精品解析：广东省东莞高级中学等五校2025-2026学年高二上学期联考数学试题

2025-2026学年度第一学期五校联考 高二数学 命题人：东莞市第一中学古伯纯 审题人：东莞市第一中学王延凤、刘世胜 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的规律性进行判断即可. 【详解】根据数列的规律，奇数项为负数，偶数项为正数，第项的数字是，结合正负性， 所以该数列的一个通项公式为. 故选：D. 2. 若等差数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差中项的性质进行计算. 【详解】因为是等差数列，所以. 故选：B 3. 如图，已知平行六面体，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加减运算进行求解即可. 【详解】因为平行六面体， 所以，， 所以. 故选：C. 4. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标表示进行求解即可. 【详解】因为， 所以，解得. 所以. 故选：B. 5. 中心在原点，顶点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可求出直线与轴的交点，得到双曲线的焦点，再根据条件双曲线为等轴双曲线即可得出结论． 【详解】因为双曲线的中心在原点，顶点在轴上，所以双曲线的焦点在轴上， 又因为双曲线的一个焦点在直线上，令，得， 所以，又，所以等轴双曲线的方程为. 故选：D. 6. 若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点的坐标为，利用两点间的距离公式代入等式，化简整理得，所以点的轨迹是一个圆，求出圆的半径利用圆面积公式，即可算出所求图形的面积． 【详解】设点的坐标为，∵，，动点满足， ∴，两边平方化简得， ∴点的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 因此，点的轨迹所包围的图形的面积． 故选：D 7. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，焦距为4，若直线与椭圆交于点M，满足，则离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直线过定点求出，进而可判定为直角三角形，根据椭圆的定义即可求出，进而可求出椭圆的离心率. 【详解】因为焦距为4，所以，所以. 因为直线过点，斜率为，所以， 那么，所以为直角三角形， 所以. 根据椭圆定义得，所以. 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 8. 如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得的三条曲线及抛物线围成的，则下列说法错误的是（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. 四叶图上的点到点的距离的最大值为 C. 四叶图的面积小于6 D. 动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点A的坐标，即得四叶图上的点到点的距离的最大值；对于CD，由图像对称性，当与平行的直线分别与抛物线相切时的弦取得最大，利用导数几何意义可求切点，根据对称性再得到，即可求弦长最大值，又第一象限花瓣一半的面积小于与的差，所以求出与的差，即可判断阴影区域面积小于6. 【详解】由题知，开口向右的抛物线方程为，焦点， 所以开口向上的抛物线方程为，即，故A正确； 又，所以， 所以四叶图上的点到点的距离的最大值，故B正确； ，且在第一象限的区域关对称，直线与直线垂直， 所以在第一象限花瓣的弦长最大时，即作与平行的直线分别与抛物线相切时， 设切点为，开口向上的抛物线方程为， 又，所以切点，由对称可得切点， 此时弦长最大值，故D错误； 切线的方程为，与轴交点， 过点的切线方程为，与轴交点，与切线的交点， 由图知第一象限花瓣一半的面积小于与的差， ， 所以阴影区域面积小于，故C正确； 故答案为：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确有（ ） A. 已知直线：，始终过定点 B. 直线在轴上的截距是2 C. 直线的倾斜角为 D. 过点并且倾斜角为直线方程 【答案】AD 【解析】 【分析】代入验证可判定A；根据纵截距的定义可判定B；根据直线的斜率与倾斜角的关系可以判定C；根据倾斜角为的直线斜率不存在，方程为的形式，进而可以判定D. 【详解】对于A，∵，可知A正确； 对于B，由直线的斜截式方程可知，直线在轴上的截距是，B不正确； 对于C，由方程可得直线的斜率为，可知倾斜角为60°，故C错误； 对于D，根据倾斜角为90°的直线斜率不存在，方程为的形式， 再根据经过点，∴直线的方程为，故D正确. 故选：AD 10. 已知平面与平面的法向量分别是，直线的方向向量为，则下列命题正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由已知可得，从而得，即可判断；对于B，由已知可得，即可判断；对于C，由已知可得或，即可判断；对于D，由已知可得或，即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，因为，，所以，即，故B正确； 对于C，因为，所以， 又因为，所以或，故C错误； 对于D，，所以，又因为， 所以或，故D错误. 故选：AB. 11. 已知曲线：，则下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则曲线表示圆，且半径为 B. 若，则曲线表示双曲线，且渐近线为 C. 若，，则曲线表示两条直线 D. 若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合已知条件及圆锥曲线方程逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：若，方程可化为，符合圆的标准方程，其中圆心坐标为，半径为，故选项A正确. 选项B：若，则、一正一负，此时曲线为双曲线. 若，，方程可化为，渐近线为； 若，，方程可化为，渐近线为； 故选项B错误. 选项C：若，，方程可化为，即，表示两条平行于轴的直线，故选项C正确. 选项D：若，方程可化为，由得，所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两平行直线和的距离为_____． 【答案】##0.9 【解析】 【分析】直线与直线为平行线，根据两平行线间的距离公式即可求得答案． 【详解】将直线，化简为， 与是平行线， 根据两平行线间的距离公式得， 两平行线间的距离为． 故答案为：． 13. 已知点在抛物线C：上，则点A到抛物线C的准线的距离为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】将点代入抛物线方程，求出及准线方程，进而可得出答案. 【详解】因为在抛物线C：上， 所以，解得， 故抛物线C的准线为， 所以点A到抛物线C的准线的距离为. 故答案为：. 14. 下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每一行和每一列都分别是等差数列．记第行第列的数为（其中），则________，数字在表中总计出现________次． 13 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“森德拉姆数筛”的特点可写出通项公式，进而可得及出现的次数. 【详解】由已知， 所以， 令， 则， 又， 设与所表示的数对为， 则其可能的取值有，，，，，，，，，，，，，，，共有个， 即数字共出现次， 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列前项和为． （1）试写出数列的前3项，并判断数列是否等差数列； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1）2；3；5，数列不是等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）利用求出数列前3项，根据等差数列定义判断是否满足即可. （2）令，求出，利用求出，并验证是否满足即可. 【小问1详解】 由得， ， ， ， ， 因为， 所以数列不是等差数列． 【小问2详解】 当时，； 当时，； 验证时，，不满足上式， 所以． 16. 已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. （1）求圆的方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（１）设圆的方程为，根据已知条件列出方程组求解即得； （２）分斜率存在与否，利用直线与圆相切的条件求解. 【小问1详解】 设圆的方程为， 则解得 所以圆的方程为，即. 【小问2详解】 因为直线被圆截得的弦长为6， 所以圆心到直线距离. 当的斜率不存在时，直线方程为，符合题意. 当的斜率存在时，设直线方程为，即 则.解得. 此时直线方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 17. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 【答案】(1)；(2)7. 【解析】 【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：， 设等差数列的公差为，从而有：， ， 从而：，由于公差不为零，故：， 数列的通项公式为：. (2)由数列的通项公式可得：，则：， 则不等式即：，整理可得：， 解得：或，又为正整数，故的最小值为. 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用. 18. 在正四棱柱中，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）若为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求的长. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3） 【解析】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，（1）求出平面的法向量，利用证明即可； （2）利用即可证明；（3）设点的坐标为(1，1，)，由线面角公式可求出，即可利用向量的模求的长. 【详解】如图建立空间直角坐标系， (0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，(1，0，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，(0，0，2)，(0，1，1) （1）证明：设平面的法向量(，，)， (1，1，0)，(0，1，1) 由，即， 取，得(1，-1，1)， 又(-1，1，2)， 因为，所以， 所以平面. （2）证明：由（1）可知(1，-1，1)， (-1，1，-1)，，所以， 所以平面. （3）设点的坐标为(1，1，)， (0，1，)， 设直线与平面所成角为，则 ， 解得， 所以点的坐标为(1，1，1)，(1，1，1)，， 所以的长为. 【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直，线面平行，线面角，线段的长，考查了运算能力，属于中档题. 19. 已知椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程； （3）如图，直线为椭圆与抛物线的公切线，其中点分别在椭圆与抛物线上，线段交于点，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由题意列式求解的值，代入可解； （2）解法一：设直线的方程为，由弦长公式列式计算可解；解法二：由椭圆的长轴长，先证得椭圆在圆内，再证明长轴是最长的弦，且唯一即可求解； （3）直线的方程为，直线与椭圆联立方程由题意可得，直线与抛物线方程联立方程由题意可得，进而可得直线，直线与椭圆联立方程可得，，由点到直线距离公式及三角形面积公式列式结合基本不等式计算可解. 【小问1详解】 由题意可得，即． 因为椭圆的离心率为，所以，所以， 所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 解法一：显然直线的斜率存在， 设过点的直线的方程为， 联立方程 消去整理得， 则，即． 设，， 则，， 由弦长公式可得 解得或（舍）， 所以，即直线的方程为． 解法二：椭圆的长轴长， 又椭圆中，长轴为最长的弦，且唯一，而， 所以线段为长轴， 又点在长轴所在的直线轴上，所以直线的方程为． 以下证明椭圆中，长轴是最长的弦，且唯一： 任取椭圆上一点，则，所以 所以， 所以，所以椭圆上任一点均在圆内， 当且仅当时取等号，即点在圆上， 即椭圆在圆内， 如图，设是椭圆上的任一条弦， 直线交圆于两点，则， 当且仅当是椭圆的长轴时，取最大值． 所以，椭圆中，长轴是最长的弦，且唯一． 【小问3详解】 设，，直线的方程为，不妨取，． 联立 整理得①， 则， 所以．将其代入①式，得， 解得，所以． 联立整理得②， 则，所以． 将其代入②式，解方程得， 所以，所以． 由可得，所以， 所以直线．联立整理得， 所以，， 所以点到的距离为， 所以， 令， 则 ， 当且仅当，即时取等号． 由椭圆和抛物线的对称性， 可知当，，最小值也是． 综上，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期五校联考 高二数学 命题人：东莞市第一中学古伯纯 审题人：东莞市第一中学王延凤、刘世胜 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 若等差数列满足，则（ ） A B. C. D. 3. 如图，已知平行六面体，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 中心在原点，顶点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（     ） A. B. C. D. 6. 若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆（）左、右焦点分别为，，焦距为4，若直线与椭圆交于点M，满足，则离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得的三条曲线及抛物线围成的，则下列说法错误的是（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. 四叶图上点到点的距离的最大值为 C. 四叶图的面积小于6 D. 动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 已知直线：，始终过定点 B. 直线在轴上的截距是2 C. 直线的倾斜角为 D. 过点并且倾斜角为的直线方程 10. 已知平面与平面的法向量分别是，直线的方向向量为，则下列命题正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知曲线：，则下列命题中，正确是（ ） A. 若，则曲线表示圆，且半径 B. 若，则曲线表示双曲线，且渐近线为 C. 若，，则曲线表示两条直线 D. 若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两平行直线和的距离为_____． 13. 已知点在抛物线C：上，则点A到抛物线C的准线的距离为__________． 14. 下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每一行和每一列都分别是等差数列．记第行第列的数为（其中），则________，数字在表中总计出现________次． 13 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列前项和为． （1）试写出数列的前3项，并判断数列是否等差数列； （2）求数列的通项公式． 16. 已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. （1）求圆的方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 17. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 18. 在正四棱柱中，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）若为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求的长. 19. 已知椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程； （3）如图，直线为椭圆与抛物线的公切线，其中点分别在椭圆与抛物线上，线段交于点，求的面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $