 3.98 8.01 15.99 则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高二上·山西·学业考试）如图，树人中学欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室，且房屋地面面积为18平方米，高度为3米.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的总造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，设房屋的长为x米，总造价为y元，则y与x之间的函数关系式为______. 4．（24-25高一上·江苏徐州·期末）中国茶文化博大精深，有十大名茶，如西湖龙井、黄山毛峰等. 某地有一茶山，前三次采茶量分别为1000斤、1200斤、1300斤. 为了估测以后每次的采茶量，以这三次的采茶量为依据，用一个函数模拟该茶山的单次产量（单位：斤）与次数的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（，，为常数）. 已知第4次的产量为1360斤. 问：用以上哪个函数模拟较好？为什么？ 【提高题型一 二分法的相关求解】 【例1】（25-26高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高一上·浙江宁波·期中）（多选）用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上有零点 B．已经达到精确度，可以取作为近似值 C．没有达到精确度，应该接着计算 D．没有达到精确度，应该接着计算 3．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）函数的零点，对区间利用两次“二分法”，可确定所在的区间为______． 4．（25-26高一·全国·随堂练习）借助计算器或计算机，用二分法求方程在区间上的根的近似值（误差不超过）． 1．（2026高三·全国·专题练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是（   ） ①这几年人民生活水平逐年得到提高； ②人民生活费收入增长最快的一年是2000年； ③生活价格指数上涨速度最快的一年是2001年； ④虽然2002年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善． A．1项 B．2项 C．3项 D．4项 5．（24-25高一·上海·课堂例题）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（    ）(参考数据：) A．2026年； B．2027 年； C．2028年； D．2029 年． 6．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的是（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高一上·河南驻马店·阶段检测）（多选）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，；，；．那么可以作为方程的一个近似解的是（精确度为0.1）（    ） A．1.35 B．1.40 C．1.43 D．1.50 8．（25-26高一·全国·课后作业）（多选）如图，函数的图像与轴交于，，，四点，则能用二分法求出的零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 9．（26-27高一上·湖南·期中）（多选）某工厂生产一批总量为个的零件，有两种方案可供选择：①生产总时长为小时，一半时间以每小时个零件的速度生产，一半时间以每小时个零件的速度生产；②生产总时长为小时，一半数量的零件以每小时个零件的速度生产，一半数量的零件以每小时个零件的速度生产；则下列说法正确的是（    ） A． B． C．采用方案①效率更高 D．无论生产零件总数（总数大于）为多少，效率更高的方案都相同 10．（24-25高一上·广西钦州·期末）（多选）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相排放未达标的企业要限期整改，加强污水治理.设企业的污水排放量W与时间t的关系为，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论，其中正确的结论为（    ） A．在这段时间内，甲乙两企业的污水排放量均达标 B．在时刻，甲乙两企业的污水排放量相等 C．甲企业的污水排放量的最小值大于乙企业的污水排放量的最大值 D．在这段时间内，甲企业的污水排量高于乙企业的污水排量 11．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是_______． 12．（25-26高三·全国·一轮复习）在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为，大约有根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测______次就能找出故障地点所在区域（精确到范围内）？ 13．（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上的零点，若要求精确度为0.001，则至少进行______次二分． 14．（25-26高三·全国·一轮复习）生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是105次，则的体重为_____. 15．（25-26高二上·江苏·期末）2020年是全国决胜脱贫攻坚之年，“一帮一扶”工作组进驻某山区帮助农民脱贫，发现该山区盛产苹果、梨子、猕猴桃，工作人员文明在线上进行直播带货活动，促销方案如下：若一次购买水果总价不低于200元，则顾客少付款m元，每次订单付款成功后，农民会收到支付款的80%，在促销活动中，为了使得农民收入不低于总价的70%，则m的最大值为_________. 16．（26-27高一·全国·课后作业）已知函数f(x)＝lnx＋2x－6. (1)证明f(x)有且只有一个零点； (2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于. 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）借助计算器，用二分法求函数和的图像交点的横坐标(精确度0.1)． 18．（24-25高一上·全国·课后作业）随着社会的发展，电动车进入了千家万户，给我们的生活带来了极大的方便．某品牌电动车2018年平均每台电动车生产成本为1500元，并以纯利润标定出厂价．2019年开始，公司加强管理，降低生产成本．2022年平均每台电动车尽管出厂价仅是2018年出厂价的，但却实现了纯利润的高收益．若以2018年的生产成本为基数，用二分法求2019—2022年生产成本平均每年降低的百分数（精确度为0.01）（参考数据：）． 19．（26-27高一上·全国·课堂例题）借助计算器，用二分法求在区间的近似零点值(精确到0.1)． 20．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）数学兴趣小组在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，每隔一个月（每月月底）测量一次该水生植物的面积，通过近一年的观察发现：该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的．已知二月底测得该水生植物的面积为，三月底测得该水生植物的面积为，该水生植物的面积y（单位：）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择：一个是同学甲提出的（，），另一个是同学乙提出的（，），记一月底测量时间x的值为1． (1)请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； (2)自几月底起池塘里该水生植物面积是一月底该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：，） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.6 用二分法求方程的近似解重难点题型专训 （1个知识点+5大基础题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、用二分法求近似解的条件 题型二、二分法求方程近似解的过程 题型三、二分法求函数零点的过程 题型四、利用给定函数模型解决实际问题 题型五、建立拟合函数模型解决实际问题 第二部分·练提高题型 题型一、二分法的相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 二分法 1．二分法 (1)二分法的定义： 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二， 使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点. (3)用二分法求方程的近似解： 用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在 要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内. (4)用二分法求函数零点的近似值的步骤 给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤如下： 1.确定零点的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0. 2.求区间(a,b)的中点c. 3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)=0(此时=c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)f(c)<0(此时∈(a,c))，则令b=c； (3)若f(c)f(b)<0(此时∈(c,b))，则令a=c. 4.判断是否达到精确度：若|a-b|<，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 【即时训练】 1．（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图象在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异号， 对于A，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于B，先减后增，在零点处左右函数值都为正，不能用二分法求零点； 对于C，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于D，先减后增，在零点，处左右函数值异号，能用二分法求零点. 2．（24-25高一上·上海徐汇·期末）用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则__________. 【答案】 【分析】根据二分法的求解过程写出下一个，即可得得解. 【详解】由二分法的求解过程知，下一个为，所以. 故答案为： 【基础题型一 用二分法求近似解的条件】 【例1】（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的定义判断. 【详解】二分法要求函数在某个区间上有定义且区间两端点处函数值异号， A，定义域是，，，满足二分法的要求； B，定义域是R，但，不存在区间，使得，不可用二分法求根； C，定义域是，，，满足二分法的要求； D，定义域是R，，，满足二分法的要求. 1．（26-27高二·山东·学业考试模拟）下列函数不宜用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数单调递增且与轴有唯一交点，可以用二分法求零点； 对于B，函数单调递增且与轴有唯一交点，可以用二分法求零点； 对于C，因为，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点． 对于D，函数为开口向下的抛物线与轴有两个交点，可以用二分法求零点. 2．（24-25高一上·河南南阳·阶段检测）（多选）下列方程中，可以用二分法求近似解的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据二分法满足的条件：零点存在定理逐项判断即可. 【详解】对于A，在上单调递增，且在上连续， 且，，可以使用二分法求原方程的近似解； 对于B，在R上连续且单调递增， 又，，可以使用二分法求原方程的近似解； 对于C，，故不可以使用二分法求原方程的近似解； 对于D，在上单调递增，且在上连续， 且，，可以使用二分法求原方程的近似解. 故选：ABD. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称___________次就可以发现假币. 【答案】3 【分析】写出利用天平最少3次找到那枚假币的过程即得解. 【详解】将12枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚金币里面，将这6枚平均分成两份， 则假币一定在轻的那3枚金币里面，将这3枚金币任拿出2枚放在天平上， 若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则轻的那一枚即是假币． 依据上述分析，最少称3次就可以发现这枚假币． 故答案为：3． 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数在区间上有个零点. （1）求实数a的取值范围； （2）若，用二分法求方程在区间上的根. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）分别讨论与的情况,利用零点存在性定理求解即可； （2）当时,,由可得函数的零点在区间上,进而求得,即可求得方程的根 【详解】（1）若,则,与题意不符,∴, 若,则由题意可知,,则在上是单调函数,故, 解得, 故的取值范围为 （2）若, 则, ,,, ∴函数的零点在区间上,又, ∴方程在区间上的根为 【基础题型二 二分法求方程近似解的过程】 【例2】（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二分法基本原则确定满足精确度的区间即可得到近似解. 【详解】，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 满足精确度，， 方程的一个近似解为. 故选：C. 1．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法求解方程近似解的方法计算即可. 【详解】令，因为， 所以，又，， 则，又因为，所以． 故选：B. 2．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）（多选）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用二分法的定义得到答案. 【详解】由题知第一次所取区间为，取中间值， 则第二次所取区间可能是或. 故选：BD. 3．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）用“二分法”求方程在区间内的实根，第一次应取点___________进行判断. 【答案】1 【分析】由二分法的概念即可求解. 【详解】由二分法的操作步骤可知：第一次应取区间的中点， 即， 故答案为：1 4．（24-25高一上·全国·课后作业）现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同.你能用一架天平尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？ (1)当时，若只称3次就可以找到此“坏乒乓球”，并得出它是偏轻还是偏重，该如何称？ (2)若已知“坏乒乓球偏轻”，当时，至少称几次就一定可以找到此“坏乒乓球”？ 【答案】(1) 第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况： ①若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中，第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个“好乒乓球”为另一边，放在天平上. （i）若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个“好乒乓球”放上天平一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重； （ii）若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是偏轻还是偏重，任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”. ②若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边偏重，从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面“好乒乓球”中取3个乒乓球补入左边，看天平，有三种可能. （i）若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重； （ii）若左边重，则“坏乒乓球”已从一边换到另一边，因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻； （ⅲ）若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个（左右各一），“坏乒乓球”是其中之一（暂不知是偏轻还是偏重）. 显然对于以上两种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是偏轻还是偏重. (2)至少称4次就一定可以找到这个“坏乒乓球” 【分析】（1）（2）由二分法的相关知识即可求解； 【详解】（1）略 （2）将26个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面； 从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面； 将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面； 从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一个即是“坏乒乓球”. 综上可知，至少称4次就一定可以找到这个“坏乒乓球”. 【基础题型三 二分法求函数零点的过程】 【例3】（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法求函数近似值的方法步骤可得. 【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 1．（25-26高一上·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二分法可得答案. 【详解】已知 ，， 根据零点存在定理，函数在区间 内有零点， 区间中点 ， ， 由，，及零点存在定理知： 零点位于区间 内， 下一步应考察的区间为 . 故选：A 2．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）用二分法求函数零点近似值时，第一次取的区间是，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由二分法求解步骤即可判断. 【详解】第二次所取的区间可能为，第三次所取的区间可能为，． 故选：AD 3．（25-26高一上·上海徐汇·期末）若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为________． 【答案】 【分析】利用零点存在定理可求答案. 【详解】设，因为所以零点在区间内， 所以第二次应该取区间的中点为. 故答案为： 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）求曲线和直线的交点的横坐标（误差不超过0.05）． 【答案】 【分析】在同一平面直角坐标系中，作出，的图象如图所示．设，由二分法的定义求解即可. 【详解】在同一平面直角坐标系中，作出，的图象如图所示， 可以发现方程有唯一解，记为，并且解在区间(1,2)内． 设，则的零点为． 用计算器计算得，； ，， ，， ，， ，， ∵， ∴曲线和直线的交点的横坐标约为． 【基础题型四 利用给定函数模型解决实际问题】 【例4】（2026·广东清远·二模）生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：kg）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是105次，则的体重为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知在环境温度为时， 的体重为、脉搏率为210次， 故， 的脉搏率是105次，设其体重为t kg，则， 则，即，解得（kg）. 1．（2026·辽宁抚顺·一模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】由题意可得，解得．令， 即，化简得，解得（舍去）． 2．（2026高二·全国·专题练习）（多选）血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况与相关阈值如图所示（服用药物时间对应0时），则下列说法中正确的有（    ） A．服药1单位后约10分钟到5.5小时之间药物发挥疗效 B．若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药 C．若每次服药1单位，首次服药后，3小时之后可以再次服药 D．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 【答案】ABD 【分析】根据图中的信息分析解决实际问题情况判断各个选项. 【详解】对于A，从题图的持续期可以得出，服用药物后10分钟到5.5小时之间，血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，药物发挥作用，A正确． 对于B，服药1单位后，若2.5小时后再次服药，则在首次服药3.5小时后，即第2次服药1小时后，体内血药浓度将会超过最低中毒浓度，会引起中毒，因此若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药，B正确． 对于C，服药1单位后，若3小时后再次服药，则在首次服药4小时后，即第2次服药1小时后，血药浓度将会超过最低中毒浓度，引起中毒，C错误． 对于D，第一次服药10分钟到5.5小时之内，药物会持续发挥治疗作用，第1次服药5.5小时后第2次服药，由于第2次服药对应的血药浓度增长速度大于第1次服药对应的血药浓度降低速度，从而体内的血药浓度会超过最低有效浓度，同时观察两次累计的最大值，不会超过最低中毒浓度，D正确． 故选：ABD． 3．（25-26高一上·山西·阶段检测）已知某企业产品年投入成本万元时获得的纯利润为万元，且与成正比，当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为万元，当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为________万元. 【答案】 【分析】 由与成正比，得：，计算即可. 【详解】与成正比，可设，则， 当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为万元， ，解得，， 时，则， 当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为万元. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·阶段检测）某公司欲将一批货物从A地运往B地，现有汽车、火车两种运输工具可供选择，设两地距离为S，汽车速度50km/h，途中每千米费用为8元，装卸货物需2h，火车速度100km/h，途中每千米费用为4元，装卸货物需4h．若这批货物在运输过程中（含装卸时间）的损耗为300元/h． (1)请写出汽车运输的最终费用？ (2)请问采用哪种运输工具比较合适（即运输过程中的费用与损耗之和最小）？ 【答案】(1)元； (2)当时，选择汽车较合适；当时，两种运输工具一样；当时，选择火车较合适． 【分析】（1）设汽车运输的最终费用为，根据题意列出关于S的函数表达式即可. （2）设火车运输的最终费用为并求出，再比较，的大小关系即可． 【详解】（1）设汽车运输的最终费用为， 则（元）. （2）设火车运输的最终费用为， 则（元）， 当时，，解得， 因此当时，，此时汽车运输较合适， 当时，，此时两种运输工具最终费用相同， 当时，，此时火车运输较合适， 所以当时，选择汽车较合适；当时，两种运输工具一样；当时，选择火车较合适． 【基础题型五 建立拟合函数模型解决实际问题】 【例5】（24-25高一下·湖南长沙·阶段检测）在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为个感染者在每个传染期会接触到个新人，这个人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者传染人数为．已知某种传染病在某地的基本传染数，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意1个感染者传染人数为，解出不等式即可. 【详解】因为，所以1个感染者传染人数为， 又1个感染者传染人数不超过1，所以，解得，即该地疫苗的接种率至少为， 故选：D. 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）某厂因技术改革，今年上半年两个季度生产总值持续增加.第一季度的增长率为，第二季度的增长率为，则该厂这两个季度生产总值的平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该厂这两个季度生产总值的平均增长率为，由题意列方程求解即可； 【详解】设该厂这两个季度生产总值的平均增长率为， 则，解得或（舍去）， 所以该厂这两个季度生产总值的平均增长率为， 故选：D. 2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段检测）（多选）某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示： 时间（天） 1 2 3 4 利润（万元） 2 3.98 8.01 15.99 则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】把代入每一个选项，逐一与题目中的数据对比，可得答案. 【详解】对于A，把代入，可得下表： 对于B，把代入，可得下表： 对于C，把代入，可得下表： 对于D，把代入，可得下表： 显然只有的值最接近表格中的对应的值，故A，C，D符合题意． 故选：ACD. 3．（2025高二上·山西·学业考试）如图，树人中学欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室，且房屋地面面积为18平方米，高度为3米.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的总造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，设房屋的长为x米，总造价为y元，则y与x之间的函数关系式为______. 【答案】 【分析】设房屋的长为，则宽为，则总造价整理即可. 【详解】设房屋的长为，则宽为，则总造价， . 故答案为： 4．（24-25高一上·江苏徐州·期末）中国茶文化博大精深，有十大名茶，如西湖龙井、黄山毛峰等. 某地有一茶山，前三次采茶量分别为1000斤、1200斤、1300斤. 为了估测以后每次的采茶量，以这三次的采茶量为依据，用一个函数模拟该茶山的单次产量（单位：斤）与次数的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（，，为常数）. 已知第4次的产量为1360斤. 问：用以上哪个函数模拟较好？为什么？ 【答案】选择函数为好，理由：若模拟函数选用二次函数， 设二次函数解析式为， 因为前三次采茶量分别为1000斤、1200斤、1300斤， 所以有， 若模拟函数选用函数， 因为前三次采茶量分别为1000斤、1200斤、1300斤， 所以有， 因为， 所以的值更接近1360， 所以选用函数为好，此时函数解析式为. 【分析】运用待定系数法，结合第4次的产量为1360斤进行比较选择即可. 【详解】略 【提高题型一 二分法的相关求解】 【例1】（25-26高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为不能用二分法求零点的函数问题，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论. 【详解】对于A，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故A错误； 对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法， 故B错误； 对于C，，故不可以使用二分法，故C正确； 对于D，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故D错误. 故选：C 1．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】通过二分法的精确度公式求解. 【详解】二分法中，经过次等分后，区间长度变为原区间长度的 ，初始区间为 ，长度为， 要满足精度 ，即：，则， 因为， 所以需要将区间等分的最少次数为次， 故选：B. 2．（25-26高一上·浙江宁波·期中）（多选）用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上有零点 B．已经达到精确度，可以取作为近似值 C．没有达到精确度，应该接着计算 D．没有达到精确度，应该接着计算 【答案】AD 【分析】利用二分法判断出方程根的分布区间，即可根据精确度求出根的近似值． 【详解】对于A项：，由函数零点存在定理知，方程在区间有实根，故A正确； 对于B项：，没有达到精确度的要求，故B错误； 对于C、D项：由，没有达到精确度的要求，应该接着计算，故C错误，D正确； 故选：AD. 3．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）函数的零点，对区间利用两次“二分法”，可确定所在的区间为______． 【答案】/ 【分析】根据零点存在的条件计算判断即可． 【详解】解： ，，而， ∴ 函数的零点在区间． 又，， ∴ 函数的零点在． 故答案为：． 4．（25-26高一·全国·随堂练习）借助计算器或计算机，用二分法求方程在区间上的根的近似值（误差不超过）． 【答案】 【分析】根据二分法的求解方法，逐项计算，即可求解. 【详解】令，可得， 当时，，所以在区间上单调递增， 因为，所以在区间内只有一个零点， 即为方程在的根， 由，所以零点在区间内； 由，，所以零点在区间内； 由，，所以零点在区间内； 由，，所以零点在区间内； 由，， 所以零点在区间内； 由，， 所以零点在区间内； 由，， 所以零点在区间内； 由，， 所以零点在区间内； 由，， 因为， 所以函数在区间上的零点的近似值为， 所以方程在区间上的根的近似值. 1．（2026高三·全国·专题练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点的两侧函数值异号能用二分法判断. 【详解】A. 函数无零点，故错误； B.函数有零点1，当时， ，当 时， ，x=1的两侧同号，不能用二分法，故错误； C. 由图象知：两个零点的两侧函数值异号，能用二分法，故正确； D.由图象知：两个零点-1，2的两侧的函数值同号，不能用二分法，故错误； 故选：C 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法判断即可得出结果. 【详解】设函数的零点为， 因为，，则，所以，区间长度为， 取区间中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，则或， 此时区间长度为，故方程的一个近似解为， 故选：B. 3．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的过程得到满足的方程组，由此求解出的值，即可得出答案. 【详解】因为依次确定了零点所在区间为，，， 可得，即，解得. 所以. 故选：B. 4．（2026高三·全国·专题练习）如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是（   ） ①这几年人民生活水平逐年得到提高； ②人民生活费收入增长最快的一年是2000年； ③生活价格指数上涨速度最快的一年是2001年； ④虽然2002年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善． A．1项 B．2项 C．3项 D．4项 【答案】C 【详解】由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确； “生活费收入指数”年最陡，故②正确； “生活价格指数”在年是上升的，且上升最多，故上涨速度最快的一年是年，故③不正确； 由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确． 所以正确的有项. 5．（24-25高一·上海·课堂例题）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（    ）(参考数据：) A．2026年； B．2027 年； C．2028年； D．2029 年． 【答案】B 【分析】首先根据指数函数建立拟合的函数模型，再求解不等式. 【详解】设研发资金开始超过200万元的年份是，则第年投入的研发资金为， 则，即， 所以， 所以. 所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2027年. 故选：B 6．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用二分法知识对选项中的函数逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，A正确； 对于选项B： 函数，故函数有唯一零点， 但函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点的近似值，B错误； 对于选项C： 当时，， 当且仅当时，等号成立，此时无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增，此时有两个零点，， 且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，C正确； 对于选项D： 当时，，当时，， 所以能用二分法求零点的近似值，D正确． 故选：ACD. 7．（26-27高一上·河南驻马店·阶段检测）（多选）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，；，；．那么可以作为方程的一个近似解的是（精确度为0.1）（    ） A．1.35 B．1.40 C．1.43 D．1.50 【答案】BC 【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果. 【详解】因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以不满足精确度； 因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以不满足精确度； 因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以不满足精确度； 因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以满足精确度； 所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值，根据四个选项可知选BC . 故选：BC 8．（25-26高一·全国·课后作业）（多选）如图，函数的图像与轴交于，，，四点，则能用二分法求出的零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】观察图像寻找零点左右符号不一致的即可. 【详解】由题图，可知在两侧，函数的值均大于0，故的近似值不能用二分法求出.其他零点两侧函数值符号均相反，可以用二分法求解近似值. 故选:ACD. 9．（26-27高一上·湖南·期中）（多选）某工厂生产一批总量为个的零件，有两种方案可供选择：①生产总时长为小时，一半时间以每小时个零件的速度生产，一半时间以每小时个零件的速度生产；②生产总时长为小时，一半数量的零件以每小时个零件的速度生产，一半数量的零件以每小时个零件的速度生产；则下列说法正确的是（    ） A． B． C．采用方案①效率更高 D．无论生产零件总数（总数大于）为多少，效率更高的方案都相同 【答案】ACD 【分析】根据方案① 可得出关于的等式，求出其值，可判断A选项；根据方案② 求出，可判断B选项；比较、的大小，可判断C选项；求出两个方案的平均生产速度，比较大小可判断D选项. 【详解】由方案① ， ，解得 ，故A正确； ，故B错误； 因为，所以采用方案① 效率更高，故C正确； 方案① 的平均生产速度为 个每小时，方案② 设总零件数为， 所以两部分的时间分别为，， 平均生产速度为 个每小时， 故方案② 平均速度低于方案① ，所以无论生产零件总数为多少，效率更高的都是方案① ，故D正确. 10．（24-25高一上·广西钦州·期末）（多选）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相排放未达标的企业要限期整改，加强污水治理.设企业的污水排放量W与时间t的关系为，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论，其中正确的结论为（    ） A．在这段时间内，甲乙两企业的污水排放量均达标 B．在时刻，甲乙两企业的污水排放量相等 C．甲企业的污水排放量的最小值大于乙企业的污水排放量的最大值 D．在这段时间内，甲企业的污水排量高于乙企业的污水排量 【答案】BD 【分析】根据甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系逐项分析即得. 【详解】由图可知在这段时间内，甲乙两企业的污水排放量均超标，故A错误； 在时刻，甲乙两企业的污水排放量相等，故B正确； 甲企业的污水排放量的最小值不大于乙企业的污水排放量的最大值，故C错误； 在这段时间内，甲企业的污水排量高于乙企业的污水排量，故D正确. 故选：BD. 11．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】利用函数的零点判定定理推出结果即可． 【详解】由题得的定义域为， 因为，当时，， 当且仅当时等号成立，故时不能用二分法求函数零点； 因为， 又当时，， 当且仅当时等号成立， 若要用二分法求的零点，需满足，所以， 故答案为：． 12．（25-26高三·全国·一轮复习）在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为，大约有根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测______次就能找出故障地点所在区域（精确到范围内）？ 【答案】 【分析】结合二分法即可得到，解不等式即可求出结果. 【详解】如图，工人师傅首先从中点检测，用随身带的话机向两端测试， 不妨设发现段正常，可见故障在段； 再从线段的中点检测，假设发现段正常，可见故障在段； 再从段的中点检测；， 由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过次检测，所剩线路的长度为 m， 则有，即，由于，， 故至多检测次就能找到故障地点所在区域． 13．（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上的零点，若要求精确度为0.001，则至少进行______次二分． 【答案】11 【分析】二分法每一次操作都会让区间缩小一半长度，按此规律求解. 【详解】根据题意，原来区间的长度等于2， 每经过一次二分法操作，区间长度变为原来的一半， 则经过次操作后，区间的长度为， 令，又，解得. 故答案为：11． 14．（25-26高三·全国·一轮复习）生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是105次，则的体重为_____. 【答案】 【分析】设体重为，分别将的数据代入已给的函数关系式，再对两式作商即可求解. 【详解】由题意知在环境温度为时，的体重为、脉搏率为210次， 故. 的脉搏率是105次，设其体重为，则， 则，即，解得（）. 15．（25-26高二上·江苏·期末）2020年是全国决胜脱贫攻坚之年，“一帮一扶”工作组进驻某山区帮助农民脱贫，发现该山区盛产苹果、梨子、猕猴桃，工作人员文明在线上进行直播带货活动，促销方案如下：若一次购买水果总价不低于200元，则顾客少付款m元，每次订单付款成功后，农民会收到支付款的80%，在促销活动中，为了使得农民收入不低于总价的70%，则m的最大值为_________. 【答案】25 【分析】根据题意建立函数关系式，整理出恒成立，再由x的范围即可求解. 【详解】设每笔订单促销前的总价为元， 根据题意有，即恒成立， 由题意得，所以，所以， 即m的最大值为25. 故答案为：25 【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： (1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型； (2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围. 16．（26-27高一·全国·课后作业）已知函数f(x)＝lnx＋2x－6. (1)证明f(x)有且只有一个零点； (2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于. 【答案】(1)证明：令，则，且， ∴，即f(x)＝lnx＋2x－6在(0,＋∞)上是增函数， ∴f(x)至多有一个零点．又f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0， ∴f(2)·f(3)<0，即f(x)在(2,3)内有一个零点． ∴f(x)在(0,＋∞)上只有一个零点． (2). 【分析】（1）由单调性定义知为增函数，又f(2)·f(3)<0，即知函数有且只有一个零点； （2）利用二分法确定区间长度不大于的零点所在区间即可. 【详解】（1）略 （2）∵f(2)<0，f(3)>0，取，， ∴，即f(x)零点．取，则. ∴. ∴，又， ∴满足题意的区间为． 【点睛】方法点睛： 1.单调函数若能找到，即知存在零点，定义域内有且仅有一个. 2.二分法求零点区间：中取，并确定符号，若在继续上一步骤；若在继续上一步骤，直到得到合适区间. 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）借助计算器，用二分法求函数和的图像交点的横坐标(精确度0.1)． 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先在同一个坐标系中画出两个函数的图像，直观地观察图像只有一个交点，估算该交点的位置，再用二分法求相应函数零点的近似值． 【详解】在同一坐标系中作出和的大致图像，可知两函数图像只有一个交点， 令， ∵， ∴函数的零点． 取的中点，用计算器算得， ∵，∴． 再取的中点， 用计算器算得， ∵，∴． 再取的中点， 用计算器算得， ∵，∴． 再取的中点， 用计算器算得， ∵，∴． ∵， ∴两个函数图像交点的横坐标， 所以函数和的图像交点的横坐标可取中任意值，可取． 18．（24-25高一上·全国·课后作业）随着社会的发展，电动车进入了千家万户，给我们的生活带来了极大的方便．某品牌电动车2018年平均每台电动车生产成本为1500元，并以纯利润标定出厂价．2019年开始，公司加强管理，降低生产成本．2022年平均每台电动车尽管出厂价仅是2018年出厂价的，但却实现了纯利润的高收益．若以2018年的生产成本为基数，用二分法求2019—2022年生产成本平均每年降低的百分数（精确度为0.01）（参考数据：）． 【答案】2019～2022年生产成本平均每年降低． 【分析】设2019～2022年生产成本平均每年降低的百分数为，由题意构造函数，结合零点存在性定理即可判断. 【详解】解：设2022年每台电动车的生产成本为元，依题意得， 解得，所以2022年每台电动车的生产成本约为924元． 设2019～2022年生产成本平均每年降低的百分数为， 根据题意，得，令，作出的对应值表： 60.15 则，故函数在区间内有零点． 取区间的中点，可得． 由，得， 取的中点，得， 因为，所以， 同理，又， 所以原方程的近似解可取为0.1125， 故2019～2022年生产成本平均每年降低． 19．（26-27高一上·全国·课堂例题）借助计算器，用二分法求在区间的近似零点值(精确到0.1)． 【答案】 【分析】由零点存在定理，先确定上有解，然后不断将区间平分，使其每次在两个端点处的函数值异号，且区间长度不超过为止. 【详解】由， 用计算器作出如下对应值表： 0 1 2 观察上表，可知零点在内，取区间中点，且，从而零点在内； 再取区间中点，且，从而可知零点在内． 同理取区间中点，且，从而可知零点在内． 同理取区间中点，且，从而可知零点在内． 由于，此时区间内任一值精确到后都是1.3， 故原函数在区间内的近似零点为 20．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）数学兴趣小组在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，每隔一个月（每月月底）测量一次该水生植物的面积，通过近一年的观察发现：该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的．已知二月底测得该水生植物的面积为，三月底测得该水生植物的面积为，该水生植物的面积y（单位：）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择：一个是同学甲提出的（，），另一个是同学乙提出的（，），记一月底测量时间x的值为1． (1)请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； (2)自几月底起池塘里该水生植物面积是一月底该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：，） 【答案】(1)（，）比较合适， (2)6月底 【分析】（1）根据两个函数模型的增长速度即可选择，再利用待定系数法求出函数模型的解析式即可； （2）先求出一月底时水生植物的面积，假设x月底水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，则，再根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，所以选择同学甲提出的（，）比较合适， 由题意得，解得，所以； （2）由（1）可知，一月底时水生植物的面积为， 假设x月底水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上， 即，所以，所以， 因为，所以， 所以自6月底起池塘里该水生植物面积是一月底该水生植物面积的10倍以上． 学科网（北京）股份有限公司 $