精品解析：吉林吉林市第十八中学2026-2027学年度九年级上学期期中考试数学

吉林市第十八中学2026-2027学年度上学期期中考试 初三数学试卷 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；寻找对称中心是解题的关键；根据中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该项符合题意； B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该选项符合题意； C．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； D．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选不项符合题意； 故选：C． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程中未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程； B、方程是一元二次方程，符合题意； C、方程中未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程； D、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程． 3. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将将抛物线向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：，即； 再向下平移2个单位为：，即， 故选：A． 4. 在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x， 依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：反比例函数中，， ∴该函数的图象位于第二、四象限． 6. 用反比例函数拟合实际数据时，求k值的目的是（ ） A. 确定函数类型 B. 确定函数解析式 C. 绘制散点图 D. 验证变量关系 【答案】B 【解析】 【分析】已知函数类型为反比例函数，求出待定系数k即可确定具体解析式. 【详解】解：∵反比例函数，函数类型已经确定， ∴求k值的目的是确定函数解析式. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知点与点是关于原点的对称点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，进而得出答案，正确记忆横纵坐标的符号是解题的关键． 【详解】解：∵点与点是关于原点的对称点， ∴，， ∴， 故答案为：． 8. 若抛物线与轴没有公共点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线与轴没有公共点等价于对应一元二次方程无实数根，通过判别式列不等式即可求解的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与轴没有公共点． ∴没有实数根． ∴． ∴． 解得． 9. 若函数是反比例函数，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 如图，若绕某个点逆时针旋转后与重合，若，则的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了旋转的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 11. 已知关于x的方程的一个根是2，则m的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程根的定义，将已知的根代入原方程，可建立关于的一元一次方程，求解即可得到的取值． 【详解】解：将代入，得： ， 解得：． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：移项，得：． 配方，得． 即． ∴，即，． ∴，． 13. 已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查待定系数法求抛物线的解析式，设顶点式，将点代入求出a的值即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 14. 如图，在中，，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．求证：． 【答案】 证明：由旋转性质可知，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转全等三角形的判定与性质，由旋转性质可知，，则，证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】略 15. 已知反比例函数的图象经过点和． （1）求和的值； （2）判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1） ，； （2） 点不在该反比例函数的图象上， 理由：∵反比例函数解析式为， ∴当时，， ∵， ∴点不在该反比例函数的图象上． 【解析】 【分析】（1）代入点求出的值，再代入点求出的值； （2）代入点的横坐标计算对应纵坐标，比较后判断点是否在图象上． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为， ∵函数图象经过点， ∴， 解得． 【小问2详解】 略 16. 已知二次函数()的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … （1）二次函数图象的顶点坐标为_________，_________； （2）求该二次函数的表达式． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及对称性、顶点坐标的确定及二次函数表达式的求解，关键是利用二次函数的对称性快速定位对称轴与顶点，再选择合适的表达式形式简化计算． （1）通过表格中纵坐标相同的两个点，计算得到二次函数的对称轴，结合表格数据直接得出顶点坐标；再利用对称性找到的对称点，进而求出的值； （2）已知顶点坐标，优先选择顶点式设函数表达式，代入表格中一个已知点求解出参数即可． 【小问1详解】 解：∵当时，时， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵时， ∴二次函数图象的顶点坐标为； ∵与关于对称轴对称，且时， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设二次函数的顶点式为， 将点代入表达式得：，解得， ∴，即． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）写出点A，B关于原点的对称点，的坐标； （2）画出四边形，求出其面积． 【答案】（1）， （2），图形如下， 【解析】 【分析】（1）根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标均互为相反数”即可求解； （2）描出点、，依次连接即可，根据计算即可． 【小问1详解】 解：点与点关于原点对称，点与点关于原点对称， ，； 【小问2详解】 解：图形如下， ， ，， ， 又，， ． 18. 武钢实验学校课外兴趣活动小组准备围建一个矩形花园．其中一边靠墙，另外三边用长为32米的篱笆围成，已知墙长16米（如图所示），设这个花园垂直于墙的一边长米． （1）用含有x的式子表示，并写出x的取值范围； （2）若花园的面积为96平方米，求的长度． 【答案】（1）， （2）的长度为12米 【解析】 【分析】（1）由篱笆长32米即可得出用含有x的式子表示的式子，再根据、、即可求出自变量的取值范围； （2）根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再由（1）中x的取值范围即可确定x的值． 【小问1详解】 ∵，米， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 根据题意得：， 解得： （不合题意，舍去）． 答：若苗圃园的面积为96平方米，则的长度为12米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、矩形的面积，解题的关键是：（1）根据篱笆长度得出用含有x的式子表示的式子；（2）利用矩形的面积公式，找出关于x的一元二次方程． 19. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是：． （1）画出 关于原点O 的中心对称图形 （2）画出 绕点 O 顺时针旋转得到 ，并写出点 的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，即为所求，． 【解析】 【分析】本题考查作中心对称图形，旋转作图，图形与坐标，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先作出 关于的对称点，然后顺次连接即可； （2）先作出 绕顺时针旋转的对应点，然后顺次连接即可，并写出点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求和的值； （2）点是轴上一点，连接，且，求点的坐标． （3）观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意把代入可得，再把代入即可求的值； （2）根据，可求出，分两种情况：当在右侧时，可得的坐标为，当在左侧时，可得的坐标为； （3）根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， 点的坐标为， 又点也在反比例函数上， 【小问2详解】 解：∵点是轴上一点，连接，且，如图， ， ∵， ， ， ∵直线， 当时，则， ∴点的坐标为； 当在右侧时， ， ， 当在左侧时， ， ， 综上所述，的坐标为或． 【小问3详解】 解：由图象可知，关于的解集为：． 21. 如图①所示，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②所示，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③所示，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长． 【答案】（1） 解：成立，证明如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）只需要利用证明即可证明； （2）由即可得到，则，先勾股定理求出，再在中，运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵， ∴，， 同上可得， ∴， ∴，； ∴． 22. 已知二次函数（且为常数）． （1）若抛物线的对称轴为y轴，求a的值； （2）当时， ①求该二次函数图象的顶点坐标； ②若点在该抛物线上，且，求的取值范围； 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式求解即可； （2）①把解析式化为顶点式即可得到答案；②根据二次函数的性质可得离对称轴越远，函数值越大，则可得，解之即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 【小问2详解】 解：①当时，二次函数的解析式为， ∴该二次函数图象的顶点坐标为； ②由（2）①得二次函数的对称轴为直线，且函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点在该抛物线上，且， ∴， ∴， ∴或， 解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第十八中学2026-2027学年度上学期期中考试 初三数学试卷 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 6. 用反比例函数拟合实际数据时，求k值的目的是（ ） A. 确定函数类型 B. 确定函数解析式 C. 绘制散点图 D. 验证变量关系 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知点与点是关于原点的对称点，则的值为_____． 8. 若抛物线与轴没有公共点，则的取值范围是___________． 9. 若函数是反比例函数，则的值为__________． 10. 如图，若绕某个点逆时针旋转后与重合，若，则的长为______． 11. 已知关于x的方程的一个根是2，则m的值为___________． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 解方程：． 13. 已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 14. 如图，在中，，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．求证：． 15. 已知反比例函数的图象经过点和． （1）求和的值； （2）判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 16. 已知二次函数()的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … （1）二次函数图象的顶点坐标为_________，_________； （2）求该二次函数的表达式． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）写出点A，B关于原点的对称点，的坐标； （2）画出四边形，求出其面积． 18. 武钢实验学校课外兴趣活动小组准备围建一个矩形花园．其中一边靠墙，另外三边用长为32米的篱笆围成，已知墙长16米（如图所示），设这个花园垂直于墙的一边长米． （1）用含有x的式子表示，并写出x的取值范围； （2）若花园的面积为96平方米，求的长度． 19. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是：． （1）画出 关于原点O 的中心对称图形 （2）画出 绕点 O 顺时针旋转得到 ，并写出点 的坐标． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求和的值； （2）点是轴上一点，连接，且，求点的坐标． （3）观察图象，直接写出不等式的解集． 21. 如图①所示，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②所示，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③所示，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长． 22. 已知二次函数（且为常数）． （1）若抛物线的对称轴为y轴，求a的值； （2）当时， ①求该二次函数图象的顶点坐标； ②若点在该抛物线上，且，求的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $