精品解析：吉林吉林市昌邑区第十中学等校2026-2027学年度上学期九年级期中考试数学

昌邑区2026-2027学年度上学期期中学业质量检测 九年级数学试题 本试卷包括三道大题，共22道小题．共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是( ) A. a＞0 B. a≥0 C. a=1 D. a≠0 【答案】D 【解析】 【详解】因为一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a≠0），所以要使ax2−3x+3=0是一元二次方程，必须保证a≠0． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念认识，解题的关键是一定要对概念熟练． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：抛物线为顶点式，其顶点坐标为． 3. 下列各点中，在函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】反比例函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算对应的y值，和点的纵坐标对比即可得出结论． 【详解】解：对于函数 A、当时，， 点在函数的图象上，此选项符合题意； B、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； C、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； D、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意． 4. 二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解（　　） A. 1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先把x1=3代入关于x的一元二次方程－x2+2x+k=0，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值． 【详解】解：∵把x1=3代入关于x的一元二次方程－x2+2x+k=0得， －9+6+k=0，解得k=3， ∴原方程可化为：－x2+2x+3=0， ∴x1+x2=3+x2=－=2，解得x2=－1． 故选B． 【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点，关键是掌握二次函数图象与x轴的交点坐标与一元二次方程的解的关系和根与系数的关系． 5. 如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　） A. 10×6﹣4×6x=32 B. （10﹣2x）（6﹣2x）=32 C. （10﹣x）（6﹣x）=32 D. 10×6﹣4x2=32 【答案】B 【解析】 【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm， 根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32． 故选B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6. 如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S1+S2． 【详解】解：∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4， ∴S1+S2=4+4-1×2=6． 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 一元二次方程的根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：或， 所以． 故答案为． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 8. 已知方程的两个根是和，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若方程的两个实数根是，则，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴． 9. 二次函数的最大值是__________． 【答案】7 【解析】 【分析】将二次函数化为顶点式，即可求解. 【详解】解：， 即二次函数的最大值是7， 故答案为7． 【点睛】本题考查的是二次函数的最大值，熟练掌握配方法求二次函数的最值是解题的关键. 10. 如图为反比例函数的图象的一支，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由图象可得，反比例函数的图象位于第一象限，从而可得，求解即可得出． 【详解】解：由图象可得，反比例函数的图象位于第一象限， ∴， 解得． 11. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为_____． 【答案】4． 【解析】 【分析】根据关系式，令h=0求得t的值，即小球从飞出到落地所用的时间. 【详解】解：依题意，令得： ∴ 得： 解得：（舍去）或 ∴即小球从飞出到落地所用的时间为 故答案为4． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单. 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】把整理为一元二次方程的一般式，再计算得，最后再根据求根公式解出即可得答案． 【详解】解： ∵， ∴， ∴，． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，确定方程各项系数后代入判别式列出不等式求解． 【详解】解： 方程是一元二次方程，且有两个不相等实数根， ， 其中 ， ， ， 解得 14. 已知二次函数图像的顶点坐标为（1，-1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式． 【答案】y＝(x-1)2-1 【解析】 【分析】设二次函数的解析式为y=a（x-1）2-1（a≠0），然后把原点坐标代入求解即可． 【详解】设二次函数的解析式为y=a（x-1）2-1（a≠0）， ∵函数图象经过原点（0，0）， ∴a（0-1）2-1=0， 解得a=1， ∴该函数解析式为y=（x-1）2-1． 15. 列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】（1）该商场投入资金的月平均增长率 （2）预计该商场七月份投入资金将达到万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金． 【小问1详解】 解：设该商场投入资金的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率； 【小问2详解】 解：（万元）， ∴预计该商场七月份投入资金将达到万元． 16. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． （1）求密度关于体积V的函数解析式； （2）若，求二氧化碳密度的变化范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可完成； （2）把V=3和V=9代入（1）所求得的解析式中，即可求得密度的变化范围． 【小问1详解】 解：∵密度与体积V是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：观察函数图象可知，随V的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时， 即二氧化碳密度的变化范围是． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 17. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ 【答案】（1） （2）当时，函数的最大值为4，最小值为0 【解析】 【分析】（1）化成顶点式即可求解； （2）根据二次函数的性质求解即可． 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为， 又∵，，抛物线开口向下， 当时，函数有最大值，最大值为； 当时，函数有最小值，最小值为． 18. 已知：点 A（1，3）是反比例函数（k≠0）的图象与直线（ m≠0）的一个交点． （1）求k 、m的值： （2）在第一象限内，当时，请直接写出x的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把点A（1，3）分别代入和，求解即可； （2）直接根据图象作答即可． 【小问1详解】 点A（1，3）是反比例函数（k≠0）的图象与直线（m≠0）的一个交点， 把点A（1，3）分别代入和， 得， ； 【小问2详解】 在第一象限内，， 由图像得． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和正比例函数解析式，图象法解不等式，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键． 19. 如图，直线：与轴、轴分别交于点、，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，已知点、同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒， （1）则点的坐标为___________，点的坐标为___________． （2）设四边形的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）分别设，，即可求解； （2）由题意可得，，，，，再根据，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， 由题意得，，， ∵， ∴， 由题意得，点运动时间为（秒），点运动时间为（秒）， ∵当点到达点时，、两点同时停止运动， ∴， ∴． 20. 小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数的图象与性质进行探究． 因为，即，所以可以对比函数来探究． （1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：___________，___________； 列表： x … 1 2 3 4 … … 1 2 4 … … 2 3 m 0 n … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示： （2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来； （3）观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是由的图象向___________平移___________个单位而得到． ③函数的图象关于点___________中心对称．（填点的坐标） 【答案】（1）5， （2）把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来如下： （3）①增大；②上，1；③ 【解析】 【分析】（1）将和分别代入函数中，即可求解； （2）把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来即可； （3）①根据函数的增减性即可得结论； ②根据函数，即可得结论； ③由函数的图象关于原点中心对称，再根据平移的性质即可得结论． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当时，图象是上升的，则y随x的增大而增大． ②∵， ∴函数的图象是由的图象向上平移1个单位而得到． ③∵函数的图象关于原点中心对称，函数的图象是由的图象向上平移1个单位而得到， ∴函数的图象关于点中心对称． 21. 某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低元． （1）填表：（不需化简） （2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？ 【答案】解：（1），， ；（2）70元． 【解析】 【详解】解：（1）由题意得80-x；200+10x；800-200-（200+10x）； （2）根据题意，得 80×200+（80-x）（200+10x）+40[800-200-（200+10x）] -50×800=9000． 整理，得x2-20x+100=0，解这个方程得x1= x2=10， 当x=10时，80-x=70＞50． 答：第二个月的单价应是70元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过三点． （1）求两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值． 【答案】（1）A（4，0）,C（0，﹣4）；（2） ；（3）PD的最大值为，此时点P（2，﹣6）． 【解析】 【分析】（1）OA＝OC＝4OB＝4，即可求解； （2）抛物线的表达式为： ，即可求解； （3），即可求解． 【详解】解：（1）OA＝OC＝4OB＝4， 故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）； （2）抛物线的表达式为：， 即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1， 故抛物线的表达式为： ； （3）直线CA过点C，设其函数表达式为：， 将点A坐标代入上式并解得：k＝1， 故直线CA的表达式为：y＝x﹣4， 过点P作y轴的平行线交AC于点H， ∵OA＝OC＝4， ， ∵ ， 设点 ，则点H（x，x﹣4）， ∵ ＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为， 此时点P（2，﹣6）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示PD，是本题解题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌邑区2026-2027学年度上学期期中学业质量检测 九年级数学试题 本试卷包括三道大题，共22道小题．共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是( ) A. a＞0 B. a≥0 C. a=1 D. a≠0 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各点中，在函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解（　　） A. 1 B. C. D. 0 5. 如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　） A. 10×6﹣4×6x=32 B. （10﹣2x）（6﹣2x）=32 C. （10﹣x）（6﹣x）=32 D. 10×6﹣4x2=32 6. 如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 一元二次方程的根是_____． 8. 已知方程的两个根是和，则_________． 9. 二次函数的最大值是__________． 10. 如图为反比例函数的图象的一支，则的取值范围是___________． 11. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为_____． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 14. 已知二次函数图像的顶点坐标为（1，-1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式． 15. 列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 16. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． （1）求密度关于体积V的函数解析式； （2）若，求二氧化碳密度的变化范围． 17. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ 18. 已知：点 A（1，3）是反比例函数（k≠0）的图象与直线（ m≠0）的一个交点． （1）求k 、m的值： （2）在第一象限内，当时，请直接写出x的取值范围 19. 如图，直线：与轴、轴分别交于点、，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，已知点、同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒， （1）则点的坐标为___________，点的坐标为___________． （2）设四边形的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 20. 小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数的图象与性质进行探究． 因为，即，所以可以对比函数来探究． （1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：___________，___________； 列表： x … 1 2 3 4 … … 1 2 4 … … 2 3 m 0 n … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示： （2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来； （3）观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是由的图象向___________平移___________个单位而得到． ③函数的图象关于点___________中心对称．（填点的坐标） 21. 某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低元． （1）填表：（不需化简） （2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过三点． （1）求两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $