专题05 不等式的证明：放缩与同构专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第05讲 专题05 不等式的证明——放缩与同构 导数 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、用单调性证明不等式 题型二、切线放缩与指对放缩 题型三、同构变形与指对配对 题型四、双变量不等式 题型五、连乘、求和型不等式 压轴挑战 ▍ 解题通法 不等式的证明是导数压轴题里对思维要求最高的一类：它没有固定的求法，只有稳定的套路。本讲围绕五件事展开——先把“构造差函数、用单调性定号”这一条主线打通；再掌握 、 这类切线放缩，并坚持先证再用；随后处理指对混合条件下的同构变形，把 与 配对成同一函数；再解决含 、 或 、 的双变量问题；最后落到含 的连乘、求和型不等式。全讲题目取自近年高考真题与考向稳定的微专题真题链，压轴挑战按高考选择题的考查方式配置，训练的是“看到结构就知道往哪一步放缩”的判断力。 ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、用单调性证明不等式 ▸ 典例 1 已知函数 ．设 ，，证明：． 【答案】证明见解析（先证 在 上单调递增，再固定 令 ，由 与 得 ；等号只在 或 处取得，题设排除）． 【分析】一句话点题：双变量不等式先固定一个变量，把它换成单变量差函数的单调性问题． 【详解】构造辅助函数分两层：内层要说明 单调递增，外层把 固定、对 作差 ，使要证的不等式化成 （一侧为 ，才能用端点值定号）． 的定义域为 ，、、 都在其中，运算合法． 求导：．设 ，改为讨论 的单调性． 对 求导：． 定号：括号内通分，，故 ．当 时 （ 在 上单调递增），而 、，第二项恒正；两项相加不为 ，故 ， 即 在 上单调递增． 若想把括号内的 换成更贴身的估计，可取题型二变式 2-2 末段的 （，等号仅 ），令 得 ，括号内不小于 ，其分子 的判别式 但两根都是负数，故在 上分子恒正，同样给出 ． 外层差函数：固定 ，令 ，．求导得 ．由 知 ，而 单调递增，故 ，即 ， 在 上单调递增． 端点值给出结论：，所以当 时 ，即 ． 取等条件： 仅在 处取得，由对称性 时同样取等；题设 、，两端都不为 ，故这里是严格不等号．注意"对任意 、"两个量词可以交换， 的构造对调 、 结果相同，结论对称成立． ▍ 题型模版 1.特征：要证的不等式一侧为 （或可移成 ），两边都是指对三角的混合式． 2.方法：作差构造 ，求导定号，用单调性与端点值（或最值）给出不等号方向，取等条件由 的最值点确定． 3.提醒：导函数符号不明时，设 ，讨论 的单调性再定 的号；书写里只对 求导，不再对 求导． ▸ 变式 1-1 证明：当 时，，并指出等号成立的条件． 【答案】证明见解析（ 在 处取最大值 ；等号当且仅当 ）． 【分析】一句话点题：这是 的切线放缩母结论，本讲后面引用它时不再重证． 【详解】构造差函数 （）：把 移成 ，一侧化为 ，便于用最大值定号． 求导得 ．因为 ，分母 恒正， 的符号完全由分子 决定． 当 时 ，故 ， 单调递增；当 时 ，故 ， 单调递减．所以 在 处取得唯一的极大值，也是最大值． 最大值为 ，于是对一切 有 ，即 ． 取等条件：只有 使 ； 时 ，即 ．这一母结论在本讲后续各题中直接引用，不再重复证明． ▸ 变式 1-2 已知函数 ．证明：当 时，． 【答案】证明见解析（，分子 在 时恒正； 的下确界为 ，仅在 时逼近， 内取不到，故只能写严格不等号）． 【分析】一句话点题：先去分母把不等式换成整式与对数的差，再构造端点值为 的辅助函数，导函数符号看不出时把导函数设成新函数定号． 【详解】先把解析式通分：，定义域为 ，本题只看 。把 移项并通分，得 。因为 时分母 ，所以 ，一侧化为 ，可以用单调性定号。 构造差函数 ，（把 放进来是为了拿到端点值， 在 处连续）。则 ，目标变成：当 时 。 求导得 ，且 。 的正负一眼看不出，设 ，改为讨论 的单调性。对 求导： 的第二项 ，故 。 定号：当 时分子 、分母 ，故 ， 在 上单调递增； 是唯一的零点端。由 得：当 时 ，即 。 于是 在 上单调递增，当 时 ，两处不等号都严格（ 在 内恒正，不恒为 ）。回代：，即 。 交代“为什么是 而不是 ”： 在 上严格递增且 ，所以 恒成立，等号只能在 处取得，而 不在 的定义域内，也不在条件 内。另一方面 时 ，故 ，即 的下确界恰好是 却取不到， 的值域下边界“悬”在区间外。因此既不能写 （等号无着落），也不能把下界抬高到 。 附核验（与同卷第（1）问一致）：由 可算 ；设 ，，（，由母结论 ），故 ，， 在 上单调递增，与“最小值不存在、下确界 在 处逼近”吻合；取 得 ，正是该卷第（1）问的切线斜率。 ▍ 题型二、切线放缩与指对放缩 ▸ 典例 2 证明：当 时，． 【答案】证明见解析（构造 与 ，由单调性得 、；两处等号都只在 取得）． 【分析】一句话点题：把双侧不等式拆成两个差函数，用导数定单调性再比较端点值——这是本讲的三角放缩母结论，后面引用时不再重证． 【详解】右侧先证 ．构造差函数 ：把不等式移成 ，一侧为 ，才能用端点值定号． 求导得 ．当 时（注意 ，故 ），，于是 ， 在 上单调递减． 因此 ，即 ．等号只在端点 处取得，而 不属于 ，故区间内是严格不等号． 左侧再证 ．构造差函数 ：把不等式移成 ． 求导得 ．此式正负不直观，设 ，则 （书写里只对 求导，不再对 求导）． 当 时 ，故 ， 在 上单调递增，从而 ，即 ． 于是 在 上单调递增，，即 ，等号同样只在 取得． 综合左右两步，当 时 成立，两处等号都仅在 取到，与区间 无交． 本结论的取用范围：右侧一半 在 内成立；补上 ，由 且等号仅在 （）取得，知 ，故 时恒有 ，题型五变式 5-2 对 （）的一列取值直接取用这一条． ▍ 题型模版 1.特征：式子里出现 与多项式、或 与一次式的比较，需要把复杂式换成简单可控式． 2.方法：先用单调性证出 （变式 1-1）、 与 时 （变式 2-1）、 与 （变式 2-2），再按放缩方向选用；放缩后必须能求导定号． 3.提醒：放缩方向要与求证方向一致（证“大于”就往下放，证“小于”就往上去），每一步注明依据与取等位置． ▸ 变式 2-1 已知函数 ．（1）证明：；（2）证明：当 时，，并说明为什么在放缩链中一般写作 而不是 ． 【答案】（1）证明见解析（ 在 处取最小值 ，等号当且仅当 ）；（2）证明见解析（用（1）的结论给差函数的导函数定号， 时取严格不等号）． 【分析】一句话点题：切线放缩的母结论必须先用单调性证出来，再决定能不能取等，然后才能拿它去证高一阶的放缩． 【详解】（1）函数 的定义域为 ．求导得 ． 定号： 单调递增且 ，故当 时 ，；当 时 ，； 仅有解 ． 单调性与最值： 在 上单调递减，在 上单调递增，故 在 处取得最小值 ． 于是对一切实数 ，，即 ．取等条件：当且仅当 ． （2）构造差函数 （把要证的 移成 ）． 求导得 ．这一步的导函数正好是（1）中的 ，无需再求导：由（1）知 对一切 成立，且等号仅在 处取得，故 在 的任一子区间上都不恒为 ． 因此 在 上单调递增：当 时 ，即 ． 取等条件： 仅当 ；题目限定 ，故这里是严格不等号． 关于记号：由（1）知 时 ，两端相等，所以 在 处不成立，母结论只能写成 ．只有当范围明确排除 （如（2）中 ）时，才可以升级为严格不等号；若在含 的放缩链里误用 ，就会在最关键的取等点失去依据． 本变式的两条结论（ 与 时 ）是本讲的指侧母结论：题型三变式 3-1 的同构收口、题型五变式 5-2 的下界都直接取用，不再重证；把 换成 还得到 ，变式 5-2 用它给 配下界． ▸ 变式 2-2 证明：当 时，． 【答案】证明见解析（构造 ，导数恰为 ， 递减且 ）． 【分析】一句话点题：要证“小于”就把右边放大成一个可求导的上界，作差后导数配成完全平方，符号立刻清楚． 【详解】构造差函数 （）：把要证的不等式移成 ．选它作辅助函数的理由是 时两端都为 ，即 是天然的出发点，只要证明 往右递减即可． 求导得 ． 定号：通分并因式分解，．分母 ，分子是完全平方，故 恒成立；当 时 ，于是 ． 单调性与结论： 在 上单调递减，且在该区间内除 外导数均为负，故当 时 ，即 ． 取等条件： 仅当 （此时两端同等于 ），而题设 ，故区间内为严格不等号． 放缩方向核对：，与母结论的上界 比较，当 时 （即 ），故 ．两条都是 的上界，本结论更贴近 ，用它的方向与题型一“先证再用”的母结论一致． 顺带给出 的另一侧（下界，后面三处要用）：在变式 1-1 的 （，等号仅 ）中取 ，得 ，两边乘 变号，即 （，等号当且仅当 ）； 时是严格不等号．再取 （）得 ，取 得 ，即 ．前者对 累加给出 ，后者对 累加给出 ——典例5 的下界与变式 5-2 淘汰更大 时分别取用这两条． ▍ 题型三、同构变形与指对配对 ▸ 典例 3 已知函数 有两个不同的零点 、，证明：． 【答案】证明见解析（由 、 同构取对数得 ，构造 用其在 递减、 递增比较）． 【分析】一句话点题：指对混排的等式先同构，把两个根写成同一函数取等值，再用单调性比较大小． 【详解】先看参数范围： 的零点即方程 的根．由 知根必满足 ，且 ．设 （），，故 在 递减、 递增，最小值 ；又 与 时 ，所以 有两个不同零点等价于 ，且两根满足 ． 构造辅助函数（同构）：对 两边取对数，两边都是正数故可取对数，得 ，即 （）．这一步的动机是把指对混排的等式统一成同一个函数 （）在两点取同一个值 ． 求导：，分母 ，符号由 决定，故 在 上单调递减，在 上单调递增，． 把结论改写成同一函数的两点比较：因 且 ，要证 ，即 ；注意 与 同在递减支上，故只需证 ，也就是 ． 构造差函数完成定号：设 ，．求导得 ． 导函数定号：通分得 ．分母 ，分子当 时为负，故 时 ， 在 上单调递减． 单调性给出不等号：，于是当 时 ，即 ，从而 ； 在 上递减而 、 都属于 ，故 ，即 ．当 时 ， 自动成立． 取等条件说明： 的最低点是 ，取等的临界情形是 ，此时 ，两根重合并不在“两个不同零点”之列；只要 ，上面 全程严格，故 是严格不等式，取不到等号． ▍ 题型模版 1.特征：条件里同时出现 、、，形如 、、． 2.方法：两边取对数或乘除配因子，把两个变量整理成 的同构形式（ 常取 、、、），再用 的单调性、极值比较大小． 3.提醒：同构要求变量取值范围一致（多为 ），取对数前要说明两边为正；配对后不要漏掉 的定义域限制． ▸ 变式 3-1 证明：当 时，，并指出等号成立的条件． 【答案】证明见解析（同构为 ，用 ；等号当且仅当 的唯一正根 ）． 【分析】一句话点题：指对混排时把 写成 ，让指数上的 与对数里的 捆成同一个整体 ． 【详解】统一结构（同构）：因 ，可写 ，于是 ；原式随之化为 ．这样做的动机是把指数上的 与对数里的 用“和”捆成一个整体，剩下的只是一个变量的函数． 构造辅助函数：令 （），，则原式即 ． 取遍 时 取遍 ，所以这一步没有缩小范围． 求导：． 定号： 递增且 ，故 时 ， 时 ， 仅 ． 单调性与最值： 在 递减、 递增，在 处取最小值 ，故对一切实数 有 ，即 ．代回 得 ， 时成立（这里引用的是变式 2-1（1）已用单调性证出的母结论，不是直接承认的放缩）． 取等条件：等号当且仅当 ，即 ．设 （），，故 严格递增，至多一个零点；又 （由 得 ），，故存在唯一 使 ．综上，等号只在 处成立， 时为严格不等号． ▸ 变式 3-2 已知函数 有两个不同的零点 、（），证明：． 【答案】证明见解析（结论化为 ；由 得 ，配合放缩 得 ，再与 合并）． 【分析】一句话点题：乘积型结论先取对数化成和型，再用同构后的等式把参数 消去． 【详解】参数范围与根的分布：（，），，故 在 上单调递增，在 上单调递减，最大值 ． 有两个不同零点要求最大值大于 ，即 ，故 ，且两根满足 ． 构造辅助函数（同构）：由 得 （），即 ：两个根是同一个函数 取同一值的两点．两式相减得 ，即 ． 求导并定号：证明下面用到的放缩．设 ，构造 ．求导得 ，分母 ，分子是完全平方，当 时 ． 单调性给出不等号： 在 上单调递增，且 ，故 时 ，即 ，也就是 （这一步是用单调性现证的放缩，不是引用结论）． 消去参数：把 代入上式，得 ．因 可约去，得 ，即 ． 收口：两个零点等式相加得 ．由第 1 步知 ，把 两边同乘 ，得 ． 结论与取等条件： 即 ，故 ．全程等号都取不到： 使 、 严格， 也是严格不等式；临界情形是 ，此时 只有唯一零点 ，两根重合，不在本题条件之内． ▍ 题型四、双变量不等式 ▸ 典例 4 已知函数 ．设 ，证明：． 【答案】证明见解析（不妨 ：一侧由 在 上单调递减得出，另一侧由 的最大值只在两端取得得出；区间内其实取不到等号）． 【分析】一句话点题：绝对值双变量先定大小去掉绝对值，再把 分别并入两个辅助函数，用单调性与两端趋势把它夹住． 【详解】去掉绝对值：把 、 对调，要证的两端都不变，故不妨设 ，记 ，结论化为 ，两侧各证一遍．固定较大的 ，把 当成变量，是这类双变量题的标准动作． 先摸清 ：，当 时 ，；当 时 ．故 在 递减、在 递增，最小值 ，且 ，所以在 上 ． 左侧（即 ）：构造 ，，则 ，要证的就是 ．求导得 ． 定号第一步（换掉 ）：由 得 ，开方取倒数变号得 ，故 ． 定号第二步（用母结论放缩）：变式 1-1 已用单调性证出 （），于是 ，从而 ，其符号由 与 的大小决定． 定号第三步（算这个大小）：设 ，即 ．求导得 ，故 在 递减、在 递增，最小值 ．于是 ，即 ，亦即 ． 单调性与结论：由第 4—6 步， 在 上恒成立， 单调递减；由 得 ，即 ，左侧（严格）成立． 右侧（即 ）：构造 ，，，要证的是 ．求导得 ；此式正负不直观，设 ，则 ，故 在 上单调递增． 定 的零点：当 时 而 为定值，故 ；当 时 ，故 ． 递增且两端异号，故有唯一零点 ， 在 递减、在 递增． 先备好左端的趋势：要写清 。在变式 1-1 的 中取 ，得 ，即 ，两边乘正数 ：，故 越靠近 ， 越靠近 ，即 ，从而 在左端趋于 ． 两端比较收口： 在 递减、在 递增，故它在 上的任何取值都不超过"两端的较大者"：由第 10 步 ，得 ．再比这两个数： 等价于 ，令 ，即 ．设 ， 只在 处为 （ 时正、 时负），故 的最大值为 ，于是 （因 ）．故 ，从而 对一切 成立，取 得 ． 合并：两侧合起来即 ，所证成立． 取等与松紧：左侧全程严格；右侧要取等，需 ，而第 12 步显示 的最大值在右端点 处取得且左端严格更小，故只有 的极限情形才逼近等号， 内取不到等号，题面写 是"至少"这个强度．数值核对：比值 的上确界出现在 、 处，极限值恰为 （取样最大 ），仍严格小于 ，与上面两步的方向一致——这也说明第 12 步那条 正好压在真正的峰值上，放缩并不浪费． ▍ 题型模版 1.特征：结论同时含 、（或 、），或要求对任意两点比较函数值差与自变量差． 2.方法：固定一个变量把另一变量做成差函数；或用同构化为 后偏移比较；斜率型条件用差商 与导数范围对接． 3.提醒：先明确 、 谁大谁小、落在哪个单调区间；“对任意”与“存在”的量化顺序不能换，取等条件要单独检验． ▸ 变式 4-1 已知函数 与 ．证明：存在直线 ，其与两条曲线 、 共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标成等差数列． 【答案】证明见解析（同构 ；设 ，由 、 取得 使 ，取 ，三交点横坐标依次为 、、，且 ）． 【分析】一句话点题：两条曲线由 同构挂钩，”恰有三个交点”就翻成一条水平线与 的两个交点、与 的两个交点中恰有两个重合． 【详解】构造辅助函数（同构）： 的定义域为 ， 的定义域为 ．对 有 ，即 的函数值就是把 的自变量换成 ．于是水平线 与 交于 时，必与 交于 ——两条曲线的交点横坐标成”指数配对”，这是本题唯一的突破口． 定 的形状：求导 ，当 时负、 时正，故 在 取最小值 ，即变式 2-1（1）的 换成 ．因此当 时，水平线与 恰有两个交点，记为 （ 时合为一点， 时无交点）．由第 1 步，与 的交点恰为 与 两个． 求导定 的单调性（核对第 2 步的配对）：，故 在 递减、在 递增，最小值 ； 时确有两个交点，且由 它们正是 、，两处结论互相印证． 把”三个交点”写成重合条件：四个横坐标 、、、 中，由 对一切实数 成立（变式 2-1（1）移项：，等号仅 ，而这四个数都不是 ），有 、；又 而 、，故最左必是 、最右必是 ，中间两个 与 都要落在 之内。要”恰有三个不同交点”，必须且只需这两个重合． 把重合条件化成方程：记 ，则重合即 ，亦即 （此时 ，故 ）．两点同在一水平线上要求 ：左端 ，右端 ，条件化为 ，即 ． 核对等差：重合后三个交点的横坐标从做到右为 、、——（因 ）、、，顺序清楚．成等差数列等价于 ，正是第 5 步那个条件．这就是本题的妙处：让交点”合并”的那条水平线，自动使三点成等差，所以只需证明这个方程有解． 定号所需的估计：设 ，（连续）．（）．又 ；由变式 3-2 现证的 （）取 得 ；由 与 时 得尾部不超过 ，故 ，开方得 ．于是 ． 存在性收口： 在 上连续，且 ，由零点存在定理，存在 使 ，即 ．取 ：因 ，变式 2-1（1）给出 ，落在第 2 步的情形里． 写出三个交点：水平线 与 交于 与 （因 ，第 8 步的等式正是这一步的依据），与 交于 与 ；其中 被两条曲线共用，故不同交点恰为三个，横坐标 ，且 说明它们成等差数列，所证成立． 检验”恰有”： 时每条曲线的交点个数都由第 2、3 步的单调性固定在 个，不会多出；除已重合的 外也不会再有别的重合（、、），故交点数只能是 ．数值核对：，，，三数从做到右成等差，公差 ，与 、 两处要求都对得上． ▸ 变式 4-2 已知函数 ．设 ， 且 ，证明：． 【答案】证明见解析（不妨 ，构造 ，由 得 在 上递减）． 【分析】一句话点题：绝对值双变量题先按大小去掉绝对值，再把结论整理成“某个新函数单调”的形式． 【详解】去掉绝对值：把 、 对调，两端都不变，故不妨设 ，此时 ． 判断 的单调性以去掉左端绝对值：．当 时 ，而 ，故 ， 在 上单调递减．于是 ，． 构造辅助函数：要证 ，移项即 ，所以令 （）．这样构造的理由是：结论中 、 分居两侧且符号相反，正好是同一个函数在两点比较大小． 求导：． 定号：通分得 ．当 时 、、，故 ， 在 上单调递减． 给出结论：由 得 ，即 ，移项得 ，也就是 ． 取等条件： 在本区间无解（ 是区间的右端点且不在区间内），故 严格；等号只会在 时出现，已被题设排除． 范围的必要性：若把范围放宽到 ，命题不再成立．例如取 、，因为 的解是 （约 ）落在两点之间， 只有约 ，而 ，不等号反向．这正是题目把 、 限制在 的原因． ▍ 题型五、连乘、求和型不等式 ▸ 典例 5 证明：当 时，． 【答案】证明见解析（记 ，先由 证 单调递减，得 ，右侧等号仅 ；再由 时 把累加余项控到小于 ，得 ，左侧对一切 严格）． 【分析】一句话点题：含 的双侧界先算差分 ——一侧用对数的下界定单调性，另一侧用贴身的对上界裂项累加． 【详解】构造含 的数列：记 ，其中 是连乘取对数换成的和式．首项 ，右侧的 正是它，故上界要靠单调性、下界要靠累加． 求差分（把 降成单变量）：．差分只含一个比值 ，剩下的就是给这个对数定界． 定号（上界一侧）：引用变式 3-2 里用单调性现证的 （），取 ：，故 ，代回第 2 步得 ． 单调性给上界： 严格单调递减，故 ，等号当且仅当 ； 时 ，右侧的 与取等位置一起到手——这正是题目写 而不是 的原因： 真的取等． 累加表示（为下界做准备）：把差分从 累到 ，得 ；方括号每一项为正（第 3 步），所以要证 ，只需把这一串正数之和控到小于 。 时 已成立，下面设 。 构造对上界的辅助函数：设 ，（把 换成同分母的有理式，才能与 相乘后裂项）。求导：，故 ． 定号：当 时分子 、分母 ，故 ， 在 上单调递增；又 ，于是 时 ，即 ．等号只在 处， 全程严格． 取 逐项落定：，即 ——这一步是"贴身"的关键：左边比 小得多，才能求和收敛． 裂项累加：（ 时 ，取倒数得 ； 时中间那个和为空，结论同样成立）． 下界收口与合并：代回第 5 步的累加表示，。综合第 4 步：，右端等号当且仅当 ，左端对一切 都是严格不等号（第 7、8、9 步全部严格）。 数值核对松紧：、、、，逐项递减并停在 之上——下界是"松"的， 真正的极限比 大得多，但题目只要方向与右端取等，两处都对上． ▍ 题型模版 1.特征：结论含 （或 、、），右侧是能算出的闭式或另一个和式． 2.方法：三条路——逐项放缩后累加（裂项相消）；先算差分 定单调性、再把余项逐段放大到能裂项的闭式；数学归纳法（第一步验证，第二步由 推 时做增量比较）．连乘一律先取对数换成求和． 3.提醒：放缩要保方向（证上界就放大每一项、证下界就缩小每一项），并注意首项、末项是否需要单独处理；写清每一步的取等与否． ▸ 变式 5-1 证明：当 时，． 【答案】证明见解析（把 拆成 ，逐项用变式 2-2 已证的 （）控制后累加）． 【分析】一句话点题：把每一项看成对数差的放缩目标，求和自动裂项相消成 ． 【详解】构造思路：右侧 是单个对数，左侧是 项和，自然想到把对数拆成差再累加：（，裂项相消）．于是只需证明逐项不等式 （）． 换元统一结构：令 ，因 ，，故 ．左边 ；右边由 及 得 ．这一步的动机是把”含 的两边”都改写成同一个 的式子，逐项不等式随之变成与 无关的固定形式． 引用已证的放缩：变式 2-2 已用单调性证明”当 时 ”（构造 ，， 递减且 ）．取 并两边乘 ，得 ． 逐项落定：代回 ，得 ，对每个 都成立，且因为是 时的严格不等号，逐项都是严格的． 累加收口：，即 （求和下标换成题面的 不影响数值）． 取等与端点检验： 时结论为 ，正是上面 那一项，成立；每一步都严格，故任何 都取不到等号．逐项算到前若干项核对：左端减右端在 处分别约为 、、、、，始终为正且趋于一个正常数，方向与详解一致． 为何不能用母结论：若直接用 取 ，只得 ，而 给出 ，放缩过头、接不上目标．这正是”证下界要先做贴身的放缩”的具体体现，也是典例5 里那条 的同类做法． ▸ 变式 5-2 已知函数 ．求实数 的最大可能值，使得 对任意 都成立． 【答案】 的最大值为 （可行：逐项 相乘相消；不可更大：，而 可任意大）． 【分析】一句话点题：连乘先取对数变求和；求”最大的 ”要做两件事——证明 可行，再证明任何更大的 都会被充分大的 推翻． 【详解】记 ．题面要求 对一切 成立，两边取对数（第 3 步会给出 ，故取对数合法）就是 ——连乘换成求和，才能逐项控制． 备好母结论：变式 2-1（2）已证 时 ；题型二典例已证 时 ，补上 时 ，故 时 ；把变式 2-1（1）的 里的 换成 ，得 （ 时右端非负）。一上一下两条夹逼，分别管可行与不可大两个方向． 下界（说明 至少可行）：当 时 。取 （，）得 ，第 1 步的取对数也就此合法． 凑成能相消的形状：展开 （多出的两项 恒正），两边开立方得 ，于是 。这一步是连乘题的核心：把每一项写成一个”能约掉”的比值的幂． 相乘相消：，中间全约尽，只剩首尾。故 对一切 成立（实为严格大于）， 可行． 上界一侧的先手引理：设 ，。求导 ；此式符号不直观，设 ，则 （，题型二典例），故 递增，，即 ， 递增，：得 （）． 取对数放缩：，记 。当 时 （、），可取对数：。由变式 1-1 的 （）取 得 ，于是 ． 给 找下界：第 6 步给 ，第 2 步给 ，两因子在 上都非负，可以相乘：（用了 与 ）。故 ，代回第 7 步：． 逐项求和：。由变式 2-2 末段的累加结果，；又 时 裂项相消得 。合并：． 淘汰更大的 ：若 且题面对一切 成立，则 恒成立。但 可以任意大：取 ，则 ，其中 由变式 2-2 末段的 （，）取 得到。只要取正整数 （例如 ，对应 ），就有 可以超过 ，矛盾。故 一律不行，． 结论： 的最大可能值为 ——第 5 步给出它可行，第 10 步给出任何更大的数都不行，两侧都落实，且真正起作用的放缩只有第 3 步那条 （即同一真题的第（2）问的加强），第 6—9 步只是把”不能更大”写成可求和的形式． 数值核对：、、、，而 相应为 、、、，比值 由 一路递减到 ，正趋向 ，说明 是”卡在极限处”的最大值；第 9 步的上界在 处给 ，实测 落在其内，方向一致． ▍ 压轴挑战 1．已知函数 ，则对任意实数 ，下列不等式恒成立的是 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一句话点题： 的最小值已在题型二用单调性证出为 ，A 直接可用，其余三项各算一个反例． 【详解】A：由变式 2-1（1）， 在 时负、 时正， 在 处取最小值 ，故对任意实数 有 ，A 恒成立． B：取 ，，由 得 ，与 矛盾，B 不成立． C：取 ，．由 得 ，即 ，故 ，C 不成立． D：取 ．由变式 2-1（2）， 时 ，故 ，于是 ，与 矛盾，D 不成立． 综上选 A． 2．当 时，下列不等式恒成立的是 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一句话点题：四个选项都是切线放缩的候选，逐个构造差函数定号，方向正确的只有一个． 【详解】A：设 （），，且 在任一区间上不恒为 ，故 单调递增，，即 （题型二典例已证的母结论）．所以 时 恒不成立，A 错． B：构造 （），；分母 、分子 ，故 ， 单调递减，，即 ，方向与 B 相反，B 错． C：由变式 2-1（1）， 对一切实数 成立，等号仅在 处取得；题设 排除了 ，故 恒成立，C 对． D：只看 ：设 ，，故 单调递增，，即 ．取 ，，而 （由 ），已说明 D 不成立，D 错． 综上选 C． 3．（多选）已知 ，且 ，则下列结论正确的是 （　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】一句话点题： 在 递减、 递增，等值的两点必分居最低点两侧且都落在 内． 【详解】设 （），求导得 ．令 得 ；当 时 ，， 单调递减；当 时 ， 单调递增；最小值 ． 再看符号分布：；当 时 而 ，故 ；当 时 ． 定 、 的位置：设公共值 ．若 ，则 、 都落在 ，而这一段 单调递增、两点函数值不可能相等，与 矛盾；若 ，则 的零点只有 ，同样矛盾．故 ，、 都在 内；再由单调区间，递减支上取一点、递增支上取一点，得 ，A 正确． B：由 、 相乘得 ，B 正确． C：，由 与 单调递增得 ，即 ，与 C 相反，C 错误． D：；由 得 ，故 ，D 错误． 综上选 AB． 4．设 ，，记 ，则下列正确的是 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一句话点题： 时 ，裂项相消给出上界，其余三项各算一个具体的 ． 【详解】A：当 时 ，取倒数变号得 ；又把右端通分还原：，故 ． 对 累加，右端裂项相消：．于是 ，A 正确；逐项都严格，故整体严格． B：与 A 的方向相反，B 错误． C：取 算到底：，而 ，，故 不成立，C 错误． D：取 ．由 A 的结论 ；另一方面，题型三变式 3-2 里已用单调性现证过 （），取 得 ，故 ，即 不成立，D 错误． 综上选 A．范围 不可放宽： 时 ，，A 的严格不等号不成立． 5．已知函数 有两个不同的零点 、，则实数 的取值范围是 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一句话点题：两个零点等价于水平线 与 有两个交点，交点个数由 的最小值与两端趋势决定． 【详解】转化： 即 （定义域 ）．设 ，零点个数问题就化为水平线 与曲线 的交点个数问题；本讲义不靠读图，交点个数一律用单调区间与两端趋势推出． 求导：，分母 ，符号由 决定，故 在 上单调递减，在 上单调递增，最小值 ． 两端趋势：当 时 ，故 ；当 时由母结论 得 ，并且 之外还有 在 上递增、 并随 不断增大，故 时 ． 数交点： 时，递减支 上 从 连续递减到 ，与 恰有一个交点；递增支 上 从 连续递增到 ，也恰有一个交点，共两个，且 ； 时两支在同一最低点 处相交，只有唯一零点； 时 恒成立，没有零点． 所以 有两个不同零点的充要条件是 ，选 A．B 多含了 （唯一零点），C、D 与上面的分类不符． 6．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是          ． 【答案】（同时满足定义域与不等式的 不存在） 【分析】一句话点题：先用导数定出 的单调性，把函数值的大小换成自变量的大小，再与定义域对质． 【详解】定定义域：两个函数值都要有意义，需 且 ，即 ． 构造与求导：（），． 导函数定号：当 时 、，故 恒成立（不必再讨论导函数的单调性，符号由两项都正直接给出），所以 在 上单调递增． 脱去 ：单调递增给出 ．而 即 ，对任何实数 都不成立． 收口与检验：定义域要求 ，不等式要求 ，两者无法同时满足，故满足条件的 不存在，取值集合为空集．试几个数核对： 时 、，； 时 ，方向都与 相反，与结论一致． 故填 ． 7．设 ，则 与 的大小关系是          （填“”“”或“无法确定”）． 【答案】（该连乘积对一切 都小于 ） 【分析】一句话点题：连乘取对数变求和，用已证的 放缩后再裂项相消，把对数和压到 以内． 【详解】记 ．每个因子 ，可取对数：．这样构造的理由是把连乘的比较转成求和的比较，而求和能够裂项相消． 逐项放缩：取 ．题型一变式 1-1 已用单调性证出 （，等号仅 ）；把 换成 ，得 ，且因 时 ，此处为严格不等号 ．于是 ． 裂项求和：，故 ． 合并：．指数函数单调递增，两边取指数得 ． 取等与首项检验：以上每一步都是严格不等号，故任何 都取不到等号，大小关系可以确定，不是“无法确定”； 时 ，由 知 ，与通式一致． 故填 ． 8．已知函数 （）有两个不同的零点 、（），证明：． 【答案】证明见解析（同构得 ，化为 型比较，再由 收口；等价结论为 ）． 【分析】一句话点题：积型对数结论先化成和型，再把较大的根 换成由 与 表示的量，交给同一个函数的单调性比较． 【详解】定 的范围与根的位置：，由 知驻点唯一，为 ； 时 、， 时 ，故 的最小值为 ．要有两个不同零点必须最小值小于 ，即 ，得 ．又零点满足 ，左端为正、，所以两根都是正数，取对数合法．下面记 ，则 ． 构造辅助函数（同构）：对 两边取对数，得 ，即 （）．这就是把两个零点写成同一个函数 （）取同一个值 的形式，动机是消去指对混排、只留一个函数． 求导并定号：，分母 ，符号由 决定，故 在 上单调递减、在 上单调递增，最小值 ；由 知方程 的两根分居 的两侧，即 ． 把结论改写成和型：由 相加，．所以要证 ，只需证 ． 化为单变量比较： 即 ．因 且 ，有 ，故 与 同落在 的递增支 上， 等价于 ，即 ，亦即 ． 继续等价化简：由 得 ，且 、，于是要证的不等式化为 ； 单调递增，故只需 ，两边乘正数 ，只需 ．把 代入，． 构造含单变量的辅助函数：设 ，，只需证 ．求导得 ． 导函数定号：引用题型一变式 1-1 已证的 （，等号仅 ），得 ，且当 时 ，故 ，即 在 上恒成立． 单调性给出上界： 在 上单调递增，而 ，故当 时 ．取 即得 ，按上面每一步的等价关系倒推，得到 ． 收口：，所证成立；等价地 ，即 ． 取等条件：全程没有取等的环节—— 严格、 严格、 严格，故 是严格不等式．临界情形是 ，此时 只有唯一零点 ，两根重合， 才趋于 ，但 不在题设之内． 数值核对：取 ，，方程 的两根分别约为 与 ，和约 ，小于 ；，方向与结论一致． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 专题05 不等式的证明——放缩与同构 导数 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、用单调性证明不等式 题型二、切线放缩与指对放缩 题型三、同构变形与指对配对 题型四、双变量不等式 题型五、连乘、求和型不等式 压轴挑战 ▍ 解题通法 不等式的证明是导数压轴题里对思维要求最高的一类：它没有固定的求法，只有稳定的套路。本讲围绕五件事展开——先把“构造差函数、用单调性定号”这一条主线打通；再掌握 、 这类切线放缩，并坚持先证再用；随后处理指对混合条件下的同构变形，把 与 配对成同一函数；再解决含 、 或 、 的双变量问题；最后落到含 的连乘、求和型不等式。全讲题目取自近年高考真题与考向稳定的微专题真题链，压轴挑战按高考选择题的考查方式配置，训练的是“看到结构就知道往哪一步放缩”的判断力。 ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、用单调性证明不等式 ▸ 典例 1 已知函数 ．设 ，，证明：． ▍ 题型模版 1.特征：要证的不等式一侧为 （或可移成 ），两边都是指对三角的混合式． 2.方法：作差构造 ，求导定号，用单调性与端点值（或最值）给出不等号方向，取等条件由 的最值点确定． 3.提醒：导函数符号不明时，设 ，讨论 的单调性再定 的号；书写里只对 求导，不再对 求导． ▸ 变式 1-1 证明：当 时，，并指出等号成立的条件． ▸ 变式 1-2 已知函数 ．证明：当 时，． ▍ 题型二、切线放缩与指对放缩 ▸ 典例 2 证明：当 时，． ▍ 题型模版 1.特征：式子里出现 与多项式、或 与一次式的比较，需要把复杂式换成简单可控式． 2.方法：先用单调性证出 （变式 1-1）、 与 时 （变式 2-1）、 与 （变式 2-2），再按放缩方向选用；放缩后必须能求导定号． 3.提醒：放缩方向要与求证方向一致（证“大于”就往下放，证“小于”就往上去），每一步注明依据与取等位置． ▸ 变式 2-1 已知函数 ．（1）证明：；（2）证明：当 时，，并说明为什么在放缩链中一般写作 而不是 ． ▸ 变式 2-2 证明：当 时，． ▍ 题型三、同构变形与指对配对 ▸ 典例 3 已知函数 有两个不同的零点 、，证明：． ▍ 题型模版 1.特征：条件里同时出现 、、，形如 、、． 2.方法：两边取对数或乘除配因子，把两个变量整理成 的同构形式（ 常取 、、、），再用 的单调性、极值比较大小． 3.提醒：同构要求变量取值范围一致（多为 ），取对数前要说明两边为正；配对后不要漏掉 的定义域限制． ▸ 变式 3-1 证明：当 时，，并指出等号成立的条件． ▸ 变式 3-2 已知函数 有两个不同的零点 、（），证明：． ▍ 题型四、双变量不等式 ▸ 典例 4 已知函数 ．设 ，证明：． ▍ 题型模版 1.特征：结论同时含 、（或 、），或要求对任意两点比较函数值差与自变量差． 2.方法：固定一个变量把另一变量做成差函数；或用同构化为 后偏移比较；斜率型条件用差商 与导数范围对接． 3.提醒：先明确 、 谁大谁小、落在哪个单调区间；“对任意”与“存在”的量化顺序不能换，取等条件要单独检验． ▸ 变式 4-1 已知函数 与 ．证明：存在直线 ，其与两条曲线 、 共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标成等差数列． ▸ 变式 4-2 已知函数 ．设 ， 且 ，证明：． ▍ 题型五、连乘、求和型不等式 ▸ 典例 5 证明：当 时，． ▍ 题型模版 1.特征：结论含 （或 、、），右侧是能算出的闭式或另一个和式． 2.方法：三条路——逐项放缩后累加（裂项相消）；先算差分 定单调性、再把余项逐段放大到能裂项的闭式；数学归纳法（第一步验证，第二步由 推 时做增量比较）．连乘一律先取对数换成求和． 3.提醒：放缩要保方向（证上界就放大每一项、证下界就缩小每一项），并注意首项、末项是否需要单独处理；写清每一步的取等与否． ▸ 变式 5-1 证明：当 时，． ▸ 变式 5-2 已知函数 ．求实数 的最大可能值，使得 对任意 都成立． ▍ 压轴挑战 1．已知函数 ，则对任意实数 ，下列不等式恒成立的是 （　　） A． B． C． D． 2．当 时，下列不等式恒成立的是 （　　） A． B． C． D． 3．（多选）已知 ，且 ，则下列结论正确的是 （　　） A． B． C． D． 4．设 ，，记 ，则下列正确的是 （　　） A． B． C． D． 5．已知函数 有两个不同的零点 、，则实数 的取值范围是 （　　） A． B． C． D． 6．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是          ． 7．设 ，则 与 的大小关系是          （填“”“”或“无法确定”）． 8．已知函数 （）有两个不同的零点 、（），证明：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $