精品解析：云南昆明市云南师范大学附属中学2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

云南师大附中2026~2027学年上学期期中考试试题 高一年级数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知集合，其中，解得或，故． 又有，则． 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域的求解规则，分别列出二次根式被开方数非负、分母不为零、零次幂底数不为零的约束条件，联立求解后取交集即可． 【详解】由题知，． 3. 已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过特值法排除错误选项，结合不等式性质、作差法验证各选项的正误即可. 【详解】对于A项，取，满足，但是不满足，故A错误； 对于B项，由，得到，因为，所以，故B错误； 对于C项，作差得到， 因为，所以，所以， 所以，所以，故C错误； 对于D项，作差得到， 因为，所以，所以， 所以，故D正确. 4. 定义在上的函数，那么“”是“函数是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数是奇函数求出的取值范围，进而即可得到答案． 【详解】由定义在上的函数是奇函数， 则对，都有， 即对恒成立， 即对恒成立， 所以，解得． 所以“”是“函数是奇函数”的充要条件． 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对各数进行等价变形：，. ①比较与：，，指数函数在上单调递增. 因为，故，即. ②比较与：，，幂函数在上单调递增. 因为，故，即. 综上得，即. 6. 函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定幂函数的定义域与单调性，再将函数不等式转化为关于的不等式组，求解后取交集得到解集. 【详解】 的定义域为，因 ，则在上单调递减， 于是 ，解得. 故不等式的解集为. 7. 已知函数当时，，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求解分段函数两段上满足的的取值范围，合并后取最长区间计算长度即可. 【详解】当时，为单调递增函数： 不等式，由指数函数单调性得； 当时，，分两步求解不等式. ①由得，因为，则可得，即，故时恒成立； ② 由得，因，则可得，解得，又因，则得. 综上可得，满足条件的的范围为，故的最大值为. 8. 已知函数定义域为，且对，，．若函数满足：，，则的值为（ ） A. 1800 B. 1830 C. 3600 D. 3660 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的新定义，取，得到，再取，得到，从而得到，进而即可求解． 【详解】由对，，都有， 取，则，所以， 对，取，则，所以， 则对，有，即， 所以． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最大值为1 C. 的最大值为5 D. 的最小值为25 【答案】AD 【解析】 【分析】.A：利用指数函数单调性与绝对值的非负性判断；B：无理式换元法，转化为二次函数求最值；C：分式分离常数，对分母配方确定取值范围，进而求分式最值；D：先展开化简，再利用基本不等式求最值，注意检验等号成立条件。 【详解】选项A：因为，且是定义域上的增函数，所以，当时取到最小值1，A正确； 选项B：函数定义域为，令，则， 代入得，最大值为，B错误； 选项C：将函数变形为，分母， 则，故，最大值为6，C错误； 选项D：展开函数得，由基本不等式， 当且仅当时等号成立，故，最小值为25，D正确. 11. 设是定义在上的函数．定义性质：若对任意，，当时，都有，则称函数具有“性质”．下列说法正确的是（ ） A. 函数具有“性质” B. 若为偶函数，且在上单调递增，则具有“性质” C. 若函数具有“性质”，则为偶函数 D. 若函数具有“性质”，则函数在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，直接验证是否满足“性质”，可判断选项正误；对于C，通过构造特例可判断选项正误； 对于D，结合“性质”与函数在上单调递增的定义可判断选项正误. 【详解】对于A，时，在上单调递增， 又，则为偶函数，从而. 所以当时，， 函数具有“性质”，A正确； 对于B，因为偶函数，从而， 又在上单调递增，则对任意，， 当时，， 即此时函数具有“性质”，B正确. 对于C，构造，下面证明，具有“性质”. 令.则具有“性质”， 等价于，，. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 综上可得具有“性质”，但，不是偶函数，C错误； 对于D，任取，则，因具有“性质”， 则，从而， 即，函数在上单调递增，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若对，函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】通过令函数内层变量，求解对应x的值，代入已知表达式即可计算. 【详解】令，得到，所以. 13. 若，，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知等式变形得到，通过“1的代换”结合基本不等式求解最小值． 【详解】已知，， 等式两边同时除以，可得， 所以， 因为，， 所以由基本不等式可得， 当且仅当，即，代入得，解得，，满足题设，等号可取， 因此的最小值为． 14. 设函数：满足，．当时，记方程在区间上的全部实数解之和为，表示不超过的最大整数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用奇偶性和对称性分析对称轴和周期，再先求出一周期内根的值，然后利用周期性叠加可得. 【详解】由函数：满足，可得函数为奇函数，且为其对称轴， 又，再令替换可得， 所以的周期为4， 先求时的解，而， 由可得，由， 故在有两个解， 利用对称性可得在时， ，同理可得， 当时，，由易知无解， 所以一个周期内4个根之和为， 又因为周期为4，所以内的根就是内每个根加4；内是内每个根加8； 所以在区间上的全部根之和为， 所以. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式化简集合，代入的值化简集合，结合补集、并集的定义计算结果； （2）由得，分为空集和非空集两种情况列不等式组求解即可． 【小问1详解】 不等式因式分解得，解得， 所以集合，或， 当时，，， 所以或； 【小问2详解】 由得， 当时，，解得，符合题意， 当时，需满足，无解， 综上实数的取值范围为． 16. 已知函数的图象经过点和． （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于的不等式． 【答案】（1）在上单调递增， 由题意可得， 所以， 证明：设， ， 因为，所以， 所以， 故在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用点在曲线上代入求出函数解析式，再用单调性的定义证明即可； （2）利用单调性解抽象函数不等式即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为，所以， 令，则， 由在上单调递增， 可得，解得或. 所以不等式的解集为. 17. 已知命题：，，命题：，． （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题与命题均为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 命题为假命题，即：，恒成立. 当，即时：时原式，不能恒小于等于；时原式，符合题意. 当，即时，抛物线开口向下，要使原式恒小于等于，需判别式，解得，结合得. 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题为真命题，即使，其解集为（1）中范围的补集，即或. 命题为真命题，即，，令，由得，原式化为，即对所有恒成立. 设，在上，，故. 与均为真命题，取交集得，即实数的取值范围为. 18. 第十九届亚运会在杭州举办，此次赛事秉承“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念．如图所示是场馆使用的自动通风设施，该设施的下部是高为2米的等腰梯形，其中，为2米，为4米．设施的上部是个半圆，固定点E为的中点．是设施内（含边界）由电脑控制的可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），滑动过程中始终与保持平行．当位于下方或上方时，通风窗的形状均为矩形（阴影部分均不通风）．设与之间的距离为（单位：米），矩形的面积为（单位：平方米）． （1）求关于的函数解析式； （2）当与之间的距离为多少米时取得最大值？最大值为多少？ 【答案】（1） （2）当 与之间的距离为米或米时，取得最大值，最大值为平方米． 【解析】 【分析】（1）分别求矩形的长和宽，可得矩形的面积公式. （2）分段讨论函数的最值，可得矩形面积的最大值及对应的与之间的距离. 【小问1详解】 如图①，当时，由题意，，所以矩形的宽为， 因为，，梯形为等腰梯形，所以，所以. 所以矩形的长为. 所以矩形的面积为. 如图②，当时，矩形的宽为， 长， 所以矩形的面积为. 综上，. 【小问2详解】 当时，单调递减，所以； 当时，， 当且仅当即时取等号. 综上可得，当 与之间的距离为米或米时，取得最大值，最大值为平方米． 19. 若对，函数在区间上有最大值和最小值，则称函数为函数的“单位波动函数”． （1）若，求； （2）若，求的最小值； （3）设的单位波动函数为，再定义的单位波动函数为． （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）设．若关于的方程恰有4个不同的实数解，求的取值范围． 【答案】（1）4 （2）1 （3）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性结合定义直接求解即可； （2）根据定义分类讨论的范围，即可得出的解析式，根据图像即可求解最小值； （3）根据定义分类讨论的范围，得出的解析式；再数形结合，由方程恰有4个不同的实数解结合图像列出不等式即可求解． 【小问1详解】 因为是定义在上的减函数， 所以在区间上，最大值, 最小值, 所以． 【小问2详解】 ①当时，区间为，， ； ②当时，， ； ③当时，， ； ④当时，， ； ⑤当时，， ； 所以，作出函数图像， 所以的最小值为1． 【小问3详解】 由（2）知，， 由图像可知，函数图像关于直线对称，即为偶函数， 所以也为偶函数， ①当时，区间为，， ； ②当时，， ； ③当时，， ； ④当时，， ； 综上，． （ⅱ）作出函数的图像， 关于的方程恰有4个不同的实数解函数与有4个不同的交点， 设，，所以函数也为偶函数， 当时，与有2个不同的交点， ①当时，与有1个交点，则 ②当时，令（舍）或， 所以当时，与最多有1个交点， 若有一个交点，则； ③当时，与最多有1个交点， 若有一个交点，则； 所以当时，与有2个交点， 当时，与有2个交点， 当时，与只有1个交点， 综上，时，方程恰有4个不同的实数解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师大附中2026~2027学年上学期期中考试试题 高一年级数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 定义在上的函数，那么“”是“函数是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数当时，，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知函数定义域为，且对，，．若函数满足：，，则的值为（ ） A. 1800 B. 1830 C. 3600 D. 3660 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最大值为1 C. 的最大值为5 D. 的最小值为25 11. 设是定义在上的函数．定义性质：若对任意，，当时，都有，则称函数具有“性质”．下列说法正确的是（ ） A. 函数具有“性质” B. 若为偶函数，且在上单调递增，则具有“性质” C. 若函数具有“性质”，则为偶函数 D. 若函数具有“性质”，则函数在上单调递增 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若对，函数，则________． 13. 若，，且，则的最小值为________． 14. 设函数：满足，．当时，记方程在区间上的全部实数解之和为，表示不超过的最大整数，则________． 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数的图象经过点和． （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于的不等式． 17. 已知命题：，，命题：，． （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题与命题均为真命题，求实数的取值范围． 18. 第十九届亚运会在杭州举办，此次赛事秉承“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念．如图所示是场馆使用的自动通风设施，该设施的下部是高为2米的等腰梯形，其中，为2米，为4米．设施的上部是个半圆，固定点E为的中点．是设施内（含边界）由电脑控制的可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），滑动过程中始终与保持平行．当位于下方或上方时，通风窗的形状均为矩形（阴影部分均不通风）．设与之间的距离为（单位：米），矩形的面积为（单位：平方米）． （1）求关于的函数解析式； （2）当与之间的距离为多少米时取得最大值？最大值为多少？ 19. 若对，函数在区间上有最大值和最小值，则称函数为函数的“单位波动函数”． （1）若，求； （2）若，求的最小值； （3）设的单位波动函数为，再定义的单位波动函数为． （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）设．若关于的方程恰有4个不同的实数解，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $