广东深圳市龙津中学2026-2027学年第一学期高二期中考试数学试卷

2026—2027学年第一学期期中考试 高二年级数学学科 本卷满分150分，考试时间120分钟。 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 2．若二元二次方程表示圆，则实数可能的值为（     ） A． B． C． D． 3．椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 4．设，已知直线：，：，若“”，则（     ） A． B． C．或 D． 5．已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 7．已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 8．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线，一条平行于轴的光线从点发出，经上的点反射后，再经上的另一点反射经过点射出，若，则点的横坐标为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，不选或者错选不得分. 9．曲线C：，下列结论正确的有（   ） A．若，则曲线C的渐近线为 B．若曲线C表示圆，则该圆的半径为 C．若曲线C表示椭圆，则 D．若曲线C表示双曲线，则或 10．已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法中正确的是（    ） A．， B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着个点到直线的距离为 11．如图，双曲线的左右焦点分别为，，过的直线l与其右支交于P，Q两点，已知且，则下列说法正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为3 C． D．的面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 13.已知动点在圆上，则的取值范围是_______. 14.已知分别为双曲线的左､右焦点，在上，其中在第一象限，在第二象限，直线过，且关于直线对称，则四边形的面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算过程. 15．（13分）三角形的顶点是， 求： (1)边所在直线的方程． (2)边的垂直平分线的方程． 16．（15分）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆所截得弦长为6，求直线的方程. 17．（15分）圆，过点作直线， (1)若直线为圆的切线，求直线的方程； (2)若直线与圆交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程. 18．（17分）已知椭圆的右焦点为，长轴为. (1)求椭圆的方程； (2)设经过点的直线不与坐标轴垂直，直线与椭圆相交于点，且线段的中点为 ，经过坐标原点作射线与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求直线的斜率． 19．（17分）已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限． (1)抛物线上一点到准线距离为4，求点到轴的距离； (2)直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； (3)是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026一2027学年第一学期期中考试 高二年级数学学科 本卷满分150分，考试时间120分钟。 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.直线4x-3y+1=0的一个方向向量是() A.(-4,3) B.(-3,4) C.(3,4) D.(4,3) 2.若二元二次方程x2+y2一2x+6y+m=0表示圆，则实数m可能的值为() A.9 B.10 C.11 D.12 3.椭圆x2+4y2=4的离心率为（) A.9 B.V3 2 C.v3 3 D.月 4.设a∈R,己知直线l1:ax+3y-2=0,l2:6x+(a-3)y+4=0,若L1/儿2”，则a=() A.a=6 B.a=-3 C.a=6或a=-3 D. 5.己知A(-7,0),B(7,0),若BC-|AC1=10,则点C的轨迹方程为() A.异-若=10c≥26 B.若器-10e之5) c.#-若=10c≤-2同 D.茶=1c≤- 6.设点A(4,-3),B(-2,-2),直线过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取 值范围是() B.k≥1或k≤-手 B A.k≥1或k≤-4 C.-4≤k≤1 D.-≤k≤-1 7.己知焦点在x轴上的椭圆二 +罗=1的一条弦所在的直线方程是x-y十5=0，弦的中点坐标是M-4), 则椭圆的短半轴长为() A.16 B.8 C.4 D.2 8.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之， 平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线M:y2=4x,一条平行于x 轴的光线从点A(3,1)发出，经M上的点B反射后，再经M上的另一点C反射经过D点射出，若|AB|+|BC|+ ICD=12,则点D的横坐标为() A.4 B.5 C.6 D.7 试卷第1页（共4页） 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合 题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或者错选不得分 9.曲线C:品+六=1(mc).下列结论正确的有() A.若m=4,则曲线C的渐近线为y=士V5x B.若曲线C表示圆，则该圆的半径为V2 C.若曲线C表示椭圆，则-1<m<3 D.若曲线C表示双曲线，则m<-1或m>3 10.已知直线：kx-y-k=0,圆M:x2+y2+Dx+Ey+1=0的圆心坐标为(2,1)，则下列说法中正确 的是() A.D=-4,E=-2 B.对Vk∈R,直线I与圆M一定相交 C.直线l被圆M截得的最短弦长为2V3 D.当k=一1时，圆M上存在着4个点到直线的距离为 1,如图，双曲线E号-益=1a>0,b>0)的左有焦点分别为F1,F2,过F,的直线1与其右支交于P,Q 两点，己知PF=2PF2且∠PF1F2=∠F1QP,则下列说法正确的是() A.△PF1F2∽△PQF1 B.双曲线的离心率为3 C.Cos4PF1F2= 7 D.△PQF1的面积为4W15a2 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.圆0：x2+y2=1上的点到直线：3x-4y+15=0的距离的最小值为 13.已知动点P(x,y)在圆x2+y2=1上，则2x+y的取值范围是 14己知R,B,分别为双曲线B:x-二-1b>0)的左、右焦点，P,2,R在E上，其中2在第一象限，R在 8 第二象限，直线Pe过耳，且耳，R关于直线PQ对称，则四边形PRQE的面积为 试卷第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算过程 15.(13分)三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求： (I)边AC所在直线的方程 (2)边AC的垂直平分线的方程. A 2C(0,2) A(-5,0) M -5 O 3 31 B(3,-3) 16.(15分)已知圆C经过点A(2,1)和B(4,-1),且圆心C在直线：x+y+1=0上. (1)求圆C的标准方程： (2)若过点D(0,2)的直线m被圆C所截得弦长为6，求直线m的方程. 17.(15分)圆C:x2+y2-4x-6y+12=0,过点(1,1)作直线l, (1)若直线为圆C的切线，求直线的方程： (2)若直线与圆C交于M,N两点，当△CMW的面积最大时，求直线的方程. 试卷第3页（共4页） 18、(17分)已知椭圆c号+器=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),长轴为2W2 (1)求椭圆C的方程： (2)设经过点F的直线不与坐标轴垂直，直线与椭圆C相交于点A,B,且线段AB的中点为M，,经过坐标原点 O作射线OM与椭圆C交于点N,若四边形OANB为平行四边形，求直线的斜率， 19.(17分)已知抛物线H:y2=4x的焦点为F,过点(2,0)的直线与抛物线H交于A,B两点，点A在第一 象限， (1)抛物线H上一点P到准线距离为4，求点P到x轴的距离： (2)直线FB与抛物线H的另一个交点为T,当TA=V13时，求直线AB的方程： (3)是否存在定点Q,使得直线AQ与BQ斜率互为相反数，如果存在，请求出点Q的坐标：如果不存在，请说 明理由. 试卷第4页（共4页）2026一2027学年第一学期期中考试 高二年级数学学科 本卷满分150分，考试时间120分钟。 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.直线4x-3y+1=0的一个方向向量是() A.(-43) B.(-3,4) C.(3,4) D.(4,3) 【答案】C 【分析】根据方向向量的定义可得直线4x-3)+1=0的一个方向向量为(1，) 通过判断各选项中的向 量与(1，)是否共线，可得正确选项。 【详解】由4-3y+1=0,得y=x+号 所以直线4比-3y+1=0的斜率为 所以直线4-3y+1=0的一个方向向量为(1，) 对于A,-4×等≠3×1，所以(-43)与(1，)不共线，所以A不正确： 对于B,-3×专≠4×1，所以(-3,4与(1，)不共线，所以B不正确： 对于C,3,4)=3(1,)所以3,4与(1，)共线，所以C正确： 对于D,4×等≠3×1，所以(43)与(1，)不共线，所以D不正确， 故选：C 2.若二元二次方程x2+y2-2x+6y+m=0表示圆，则实数m可能的值为() A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】A 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件求解 【详解】因为二元二次方程x2+y2-2x+6y+m=0表示圆， 所以(-2)2+62-4m>0,解得m<10, 即实数m的取值范围为m<10 3.椭圆x2+4y2=4的离心率为（) A.9 B.9 c. D. 试卷第1页（共13页） 【答案】B 【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由离心率定义即可求解。 【详解】将原方程x2+4y2=4,整理得标准形式：号+y2=1, 因此a2=4,b2=1,得a=2; 根据椭圆关系c2=a2-b2,代入得c2=4-1=3,即c=V3, 离心率e= 4.设a∈R,己知直线l1:ax+3y-2=0,2:6x+(a-3)y+4=0,若“l1/2”,则a=() A.a=6 B.a=-3 C.a=6或a=-3 D.} 【答案】A 【分析】若“L1/2”,则a(a-3)=18,注意验证直线是否重合. 【详解】若l1/2”,则a(a-3)=18,解得a=-3或a=6, 当a=-3时，直线l1:-3x+3y-2=0即3x-3y+2=0,l2:6x-6y+4=0即3x-3y+2=0, 此时直线l1与l2重合： 当a=6时，直线l1:6x+3y-2=0,l2:6x+3y+4=0,此时l1/八2. 5.己知A(-7,0),B(7,0),若1BC|-1AC1=10,则点C的轨迹方程为() A.元-若=16c≥2同 B.茶-器=162) c.元若=1e≤-26 D.荒云=1e≤-可 【答案】D 【详解】由A(-7,0),B(7,0),BCl-|AC1=10及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为后-兰-1a>0,b>0), 所以2a=10,Va2+b2=7,解得a=5,b2=24, 所以点c的轨迹方程为污茶=1：≤5)， 6.设点A(4,-3),B(-2,-2),直线过点P(1,1)且与线段AB相交，则的斜率k的取值范围是() A.k≥1或k≤-4 B.k≥1或k≤-号 C.-4≤k≤1 D.-≤k≤-1 【答案】B 【详解】已知P(1,1),A〔4-3)，由两点斜率公式得kA==一寺 已知P1,1,8(-2,-2),同理得k8=号1 试卷第2页（共13页） 直线过定点P,当绕点P旋转时，若直线与线段AB相交， 结合图象分析可得：k≥kPB或k≤k4,即k≥1或k≤-手 7.已知焦点在x轴上的椭圆产+罗=1的一条弦所在的直线方程是x一y十5=0，弦的中点坐标是M(-41), 64 则椭圆的短半轴长为() A.16 B.8 C.4 D.2 【答案】C 【分析】运用作差法、中点坐标公式及直线斜率求解即可. 【详解】设直线x-y+5=0与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意得x1+x2=-8,y1+y2=2, 直线AB的斜率为k=y2=边=1， x2-x1 由 焦+9-1 两式相减得+21-2++20-2=0， +-1 64 b2 所以=-2×+2=1，即-号x X2一x1 64y1+y2 ×=1，所以b2=16,即6=4 所以椭圆的短半轴长为4. 8.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之， 平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.己知抛物线M:y2=4x,一条平行于x 轴的光线从点A(3,1)发出，经M上的点B反射后，再经M上的一点C反射经过D点射出，若|AB|+IBC|+ 1CD1=12,则点D的横坐标为() A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】D 【分析】利用抛物线的光学性质：平行于对称轴的光线经抛物线反射后必过焦点.结合抛物线的定义，将线 段和转化为点到准线的距离，从而求解点D的横坐标！ 【详解】抛物线M:y2=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1. 由AB/x轴，A3,1)得B(,),则AB=3-片 利用抛物线定义转化线段和根据光学性质，反射光线BC必过焦点F 所以川BF1=XB+1, 因为光线BC必过焦点F,所以光线CD经抛物线反射后平行于x轴射出， 由抛物线定义可知，ICF=xc+1, 已知AB到+|BC+1CD1=12,所以号+(xa+1+xc+1)+x-xc=12, 试卷第3页（共13页) 即++1+x+1+0-x=12. 化简得：xD=7. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合 题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或者错选不得分 ,.曲线C:品+二-1m∈).下列结论正确的有() A.若m=4,则曲线C的渐近线为y=士V5x B.若曲线C表示圆，则该圆的半径为V2 C.若曲线C表示椭圆，则-1<m<3 D.若曲线C表示双曲线，则m<-1或m>3 【答案】BD 【分析】A选项，根据双曲线的计算公式求解；B选项，根据圆的标准方程计算即可：C选项，根据椭圆 的标准方程计算即可；D选项，根据双曲线的标准方程计算即可， 【详解】A选项，当m=4时，号-y=1,曲线的渐近线为：y=土号x,所以A选项错误； B选项，若曲线C表示圆，则1+m=3-m,解得m=1,则曲线为x2+y2=2,圆的半径为V2,所以 B选项正确： (1+m>0 C选项，曲线C表示椭圆， 则3-m>0,解得：-1<m<3且m≠1，所以C选项错误； (m≠1 D选项，曲线C表示双曲线，则(1+m)(3-m)<0,解得：m<-1或m>3,所以D选项正确 10.己知直线：kx-y-k=0,圆M:x2+y2+Dx+Ey+1=0的圆心坐标为(2,1)，则下列说法中正确 的是() A.D=-4,E=-2 B.对kER,直线l与圆M一定相交 C.直线被圆M截得的最短弦长为2V3D.当k=-1时，圆M上存在着4个点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】根据圆的一般方程可判断A选项：由直线方程可得直线恒过点A(1,0),且点在圆内，可判断B 试卷第4页（共13页） 选项；当直线与直线AM垂直时，弦长最小，此时d=AM=V2,可得弦长，可判断C选项；根据点到 直线距离与半径，可得r-d>,可判断D选项 【详解】 A选项：圆M:2+P+0x+y+1-0,即(x+)+(+写-4，产4g>0,由圆心为2,1). 4 4 D2 得 E_1，解得D=-4,E=-2,A选项正确： =1 2 圆M的方程为(x-2)2+0y-1)2=4,圆心M(2,1),半径r=2, B选项：由直线：kx-y-k=0,即y=k(x-1)恒过点A(1,0),且(1-2)2+(0-1)2=2<4，所以点 A(1,0)在圆M内，所以k∈R,直线与圆M一定相交，B选项正确： C选项：由已知当直线与MA垂直时，弦长最小，kwA=岩=1，所以k=-1,k:-x-y+1=0,即x+y- 1=0,此时d=lMA=」 (2-1)2+(0-1)2=V2,所以弦长为2√r2-d亚=2W4-2=2√2，C选项错 误； D选项：当k=-1时，d=V2,此时r-d=2-V2>子，所以圆M上存在着4个点到直线的距离为，D 选项正确： 故选：ABD 1.如图，双曲线号-兰=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,R,过F,的直线1与其右支交于卫，Q 两点，己知lPF=2PF2且∠PF1F2=∠F1QP,则下列说法正确的是() VA D A.△PF1F2△PQF1 B.双曲线的离心率为3 C.cos/PFF2- D.△PQF1的面积为4v15a2 试卷第5页（共13页） 【答案】ACD 【分析】A.结合等角条件证明三角形相似；B.由三角形相似得到线段比例，求解离心率；C.借助余弦定理 求解；D由三角形的面积公式求解 【详解】对于A,因为LPF1F2=∠F1QP,且∠F1PF2=∠QPF1(公共角)， 所以△PFF2∽△PQF1,A正确： 对于B,双曲线E三-若=1(a>0,b>0),P1-PF2=2a, 因为IPF1=2PF2l,联立得：IPF1l=4a,|PF2l=2a, 由APFP,APQF,得得---台 则|PQl=8a,IQFl=2IF1F2l=4c,所以QF2zl=lPQl-lPF2l=6a, 又1QF1-lQF2l=2a,即4c-6a=2a,得c=2a,故e==2,B错误； 对于C,在△PF1F2中，IPF1l=4a,|PF2l=2a,|F1F2l=2c=4a 由余弦定理得cos∠PF1F2=4o+4o-@2 2×4a4a C正： 对于D.sin/PFF=V1-os2zPF=1-(图= 8 因为∠F1QP=∠PF1F2,所以sinF,QP=sinPF1F2=E 8 又因为PQ=8a,1QF1l=4c=8a, 所以△PQF1的面积S=方PFs∠FQP=专8a·8a,匹=4W5a2,D正确 8 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.圆0：x2+y2=1上的点到直线：3x-4y+15=0的距离的最小值为 【答案】2 【分析】先计算出圆心到直线的距离，判断圆与直线的关系，根据圆与直线的关系进行求解. 【详解】该圆的圆心为0(0,0)，半径r=1,0到直线的距离d=51=3>, √32+42 所以圆0与直线相离，其上一点到的距离的最小值为d-r=3-1=2. 13.己知动点P(x,y)在圆x2+y2=1上，则2x+y的取值范围是 【答案】[-V5,V5 【分析】由于P(x,y)是圆上的动点， 设2x+y=t,然后由直线与圆有公共点可得t的范围， 【详解】P(x,y)是圆x2+y2=1上的点，设2x+y=t,即2x+y-t=0,直线2x+y-t=0与圆x2+ y2=1有公共点， 试卷第6页（共13页） 则d-=品≤1，所以-5≤t≤v5. 故答案为：[-V5,V⑤ 14已知R,B分别为双曲线E:X-二-1b>0)的左，右焦点，P,Q,R在E上，其中Q在第一象限，R在 8 第二象限，直线PQ过耳，且F,R关于直线P2对称，则四边形PRQ耳的面积为 【答案】16 【解析】己知双曲线E:x2-若=1，a=1,c=V1+8=3,F1F=6, 因F2,R关于直线PQ对称， 故F2R1PQ,且lF1R=F1F2=6. 由双曲线定义，IF2R=|F1R+2a=8, 则MF2l=4 在Rt△MF1F2中，IMF1l=V62-4=2V5. 设F1P|=n,1F1Ql=m, 则F2P=n+2,lF2Q1=m-2. 在Rt△MPF2中，(n+2)2=(2V5-n)+16: 解得n=2V5-2: 在Rt△MQF2中，(m-2)2=(m-2W⑤2+16， 解得m=2V5+2. 故|PQ|=m-n=4,四边形PRQF2的面积为 2IPQF2R=×4×8=16. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算过程 15.三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求： (1)边AC所在直线的方程 (2)边AC的垂直平分线的方程. 试卷第7页（共13页） A 2C(0,2) A(-5,0) M 5 -3 B(3,-3) 【答案】(1)2x-5y+10=0. (2)10x+4y+21=0. 【分析】(1)先求出直线AC的斜率，结合截距写出直线方程： (2)求出AC中点及斜率，由垂直关系得到垂直平分线斜率，再利用点斜式写出方程. 【详解】（1)因为A(-5,0),C(0,2), 所以直线AC的斜率kac-号一号直线AC在)抽上的截距6-2， 故直线AC的方程为y=号x+2,即2x-5y+10=0. (2)取AC中点E,则E(3,1,kAc=号 设其垂直平分线斜率为k,则k4c·k=k=-1,解得k=-, 故直线的方程为y-1=-(x+),即10x+4y+21=0. 2C(0,2) A(-5,0) M -5 B(3,-3) 16.己知圆C经过点A(2,1)和B(4,-1),且圆心C在直线L:x+y+1=0上. (1)求圆C的标准方程： (2)若过点D(0,2)的直线m被圆C所截得弦长为6，求直线m的方程. 【答案】(1)x-1)2+y+2)2=10: (2)x=0或15x+8y-16=0. 【分析】(1)法一：求出AB的垂直平分线方程，求得直线和AB的交点可得圆心坐标，再求出半径可得圆 C的标准方程； 试卷第8页（共13页） 法二：设出圆C的标准方程，利用待定系数法解出圆心坐标和半径，可得结果： 法三：设出圆C的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),求出未知数可得结果； (2)分类讨论直线的斜率是否存在，利用弦长公式列方程即可得出结果 【详解】(1)法一： 因为kAB=,=-1,且AB的中点为(3,0)， 2-4 所以AB的垂直平分线方程为y-0=x-3,即x-y-3=0, 联++i=8解12 故圆心C的坐标为C(1,-2), 所以圆C的半径r=1CA=J1-2)2+(-2-1)2=V0, 所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=10. 法二： 设圆C的方程为(x-a)2+0y-b)2=r2(r>0) (2-a)2+(1-b)2=r2 (a=1 由己知得 (4-a)2+(-1-b)2=r2,解得b=-2, a+b+1=0 (2=10 所以圆C的标准方程为(x-1)2+y+2)2=10 法三： 设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), (5+2D+E+F=0 (D=-2 由已知得17+4D。E+F=0,解得E=4, D E +1=0 (F=-5 所以圆C的一般方程为x2+y2-2x+4y-5=0, 化为标准方程，即(x-1)2+(y+2)2=10. (2)设圆心C到所求直线m的距离为d, 由弦长公式得2Wr2-d亚=2V10-d亚=6，故d=1, ①当直线m的斜率不存在时， 则m:x=0,此时圆心C(1,-2)到直线m的距离为1，符合题意。 ②当直线m的斜率存在时， 设直线m的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0, 则d=器=1，整理得8k+15=0,解得k=-吕 此时直线m的方程为15x+8y-16=0. 综上所述，所求直线m的方程为x=0或15x+8y-16=0. 试卷第9页（共13页) 17.圆C:x2+y2-4x-6y+12=0,过点(1,1)作直线L, (1)若直线为圆C的切线，求直线的方程； (2)若直线l与圆C交于M,N两点，当△CMN的面积最大时，求直线的方程 【答案】(1)x=1或3x-4y+1=0. (2)x-y=0或7x-y-6=0 【分析】(1)由条件讨论直线斜率存在和不存在两种情况，利用圆心到切线的距离等于半径，即可得到 答案： (2)由题意结合三角形面积公式可得SACMN=√(1一d巧≤行，所以圆心C到直线的距离为号，利用点到 直线的距离公式可求得k 【详解】(1)由圆C:x2+y2-4x-6y+12=0,得其标准方程为(x-2)2+y-3)2=1, 所以圆心为C(2,3),半径为r=1. 当直线l垂直于x轴时，即x=1满足条件. 当直线不垂直于x轴时，可设直线方程为y-1=k(x-1),即kx-y-k+1=0, d=2k-3-k+1=1 Vk2+1 ∴4k-3=0,k=子则直线方程为3x-4y+1=0. ∴切线的方程为x=1或3x-4y+1=0. (2)由直线l与圆相交于M,N两点，设C到直线l距离为d(0<d<1),则MN=2W1-d亚 y SACHN=MN:d=dW1-亚=√a2(1-西≤，当且仅当d=号时等号成立， 所以圆心C到直线的距离d=2-竖，解之得k=1或k=7 Vk2+1 则直线的方程为x-y=0或7x-y-6=0 18.已知椭圆C茶+茶=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),长轴为2W2 (1)求椭圆C的方程； (2)设经过点F的直线不与坐标轴垂直，直线与椭圆C相交于点A,B,且线段AB的中点为M,经过坐标原点 O作射线OM与椭圆C交于点N,若四边形0ANB为平行四边形，求直线的斜率. 【答案】1片+y2=1: 试卷第10页（共13页） at号 【分析】(1)利用已知建立方程组联立即可求解： (2)设出直线的方程以及点A,B,M的坐标，然后与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式求出 点M的坐标，再由向量的平行四边形法则求出点的坐标，代入椭圆方程即可求出直线的斜率 【详解】(1) F c=1 由己知可得 2a=2V2,解得a=2,b=1, (a2=b2+c2 所以椭圆的方程为号+y2=1: (2)由题意可知直线的斜率存在且不为0， 可设直线的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xo,yo), +2-1消去)整理可得：1+2k2x2-4x+22-2=0. y=k(x-1) 联立方程 则x1+为=，x1为-品 42 1+2k2 所以x0= ,%=k-1)=点所以点M的坐标为M(器京) 2k2 在平行四边形0ANB中，有ON=OA+OB=20M, 设点N的坐标为K,)）所以点N的坐标为（品器）。 又因为点N在椭圆上，所以 +(器)2-1 解得k= 2 所以直线的斜率为士 2 19.已知抛物线H:y2=4x的焦点为F.过点(2，O)的直线与抛物线H交于A,B两点，点A在第一象限. (1)抛物线H上一点P到准线距离为4，求点P到x轴的距离： (2)直线FB与抛物线H的另一个交点为T,当TA=V13时，求直线AB的方程； (3)是否存在定点Q,使得直线AQ与BQ斜率互为相反数，如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说 试卷第11页（共13页） 明理由、 【答案】(1)23 (2)2x-y-4=0 (3)存在，(-2,0) 【分析】(1)利用抛物线定义，抛物线上点到准线距离等于到焦点距离，先求出点P横坐标，代入抛物线 方程求纵坐标绝对值，即为点P到x轴距离： (2)设直线AB方程并联立抛物线，利用韦达定理得到A,B坐标关系，写出直线FB方程，联立抛物线求出T 点坐标，利用距离公式TA=√13列方程，求出参数m,得到直线方程： (3)假设定点Q(xo,yo)存在，利用斜率互为相反数的条件k40+kQ=0,结合韦达定理化简，根据等式 对任意参数恒成立，令各项系数为0，求出定点坐标 【详解】(1)抛物线H:y2=4x,p=2,准线方程为x=-1. 设P(xoyo),抛物线上点到准线距离等于x,+ 点P到准线距离为4，所以x+1=4,得xo=3. 代入y2=4x,得y=12,yol=23. 所以点P到x轴的距离为2√3， (2)设直线AB的方程为x=my+2,A(任，y),B(2,y2),T(,y): A T ○ ⊙ 联立y2,得yy8=0,所1+2=4机，2二8 设直线B的方程为x=+1,联，-'，y-4的-4=0， 所以y2=-4,由y2=-8,两式相除可得y3=号，所以T(倍) 所以TA=√（信）+=V3,化简得(9y+208)01-16)=0,解得=16， 又因为点A在第一象限，所以y1=4,则A(4,4),代入到x=y+2中， 所以4m+2=4,解得m=子所以直线AB的方程为2x-y-4=0. (3)假设存在这样的Q,设Q(xo,yo),y1+y3=y1+y2)2-2y1y2=16m2+16, 试卷第12页（共13页） 所以kA0+kBQ=+20=0, 即0y1-yo(臣-x0)+02-yo(任-x)=0, 化简得业01+y2)-x0y1+y2)-y+y)+2xo0=0, 即-2×4m-4mx0-4yo(m2+1)+2xoy0=0, 即(-8-4o)m-4yom2-4yo+2xoyo=0对任意m∈R恒成立， -8-4x0=0 所以 2=0解得。0 （-4y0+2xoy0=0 所以假设成立，即存在Q(-2,0) 试卷第13页（共13页） 2026—2027学年第一学期期中考试 高二年级数学学科 本卷满分150分，考试时间120分钟。 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量的定义可得直线的一个方向向量为，通过判断各选项中的向量与是否共线，可得正确选项. 【详解】由，得. 所以直线的斜率为. 所以直线的一个方向向量为. 对于A，，所以与不共线，所以A不正确； 对于B，，所以与不共线，所以B不正确； 对于C，，所以与共线，所以C正确； 对于D，，所以与不共线，所以D不正确. 故选：C. 2．若二元二次方程表示圆，则实数可能的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件求解. 【详解】因为二元二次方程表示圆， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 3．椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由离心率定义即可求解. 【详解】将原方程，整理得标准形式： ， 因此，，得； 根据椭圆关系，代入得，即， 离心率. 4．设，已知直线：，：，若“”，则（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】若“”，则，注意验证直线是否重合. 【详解】若“”，则，解得或， 当时，直线：即，：即，此时直线与重合； 当时，直线：，：，此时. 5．已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为． 6．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】已知，，由两点斜率公式得； 已知，，同理得. 直线过定点，当绕点旋转时，若直线与线段相交， 结合图象分析可得：或，即或. 7．已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】运用作差法、中点坐标公式及直线斜率求解即可. 【详解】设直线与椭圆相交于，， 由题意得，， 直线的斜率为， 由，两式相减得， 所以，即，所以，即. 所以椭圆的短半轴长为4. 8．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线，一条平行于轴的光线从点发出，经上的点反射后，再经上的另一点反射经过点射出，若，则点的横坐标为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】利用抛物线的光学性质：平行于对称轴的光线经抛物线反射后必过焦点.结合抛物线的定义，将线段和转化为点到准线的距离，从而求解点的横坐标. 【详解】抛物线的焦点为，准线为. 由轴，，得，则， 利用抛物线定义转化线段和根据光学性质，反射光线必过焦点. 所以， 因为光线必过焦点，所以光线经抛物线反射后平行于轴射出， 由抛物线定义可知，， 已知，所以， 即， 化简得：. 故选：D 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，不选或者错选不得分. 9．曲线C：，下列结论正确的有（   ） A．若，则曲线C的渐近线为 B．若曲线C表示圆，则该圆的半径为 C．若曲线C表示椭圆，则 D．若曲线C表示双曲线，则或 【答案】BD 【分析】A选项，根据双曲线的计算公式求解；B选项，根据圆的标准方程计算即可；C选项，根据椭圆的标准方程计算即可；D选项，根据双曲线的标准方程计算即可. 【详解】A选项，当时，，曲线的渐近线为：，所以A选项错误； B选项，若曲线C表示圆，则，解得，则曲线为，圆的半径为，所以B选项正确； C选项，曲线C表示椭圆，则，解得：且，所以C选项错误； D选项，曲线C表示双曲线，则，解得：或，所以D选项正确. 10．已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法中正确的是（    ） A．， B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着个点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】根据圆的一般方程可判断A选项；由直线方程可得直线恒过点，且点在圆内，可判断B选项；当直线与直线垂直时，弦长最小，此时，可得弦长，可判断C选项；根据点到直线距离与半径，可得，可判断D选项. 【详解】 A选项：圆，即，，由圆心为，得，解得，，A选项正确； 圆的方程为，圆心，半径， B选项：由直线，即恒过点，且，所以点在圆内，所以，直线与圆一定相交，B选项正确； C选项：由已知当直线与垂直时，弦长最小，，所以，，即，此时，所以弦长为，C选项错误； D选项：当时，，此时，所以圆上存在着个点到直线的距离为，D选项正确； 故选：ABD. 11．如图，双曲线的左右焦点分别为，，过的直线l与其右支交于P，Q两点，已知且，则下列说法正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为3 C． D．的面积为 【答案】ACD 【分析】A.结合等角条件证明三角形相似；B.由三角形相似得到线段比例，求解离心率；C.借助余弦定理求解；D.由三角形的面积公式求解. 【详解】对于 A，因为，且 （公共角）， 所以，A 正确； 对于B，双曲线 ，， 因为 ，联立得：，， 由，得， 则，，所以， 又，即，得，故 ，B 错误； 对于 C，在中， ，，， 由余弦定理得，C 正确； 对于 D， ， 因为，所以, 又因为，， 所以 的面积 ，D 正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【答案】2 【分析】先计算出圆心到直线的距离，判断圆与直线的关系，根据圆与直线的关系进行求解. 【详解】该圆的圆心为，半径，到直线的距离， 所以圆与直线相离，其上一点到的距离的最小值为. 13.已知动点在圆上，则的取值范围是_______. 【答案】 【分析】由于是圆上的动点， 设，然后由直线与圆有公共点可得的范围， 【详解】是圆上的点，设，即，直线与圆有公共点， 则，所以， 故答案为： 14.已知分别为双曲线的左､右焦点，在上，其中在第一象限，在第二象限，直线过，且关于直线对称，则四边形的面积为__________. 【答案】16 【解析】已知双曲线，，，. 因关于直线对称， 故，且. 由双曲线定义，， 则. 在中，. 设，， 则，. 在中，， 解得； 在中，， 解得. 故，四边形的面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算过程. 15．三角形的顶点是， 求： (1)边所在直线的方程． (2)边的垂直平分线的方程． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）先求出直线的斜率，结合截距写出直线方程； （2）求出中点及斜率，由垂直关系得到垂直平分线斜率，再利用点斜式写出方程． 【详解】（1）因为， 所以直线的斜率，直线在轴上的截距， 故直线的方程为，即． （2）取中点，则，， 设其垂直平分线斜率为，则，解得， 故直线的方程为，即． 16．已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆所截得弦长为6，求直线的方程. 【答案】(1); (2)或. 【分析】（1）法一：求出的垂直平分线方程，求得直线和的交点可得圆心坐标，再求出半径可得圆的标准方程； 法二：设出圆的标准方程，利用待定系数法解出圆心坐标和半径，可得结果； 法三：设出圆的一般方程，求出未知数可得结果； （2）分类讨论直线的斜率是否存在，利用弦长公式列方程即可得出结果. 【详解】（1）法一： 因为，且的中点为， 所以的垂直平分线方程为，即， 联立，解得， 故圆心的坐标为， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为. 法二： 设圆的方程为. 由已知得，解得， 所以圆的标准方程为. 法三： 设圆的一般方程为， 由已知得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程，即. （2）设圆心到所求直线的距离为， 由弦长公式得，故， ①当直线的斜率不存在时， 则，此时圆心到直线的距离为1，符合题意. ②当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，即， 则，整理得，解得， 此时直线的方程为. 综上所述，所求直线的方程为或. 17．圆，过点作直线， (1)若直线为圆的切线，求直线的方程； (2)若直线与圆交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程. 【答案】(1)或. (2)或 【分析】（1）由条件讨论直线斜率存在和不存在两种情况，利用圆心到切线的距离等于半径，即可得到答案； （2）由题意结合三角形面积公式可得，所以圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式可求得. 【详解】（1）由圆，得其标准方程为， 所以圆心为，半径为. 当直线垂直于轴时，即满足条件. 当直线不垂直于轴时，可设直线方程为，即， ，则直线方程为. 切线的方程为或. （2）由直线与圆相交于M，N两点，设C到直线距离为，则 ，当且仅当时等号成立， 所以圆心C到直线的距离，解之得或. 则直线的方程为或 18．已知椭圆的右焦点为，长轴为. (1)求椭圆的方程； (2)设经过点的直线不与坐标轴垂直，直线与椭圆相交于点，且线段的中点为 ，经过坐标原点作射线与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求直线的斜率． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）利用已知建立方程组联立即可求解； （2）设出直线的方程以及点的坐标，然后与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式求出点的坐标，再由向量的平行四边形法则求出点的坐标，代入椭圆方程即可求出直线的斜率. 【详解】（1） 由已知可得，解得， 所以椭圆的方程为; （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0， 可设直线的方程为,, 联立方程,消去整理可得：， 则， 所以，所以点的坐标为， 在平行四边形中，有， 设点的坐标为，所以点的坐标为， 又因为点在椭圆上，所以， 解得， 所以直线的斜率为. 19．已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限． (1)抛物线上一点到准线距离为4，求点到轴的距离； (2)直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； (3)是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用抛物线定义，抛物线上点到准线距离等于到焦点距离，先求出点横坐标，代入抛物线方程求纵坐标绝对值，即为点到轴距离； （2）设直线方程并联立抛物线，利用韦达定理得到坐标关系，写出直线方程，联立抛物线求出点坐标，利用距离公式列方程，求出参数，得到直线方程； （3）假设定点存在，利用斜率互为相反数的条件，结合韦达定理化简，根据等式对任意参数恒成立，令各项系数为，求出定点坐标． 【详解】（1）抛物线：，，准线方程为． 设，抛物线上点到准线距离等于． 点到准线距离为，所以，得． 代入，得，． 所以点到轴的距离为． （2）设直线的方程为，，，， 联立，得，所以，． 设直线的方程为，联立，得， 所以，由，两式相除可得，所以， 所以，化简得，解得， 又因为点在第一象限，所以，则，代入到中， 所以，解得，所以直线的方程为． （3）假设存在这样的，设，， 所以， 即， 化简得， 即， 即对任意恒成立， 所以，解得， 所以假设成立，即存在． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $