精品解析：上海市风华中学2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

上海市风华中学高一数学期中试卷 （2026.11）（满分100分，考试时间90分钟） 一、填空题（共10题，每题4分，共40分） 1. ______（用或的符号填空） 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系分析即可. 【详解】因为为无理数，所以. 2. 设都是非零实数，不等式和同时成立的充要条件是_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法，结合充分、必要条件分析说明即可. 【详解】因为， 若和，则，， 可得，即； 若，则且； 所以不等式和同时成立的充要条件是. 故答案为：. 3. ，若命题“”是命题“”的必要条件，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据必要条件转化为集合包含关系求解即可. 【详解】因为“”是命题“”的必要条件， 所以，所以，所以的取值范围是. 4. 已知，化简式子：__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则计算化简即可. 【详解】, 故答案为： 5. 已知，，则__________.（结果用表示） 【答案】 【解析】 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 6. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知一次不等式的解集判断参数的符号，结合解集端点建立与的等量关系，代入目标不等式求解即可. 【详解】由题意，不等式的解集为，则，即，所以，即， 代入不等式，得：，即，解得：， 故不等式的解集为. 7. 如果集合，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据集合A及集合的运算可得集合，据此求出方程的根，再由韦达定理求出得解. 【详解】因为，， 所以，即方程的两根为， 所以，即， 所以. 8. 关于x的方程的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的取值范围去绝对值，分类讨论解方程即可. 【详解】. 当时，令得； 当时，恒成立； 当时，令得. 综上所述，方程的解集为. 故答案为：. 9. 已知函数和轴有且只有一个交点，若关于的不等式的解集是，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出与的关系，然后根据不等式的解集可得的两个根为，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可. 【详解】因为函数和轴有且只有一个交点， 所以方程只有一个根，即，则， 不等式的解集是，即的解集为， 所以的两个根为，即， 所以，解得. 10. 已知集合为集合的子集，并且集合中任意两个元素之和不能被3整除，则集合中元素个数的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合中元素被3除的余数构造集合的划分，进而根据题意得中元素个数的最大值. 【详解】对于集合， 所有被3除余数为1的元素组成的集合为，元素个数为676； 所有被3除余数为2的元素组成的集合为，元素个数为675； 所有被3除余数为0的元素组成的集合为，元素个数为675； 根据题设要求，集合中任意两个元素之和不能被3整除，则： 若两个元素分别来自和，则两数之和除以3的余数为，即和能被3整除，因此不能同时包含和中的元素，即最多只能选取、一个集合中的全部元素； 若两个元素都来自，则两数之和除以3的余数为，即和能被3整除，因此中最多包含中的1个元素； 对内的任意两个元素，其和除以3的余数为，不能被3整除；中元素与中元素的和除以3余数为，不能被3整除，因此的全部元素与中的任意1个元素的组合满足题意； 对内的任意两个元素，其和除以3的余数为，不能被3整除；中元素与中元素的和除以3的余数为，不能被3整除，因此的全部元素与中任意1个元素的组合也满足题意. 故选取全部元素加1个元素，总个数为； 若选取全部元素加1个元素，总个数为. 因此集合中元素个数的最大值为677. 二、选择题（共3题，每题4分，共12分） 11. 已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D. 【详解】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D 12. 若全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简A集合，结合集合的子交并补的运算即可. 【详解】由，则，，所以，A错误； ，B错误； ，C正确； ，D错误. 故选：C 13. 已知正数x、y满足，不等式恒成立.则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，， 所以由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即， 综上所述，的最小值为； 因为不等式恒成立，所以， 所以实数m的取值范围是. 故选：C. 三、解答题（共5题，共48分） 14. 解关于不等式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把当成整体，利用一元二次不等式的解法可得答案； （2）通分作差，转化成一元二次不等式解即可. 【小问1详解】 由，得， 因，故，解得或， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 原不等式化为， 即，等价于， 解得. 故不等式的解集为. 15. （1）已知，比较与的大小； （2）“不等式对一切实数恒成立”是假命题，求实数的取值范围； 【答案】 (1)，当且仅当时等号成立； (2)实数的取值范围是. 【解析】 【分析】(1)用作差比较法，对差式配方，利用平方数非负判断大小关系； (2)先求出不等式恒成立（命题为真）时参数的取值范围，再取其补集得到命题为假时的取值范围. 【详解】(1), 因为，所以，， 即，当且仅当，时取等号， 所以； (2)先求命题“对一切实数恒成立”为真时的范围， ①当时，即，不等式化为，成立，符合条件； ②当时，则 解得， 综上①②，命题为真时， 该命题为假命题，则或， 所以实数的取值范围是. 16. 设集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）若中只有一个整数，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合间的基本关系可得，对集合是否为空集进行分类讨论即可求得实数的取值范围； （2）由中只有一个整数可得，限定出与的范围即可求得结果. 【小问1详解】 集合， 由可得； ①当时，，解得，符合要求； ②当时，需满足，解得； 综上，实数m的取值范围是 【小问2详解】 由集合可得或； 若中只有一个整数，则必有，即，可得； 且，解得，即； 因此实数的取值范围是. 17. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y. （Ⅰ）将y表示为x的函数； （Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 【答案】（Ⅰ）y=225x+ （Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a=, 所以y=225x+ （2） ．当且仅当225x=时，等号成立． 即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 考点：函数模型的选择与应用 18. 已知集合，其中定义：若对任意的，必有，则称集合具有性质.由中元素可构成两个点集和，其中，其中中有个元素，中有个元素. （1）若集合，判断是否具有性质，并写出对应的集合和集合： （2）若集合，求对应集合的元素个数；一般地，若集合具有性质，且有个元素，猜测对应的集合的元素最大个数，并说明理由： （3）若集合具有性质，猜测的大小并说明理由. 【答案】（1）具有性质，对应集合，对应集合 （2）， 则对应集合Q中的元素为： ， ， ， ， ， 共有个元素，即对应集合Q的元素个数为45； 集合A有k个元素，猜测对应的集合Q的最大个数为. 理由如下： 由题意可知集合的元素构成有序数对，共有个， ∵，∴， 又∵时，，∴时候，， ∴集合的元素最大个数为个. （3）猜想：，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知 【解析】 【分析】（1）根据定义作出判断，并根据集合与集合的要求直接写出集合和集合； （2）直接根据定义写出中的元素，得出元素个数，再根据定义，探讨出与的关系式； （3）分和两种情况，若，推出的元素个数不多于的元素个数，即，若，推出的元素个数不多于的元素个数，即，从而得到答案. 【小问1详解】 因为，都不属于集合，所以集合具有性质， 由于，则对应集合， 由于，，则对应集合 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市风华中学高一数学期中试卷 （2026.11）（满分100分，考试时间90分钟） 一、填空题（共10题，每题4分，共40分） 1. ______（用或的符号填空） 2. 设都是非零实数，不等式和同时成立的充要条件是_________ 3. ，若命题“”是命题“”的必要条件，则的取值范围是______. 4. 已知，化简式子：__________. 5. 已知，，则__________.（结果用表示） 6. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______ 7. 如果集合，则______ 8. 关于x的方程的解集为__________． 9. 已知函数和轴有且只有一个交点，若关于的不等式的解集是，则______. 10. 已知集合为集合的子集，并且集合中任意两个元素之和不能被3整除，则集合中元素个数的最大值为______. 二、选择题（共3题，每题4分，共12分） 11. 已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（ ） A. B. C. D. 12. 若全集，，，则（ ） A. B. C. D. 13. 已知正数x、y满足，不等式恒成立.则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（共5题，共48分） 14. 解关于不等式： （1） （2） 15. （1）已知，比较与的大小； （2）“不等式对一切实数恒成立”是假命题，求实数的取值范围； 16. 设集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）若中只有一个整数，求实数的取值范围. 17. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y. （Ⅰ）将y表示为x的函数； （Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 18. 已知集合，其中定义：若对任意的，必有，则称集合具有性质.由中元素可构成两个点集和，其中，其中中有个元素，中有个元素. （1）若集合，判断是否具有性质，并写出对应的集合和集合： （2）若集合，求对应集合的元素个数；一般地，若集合具有性质，且有个元素，猜测对应的集合的元素最大个数，并说明理由： （3）若集合具有性质，猜测的大小并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $