专题06 恒成立、存在性与参数范围专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题06 恒成立、存在性与参数范围 导数 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、参变分离求参数范围 题型二、端点效应与必要性探路 题型三、恒成立与存在性的量词转化 题型四、整数参数与最优值 题型五、双变量「任意—存在」型 压轴挑战 ▍ 解题通法 恒成立与存在性不是两类函数，而是两类量的关系：「对任意」要扛住最坏情形，把条件翻译成函数的最小值或下确界；「存在」只需挑到最好情形，翻译成最大值或上确界．于是求参数范围的第一步永远是判定量词，第二步是决定参数能否单独解出：能分离的，把参数移到一边，对另一侧求最值，并交代这个最值是「取得到」还是「只逼近」——开区间端点处取不到时，分离出的不等式往往是严格的，但参数取到确界本身仍可能让原不等式成立，必须把临界值代回原式单独检验；不能分离或分离后仍含变量的，回到端点做必要性探路，先用端点处的取等条件或该点的导数符号买到参数的上界与下界，再把这个范围代回证明充分性，两步缺一即失分．两个变量的「任意—存在」要按量词出现的顺序逐层取极值，谁在前谁先定范围，谁在后谁取最有利的一个点，顺序一颠倒，上确界与下确界就互换．参数限定为整数时，先求出实数范围的确界，再把临界整数与其前后整数逐个代回验证取等与否．、 的常用放缩都要先构造辅助函数、用导数证明之后再用，全章的工具只到一阶导数与初等变形． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、参变分离求参数范围 ▸ 典例 1 已知函数 （）．若 恒成立，求 的取值范围． 【答案】． 【分析】分离 ，右端配成 的整体再求最小值． 【详解】解：条件等价于 对任意 成立． 注意到 ，记 ，则右端写成 ． 先定 的范围：设 ，则 ， 当 时 ，当 时 ，故 在 处取最小值 ，即 ，且 在 处取得． 再求 的最小值：，故 在 上单调递增，， 于是右端的最小值为 ，且在区间内的 处取得，等号可以取到，故 ． 回检： 时 ，其余各点 ，恒成立； 时 已不满足，故右端取闭． 所以 的取值范围是 ． ▍ 题型模版 1.特征：不等式中参数只出现一次（或只以 的一次式出现），定义域已知，问「恒成立求参数范围」或「参数的最大值、最小值」． 2.方法：先把参数单独解出，除以含变量的式子之前必须先在定义域上定号；再对另一侧函数求最值，得 或 ；最后把临界值代回原不等式检验等号能否成立． 3.提醒：开区间端点处常常只给确界不给最值，此时分离出的是严格不等式，但参数取确界本身仍可能使原不等式成立，端点开闭要代回判断，不能只看分离后的不等号方向． ▸ 变式 1-1 已知函数 ．若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】． 【分析】 时 ，分离参数得 ；证 单调递增、 是它只在 趋于 时才逼近的下界，再把临界值 回代确认右端取闭． 【详解】解： 的定义域为 ，且 对一切实数 成立，故 处总取等，只需对 讨论． 当 时 ， 等价于 ，两边除以 并整理，得 ．参数已分离，问题化为求 在 上的下确界． 第一步，定 的单调性：， 等价于 ，即 ． 证这个不等式：设 （），则 ，等号只在 成立． 故 在 上单调递增，又 ，所以当 时 ，即 成立，从而 ， 在 上单调递增． 第二步，定下界的数值：对一切 证明 ．移项整理，这等价于 ，两边取倒数（都为正）得 ． 设 ，则 ．再设 ，（）， 故 单调递增且 ，当 时 ， 从 起单调递增，，即 对一切 成立． 第三步，说明 确实只是下确界：当 时有 （设两端之差为 ，则 ，），于是 （这一步用到 ）． 若 ，取正数 同时小于 与 （这样的 总能取到），则 ，在这一点 被破坏，即 并非恒成立，故必须 ． 充分性回代临界值：当 时，设 ，则 （），又 ，故 对 成立． 当 且 时 ，而 ，故 同样成立；且 处三种情形都有 ，等号取得到，右端 可以取闭． 所以 的取值范围是 ． 的下确界 在 内取不到，但把 代回原不等式仍成立，端点开闭仍以回代为准． ▸ 变式 1-2 已知函数 ，．若 恒成立，求 的取值范围． 【答案】． 【分析】在 下分离出 ；该式下确界 只在右端点处逼近、区间内取不到，先用导数证明 ，再分别证必要性与充分性． 【详解】解： 时 ，故 等价于 ， 即 ，两边除以 ，得 对一切 成立． 先定右侧的下界：设 ，；令 ，则 在 上成立， 且 在 趋于 时趋于 ，故 ，于是 在 上单调递减，，即 ． 又 ，所以 ，即 的下确界为 ，它只在 趋于 时被逼近，在区间内取不到． 必要性：若 ，记 ．取 同时满足 与 （ 足够接近 时两条件都能满足）， 则 ，而 ， 于是 ，与恒成立矛盾，故 ． 充分性：当 时，，而 时 ， 故 恒成立，即 恒成立， 这一临界值代回后严格不等式仍成立． 综上， 的取值范围是 ；分离出的函数取不到 ，参数范围右端却取闭，依据就是把临界值代回原不等式的检验． ▍ 题型二、端点效应与必要性探路 ▸ 典例 2 已知函数 ．若 对任意 成立，求实数 的值． 【答案】． 【分析】令 把条件写成 ，用 与 把比值 分别夹在 与 之间，从 的两侧各买一个必要条件，再回代证充分性． 【详解】解：令 ，则 ，，条件化为 对一切 成立，即 ． 先证两个放缩并说明依据：设 ，， 在 上递增、在 上递减，最大值为 ，故 ； 设 ，， 在 上递减、在 上递增，最小值为 ，故 ； 两个不等式的等号都只在 处成立，而 恰是不等式两侧的取等点，这正是必要性探路的落点． 必要性（）：此时 ，由 得 ；由 得 ． 若 ，取 满足 ，则 ，与 矛盾，故 ． 必要性（）：此时 ，条件化为 ；由 得 ，由 得 ． 若 ，取 满足 ，则 ，与 矛盾，故 ． 两个方向合起来得 ，必要性探路已把参数唯一确定． 充分性：当 时， 对一切 成立， 即 恒成立，等号只在 处取得，与题设完全吻合．所以 ． ▍ 题型模版 1.特征：恒成立的不等式在区间端点或某个固定点处恰好取等，或题面写「当且仅当」，或要求「求 的值」；参数分离后另一侧的最值仍求不出． 2.方法：第一步做必要性探路：把该点处的取等关系、或自变量趋于该点时的比值代入，买到参数的上界或下界；第二步做充分性回代：把探到的值（或范围）代回原不等式，构造辅助函数、求导、判符号、定单调，证明确实恒成立，两步都要写出来． 3.提醒：必要性只给范围不给结论，临界值必须回代验证；两个方向探出的界交于一点时参数被唯一确定，此时答案是数而不是区间；「当且仅当」要把解集的每个端点都看成取等点． ▸ 变式 2-1 已知函数 ．当 时， 恒成立，求 的取值范围． 【答案】． 【分析】充分性用放缩 （由 证得）；必要性设在 处考察 的导函数 ，由 推出局部递增，从而破坏严格不等式． 【详解】解：记 ，则 ，条件即 对一切 成立； 恰是左端取等的端点． 先证放缩：设 ，（因 且 ），又 ，故 时 ，即 ． 取 ，两边同乘 ，得 ． 充分性：若 ，则当 时 ，故 ，于是 ， 即 对一切 成立， 恒成立． 必要性：若 ，设 ，则 ，且 ，于是 ． 由 知存在 ，使 时 ，故 对 成立， 从而 在 上单调递增，，即在该区间内有 ，与恒成立矛盾，故 ． 综上， 的取值范围是 ．若改作分离参数， 时条件等价于 ，其右端的下确界 只在 趋于 时逼近、区间内取不到， 但把 代回仍有 严格成立，故右端取闭． ▸ 变式 2-2 设 ．若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围． 【答案】． 【分析】单调递增翻译成 在 上恒成立；除以 后得 ，它是增函数，在左端 趋于 处探路买到必要条件 ，再由 的递增性补足充分性． 【详解】解： 的定义域为 ，． 在 上单调递增，需要 对一切 成立． 因为 ，两边除以 ： 等价于 ．记 ，由 知 ，指数函数 单调递增，故 在 上随 单调递增． 必要性（在端点 处探路）：若 ，即 ，则 （这里 ，可以作除数）． 因为 、， 存在；当 时 ，即 ， 此时 在整个 上成立， 在该区间上单调递减，与「 在 上单调递增」矛盾．故必须 ． 于是 ，即 ，即 ，解得 或 ；后者与 矛盾，舍去． 充分性：若 ，则 ，．对一切 ，，故 ， 即 对一切 成立， 在 上单调递增，符合条件． 临界值检验： 时 、，仍有 时 ， 严格成立（ 只出现在区间之外的端点 处），所以左端取闭； 又题设 给出右端 （开）．所以 的取值范围是 ． 本题的探路点在左端 趋于 ： 递增意味着最不利的位置在左端，把「 充分接近 时不等式必须成立」翻译成 ，再沿 的单调性向右补足，两步缺一不可． ▍ 题型三、恒成立与存在性的量词转化 ▸ 典例 3 已知 ，函数 ，．若曲线 与曲线 有公共点，当 时，求 的取值范围． 【答案】． 【分析】「有公共点」是存在性：存在 使 ，于是 必须落在函数 的值域内，问题转成求该函数的最小值． 【详解】解： 时 ，两曲线有公共点等价于存在 使 ，定义域为 ． 时左端为 、右端为 ，不是公共点，故 ；又 ，必须 ，方程化为 ． 设 （），， 当 时 ，当 时 ，故 在 处取最小值 ，且该最小值在定义域内取得，等号可以取到． 当 趋于 与 时 都趋于 ，而 在 上连续，故 的值域为 ． 于是「存在 使 」等价于 ，这里是把存在性翻译成 的上、下确界中的下确界一侧：只要 不小于最小值就能取到． 回检： 时两曲线在 处相切，恰有一个公共点； 时 对一切 成立，无公共点． 故 的取值范围是 ． ▍ 题型模版 1.特征：题面出现「对任意」「存在」「有公共点」「恰有一个」等量词，或两个函数之间用不等式、方程相连，参数只在其中一个式子里． 2.方法：先把量词翻成最值比较：对任意 有 用 在 上的最小值，存在 使 用 在 上的最大值；两式相衔时按量词顺序依次取最值，写清哪一侧取上确界、哪一侧取下确界，再解关于参数的不等式． 3.提醒：「有公共点」是存在性，用值域而不是恒成立；区间端点取不到时写确界，并把临界参数代回原方程看解是否存在；「任意」与「存在」互为否定，求「不存在」时先求「对任意都不」再取补集． ▸ 变式 3-1 已知 ，且 对任意 成立，则 的最小值为            ． 【答案】． 【分析】把 记作 ，用 把不等式整理成 ；代入 消去 买到 ，再取 完全配方证明可以取到． 【详解】解：记 ，则 ，代入得 ． 条件为 对任意 成立． 必要性：取 ，含 的项消失，得 ，故 ，即 ． 充分性：当 时取 ，则 ，此时 对一切实数 成立， 特别地对 成立，故 可以取到，等号在 处取得，这一点的横坐标落在区间内部． 回检：必要性所用的是区间内的点 ，不存在取不到的问题；若 ，则 处不等式已被破坏． 所以 的最小值为 ；故填 ． ▸ 变式 3-2 已知函数 的定义域是 ，，导函数 ．设 是曲线 在点 （）处的切线．当 时，证明：除切点 外，曲线 在直线 的上方． 【答案】见详解． 【分析】先由导函数还原 ，再作差 ，用 的单调性与 判定 的符号，得 只在 处取最小值 ． 【详解】证明：设 ，则 ， 故 的导函数在 上恒为 ，它在整个定义域上是常数；又 ，所以 ． 记 ，：当 时 ，当 时 ， 即 在 上单调递增，在 上单调递减． 作差：，则 ，，；条件是「对任意 且 ，」． 当 时 ，故 ，且 ． 在 上：由 单调递增， 时 ， 时 ， 故 在 上递减、在 上递增，于是 对一切 、 成立． 在 上：，，故 ，于是 ， 在该区间上递增， 从而 （因 ，上一段已给出 ）． 两段合并：对一切 且 都有 ，即 ， 这正是「除切点 外，曲线 在直线 的上方」． ▍ 题型四、整数参数与最优值 ▸ 典例 4 已知函数 ，其中 为整数．若对任意 ， 恒成立，求 的最大值． 【答案】． 【分析】分离得 ，右侧在 处取到能取到的最小值 ，夹出 ，再把临界整数 与下一个整数 分别代回验证． 【详解】解： 时 等价于 （因 ，除以它不等号方向不变）． 设 （），， 当 时 ，当 时 ，故 在 处取最小值 ，且此最小值在区间内取得，等号可以取到． 于是 ．估计它的位置：由 得 ，故 ；由 得 ，故 ，即 ． 因此整数 至多为 ．下面把临界整数逐个代回验证． 时，需 对 成立．当 时 ，成立；当 时两边同取对数，只需 ． 设 ，， 在 上递减、在 上递增，最小值 （因 ）， 故 对 成立， 确实符合条件． 时，取 ，（因 ），不符合条件；更大的整数只使左端更小，更不成立． 所以 的最大值为 ． ▍ 题型模版 1.特征：参数被限定为整数（或问「最大的整数」「最小的整数」），而实数范围的确界不是整数，答案由确界附近的整数决定． 2.方法：先按参变分离或最值转化求出实数范围的确界，再用可证的估计（如 、）比较确界与相邻整数的大小；最后把临界整数与它前后各一个整数代回原不等式，成立的保留、不成立的舍去． 3.提醒：确界取得到时临界整数也可能可取，确界取不到时要留出不等余地；问「最大值」答一个数，问「取值范围」答区间，对象不能答错；比较大小给出的估计要能证明，不能只写小数． ▸ 变式 4-1 若对任意 ，不等式 恒成立，则整数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离得 ，右侧在 上递增，最大值 在端点 处取得，故 ，最小整数为 。 【详解】解： 时 ， 等价于 ． 设 ， 在 上成立，且等号只在 处取得，故 在 上单调递增， 的最大值为 ，在闭区间端点处取得，可以取等，故 ． 由 知 ，故不小于 的整数从 开始． 逐个验证临界整数： 时，取 ，，不等式不成立； 时，需 ，由 （）成立，故 符合条件． 所以整数 的最小值为 ，选 B． ▸ 变式 4-2 已知函数 ．若存在 ，使得 成立，则整数 的最大值为            ． 【答案】． 【分析】存在性对应取最大值： 在 上递增，最大值为 ，故 ，再由 定出整数 的最大值。 【详解】解： 对 成立，故 在 上单调递增， 最大值为 ，最小值为 ． 「存在 使 」等价于 的最大值 ，即量词「存在」对应上确界，此处上确界就是最大值且在 处取到． 估计位置：由 得 ，故 ，于是 ，其中右端不等式因 显然成立． 整数 至多为 ．逐个验证： 时取 ，，成立； 时需 ，而 ，不成立． 故整数 的最大值为 ；故填 ． ▍ 题型五、双变量「任意—存在」型 ▸ 典例 5 已知函数 ． （1）求 在区间 上的最大值； （2）给定 和 ，证明：存在 ，使得 ； （3）设 ，若存在 ，使得 对 恒成立，求 的最小值． 【答案】（1）；（2）见详解；（3）． 【分析】第（3）问是「存在—任意」双层量词：外层「存在 」挑最有利的一个（取 ，用第（1）问定上界），内层「任意 」要扛最坏情形，用第（2）问在长度为 的区间里挑出使 最小的 ，得到与 无关的下界． 【详解】（1）解：．在 内由 得 ，即 ． 当 时 且 ，；当 时 ，， 故 在 处取最大值 ；端点值 与 都小于 ． （2）证明：设 表示数轴上的点 到最近的 的奇数倍 （ 为整数）的距离，则 ． 若 ，则 ，取 ，（因 时 ），结论成立． 若 ，取区间 中离 较近的端点为 ，则 到 的距离为 ，于是 ． 由 知 ，而 在 上单调递减，故 ， 从而 ，且 是区间端点，属于 ，所求的 存在． （3）解：记 ．条件是存在某个 ，使 对一切 成立，即 不小于 的最大值； 按量词顺序应先把内层「任意 」翻译成 ，再对外层「存在 」求 的最小可能值． 可行性（取 ）：此时 为偶函数并以 为周期，只需看 ．在 上由（1）知 ； 在 上 ，由 得 ，而 得 ，故这一段上 ； 于是 时 ，取 就满足条件，说明 的最小值不超过 ． 必要性（任何 都躲不开）：当 取遍 时， 取遍 ． 在（2）中取 、 换成 ，存在 使 ； 令 ，则 ，且 ， 于是 ，故对每个 ， 的最大值都不小于 ，从而 ． 两层合并： 的最小值为 ． ▍ 题型模版 1.特征：一条不等式里同时含两个变量（或「参数—变量」两层），并分别带「任意」「存在」；或形如「存在一个参数，使不等式对一切实数成立，求另一量的最值」． 2.方法：按量词出现的顺序逐层求极值：外层「任意」用最小值（最坏情形），外层「存在」用最大值（最好情形）；内层同理，逐层写成「谁的上确界不小于谁的下确界」的链条，再解参数；必要时先固定一个量、对另一个量求最值． 3.提醒：两个变量彼此独立，不能把它们当成同一个自变量；先外层后内层，顺序颠倒就把上确界与下确界互换；若某一层只能取到确界，最终答案端点的开闭要单独检验． ▸ 变式 5-1 设 ，函数 ，直线 是曲线 在点 （）处的切线． （1）求证： 不经过点 ； （2）当 时，设 （）、、， 为 与 轴的交点， 与 分别表示 与 的面积．是否存在点 使得 成立？若存在，这样的点 有几个？（参考数据：，，） 【答案】（1）见详解；（2）存在，这样的点 有 个． 【分析】（1）把「过原点」翻译成 ，构造 用导数证明它恒正；（2）两个三角形同高 ，面积关系化为 ，整理得 ，再用 的单调性与参考数据定出零点的个数与位置． 【详解】（1）证明：，切线 的方程为 ． 若 经过 ，代入得 ．而 ， 设 ，（），又 ，故 时 ． 由 知 ，与假设矛盾，所以 不经过点 ． （2）解： 时 ， 与 轴交点 的纵坐标为 ． 以 为底（长为 ，在 轴上）、以 到 轴的距离 为高，故 ；同理 ． 于是 等价于 ，即 ，亦即 ， 整理得 ，即 （），点 与方程 的正根一一对应． 求 的变化：，， 故 在 上单调递增，在 上单调递减． 先备一个估计：设 （），，，故 时 ；取 得 ． 于是 ，，故 在 内有唯一零点 ； 又 ，（用参考数据），故 在 内有唯一零点 ． 从而 在 上递减、在 上递增、在 上递减，且 ，故 ，而 ． 再定几处的符号：设 （），，，故 ，取 得 ； 由 知 ，故 ；而 ， 因 且 在 上递增，所以 在 内有且只有一个零点． 又在 上 递减：，， 所以 在 内有且只有一个零点； 上 递减且 ，无零点． 三段合并： 在 内恰有两个解，分别在 与 内，每个解对应唯一点 ， 故存在满足条件的点 ，这样的点 有 个． ▸ 变式 5-2 已知函数 （），（）． （1）若对任意 ，存在 ，使得 成立，求 的取值范围； （2）若存在 ，对任意 ，使得 成立，求 的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】两问只差量词顺序：「任意—存在」要 的最小值不小于 的最小值，「存在—任意」要 的最大值不小于 的最大值，内层的上、下确界随外层量词一起换。 【详解】解： 在 上先减后增，最小值 、最大值 ； 在 上单调递增，最小值 、最大值 ． （1）量词顺序为「任意—存在」：外层「任意 」要扛最坏的那个 ，用 的下确界 ；内层「存在 」只挑最有利的一个，用 的下确界 ， 故条件等价于 ，即 ，得 ． 回检： 时 ，对一切 有 ，取 即可； 时取最坏的 ， 小于一切 ，不成立． （2）量词顺序为「存在—任意」：外层「存在 」挑最有利的一个，用 的上确界 ；内层「任意 」要扛最坏的 ，用 的上确界 ， 故条件等价于 ，即 ，得 ． 回检： 时取最好的 ，对一切 有 ； 时 ，而 的任何函数值都不超过 ，取不到满足要求的 ，不成立． 两个区间都是闭区间，上、下确界都是能取到的最值，故两问的端点都取闭；量词一交换，内层由下确界换成上确界，外层同时由下确界换成上确界，答案随之改变． ▍ 压轴挑战 1．已知函数 （，、 为常数），则曲线 的对称中心为 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令 把解析式平移到以 为中心，奇偶项分离后只剩常数项 ，由 定对称中心． 【详解】解：设 ，，则 ，， ，． 两式相加，对数项 与 互为相反数， 项互为相反数，一次项相加得 ，故 ， 又 ，即 对一切 成立， 所以曲线 关于点 中心对称，选 B． 2．设函数 在 的某邻域内可导，且 ．下列说法正确的是 （　　）（多选） A．若 在 上恒成立，则 B．若 ，则存在 ，使 在 上恒成立 C．若 且 在 上单调递增，则 是 的极小值点 D．若 ，则存在 ，使 在 上恒成立 【答案】ABC 【分析】端点处恒非负只能给出导数的必要条件；反过来由导数符号推局部不等式要用导数定义或单调性判定；D 用 否定． 【详解】解：A 正确：若 ，按导数定义，当 为正数且充分接近 时 ，即 ，与 矛盾，故 ． B 正确： 时，由导数定义存在 ，当 时 ，而 ，故 ． C 正确： 在 上单调递增且 ，则 时 、 时 ， 故 在 上递减、在 上递增， 是极小值点． D 错误：取 ，， 虽满足 ， 但当 时 ，无论 多小， 内总使不等式被破坏，必要条件推不出结论． 所以选 ABC． 3．已知 （）．若命题「对任意 ，」与命题「存在 ，」同时为真，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个量词都落到同一个最小值上：「任意」要求 不超过最小值，「存在」要求 不小于最小值，等号可以同时成立。 【详解】解：，故 在 上递减、在 上递增，最小值为 ，且在区间内取得，等号可以取到． 「对任意 ，」为真，等价于 ； 「存在 ，」为真，等价于 ：取 即知 时命题成立，反之若 ，则 对一切 成立，命题为假． 于是 ，故 ；取 时两个命题都为真，所以推不出严格不等号， 故选 B． 4．已知函数 ．若 对任意 成立，则实数 的值为 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】与母题同型：把 两侧分开，用 与 把 分别夹在 与 之间，两侧各买到一个界，交于 。 【详解】解：先备两个放缩： 与 （）， 二者分别由「 的最大值为 」与「 的最小值为 」证得，等号都只在 成立． 必要性（）：此时 ，条件给出 ；由 得 ． 若 ，取 满足 ，则 ，与 矛盾，故 ． 必要性（）：此时 ，条件化为 ；由 两边同除以负数得 ． 若 ，取 满足 ，则 ，与 矛盾，故 ． 于是只能 ．充分性：设 ，， 在 上递减、在 上递增，最小值 ， 故 对一切 成立，等号在 处取得， 确实符合，选 B． 5．已知函数 ．若存在 ，使得 ，则 的取值范围是 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】「存在」是「对任意都不」的否定：先求出使 恒成立的 的范围，再取补集，端点的开闭由该处是否恒成立决定。 【详解】解：记 ，则 ，「存在 使 」即「存在 使 」， 它与「对任意 ，」互为否定，故先求后者成立的范围再取补集． 设 ， 且 ，故 时 ； 取 并乘以 得 ．当 时 ， 即 对一切 成立，此时不存在满足要求的 ． 设 ，，，则 ． 当 时 ，存在 使 时 ，从而 、， 即在 内都有 ，存在性成立． 所以 的取值范围是 ，选 B； 落在「恒成立」一侧，取补集后端点要开． 6．已知函数 的定义域是 ，，导函数 ，则 的最大值为            ． 【答案】 【分析】把 当成函数 求最值：导数符号由 决定，极值点在 处，且该点在定义域内。 【详解】解：设 （），则 ． 当 时 ，；当 时 ，， 故 在 上递增、在 上递减，在 处取最大值 ，等号可以取到． 又 趋于 时 趋于 ， 趋于 时 趋于 ，均不影响最大值． 故 的最大值为 ；故填 ． 7．已知函数 的定义域是 ，，导函数 。设 是曲线 在点 （）处的切线，过点 的直线 与 垂直，、 与 轴交点的横坐标分别为 、。若 ，则 的取值范围为            ． 【答案】 【分析】把两个横坐标用 与 表示，比值只剩 ，再用 的范围 与 的单调性定界。 【详解】解：由 满足 且 知 ． 记 ，因 故 ；设 ，则 ． 由 ：，令 得 ；由 ：，令 得 ． 于是 ，， 两式相除得 ，其中 ． 由上一空， 的最大值为 ，在 处取到；又 时 单调递增、 由 （ 趋于 ，取不到）增到 ，故 的取值范围是 ． 设 ，它在 时单调递减，故 ， 等号在 处取得，可以取到；当 趋于 时 趋于 ，但 时 ， 恒成立，故 只逼近取不到． 所以取值范围是 ；故填 ． 8．已知函数 ， 为 的导函数． （1）证明： 在区间 内存在唯一零点； （2）若当 时， 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1）见详解；（2）． 【分析】（1）设 ，讨论 的单调性后用零点存在性定理；（2）先用 处的取等买到 ，再用（1）的零点定出 先增后减与 ，说明 也充分． 【详解】（1）证明：． 设 ，则 ． 当 时 ， 递增；当 时 ， 递减． 又 ，故 时 ，特别 ；而 ． 在 上连续且单调递减，由零点存在性定理，存在唯一 使 ， 再结合 时 知 在 内有唯一零点 ． （2）解：必要性：．若 ，取 得 ，与恒成立矛盾，故 ． 充分性：由（1）， 时 ， 时 ， 故 在 上递增、在 上递减， 在 上的最小值只能在端点取得． 又 、，故 对一切 成立，即 时 成立． 当 且 时 ，故 ，恒成立同样满足． 回检取等： 时等号在 与 两处取得，说明 只要增大就破坏不等式，故 恰为临界值，且 可以取到． 综上， 的取值范围是 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 恒成立、存在性与参数范围 导数 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、参变分离求参数范围 题型二、端点效应与必要性探路 题型三、恒成立与存在性的量词转化 题型四、整数参数与最优值 题型五、双变量「任意—存在」型 压轴挑战 ▍ 解题通法 恒成立与存在性不是两类函数，而是两类量的关系：「对任意」要扛住最坏情形，把条件翻译成函数的最小值或下确界；「存在」只需挑到最好情形，翻译成最大值或上确界．于是求参数范围的第一步永远是判定量词，第二步是决定参数能否单独解出：能分离的，把参数移到一边，对另一侧求最值，并交代这个最值是「取得到」还是「只逼近」——开区间端点处取不到时，分离出的不等式往往是严格的，但参数取到确界本身仍可能让原不等式成立，必须把临界值代回原式单独检验；不能分离或分离后仍含变量的，回到端点做必要性探路，先用端点处的取等条件或该点的导数符号买到参数的上界与下界，再把这个范围代回证明充分性，两步缺一即失分．两个变量的「任意—存在」要按量词出现的顺序逐层取极值，谁在前谁先定范围，谁在后谁取最有利的一个点，顺序一颠倒，上确界与下确界就互换．参数限定为整数时，先求出实数范围的确界，再把临界整数与其前后整数逐个代回验证取等与否．、 的常用放缩都要先构造辅助函数、用导数证明之后再用，全章的工具只到一阶导数与初等变形． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、参变分离求参数范围 ▸ 典例 1 已知函数 （）．若 恒成立，求 的取值范围． ▍ 题型模版 1.特征：不等式中参数只出现一次（或只以 的一次式出现），定义域已知，问「恒成立求参数范围」或「参数的最大值、最小值」． 2.方法：先把参数单独解出，除以含变量的式子之前必须先在定义域上定号；再对另一侧函数求最值，得 或 ；最后把临界值代回原不等式检验等号能否成立． 3.提醒：开区间端点处常常只给确界不给最值，此时分离出的是严格不等式，但参数取确界本身仍可能使原不等式成立，端点开闭要代回判断，不能只看分离后的不等号方向． ▸ 变式 1-1 已知函数 ．若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围． ▸ 变式 1-2 已知函数 ，．若 恒成立，求 的取值范围． ▍ 题型二、端点效应与必要性探路 ▸ 典例 2 已知函数 ．若 对任意 成立，求实数 的值． ▍ 题型模版 1.特征：恒成立的不等式在区间端点或某个固定点处恰好取等，或题面写「当且仅当」，或要求「求 的值」；参数分离后另一侧的最值仍求不出． 2.方法：第一步做必要性探路：把该点处的取等关系、或自变量趋于该点时的比值代入，买到参数的上界或下界；第二步做充分性回代：把探到的值（或范围）代回原不等式，构造辅助函数、求导、判符号、定单调，证明确实恒成立，两步都要写出来． 3.提醒：必要性只给范围不给结论，临界值必须回代验证；两个方向探出的界交于一点时参数被唯一确定，此时答案是数而不是区间；「当且仅当」要把解集的每个端点都看成取等点． ▸ 变式 2-1 已知函数 ．当 时， 恒成立，求 的取值范围． ▸ 变式 2-2 设 ．若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围． ▍ 题型三、恒成立与存在性的量词转化 ▸ 典例 3 已知 ，函数 ，．若曲线 与曲线 有公共点，当 时，求 的取值范围． ▍ 题型模版 1.特征：题面出现「对任意」「存在」「有公共点」「恰有一个」等量词，或两个函数之间用不等式、方程相连，参数只在其中一个式子里． 2.方法：先把量词翻成最值比较：对任意 有 用 在 上的最小值，存在 使 用 在 上的最大值；两式相衔时按量词顺序依次取最值，写清哪一侧取上确界、哪一侧取下确界，再解关于参数的不等式． 3.提醒：「有公共点」是存在性，用值域而不是恒成立；区间端点取不到时写确界，并把临界参数代回原方程看解是否存在；「任意」与「存在」互为否定，求「不存在」时先求「对任意都不」再取补集． ▸ 变式 3-1 已知 ，且 对任意 成立，则 的最小值为            ． ▸ 变式 3-2 已知函数 的定义域是 ，，导函数 ．设 是曲线 在点 （）处的切线．当 时，证明：除切点 外，曲线 在直线 的上方． ▍ 题型四、整数参数与最优值 ▸ 典例 4 已知函数 ，其中 为整数．若对任意 ， 恒成立，求 的最大值． ▍ 题型模版 1.特征：参数被限定为整数（或问「最大的整数」「最小的整数」），而实数范围的确界不是整数，答案由确界附近的整数决定． 2.方法：先按参变分离或最值转化求出实数范围的确界，再用可证的估计（如 、）比较确界与相邻整数的大小；最后把临界整数与它前后各一个整数代回原不等式，成立的保留、不成立的舍去． 3.提醒：确界取得到时临界整数也可能可取，确界取不到时要留出不等余地；问「最大值」答一个数，问「取值范围」答区间，对象不能答错；比较大小给出的估计要能证明，不能只写小数． ▸ 变式 4-1 若对任意 ，不等式 恒成立，则整数 的最小值为（　　） A． B． C． D． ▸ 变式 4-2 已知函数 ．若存在 ，使得 成立，则整数 的最大值为            ． ▍ 题型五、双变量「任意—存在」型 ▸ 典例 5 已知函数 ． （1）求 在区间 上的最大值； （2）给定 和 ，证明：存在 ，使得 ； （3）设 ，若存在 ，使得 对 恒成立，求 的最小值． ▍ 题型模版 1.特征：一条不等式里同时含两个变量（或「参数—变量」两层），并分别带「任意」「存在」；或形如「存在一个参数，使不等式对一切实数成立，求另一量的最值」． 2.方法：按量词出现的顺序逐层求极值：外层「任意」用最小值（最坏情形），外层「存在」用最大值（最好情形）；内层同理，逐层写成「谁的上确界不小于谁的下确界」的链条，再解参数；必要时先固定一个量、对另一个量求最值． 3.提醒：两个变量彼此独立，不能把它们当成同一个自变量；先外层后内层，顺序颠倒就把上确界与下确界互换；若某一层只能取到确界，最终答案端点的开闭要单独检验． ▸ 变式 5-1 设 ，函数 ，直线 是曲线 在点 （）处的切线． （1）求证： 不经过点 ； （2）当 时，设 （）、、， 为 与 轴的交点， 与 分别表示 与 的面积．是否存在点 使得 成立？若存在，这样的点 有几个？（参考数据：，，） ▸ 变式 5-2 已知函数 （），（）． （1）若对任意 ，存在 ，使得 成立，求 的取值范围； （2）若存在 ，对任意 ，使得 成立，求 的取值范围． ▍ 压轴挑战 1．已知函数 （，、 为常数），则曲线 的对称中心为 （　　） A． B． C． D． 2．设函数 在 的某邻域内可导，且 ．下列说法正确的是 （　　）（多选） A．若 在 上恒成立，则 B．若 ，则存在 ，使 在 上恒成立 C．若 且 在 上单调递增，则 是 的极小值点 D．若 ，则存在 ，使 在 上恒成立 3．已知 （）．若命题「对任意 ，」与命题「存在 ，」同时为真，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知函数 ．若 对任意 成立，则实数 的值为 （　　） A． B． C． D． 5．已知函数 ．若存在 ，使得 ，则 的取值范围是 （　　） A． B． C． D． 6．已知函数 的定义域是 ，，导函数 ，则 的最大值为            ． 7．已知函数 的定义域是 ，，导函数 。设 是曲线 在点 （）处的切线，过点 的直线 与 垂直，、 与 轴交点的横坐标分别为 、。若 ，则 的取值范围为            ． 8．已知函数 ， 为 的导函数． （1）证明： 在区间 内存在唯一零点； （2）若当 时， 恒成立，求 的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $