4.3 对数（讲义，知识点&6大题型&刷好题）高一数学人教A版必修第一册

第 四 章 指数函数与对数函数 4.3 对数 课标要点 1、理解对数的概念，知道对数与指数的互化关系（），了解常用对数与自然对数。 2、掌握对数的运算性质（积、商、幂的对数），理解换底公式及其常用推论。 3、能运用对数运算法则、换底公式进行化简与求值，体会对数运算与指数运算的对应关系。 学习重难点 重点： 1、对数的概念及指数式与对数式的互化； 2、对数的运算性质与换底公式的应用； 3、对数式的化简与求值 难点： 1、对数运算法则的灵活运用（尤其是换底公式推论、多重对数、指对同构）； 2、含对数条件的求值问题中，构造同构函数并利用单调性转化； 3、对数式中底数与真数范围的综合限制。 知识点 对数的概念 1、对数的定义：一般地，如果的次幂等于，即，那么称是以为底的对数，记作，其中，叫做对数的底数，叫做真数． 2、几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0且a≠1) 常用对数 底数为10 自然对数 底数为e 3、对数的性质（当 且时） （1）指数与对数的关系： （2） ；； （3）； （4）． 特别提醒 并非所有都可以化为对数，注意且时才可以。 随学随练 1．（26-27高一上·江苏·期中）已知，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】已知，故， ，故． 知识点 对数的运算法则 1、运算性质（且，，）： 指数的运算法则 对数的运算法则 指数与对数对应的运算法则 2、拓展的公式 ① ; ② ; 3、换底公式 （且，且， 换底公式几个常用的推论 (1) . (2) . (3) . (4) . (5) 4、常用的运算技巧 （1）对于同底对数式的求值,可先利用对数的运算法则将式子化归为一个对数式,再运用对数的性质求值, （2）对常用对数的化简要充分利用“”来求值. （3） 的应用：若两个对数“底数与真数颠倒相乘”，直接用此式化简； （4）对含有多重对数符号的对数,应由内向外逐层化简. 随学随练 1．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式 . 题型 对数的概念 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】由对数的定义，真数大于，底数大于且不等于，得到关于的不等式组，求解不等式即可. 【详解】由对数的定义可知， 解得，且， 故选：B． ▌例2（26-27高一上·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 解题贴士 解对数有意义问题，只需抓住两条：底数大于0且不等于1，真数大于0。列不等式组求解，注意底数含参数时需分类排除等于1的情况。 ▌对点练1-1（25-26高一上·上海宝山·期中）若有意义，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据真数大于0即可得到答案. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. ▌对点练1-2对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 题型 指数与对数的互化 ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）化为对数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数与对数的互化直接求解即可. 【详解】因为，所以. ▌例2（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则________. 【答案】 【分析】利用指数与对数的互化，以及幂的运算直接求解即可. 【详解】由，可得，又且， 所以. 解题贴士 指数式与对数式互化是关键：。遇到多重对数，由内向外逐层脱去对数符号，先化为指数式再逐层求解。 ▌对点练1-1（26-27高一上·全国·课后作业）已知，得______. 【答案】/ 【详解】由，得，. ▌对点练1-226-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用对数的性质和指数式与对数式的互化关系求解． 【详解】（1）由，得， 故. （2）由，得，故. （3）因为， 所以，所以. 题型 对数运算性质的应用 ▌例1（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）计算 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，，所以 . ▌例2（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）计算：_________. 【答案】10 【详解】 解题贴士 先观察能否用积、商、幂的对数性质合并或拆分化简。常用 配凑，把不同底统一后再计算，注意指数幂与对数混合时先分别化简。 ▌对点练1-1（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）_____________． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算公式和对数的运算公式及对数性质求解. 【详解】因为， ，， ，， 所以 ▌对点练1-2（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）计算： (1) (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 题型 换底公式的应用 ▌例1（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）计算：________． 【答案】 【详解】原式 ▌例2 解题贴士 底数不同时统一换成同底（常用 或 ），连乘式往往可约分。记住推论 与 ，可快速化简 ▌对点练1-1（25-26高二下·云南·学业考试真题）（    ） A．1 B．2 C．5 D．7 【答案】B 【详解】. ▌对点练1-2 题型 对数式条件求值 ▌例1（25-26高一上·天津河西·阶段检测），，则______． 【答案】 【分析】利用指对互化得，变形得，解二次方程求得，即可得解. 【详解】设，则， 所以，因为，所以， 所以，即， 解得或（负根舍去）， 所以. 故答案为： ▌例2（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【分析】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 解题贴士 设公共对数值为 ，把各量用 表示，指对互化后建立方程（常为二次方程）求解。注意舍去不合题意的根，最后代回所求式子。 ▌对点练1-1（26-27高一上·江苏·期中）设，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数换底公式、对数运算性质及同底对数互倒关系，将所求对数用已知的a、b表示即可得到结果. 【详解】由则， 利用换底公式得到， 因为， ， 所以. ▌对点练1-2（26-27高三上·山东潍坊·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，. 题型 指对同构 ▌例1（2026高一上·全国·专题练习）指底对换法则： ，则． （   ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】A 【详解】因为， 所以． ▌例2（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知实数，满足：，，则______. 【答案】3 【分析】由同构思想和函数单调性得，结合已知即可得解. 【详解】∵，∴， 又，∴，即， 又函数在定义域上单调递增，所以，， ∴. 解题贴士 将等式变形为两边结构相同的形式，构造同一函数 （如 ），利用其单调性得到自变量相等。核心是"同构+单调性"，把复杂方程转化为简单关系式。 ▌对点练1-1（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，是关于的方程的解，则___________． 【答案】 【分析】由已知等式变形得出，构造函数，分析该函数的单调性，由题意得出，可得出，再利用指数与对数的互化可得出的值. 【详解】由可得， 构造函数，因为函数、均为上的增函数， 故函数为上的增函数， 由可得， 因为是关于的方程的解，则，又因为，故， 所以，所以，所以，故. 故答案为：. ▌对点练1-2（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，，，，则__________. 【答案】3 【分析】构造函数，可得，结合单调性可得，即可得解. 【详解】因为，显然，所以， 又，显然， 所以， 令函数，则， 易知在上单调递增，， 所以在上有唯一的零点， 所以，即， 所以. 故答案为：. 基础通关 1．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）若，则________. 【答案】 【分析】先利用分数指数幂的运算法则计算等式右侧，再根据对数的定义求出. 【详解】由，得. 根据对数的定义，得. 2．（26-27高一上·江苏·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质求解即可； （2）根据对数的运算性质求解即可； （3）利用换底公式以及对数的运算性质求解即可； 【详解】（1）原式 （2）原式. （3）原式 . 3．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知，则______． 【答案】 【详解】解方程，得或， 当时，方程为，成立， 当时，，舍去； 综上，. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以，得； （2）因为，所以，得； （3）因为，所以， 得 5．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）. 素养提升 1．（26-27高一上·江苏·期中）（多选）设，，，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先将已知对数统一底数为2，再结合对数运算公式和基本不等式逐个验证选项即可. 【详解】因为，，故，且，因此即. 选项A：，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：设，，则 ，， 故. 时，， 所以，等号当且仅当时成立，故D正确. 2．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）已知，则的值为________． 【答案】 【详解】设，则， 由，得， 整理得，解得， 即，则， 所以. 3．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）（多选）已知，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先由对数定义求，再用对数运算性质及换底公式逐项验证可得． 【详解】根据对数的定义，由得，A正确； 对数的运算性质，，B正确； 又因为，C错误； 由对数的换底公式，，D错误． 4．（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）已知，，则__________． 【答案】/ 【分析】利用指数和对数的互化公式，结合同底数幂的运算即可求解. 【详解】由题知，，， 所以， 所以. 20． 5．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）设，，则＝_____________.（用含a，b的式子表示） 【答案】 【详解】 6．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据对数式与指数式的互化公式，结合指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】， 所以. 故选：B 7．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）已知，且，则t＝______ 【答案】 【分析】将指数式化为对数式，用表示出，再结合对数换底公式化简原式并求解. 【详解】由、，可得，，且， 则，， 故 即，即，因， 则. 8．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 9．（26-27高一上·上海·期中）若，，则不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A， ，A 正确； 对于B，由题：，， 所以， ，B正确； 对于C，由选项A可知，所以， 所以，当且仅当时取等号，因为，所以，C错误； 对于D，由选项A可知，由选项B可知，， 由基本不等式得，则，当且仅当时取等号， 因为，所以，D正确． 10．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知，且满足，，则______． 【答案】/ 【分析】对两个已知方程进行变形，构造出同一个函数的形式，再利用函数的单调性求解. 【详解】由，可得：，即， 由可得：，即，则， 令，则，代入上式：，即， 构造函数，所以在上严格单调递增. 因为，所以，即. 所以. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章 指数函数与对数函数 4.3对数 课时目标 1、理解对数的概念，知道对数与指数的互化关系(Q=N一b=loga N),了解常用 对数与自然对数。 课标要点 2、掌握对数的运算性质（积、商、幂的对数），理解换底公式及其常用推论。 3、 能运用对数运算法则、换底公式进行化简与求值，体会对数运算与指数运算的对应关 系。 重点： 1、对数的概念及指数式与对数式的互化： 2、对数的运算性质与换底公式的应用： 3、对数式的化简与求值 学习重难点 难点： 1、对数运算法则的灵活运用（尤其是换底公式推论、多重对数、指对同构）： 2、 含对数条件的求值问题中，构造同构函数并利用单调性转化： 3、 对数式中底数与真数范围的综合限制。 清主线 课时内容导图 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义：a=N÷b=loga N(a>0,a≠1，N>0) 1.对数的定义 结构：底数a,真数N 2.常见对数 三种对数一般1ogaN;常用lgN(底10)；自然nN(底e) 对数 的概念 性质：loga1=0；1ogaa=1 3.基本性质 恒等式：abg.N=N;loga aN=N -4.注意 前提：底数a>0且a≠1，真数N>0 乘：loga(MNM=loga M+loga N(M>0,N>0) 1.运算性质 除：log兴=logM-1bgN 幂：loga Mn=nloga M 4.3 对数 倒数：loga六=log。m 概念与运算法则 2.拓展公式 根式：log√m”=1ogam 3.换底公式 换底：logb=ogb(c>0且c≠1) 1 对数的 倒数式：log.b=og5d 运算法则 连乘式cloga b.l1og6c.loge a=1 4.常用推论 幂指式clogab=升logab 负底数：logb=-1ogab 化归：同底化归为一个对数式 凑整：利用1g2+lg5=1 5.运算技巧 颜倒相乘1ogab.logba=1 顺序：多重对数由内向外逐层化简 理新知 教材全盘梳理 2/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点 对数的概念 1、对数的定义：一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即a°=N,那么称b是以a为底N的对数， 记作b=loga N,其中，a叫做对数的底数，N叫做真数. 2、几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0且a≠1) log N 常用对数 底数为10 lg N 自然对数 底数为e In N 3、对数的性质（当a>0且a≠1时） (1)指数与对数的关系：a=N一x=logN (2)logo1=0 logaa=1: (3)aloBN=N: (4)log aN=N. 特别提醒 并非所有a=N都可以化为对数，注意a>0且a≠1时才可以。 7随学随练 a+l 1. (26-27高一上江苏·期中)己知 =1g,3则 的值为() A.6 B.2 C.2 D.3 知识点2 对数的运算法测 1、运算性质(a>0且a≠1，M>0,N>0): 指数的运算法则 对数的运算法则 指数与对数对 am.a”=am+n log MN=log M+l0g N 3/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 应的运算法则 = 0分 M=log M-log.N loga N am"=amn logM"=nlog。M 2、拓展的公式 回lglg,m-lg,mm>0t ②1ogRm=log.mP=2log。mlm,>,0,p∈N,p>1 3、换底公式 log,b=log.b log a (a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0) 换底公式几个常用的推论 (1)logac= logc 1 log a logca (logblocobcga1 lga Igb lgc 月1s5-g,-ng2-a1bs,b log。am mlog。am (④logb=log。b"=logb. (5)log1b=-log。b 4、常用的运算技巧 (1)对于同底对数式的求值，可先利用对数的运算法则将式子化归为一个对数式，再运用对数的性质求值， (2)对常用对数的化简要充分利用“g5+lg2=1”来求值. (3)logb·l0gba=1的应用：若两个对数“底数与真数颠倒相乘”，直接用此式化简： (4)对含有多重对数符号的对数，应由内向外逐层化简. 随学随练 1.(2627高三上安微宇用阶段检测)e2y+0g,5 log210 -0-ee2石=() A.2 B.1 C.-1 D.0 4/10 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 通题型 解题能力构建 题型 对数的概念 ■例1(2026高一全国专题练习)在b=log(5-a)中，实数a的取值范围是() A.a>5或a<0 B.0<a<1或l<a<5 c.0<a<1 D.1<a<5 ■例2(26-27高一上全国课前预习)使式子l1og(-3a+5)有意义的a的取值范围是() 5 A 00, B 3 0 D. 解题贴士 解对数有意义问题，只需抓住两条：底数大于0且不等于1，真数大于0。列不等式组求解，注意底数 含参数时需分类排除等于1的情况。 ■对点练1-1(25-26高一上上海宝山期中)若n(5-a)有意义，则实数a的取值范围是 【对点练12对数l1og(5-a叫中实数a的取值范围是() A.（-o,5) B.（-3,5) c.（-3,-2U(-2,5)D.（-3,+∞) 题型 指数与对数的互化 1例1(26-27高一上全国课堂例题)3=2026化为对数式是() A.l0g63=2026 B.log;2026=b C.log2026b=3 D.log20263=b 1例2(26-27高-上：全国课堂例爱)已知1og:164,则 解题贴士 指数式与对数式互化是关键：a”°=N一b=l·g。N。遇到多重对数，由内向外逐层脱去对数符号，先 化为指数式再逐层求解。 logx=3 对点练11(26-27高一上全国·课后作业)已知2，得x3= 5/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■对点练1-226-27高一上·全国课堂例题)求下列各式中的x值. (1)log2 (logs x)=0. (2)log2(1gx)=1; (3)l1o8a-(2+1)=x 题型 3 对数运算性质的应用 ■例1(26-27高一上安徽阜阳阶段检测)计算10g28+ -2° 的值为() A.5 B.6 C.7 D.8 9 1例2(26-27高一上·浙江嘉兴期中)计算：-10g2+ +1g,18+e号 解题贴士 先观察能否用积、商、幂的对数性质合并或拆分化简。常用g2+lg5=1配凑，把不同底统一后再计 算，注意指数幂与对数混合时先分别化简。 ■对点练1-1(26-27高一上江苏扬州阶段检测) +1og24+lg25+lg4+23+3-27y= ■对点练1-2(26-27高一上江苏连云港阶段检测)计算： (1)log2 6+logos 3+In 2+In0.5 (2)el3+logJ/s25+ 13 8 3)(g2)°+(1g5)°+3g2-3(g2)月 题型 换底公式的应用 6/10 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ■例1(26-27高三上重庆九龙坡开学考试)计算： 0.1253+ 64)° 27 1og225×log34×log59= 1例2 解题贴士 底数不同时统一换成同底（常用lg或ln),连乘式往往可约分。记住推论l0gab·l0gba=1与 1ogrb”=巴1ogb,可快速化简 m ■对点练1-1(25-26高二下云南学业考试真题)1og,7log,25=() A.1 B.2 C.5 D.7 1对点练1-2 题型 对数式条件求值 ■例1(25-26高一上·天津河西阶段检测)a,beR,log,a=logb=l1og16(a+b),则。 【例2(25-26高一上福建三明期末)己知2°=3，l1og25=b,则22-b的值为() 9 A.45 B.5 5 C. D. 5 解题贴士 设公共对数值为t,把各量用表示，指对互化后建立方程（常为二次方程）求解。注意舍去不合题意 的根，最后代回所求式子。 【对点练1-1(26-27高一上江苏期中)设a=log23,b=log,2,则l0gs24=（) A a+3 b(a+3) B a+b a+b a+3 b(a+3) C. ab+l D.ab+l 1g3 ■对点练1-2(26-27高三上山东潍坊阶段检测)己已知1og,3=a,1og25=b,则g2 () A. B.b C. D.ab 7/10 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型 指对同构 ■例1(2026高一上全国专题练习)指底对换法则： alog,h=blog, a=a,则a-(）=(（e=be 20a2)-(n24)h20=（） A.0 B.1 C.2024 D.2025 1例2(25-26高一下江苏南京阶段检测)已知实数，满足：+=3，+xh为，=e,则 +e 解题贴士 将等式变形为两边结构相同的形式，构造同一函数fx(如fx=+x),利用其单调性得到自变 量相等。核心是"同构+单调性”，把复杂方程转化为简单关系式。 I对点练1-1(25-26高一上四川凉山期末)已知a>e,是关于x的方程e+(1-)x-lha=lr的解， to+ 则 = K I对点练12(25-26高一上辽宁阶段检测)已知a>0,b>1,ae=a+3,bnb=hb+1,则a(6- 刷好题 课时巩固精炼 基础通关 1. (26-27高三上贵州毕节阶段检测)若logx=165-6,则x= 2.(26-27高一上江苏期中)计算： 32.2 2 (1)5 +273 26 1log,12-log23+1og,39 (2)10g48 8/10 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)g2)2+(g5)2+ 2 og210+log510 3.(25-26高一上江西南昌期中)己知log22(3x2+2x-)=1,则x= 4.(26-27高一上·全国课堂例题)求下列各式中x的值. (1)log2(og4x)=0: (2)log(gx)=1: 1 3)18-3+22 =x 5.(26-27高一上：江苏宿迁·阶段检测)计算： abe0-loe25+lga-lg,14, -++0e7 11 如素养提升 1.(26-27高一上江苏期中)（多选）设m,n>1,a=log2m,b=1og4n,则下列结论正确的是 () A.log,(mn)=a+2b B.log m=a+2b C.log n=b a D.lom≤g 2.(26-27高二上贵州遵义·阶段检测)已知1ogb+410g.a=4,则6的值为 3.(26-27高一上江苏南京阶段检测)（多选）己知10°=2，g3=b,则下列说法正确的是() A.a=1g2 B.1g9=2b C.lg5=1+a D.1og3-8 4.(26-27高一上·上海普陀阶段检测)已知a=log,2,b=l0g,8,则32a-b= 20. 5.(26-27高一上江苏连云港阶段检测)设g2=a,g3=b,则g108= ·(用含a,b的 式子表示) 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26高一上湖南邵阳阶段检测)己知2°=5,10g89=b,则4-3×4=（) A.8 B.6 C.4 D.2 7(6高一上江6幸行阶段孩即已如2-少-子。2，则t 8.(26-27高三上广东深圳阶段检测)下列运算正确的是() A.(2-π)2=2-π B.log2 5-l0g2 3=1 C.10g2=-2 D.log2 310g,5l0gs 8=3 9.(26-27高一上·上海期中)若10=2,10'=5，则不正确的是() A.x+y=1 B.y>2x c. Dw对 10,(25-26高一上~山东潍坊阶段检测)已知x’y∈R且满足x+221=1?4y+1og2y=0,则2+y= 10/10