专题04 数列与不等式：放缩、恒成立与存在性 压轴题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题04 数列与不等式：放缩、恒成立与存在性 数列 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、比较大小与项的差商分析 题型二、裂项型放缩 题型三、指数、对数背景下的放缩 题型四、恒成立与参数范围 题型五、存在性与任意性的双层量词 压轴挑战 ▍ 解题通法 数列与不等式的交汇，先要把比较落到作差或作商上： 递增等价于 对每个 成立，两个和式比大小就作差后因式分解看符号；求和不等式的第一工具是裂项，能把和式算成“常数减去一个正项”是上界证出的标志，算不出精确和时就把通项放大到可裂项的形状，放大之后紧跟着验证等号能否取到；指数背景的放缩同样落在“常数减正项”上，负公比的和式要按 的奇偶分别判断它偏向哪一侧；恒成立问题优先分离参数，把参数压在数列的最值上，最值用作差与项的符号变化判定，端点必须代回原式检验；存在性与双重量词的题目，第一动作是按量词的先后顺序把它们翻译成最值关系：任意在前就压到最大项或最小项，存在在后只需在允许范围内落一个对象，参数范围的端点还要代回检验能否取到．全讲的单调性与最值都在数列的框架内完成，回到作差、作商与单调性的定义． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、比较大小与项的差商分析 ▸ 典例 1 已知 为等差数列， 满足：当 为奇数时 ，当 为偶数时 ．记 ， 分别为数列 ， 的前 项和，，． （1）求 的通项公式； （2）证明：当 时，． 【答案】（1）；（2）证明见详解． 【分析】第（1）问把 、 都化成 、 的方程；第（2）问按 的奇偶分别求出 ，再与 作差，因式分解后判断符号． 【详解】解：（1）设 的公差为 ，则 ，，． 由 ，，化简得 且 ，解得 ，，所以 ． （2）由（1）得 ，且当 为奇数时 ，当 为偶数时 ． 当 为偶数，设 ，两两配对得 ，所以 ． 此时 ，当 时 ，所以 ． 当 为奇数且 时， 为偶数，由偶数情形 ，又 ，所以 ． 于是 ，当 时 且 ，所以 ． 综合奇偶两种情形，当 时恒有 ． ▍ 题型模版 1.特征：给出两个数列（或两个和式 与 、含参通项与常数），要求比较大小、判断单调性，或由单调性反推参数符号；也有一列正数（如相邻两项的商、几个比值）满足差的条件，再给出它们的总和与某个总比值，要求反推其中的某一项． 2.方法：作差优先：先把差数列的通项求出来，再按奇偶分组或因式分解定号；各项为正时可用比值与 比较； 的单调性要翻译成相邻项之差（或比）的符号条件． 3.提醒：作差结果必须化成乘积形式才能逐因子定号；分组求和后收尾要交代奇数情形由 补上；公比未必为正，比值法使用前要先确认各项同号． ▸ 变式 1-1 设等差数列 的公差为 ，若数列 为递减数列，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令 ，作商 ，递减等价于该比值恒小于 ，再由底数 把指数不等式翻译成 ． 【详解】解：设 ，各项为正，可以作商．因为 ，所以 ，是与 无关的常数． 数列 随 增大而增大． 为递减数列等价于对每个 都有 ，即 ，即 ． 反过来，当 时比值 恒成立， 确实递减，故条件恰为 ，选 D． 只看 的单调性不够：指数上是乘积 ，其相邻项之差为 ，符号由 与 共同决定，单给 的符号无法判定． ▸ 变式 1-2 某古建筑屋顶的举架结构中，相邻两桁之间的水平距离称为步，铅直距离称为举．其屋顶截面自下而上由四段相等的步与相应的四个举依次拼接而成，设每段步长均为 ，四个举自下而上依次为 ，，，，相邻桁的举步之比依次为 ，，，．若 ，， 成公差为 的等差数列，且该截面最低点与最高点的连线斜率为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把四个举步之比看成一列正数：每个举都等于相应比值乘以同一个步长 ，于是最低点与最高点连线的斜率就是四个比值之和除以 ；，， 成等差数列时三项之和等于中间项的 倍，先定 ，再加公差即得 ． 【详解】解：四段步长均为 ，故 ，，，，四段水平距离之和为 ． 最低点与最高点的连线在水平方向移动 ，在铅直方向上升 ，每一步上升的高度都是相应比值乘以 ，所以斜率为 ，其中步长 被约去． 由 得 ，即 ． ，， 成公差为 的等差数列，即 ，，代入得 ，解得 ． 所以 ，选 D． 回代检验：，， 与 相加得 ，除以 恰为 ；三个举步之比依次增大且相邻两项之差都是 ，与公差条件一致，且 与 的中间项正是 ，故四个比值都取正值，斜率方向与屋顶逐段抬高的事实相符． ▍ 题型二、裂项型放缩 ▸ 典例 2 记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列． （1）求 的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1）；（2）证明见详解． 【分析】第（1）问由首项与公差写出 ，与 版本作差后用累乘法；第（2）问把 裂成 ，求和写成“ 减去正项”后收尾． 【详解】解：（1），所以 ，即 ． 当 时 ，两式相减得 ，整理得 ，即 ． 累乘得 ， 时也成立，故 ． （2）由（1）得 ，这是恒等变形，没有放缩，方向不会出错． 于是 ． 因为 对一切 成立，所以 ，即 ． 检验： 时左边 ，公式给出 ，一致；和式 随 增大而增大且恒小于 ，趋近 而取不到 ，故严格不等号成立． ▍ 题型模版 1.特征：和式的通项是分式，分母可写成两个（或三个）因子之积且因子之差为常数（如 、、 型），要求证明“前 项和小于常数”；也有一开始只要求证明一个相邻两项之差的恒等式（如 ），再靠它相消求和． 2.方法：能恒等裂项的先裂后求和，把结果写成“常数减去正项”，正项即放缩落点；不能直接裂的（如 ）先按放缩方向放大成可裂形状 再求和，写清放大后等号为啥取不到；题面给出 的形状时，先证恒等式、再对 求和相消；和式里带 的先按奇偶配对把符号因子消掉，剩下的用错位相减． 3.提醒：分母两因子差为 时首尾各留两项，括号外的系数最易漏；放缩只能“放到恰好可裂”，放过头上界就关不住；右边常数是可取到的还是取不到的，决定写 还是 ；配对求和必须交代 项恰好配成 对，不错项、不丢尾． ▸ 变式 2-1 设 为等差数列， 为等比数列，且 ． （1）求 和 的通项公式； （2）记 的前 项和为 ，求证：； （3）求 ． 【答案】（1），；（2）证明见详解；（3）． 【分析】第（1）问用 列出 、 的方程；第（2）问把右端写成 ，与左端系数逐项对照，它正是“相邻两项之差”的裂项形状；第（3）问按 的奇偶两两配对，先消去 ，剩下的一次式乘等比式用错位相减求和． 【详解】解：（1）设 的公差为 ， 的公比为 （），由 得 ，． 由 得 ，即 ；由 得 ，即 ，解得 或 ． 若 ，则 ，与等比数列的公比不为 矛盾，舍去，故 ，，，． 回代检验：，，四个条件 全部落实． 证明：（2）因为 ，所以 ，只需比较 与 ． 由（1）得 ，，故 ；又 ，两式相同． 于是 对一切 成立，这是恒等变形，不涉及放大缩小． 裂项说明：若记 ，第（2）问即 ，对 求和时中间各项两两相消，只剩 ，这就是构造可裂项形状的用途． 解：（3）求和式里带着 ，先把 的奇数项与偶数项配成一对： 与 （）． 当 时 ，，且 ；当 时 ，，且 ． 一对之和为 ， 已完全消去． 所以 ，其中 是一次式乘等比式，用错位相减． ，两边乘 得 ，两式相减得 ，解得 ． 故所求和为 ． 检验： 时原式 ，公式给出 ； 时四组依次为 、、、，和为 ，公式给出 ，均吻合． ▸ 变式 2-2 当 时，证明：． 【答案】证明见详解（放缩方向：把 放大为 ，等号取不到）． 【分析】 本身不能裂项，借助 把它放大到可裂项的形状，求和后恰好剩下 ． 【详解】证明：当 时 ，故 ，两边取倒数得 ． 这是放大放缩：左严格小于右，逐项相加等号不会在求和后出现，最终只能得到严格不等号． 对 求和：． 两边同加 ，得 ． 检验起点： 时左边 ，右边 ， 成立，放大方向无误． ▍ 题型三、指数、对数背景下的放缩 ▸ 典例 3 已知数列 的通项公式为 ，记其前 项和为 ． （1）求 ； （2）证明：． 【答案】（1）；（2）证明见详解． 【分析】“一次式乘等比式”用错位相减，结果整理成“常数减去正项”，正项 恒正就是上界 的证明． 【详解】解：（1），两边乘 得 ． 两式相减：． 通分合并：，所以 ，即 ． 检验： 时 ，公式给出 ； 时 ，公式给出 ，均吻合． （2）因为 且 ，所以 对一切 成立，从而 ． 放缩说明：这里是“精确和减正项”的直接比较，不涉及放大缩小方向；正项 恒不为 ，等号取不到，且 逐项增大趋近 ． ▍ 题型模版 1.特征：通项含指数式（ 这类差比型、、），或题面以指数、对数为背景，要求和与常数的比较、判断“对任意 ”的选项． 2.方法：差比型先用错位相减求出精确和，整理成“常数减正项”后收尾；含负公比时按 的奇偶判断和式在极限的哪一侧；恒成立型选项举一个反例即可否定，举反例优先取 、 这类最小项． 3.提醒：负公比的 在极限两侧来回摆动，不能默认它小于（或大于）极限；错位相减最后一段等比求和的首项、公比最容易错；用到 一类比较时必须把对数式的单调性与底数大小交代清楚． ▸ 变式 3-1 记 为等比数列 的前 项和， 为 的公比，．若 ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】用 消去 得 的方程，再由 定根；判断选项时把 与 统一写成 与 ，两者之和恒为常数． 【详解】解：由 得 ，代入 ，得 ，即 ． 解得 或 ，由 舍去负根，得 ，，A 正确． 于是 ，，B 错误． ，，C 错误． 又 对每个 成立，D 正确．选 AD． D 是“对任意 恒成立”的等式判断：先把两边写成同一指数形式再相加，指数项完全抵消即为恒等式． ▸ 变式 3-2 设等比数列 的公比 ，，，记其前 项和为 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先由 解出 ，写出 ；判断“恒成立”的选项 B 只需取 举反例，判断 C、D 直接代入化简． 【详解】解：由 且 ，得 ，即 ，又 ，故 ，A 正确． 此时由等比数列前 项和公式得 ． 对 B：取 ，，而 ，故 不恒成立，B 错误；取 时 说明该式只是有时成立． 对 C：记 ，则 ，．于是 ，，两式恒等，C 正确． 对 D：，而 是首项 、公比 的等比数列前 项和，等于 ．因 恒成立，该和恒为负，所以 ，D 正确． 综上选 ACD．负公比时 在极限 两侧摆动，判断 B 这类“恒成立”必须先想奇偶两个最小取值． ▍ 题型四、恒成立与参数范围 ▸ 典例 4 已知数列 的通项公式为 （，）． （1）若 ，求 的值； （2）若数列 是递增数列，求 的取值范围； （3）若 ，求数列 的最小项及相应的 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 时取得最小项 ． 【分析】递增即“ 对任意 恒成立”，分离参数后把 压在差式 的最小项上；临界值必须代回检验能否取到． 【详解】解：（1），解得 ． （2）． 数列递增等价于 对任意 恒成立，即 对任意 成立，故 必须小于 的最小值． 因为 时 随 增大而增大，最小值在 处为 ，所以 的最小值为 ，得 ． 端点检验： 时 ，此时 ，数列不递增，故等号取不到，范围为 ． （3） 时 ，配方后 时取得最小项 ；用作差验证：， 时为负、 时为正，先减后增，最小项确在 ． ▍ 题型模版 1.特征：“对任意 成立”的命题中含参数（单调性条件、和式界、项的界，或由区间、集合的结构条件化出的不等式），要求参数的取值范围． 2.方法：优先分离参数，化为 或 ； 的最值用作差（作商）判单调、由项的符号变化定位；分离不出时整体验证，按相邻项差恒正（恒负）讨论． 3.提醒：“恒成立”压的是最值而不是首项，先用 很大一项试值可自查；除以含 （含参数 ）的式子必须按正、负、零分类，负数要变号；开区间还是闭区间由端点代回判定，答案里的端点必须全部写出． ▸ 变式 4-1 等比数列 满足首项 ，公比 ，设 ，若对任意正整数 ， 都是闭区间，则 的取值范围是           ． 【答案】 【分析】先把“ 是闭区间”翻译成两个子区间的差集之间没有缺口： 时并集自己就是区间，条件自动成立； 时得到一个只含 与 的不等式，再按“对任意 恒成立”把 压在最值一端，端点 代回检验能否取到． 【详解】解：设 （），则 ，记 ， 是 中两数之差的一切取值． 差集关于 对称： 与 同时出现，故 为闭区间等价于它的非负部分 是从 起不间断的区间 ． 当 时 本身是区间，；当 时 仍是一个区间，．所以 不需要附加条件． 当 时 ，两段之间有间隙， 由三部分拼成：小区间自身给 ，大区间自身给 ，跨段相减给 ． 前两块都以 为左端点，会合并成 ，于是“无缺口”要求跨段那一块的左端点不超过它的右端点：，约去 并整理得 ． 条件是“对任意正整数 恒成立”，即要对一切 都有 ．若 ，则 ，而 随 增大可以超过任意给定的正数，取到 的 就不等号反向， 中间出现缺口；例如 、 时 ，缺口确实出现，故 全部舍去． 若 ，则 ，从而 对每个 都成立，衔接条件恒成立， 确为闭区间． 端点检验： 时 恒成立，此时 ，两块交叠而不断裂， 确为闭区间，故 可以取到（题设 也同时满足），闭左端点写进范围． 综上， 的取值范围是 ，故填 ． ▸ 变式 4-2 设数列 是等差数列， 是其前 项和，，且 ，则（　　） A． B． C． 或 为 的最大值 D． 【答案】BC 【分析】 是三项之和 ，先定出 与 ，再用作差 的符号变化确定 最大在哪里． 【详解】解：由 得 ，B 正确． 又 ，得 ，因 知 ，A 错误． 由 ：，． 的增减由 的符号决定， 时 使 递增， 时 使 递减，故 与 同为最大值，C 正确． 对 D：，，即 ，D 错误．选 BC． 项恰为 时（）相邻两个和式 、 并列最大，这是符号变化判断中最容易漏掉的情形． ▍ 题型五、存在性与任意性的双层量词 ▸ 典例 5 已知公差为 的等差数列 的前 项和为 ．若 ，则           ；使得 对所有 都成立的一个 的取值为           ． 【答案】；（在 内任取一实数均可） 【分析】第一空把 与 都写成 、 的式子，首项相消后定出 ；第二空把“ 对一切 成立”翻译成“ 是 的最大项”，再用 把和式的增减译成项的符号，由转折位置解出 的范围，在其中取一个数即为答案． 【详解】解：由 与公差 表示：，． 两式相等， 抵消，得 ，解得 ，第一空填 ． 于是 ，其中 ，，且 随 递减． “ 对所有 都成立”说的就是 是 的最大项，这是一个“存在一个 使对任意 成立”的双层量词． 由 （）： 为正时 上升， 为负时 下降；公差为负，项由正转负只翻转一次，故 最大当且仅当 非负而 非正． 必要性：若 为负，则 已大于 ；若 为正，则 大于 ，两种情形都破坏“ 恒成立”．充分性： 非负使 时 均非负， 到 前不下降； 非正使 时 均非正， 之后不上升，故 确为最大项． 由 得 ；由 得 ，所以 的取值范围是 ，题中只要求写出一个取值，可取 ． 取 逐项验算：，前五项依次为 ， 至 依次为 ；，， 继续下降，最大项确为 ． 范围外检验：取 时 ， 大于 ，不成立；取 时 ， 大于 ，也不成立，与 的端点一致． 端点能否取到： 时 ， 并列最大，题设只要求 ，等号允许； 时 ， 同样满足，故闭区间两端都可取． 所以第一空填 ，第二空可填 （答案不唯一， 取 内的任意实数都符合要求）． ▍ 题型模版 1.特征：题面同时出现“对任意”与“存在”，如“使得 对所有 都成立的一个 的取值”“集合由存在下标 的两列取值生成，问它的元素个数”“对任意 属于该集合都有某个界，再求全部元素之和”． 2.方法：按量词顺序翻译： 成立就把不等式压到最值（最大项、最小项、全取 时的和）， 成立只需在允许范围内落一个对象，常化为“某一项恰好落在转折位置”或“解集非空”；由集合生成的计数先说明各生成对象互不重复，再按位置对称统计每个基本量出现的次数． 3.提醒：“对任意 存在 ”与“存在 对任意 ”不可互换，翻译前把量词逐个圈出来；求元素个数与元素之和必须先交代没有重复计同一元素；和式里带取整函数或 的，先配对消去符号再分层统计，端点处能否取等决定开闭区间． ▸ 变式 5-1 已知等差数列 与等比数列 满足 ，，，． （1）求数列 ， 的通项公式； （2）记 ， 为 中的元素个数．（i）求 ；（ii）求 ． 【答案】（1），；（2）（i）；（ii）． 【分析】第（1）问把 、 写成 、 的方程组，消元后解出 、；第（2）问的 由“存在 使 或 ”生成， 全是偶数、 全是奇数，两列互不相交，故 等于两类个数相加，写成取整函数；求和式带 ，先按 的奇偶配对消去符号因子，再对取整部分按 的幂分段计数． 【详解】解：（1）设 的公差为 ， 的公比为 （），则 ，，，． 由 得 ，即 ；由 得 ． 把 代入第二式：，即 ，整理得 ，，因 ，得 ，从而 ． 所以 ，．回代检验：，，两个条件都成立． （2） 是全体正偶数 ， 是 全为奇数，两列没有公共值，故 的元素分两类且互不重复． 不超过 的偶数有 个；不超过 的 的幂即 ，共 个，于是 ． （i）取 ：因 是奇数，，且 ，所以 ． （i）检验： 时 ，，公式给出 ； 时 中偶数为 ，奇数为 ，，公式给出 ，一致． （ii）求和的上限 是偶数，记 ，把 与 配成一对（）． 一对的和为 ． 由上面的表达式：，． 区间 内唯一的整数是偶数 ，而 的幂都是奇数，故 ，记这个公共值为 ，代入得 ，即每一对的贡献为 ， 已完全消去． 于是所求和 ． 剩下的取整和按 的幂分段： 就是满足 的正整数 的个数，故 可换成先定 再数 ：满足 且 的 共有 个（其中 是使 成立的最小整数）． 条件 给出 ，故 ，这里用到 ． 代入 、、，化简得 ． （ii）检验： 时 ，公式给出 ； 时 至 依次为 ，加权和为 ，公式给出 ，一致． 量词说明： 是用“存在 使 或 ”生成的集合，数它的元素个数必须先说明两列取值互不相交；求和时先用配对消去 ，再把取整函数按 的幂分层，才能落到封闭表达式． ▸ 变式 5-2 已知等差数列 和等比数列 满足 ，，．给定 ，记集合 ，． （1）求 和 的通项公式； （2）（i）求证：对任意的 ，有 ；（ii）求 中所有元素之和． 【答案】（1），；（2）（i）证明见详解；（ii）． 【分析】第（1）问用 、 列出 、 的方程组；第（2）问先把“”翻译成“存在一组 使 等于对应的加权和”，于是 不超过所有项之和，用作差比较 与该和即可；（ii）要先说明不同的 给出不同的元素，再用每个 恰在一半选取中出现计数． 【详解】解：（1）设 的公差为 ， 的公比为 ，则 ，，，． 由 得 ；代入 得 ，即 ，等比数列公比 ，故 ，． 所以 ，．回代检验：，，条件全部满足． 记 ，则 的元素是 的某个子集之和， 即存在 使 ． 证明：（2）（i）因为每个 只取 或 ，所以对任意 都有 ，取 时等号成立，故只需证全部项之和严格小于 ． 先精确求和：记 ，系数一次、指数等比，用错位相减，两边乘 得 ． 两式相减得 ，即 ． 而 ，两者之差为 ；当 时 ，差为正，故 严格小于 ，从而对任意 都有 严格小于 ，（i）得证． 不用精确和也能证（逐项放大）： 为正，即 ．记 ，则 小于 ；若 小于 ，则 ，由数学归纳法 总小于 ，取 即（i）． 检验：（i）中 （所有 全取 ）是 里最大的元素， 时 而 ， 时 而 ，不等号方向正确． 量词说明：“对任意 ”里的 由“存在一组 ”生成，先把 压到全取 的最大情形，再证这个最大情形仍小于 ，任意性就跟着成立． 解：（2）（ii）先说明元素互不相同：第（i）问的放大说明 严格大于 之和．若两组 与 给出相同的和，取使 成立的最大下标 ，不妨 而 ，移项得 等于下标不超过 的若干项的带符号组合，其绝对值不超过 ，与上面的严格大于矛盾，故不同的选取给出不同的和， 恰有 个元素． 计数：固定 ，使 的选取共有 种，其余 个位置各取 或 ，故 在 的全部元素之和中出现 次，于是所有元素之和为 ． 检验： 时 ，公式给出 ，一致； 时 ，元素之和 ，公式给出 ，一致； 时 ，公式给出 ，一致． ▍ 压轴挑战 1．已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，则“”是“”的 （　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】把和式的不等式用作差还原成项：，正好是公差 ，于是“”与“”是同一个不等式的两种写法，两个方向互相推出，不必讨论首项，也不必用二次函数的图象． 【详解】解：记甲为 ，乙为 ．把乙中的和式用作差还原成项：． 由 的定义，，，故 ． 甲推乙：若 ，则 ，即 ，甲是乙的充分条件． 乙推甲：若 ，则 ，即 ，甲是乙的必要条件． 两个方向都成立，故“”是“”的充要条件，选 C． 这里不需要对首项 分类：差式 与 无关，这是等差数列“隔项作差等于公差”的直接好处． 数值检验：取 、，由 得 ，，， 大于 ，与 相符；取 、 得 ，，， 小于 ，方向同时反转，两个方向都无例外． 变式对照：若把条件换成“ 对某个特定的 成立”，结论仍是 ，因为差式里 已被完全抵消． 2．一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，塔群共有 座塔，依山势自上而下排成 行，将第 行中塔的座数记为 （），其中 ，，，且 是一个首项为 、公差为 的等差数列．将 分为 组，每组 个数，使得每组的 个数之和可构成一个项数为 且公差为 （）的等差数列，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】“存在一种分组使组和成等差”：十二个数总和不变，先列 ，再用全为奇数锁定组和必为偶数，按选项排除后必须给出具体分组完成存在性验证． 【详解】解：这 个数依次为 ，总和 ．设 个组和从小到大为 ，公差为 ，则 ，即 ． 每个 都是奇数，两奇数之和为偶数，故每个组和 都是偶数， 为偶数；最小的和至少为 ，故 且为偶数． 逐项检验： 时 为奇数，矛盾； 时 ，既非偶数又小于 ，矛盾； 时 ，矛盾； 时 ，符合全部条件． 存在性必须构造： 时六个组和依次为 ，取分组 ，，，，，，恰好用尽 个数，不重不漏，说明这样的分组确实存在． 所以 ，选 B． 3．记 为等差数列 的前 项和，已知 ，，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 是五项之和，其和等于 ，由 得中间项 ——项的符号在中段翻转，再用 定公差回求 ． 【详解】解：由 得 ．这五项成等差，和等于中间项的 倍，即 ，故 ． 又 ，所以公差 ． 于是 ，选 B． 检验：， 时 ，， 成立． 4．已知数列 的通项公式为 ，则此数列的最大项为 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用作差代替配方：，由差的符号变化定出数列先增后减的转折点，最大项在转点后一项处取得． 【详解】解：． 当 时 ，即 ，数列上升；当 时 ，即 ，数列下降． 所以 ，，最大项为 ． 检验邻项：，，均小于 ，差 与符号变化一致，选 B． 5．已知函数 的定义域为 ，且 ，，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把函数方程落到整数列上：取 定出 ，再取 得 ，于是 是一个只由前两项决定的递推数列；由递推作差两次得 ，周期为 ，一个周期内各项之和为零， 就只剩前 项之和． 【详解】解：在 中取 ，得 ，故 或 ． 若 ，再取 ，得 对一切 成立，即 恒为 ，与 矛盾，所以 ． 取 ，由 得 ，即 对一切实数 成立． 记 （），则 ，，且 ．由此 ，再作差得 ． 由 得 ，故 是以 为周期的周期数列，且一个周期内 与 恰好抵消，所以 ． 逐项算出一个周期：，，，，，其和为 ，与上面的配对抵消一致． 由 ，得 ，选 A． 检验：按递推续算 ，，，周期 落实；前 项、前 项、前 项之和均为 ，故所求之和等于前 项之和 ，取 项这一步没有漏项、没有多算． 本题的递推关系来自函数方程而不是题面直接给出，把 取定为一个具体数才能把双变量等式变成单变量递推，取 与 的作用不同：前者定 ，后者定递推． 6．不等式 成立的正整数 的最小值为           ． 【答案】 【分析】左边是公比 的等比前 项和，求和成“ 减正项”后解指数不等式；临界 必须两侧各代一次确认严格号能否成立． 【详解】解：左边是首项 、公比 的等比数列前 项和，和为 ． 由 得 ，即 ，所以 ，． 临界检验： 时左边 ，与右边相等，严格不等号不成立； 时左边 ，成立． 所以正整数 的最小值为 ，故填 ． 7．已知数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则           ． 【答案】 【分析】分母有理化把通项化成 ，裂项相消后只剩首尾两个根式，代 即得． 【详解】解：． 所以 ． 代 ：，故填 ． 检验： 时 与通项一致，相消只留 与 两项，无漏项． 8．已知 为公比大于 的等比数列，其前 项和为 ，且 ，． （1）求 的通项公式及 ； （2）设数列 满足：当 时 ；当 时 ，其中 ．（i）求证：当 （）时，；（ii）求 ． 【答案】（1），；（2）（i）证明见详解；（ii）． 【分析】第（1）问由 得 ，取正根 ；第（2）问的分段定义说明在 上 是首项 、公差 的一段等差数列，先把 用这段通项写出，再与 作差并比较 与 的大小；求和时逐段取和，每段恰为 ，剩下的一次式乘等比式仍用错位相减． 【详解】解：（1）设公比为 （ 为正数），由 得 ，，． 代入 得 ，即 ，，因 为正数，得 ，故 ，． 回代检验：，，条件成立，舍去的根 与公比为正矛盾． （2）按定义，，而在 与 之间每前进一个下标， 就增加 ，故当 时 ． （i）取 （），则 ，，于是 ． 又 满足 （），用上一行的表达式得 ． 作差：． 再证 （）： 时左边为 ，与右边相等； 时 （由 起每次翻倍而右边只加 ，逐项可核），故 ，最后一步因 在 时为正． 于是 ，即 ，等号只在 时取得，（i）得证． （i）数值核对： 时 ，，，恰好相等； 时 ，，， 大于 ； 时 ，，， 大于 ，方向一致． （ii）把 按 分段： 恰是第 段的末下标，故下标 到 被分成 段，第 段为 ，含 项． 第 段是首项 、公差 的等差数列，末项为 ，其和为 ． 段和核对：第 段 ，公式给 ；第 段 ，公式给 ；第 段 ，公式给 ，完全一致． 于是 ．记 ，两边乘 得 ． 两式相减得 ，故 ，即 ． （ii）检验： 时和为 ，公式给 ； 时和为 ，公式给 ； 时前 项和为 ，公式给 ，均吻合． 分段数列的通项必须逐段写清区间，收尾要交代 是第 段的末下标，段数取到 而不留尾巴；作差比较时等号在 取得，写 而不是严格大于． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列与不等式：放缩、恒成立与存在性 数列 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、比较大小与项的差商分析 题型二、裂项型放缩 题型三、指数、对数背景下的放缩 题型四、恒成立与参数范围 题型五、存在性与任意性的双层量词 压轴挑战 ▍ 解题通法 数列与不等式的交汇，先要把比较落到作差或作商上： 递增等价于 对每个 成立，两个和式比大小就作差后因式分解看符号；求和不等式的第一工具是裂项，能把和式算成“常数减去一个正项”是上界证出的标志，算不出精确和时就把通项放大到可裂项的形状，放大之后紧跟着验证等号能否取到；指数背景的放缩同样落在“常数减正项”上，负公比的和式要按 的奇偶分别判断它偏向哪一侧；恒成立问题优先分离参数，把参数压在数列的最值上，最值用作差与项的符号变化判定，端点必须代回原式检验；存在性与双重量词的题目，第一动作是按量词的先后顺序把它们翻译成最值关系：任意在前就压到最大项或最小项，存在在后只需在允许范围内落一个对象，参数范围的端点还要代回检验能否取到．全讲的单调性与最值都在数列的框架内完成，回到作差、作商与单调性的定义． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、比较大小与项的差商分析 ▸ 典例 1 已知 为等差数列， 满足：当 为奇数时 ，当 为偶数时 ．记 ， 分别为数列 ， 的前 项和，，． （1）求 的通项公式； （2）证明：当 时，． ▍ 题型模版 1.特征：给出两个数列（或两个和式 与 、含参通项与常数），要求比较大小、判断单调性，或由单调性反推参数符号；也有一列正数（如相邻两项的商、几个比值）满足差的条件，再给出它们的总和与某个总比值，要求反推其中的某一项． 2.方法：作差优先：先把差数列的通项求出来，再按奇偶分组或因式分解定号；各项为正时可用比值与 比较； 的单调性要翻译成相邻项之差（或比）的符号条件． 3.提醒：作差结果必须化成乘积形式才能逐因子定号；分组求和后收尾要交代奇数情形由 补上；公比未必为正，比值法使用前要先确认各项同号． ▸ 变式 1-1 设等差数列 的公差为 ，若数列 为递减数列，则（　　） A． B． C． D． ▸ 变式 1-2 某古建筑屋顶的举架结构中，相邻两桁之间的水平距离称为步，铅直距离称为举．其屋顶截面自下而上由四段相等的步与相应的四个举依次拼接而成，设每段步长均为 ，四个举自下而上依次为 ，，，，相邻桁的举步之比依次为 ，，，．若 ，， 成公差为 的等差数列，且该截面最低点与最高点的连线斜率为 ，则 （　　） A． B． C． D． ▍ 题型二、裂项型放缩 ▸ 典例 2 记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列． （1）求 的通项公式； （2）证明：． ▍ 题型模版 1.特征：和式的通项是分式，分母可写成两个（或三个）因子之积且因子之差为常数（如 、、 型），要求证明“前 项和小于常数”；也有一开始只要求证明一个相邻两项之差的恒等式（如 ），再靠它相消求和． 2.方法：能恒等裂项的先裂后求和，把结果写成“常数减去正项”，正项即放缩落点；不能直接裂的（如 ）先按放缩方向放大成可裂形状 再求和，写清放大后等号为啥取不到；题面给出 的形状时，先证恒等式、再对 求和相消；和式里带 的先按奇偶配对把符号因子消掉，剩下的用错位相减． 3.提醒：分母两因子差为 时首尾各留两项，括号外的系数最易漏；放缩只能“放到恰好可裂”，放过头上界就关不住；右边常数是可取到的还是取不到的，决定写 还是 ；配对求和必须交代 项恰好配成 对，不错项、不丢尾． ▸ 变式 2-1 设 为等差数列， 为等比数列，且 ． （1）求 和 的通项公式； （2）记 的前 项和为 ，求证：； （3）求 ． ▸ 变式 2-2 当 时，证明：． ▍ 题型三、指数、对数背景下的放缩 ▸ 典例 3 已知数列 的通项公式为 ，记其前 项和为 ． （1）求 ； （2）证明：． ▍ 题型模版 1.特征：通项含指数式（ 这类差比型、、），或题面以指数、对数为背景，要求和与常数的比较、判断“对任意 ”的选项． 2.方法：差比型先用错位相减求出精确和，整理成“常数减正项”后收尾；含负公比时按 的奇偶判断和式在极限的哪一侧；恒成立型选项举一个反例即可否定，举反例优先取 、 这类最小项． 3.提醒：负公比的 在极限两侧来回摆动，不能默认它小于（或大于）极限；错位相减最后一段等比求和的首项、公比最容易错；用到 一类比较时必须把对数式的单调性与底数大小交代清楚． ▸ 变式 3-1 记 为等比数列 的前 项和， 为 的公比，．若 ，，则（　　） A． B． C． D． ▸ 变式 3-2 设等比数列 的公比 ，，，记其前 项和为 ，则（　　） A． B． C． D． ▍ 题型四、恒成立与参数范围 ▸ 典例 4 已知数列 的通项公式为 （，）． （1）若 ，求 的值； （2）若数列 是递增数列，求 的取值范围； （3）若 ，求数列 的最小项及相应的 ． ▍ 题型模版 1.特征：“对任意 成立”的命题中含参数（单调性条件、和式界、项的界，或由区间、集合的结构条件化出的不等式），要求参数的取值范围． 2.方法：优先分离参数，化为 或 ； 的最值用作差（作商）判单调、由项的符号变化定位；分离不出时整体验证，按相邻项差恒正（恒负）讨论． 3.提醒：“恒成立”压的是最值而不是首项，先用 很大一项试值可自查；除以含 （含参数 ）的式子必须按正、负、零分类，负数要变号；开区间还是闭区间由端点代回判定，答案里的端点必须全部写出． ▸ 变式 4-1 等比数列 满足首项 ，公比 ，设 ，若对任意正整数 ， 都是闭区间，则 的取值范围是           ． ▸ 变式 4-2 设数列 是等差数列， 是其前 项和，，且 ，则（　　） A． B． C． 或 为 的最大值 D． ▍ 题型五、存在性与任意性的双层量词 ▸ 典例 5 已知公差为 的等差数列 的前 项和为 ．若 ，则           ；使得 对所有 都成立的一个 的取值为           ． ▍ 题型模版 1.特征：题面同时出现“对任意”与“存在”，如“使得 对所有 都成立的一个 的取值”“集合由存在下标 的两列取值生成，问它的元素个数”“对任意 属于该集合都有某个界，再求全部元素之和”． 2.方法：按量词顺序翻译： 成立就把不等式压到最值（最大项、最小项、全取 时的和）， 成立只需在允许范围内落一个对象，常化为“某一项恰好落在转折位置”或“解集非空”；由集合生成的计数先说明各生成对象互不重复，再按位置对称统计每个基本量出现的次数． 3.提醒：“对任意 存在 ”与“存在 对任意 ”不可互换，翻译前把量词逐个圈出来；求元素个数与元素之和必须先交代没有重复计同一元素；和式里带取整函数或 的，先配对消去符号再分层统计，端点处能否取等决定开闭区间． ▸ 变式 5-1 已知等差数列 与等比数列 满足 ，，，． （1）求数列 ， 的通项公式； （2）记 ， 为 中的元素个数．（i）求 ；（ii）求 ． ▸ 变式 5-2 已知等差数列 和等比数列 满足 ，，．给定 ，记集合 ，． （1）求 和 的通项公式； （2）（i）求证：对任意的 ，有 ；（ii）求 中所有元素之和． ▍ 压轴挑战 1．已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，则“”是“”的 （　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，塔群共有 座塔，依山势自上而下排成 行，将第 行中塔的座数记为 （），其中 ，，，且 是一个首项为 、公差为 的等差数列．将 分为 组，每组 个数，使得每组的 个数之和可构成一个项数为 且公差为 （）的等差数列，则  （　　） A． B． C． D． 3．记 为等差数列 的前 项和，已知 ，，则  （　　） A． B． C． D． 4．已知数列 的通项公式为 ，则此数列的最大项为 （　　） A． B． C． D． 5．已知函数 的定义域为 ，且 ，，则  （　　） A． B． C． D． 6．不等式 成立的正整数 的最小值为           ． 7．已知数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则           ． 8．已知 为公比大于 的等比数列，其前 项和为 ，且 ，． （1）求 的通项公式及 ； （2）设数列 满足：当 时 ；当 时 ，其中 ．（i）求证：当 （）时，；（ii）求 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $