精品解析：新疆维吾尔自治区喀什第二中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

高二数学 满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 点和点的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的焦距等于4，则其离心率为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 2 4. 已知方程表示圆，则其圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则线段的垂直平分线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知两条动直线和交于点，则点的轨迹方程为（ ） A. B. （去除） C. D. （去除） 7. 已知圆，直线恒过定点，过点作直线与圆相交于点，．当最小时，的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（ ） A. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，直线，则下列说法正确的有（ ） A. 存在使得直线的倾斜角为 B. 若，则或 C. 存在实数使得 D. 对任意的，与都不重合 10. 若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线的方向向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，在平行六面体中，，，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知、、三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的点与，，三点共面，则__________． 13. 若直线，直线，则与间的距离为________． 14. 在棱长为1的正方体中，点满足，，则的最小值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 直线经过两直线和的交点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 16. 已知直线过，两点． （1）求直线的方程； （2）若过点的直线与线段总有公共点，求直线倾斜角的取值范围． 17. 已知圆与圆相交于，两点． （1）判断两圆公切线的条数； （2）求两圆公共弦所在直线的方程； （3）求线段的长． 18. 如图，四边形为正方形，平面，，，． （1）证明:； （2）求异面直线和所成角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，射线与椭圆交于点，的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于，两点（异于点），且，证明：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先将原方程转化为标准的椭圆的方程，再确定焦点所在轴以及对应的，由椭圆参数关系求得，进而可得到焦点坐标. 【详解】，因为，所以焦点在轴上， 可得，，所以，即， 所以焦点坐标为，. 2. 点和点的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知点和点， 则中点坐标为. 3. 已知椭圆的焦距等于4，则其离心率为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据焦点可能在轴或轴上进行分类讨论，利用关系式分别求出对应的，再通过公式计算出离心率. 【详解】由题意得，即， 若，此时焦点在轴上，， 则有，解得，即， 此时， 若，此时焦点在轴上，， 则有，解得，即， 此时， 综上，椭圆的离心率为或. 4. 已知方程表示圆，则其圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的一般方程的特征，求解圆心坐标. 【详解】由圆的一般方程，其圆心坐标为. 可得圆的方程，对应， 代入公式计算可得：圆心横坐标为，纵坐标为， 因此圆心坐标为. 5. 已知，，则线段的垂直平分线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设中点为，已知，，则，， 设线段的垂直平分线为,直线过点，且，， 根据直线点斜式方程：， 化简得：. 6. 已知两条动直线和交于点，则点的轨迹方程为（ ） A. B. （去除） C. D. （去除） 【答案】B 【解析】 【详解】易知直线恒过定点，直线恒过定点， 且两直线互相垂直，其中的斜率不为0，的斜率一定存在， 所以点的轨迹是以为直径的圆（去除）， 圆心为的中点，半径为， 所以圆的方程为， 整理可得（去除）. 7. 已知圆，直线恒过定点，过点作直线与圆相交于点，．当最小时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出定点坐标，作出图形，分析可知当时，即当为的中点时，圆心到直线的距离取最大值，利用勾股定理求出的值，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】， 从而，所以定点坐标为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由平面内两点间的距离公式可得， 设点到直线的距离为，则，当且仅当时，即当为的中点时，等号成立， 故的最大值为，此时取最小值，且最小值为， 此时的面积为. 8. 设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（ ） A. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 【答案】C 【解析】 【分析】设点的坐标，然后根据列出等式，代入圆的方程中即可得到的轨迹为椭圆. 【详解】设，则， 所以. 因为，所以 代入，得，即， 则动点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆. 故选：C. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，直线，则下列说法正确的有（ ） A. 存在使得直线的倾斜角为 B. 若，则或 C. 存在实数使得 D. 对任意的，与都不重合 【答案】AC 【解析】 【分析】当时可得A；当时，两直线重合、可得B、D；令，计算可得C. 【详解】对A：当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，故A正确； 对B：若，则有，解得或， 当时，两直线分别为、， 两直线重合，不符； 当时，两直线分别为、，符合题意； 故，故B错误； 对C：令，解得， 故存在实数使得，故C正确； 对D：由B知，当时，两直线重合，故D错误. 10. 若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线的方向向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A.向量模长直接代入坐标计算；B.两平面平行，要求两个法向量三个分量全部对应成比例；C.线面垂直等价于直线方向向量和平面法向量共线，分量比例系数要统一；D.方向向量与法向量垂直，只能说明直线平行平面或直线在平面内，不能直接判定线面平行. 【详解】选项 A，当 时， ，故，A 正确； 选项 B，为平面的法向量，为平面的法向量， 因为，所以它们的法向量不共线，因此与不平行，B 错误； 选项 C，直线与平面垂直的充要条件是它的方向向量与该平面的法向量共线， 设 ，则， 所以，，，解得 ，，C 正确； 选项 D，，当 时 ， 方向向量与法向量垂直，此时可能是 ，也可能是 ，D 错误. 11. 如图，在平行六面体中，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】平行六面体的体对角线向量是从同一点出发三条棱向量之和，根据向量数量积判断垂直、求模长，同时找准向量夹角. 【详解】选项：， 选项：， 选项：，， ， 选项： ， . 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知、、三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的点与，，三点共面，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，与，，三点共面， 所以，解得． 13. 若直线，直线，则与间的距离为________． 【答案】 【解析】 【详解】易知直线与直线平行， 因此两直线间的距离为. 14. 在棱长为1的正方体中，点满足，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】点的轨迹是线段，将等边三角形翻折到与面共面时，由余弦定理即可求解. 【详解】点满足，，所以点的轨迹是线段， 因为，因此，且. 在面中，，是等边三角形， 因此，且. 将面和面沿公共棱翻折到同一平面， 此时展开后. 根据两点之间线段最短，此时线段的长度就是的最小值， 由余弦定理可得：， ， 所以的最小值为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 直线经过两直线和的交点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）联立方程求交点坐标，根据垂直关系可得直线的斜率为，即可得直线方程； （2）分类讨论直线的斜率是否存在，根据点到直线的距离公式运算求解即可. 【小问1详解】 联立方程，解得，，即交点坐标为， 因为直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 【小问2详解】 圆的圆心为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 16. 已知直线过，两点． （1）求直线的方程； （2）若过点的直线与线段总有公共点，求直线倾斜角的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设直线的方程为， 将，两点代入， 得，解得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 如图，结合斜率公式可得： 直线的斜率，其倾斜角为； 直线的斜率，其倾斜角为. 因为直线与线段总有公共点，则斜率k的取值范围为． 设直线的倾斜角为，当时，因为，，此时直线从直线的位置逆时针旋转，则此时的取值范围为； 当时，因为，， 则此时的取值范围为． 综上可得，． 17. 已知圆与圆相交于，两点． （1）判断两圆公切线的条数； （2）求两圆公共弦所在直线的方程； （3）求线段的长． 【答案】（1）两条 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由两圆相交，即可判断； （2）联立方程，相减即可求解； （3）由（2）得直线的方程，与圆方程联立，求出点坐标，利用两点间距离公式即可求解. 【小问1详解】 因为两圆相交，所以两圆有两条公切线； 【小问2详解】 联立， 两式相减，得到， 即直线AB的方程为； 【小问3详解】 由（2）知直线的方程为， 联立，可得或， 则. 18. 如图，四边形为正方形，平面，，，． （1）证明:； （2）求异面直线和所成角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以． 又因为四边形为正方形，所以， 因为，，平面，所以平面， 又因平面，所以； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直证平面，结合平面即可得证； （2）由可得异面直线和所成角为或其补角，利用即可求解； （3）建系求平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因，则异面直线和所成角为或其补角， 又因平面，可得， 由题易得，，所以， 故． 【小问3详解】 由题意可设为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系， 如图，则，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则有， 令，则，，则， 设直线与平面的夹角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，射线与椭圆交于点，的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于，两点（异于点），且，证明：直线过定点． 【答案】（1）； （2）证明：法一：当直线斜率存在时，如图，设直线方程为，，， 由消去得， ，即， 则，， 而 ， 由，得，解得， 则直线：过点； 当直线斜率不存在时，，， 由，得，解得， 直线：也过点． 综上，直线过定点． 法二：若直线斜率不为零，设直线方程为，，， 由消去得， ，即， 则，， 所以，， 而， 所以， 所以， 即， 即， 整理得， 令，则，此时直线方程为，过定点，不符合题意， 所以，即， 则直线方程为， 所以直线过定点． 若直线斜率为，设直线方程为：，联立椭圆方程可得， 故， 则， 即，也即，解得，或. 若，直线过点，不满足题意；若，此时直线也过点； 综上所述，直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据，结合点的坐标满足椭圆方程，即可求得，进而求得椭圆方程； （2）法一：直线斜率存在时，设方程为，联立椭圆方程消去，得到关于的一元二次方程，写出韦达定理；再将，转化为，代入韦达定理，求得为定值，即可求得直线恒过的定点，再补充说明斜率不存在的情况即可；法二：直线的斜率不为时，设直线方程为，与法一相同处理思路，求得关系，即可求得恒过的定点，再补充说明斜率为的情况即可. 【小问1详解】 的周长为，也即， 解得，则； 又椭圆过点，则，也即，解得； 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $