专题08 数列与不等式综合（放缩、恒成立、参数范围）（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题08 数列与不等式综合（放缩、恒成立、参数范围） 常考题型·精准突破 考点一 裂项放缩 题型1 裂项放缩（重）（高频） 考点二 数列不等式恒成立 题型2 证明数列不等式恒成立问题（难） 题型3 根据数列不等式恒成立求参数（难） 考点三 数列不等式能成立（有解） 题型4根据数列不等式能成立求参数（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 裂项放缩 ◆题型1裂项放缩 1．（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知数列是等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)若数列的各项均为正数，其前项和为，且为等差数列，． （i）证明：为等差数列； （ii）若，记，证明：． 【答案】(1) (2)（i）因为，， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即， 故当时，． 当时，上式也成立，故， 所以， 故数列是以为公差的等差数列． （ii）由（i）可知，，则． 方法一： 因为，， 当时，， 所以， 所以，． 方法二： 因为，，， 又当时，， 所以当时， ． 所以，． 【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程组求解即可. （2）（i）根据为等差数列求出，根据求出，结合等差数列的定义证明即可. （ii）求出，（方法一）根据等比数列的前项和公式，结合放缩法证明即可；（方法二）结合裂项相消法证明即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，根据题意可得 ，解得， 所以． （2）略 2．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）“裂项相消”是解决数列求和问题的一种方法，很多数列的通项其实都可以写成两项相减的形式. 例如：，，…... ，将这些式子累加便可得到，于是可以求得. 相信你现在已经学会了“裂项相消”，现在已知，. (1)求数列的前100项和； (2)求； (3)证明:对任意的正整数，. 【答案】(1) (2)42925 (3)证明：当显然成立， 当时，， 所以 ， 综上对任意的正整数，. 【分析】（1）利用裂项相消法求和即可； （2）利用题意构造的三次方裂项相消求平方和即可； （3）利用不等式放缩，结合裂项相消法求和即可得证. 【详解】（1）因为， 所以； （2）由，，……，， 累加可得， 所以 ， 令得：. （3）略 3．（2026·河南郑州·模拟预测）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义，求出，再利用累加法求通项即可； （2）对进行放缩，再利用裂项相消法求和，即可完成证明． 【详解】（1）由数列是公差为2的等差数列，且，， 则， 所以 ， 又满足上式，所以． （2）由（1）得，， 当时，， 当时，． 综上，． 4．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知数列满足，，且数列是公差为4的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列得到数列的通项公式，再累加求出数列的通项公式即可. （2）根据（1）以及裂项相消法求解即可. 【详解】（1）， 所以 ， 当时满足以上通项公式， 综上所述：的通项公式为； （2）， 当时，， 当时，， 综上所述：. 考点二 数列不等式恒成立 ◆题型2 证明数列不等式恒成立问题 5．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知数列满足，且． (1)证明：是等比数列． (2)求的通项公式． (3)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)由，得， 所以，即， 又，所以是首项为，公比为的等比数列． (2) (3)由（2）知， 则 设， 则． 上面两个等式相减得， 所以，所以， 因为，所以， 【分析】（1）利用已知等式得出，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）中的结论结合等比数列的定义可求得数列的通项公式； （3）求得，利用分组求和法以及错位相减法可化简的表达式，即可证得结论成立. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以． （3）略 6．（25-26高二下·江西九江·期末）已知数列满足：，且对任意，有. (1)求，，并比较大小； (2)证明：数列是等比数列； (3)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)，，； (2)证明：由， 又， 故数列是以为首项、为公比的等比数列. (3)证明：由（2）得，故. 所以， 则 【分析】（1）依次计算出，作差法比较大小； （2）计算出，证明出结论； （3）由（2）得，故，由等比数列求和公式可得. 【详解】（1），由题意，， ， 则，故. （2）略 （3）略 7．（25-26高二下·安徽滁州·期中）已知等比数列的首项，公比，在数列中每相邻两项之间都插入个数，使得它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列. (1)求数列的通项公式. (2)是不是数列中的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由. (3)记，证明：. 【答案】(1) (2)不是，理由如下： 设是数列中的第n项，则 ， 该方程无整数解，故不是数列中的项. (3) 由（1）知， . 【分析】（1）求出公比可得通项公式； （2）设是数列中的第n项，利用的通项公式解方程，有正整数解即是，没有就不是； （3）在中从第二项开始放缩：，然后求和可证． 【详解】（1）设数列的公比为，在之间插入两个数后成为新数列的第4项， ， ； （2）略 （3）略 8．（2026·吉林·二模）已知正项等比数列满足，且，，成等差数列，正项数列的前项和为，． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明：由，得， 两式相减，得，所以， 则. 【分析】（1）由等差中项的性质结合等比数列的通项公式即可求解； （2）利用结合条件与数列放缩化简可得. 【详解】（1）设数列的公比为（）. 因为，，成等差数列，所以， 即，解得或（舍去）. 所以. （2）略 ◆题型3根据数列不等式恒成立求参数 9．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）∵， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，满足上式， ∴． （2）由（1）得， ∴， ∴， ∵，∴， 又因对，恒成立，故，得， ∴实数的最小值为1． 10．（25-26高一下·上海·期末）已知数列的前n项和为，； (1)求的通项公式； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用计算； （2）分、两种情况讨论，利用参变分离并结合对勾函数求最值. 【详解】（1）因为，所以， 则， 又，不符合上式， 所以. （2）若，则成立，即，得； 若，则，，则恒成立， 即恒成立， 因为在上单调递增，所以， 则的最大值为，则， 综上，实数的取值范围为. 11．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知数列满足：，，且对任意正整数都成立． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)因为，对一切正整数成立， 所以，即， 因为，，所以， 所以数列是以为首项，4为公比的等比数列． (2) (3) 【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证； （2）结合（1）利用等比数列定义可得，然后利用累加法求解即可； （3）先得到，利用裂项相消法得到，进而得，即可求解以实数的最小值． 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 所以通过累加得 ， 当 时，，满足上式， 综上所述，． （3）， 从而， 所以， 当无限增大，的值越来越趋近于0 且小于0，所以的值越来越趋近于且小于， 所以对任意正整数 ，不等式恒成立时，， 即实数的最小值为． 12．（25-26高二下·山西吕梁·阶段检测）已知数列的前项和为，且，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求； (3)已知数列的前项和，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)由，得，即， 所以数列是公差为1的等差数列； (2) (3) 【分析】（1）根据递推式得，结合等差数列的定义即可证； （2）由（1）写出的通项公式，应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求； （3）根据已知求得，再由数列不等式恒成立得对任意的恒成立，结合右侧的单调性确定参数范围. 【详解】（1）略 （2）由（1），得，所以，又， 所以，解得，则． ， ， 以上两式相减，得 ， 所以． （3）因为数列的前项和，当时， 以上两式相减，得， 又，满足上式，所以． 因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立． 令， 所以， 当时，，即， 当时，，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围是. 13．（25-26高二下·江西萍乡·期中）设数列的前项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和； (3)对于（2）中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由之间的关系得数列为等比数列，由此即可得解. （2）由等比数列求和公式、错位相减法，即可得解. （3）化简得，分奇偶讨论，结合单调性求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 两式相减，得，又， 所以数列为等比数列，首项为3，公比为3， 所以数列的通项公式是. （2）因为，， 所以 所以， 则有， 两式相减得： ， 于是得. （3）不等式代入得： 两边除以整理得： ​，分奇偶讨论： 当为奇数时：，不等式化为​， 令，， 因为，所以， 对奇数单调递增，最小值为，故； 当为偶数时：，不等式化为​，即， 同理，对偶数单调递减，最大值为，故， 综上，的取值范围为： ​. 考点三 数列不等式能成立（有解） ◆题型4 根据数列不等式能成立求参数 14．（26-27高三上·山东日照·开学考试）已知数列的前项和为，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列中项性质得到与的关系式，结合构造等比数列求解通项； （2）先推导、的表达式，通过等比数列求和公式化简不等式，结合数列单调性求得最小正整数. 【详解】（1）由，，成等差数列，根据等差数列中项性质得： ， 化简得 ①，. 当时，，解得. 当时， ②. ①②得：，整理得，即. 又，故是首项为，公比为的等比数列. 因此，且， 即. （2）由（1）得，代入的表达式得： ， 由题意，为的第项，故. 所以 ， 由等比数列前项和公式可得：， 故. 令，设，，则： ， 故为递增数列. 故，， 故满足不等式的最小正整数. 15．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）数列的前项和为，已知，，成等差数列. (1)证明：数列是等比数列； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值. 【答案】(1)因为，，成等差数列， 所以， 当时，， ，得 ， 由，得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. (2) 【分析】（1）根据的关系，结合等差数列的性质、等比数列的定义进行求解即可. （2）根据等比数列前项和公式，结合数列的单调性进行求解即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）可知：数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， ， 由题意可知：， ， 设， ， 因为，所以， 即， 所以数列是递增数列， 因为， 所以使得不等式成立的最小正整数的值为. 16．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由为： 即判断是否成立，由（1）可得，， 则 ，则当时，；时，. 则在时，取最大值，则，因， 则不存在正整数m，使得成立. 【分析】（1）由通项公式与前n项和关系可得通项公式； （2）由（1）可得，由作差法可判断数列单调性，据此可完成判断. 【详解】（1）当时，， 当时，. 又注意到，符合上式，则； （2）略 17．（24-25高二下·山西·期中）已知数列的前n项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)证明如下： 数列中，， 当时，， 两式相减得，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴数列是以3为首项，3为公比的等比数列， ∴， ∴； (2)①； ②. 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用及构造法推理得证，进而求出通项公式. （2）①由（1）求出，再利用裂项相消法求和；②由①求出，借助单调性求出的最小值即可. 【详解】（1）略 （2）①由（1）知，，， . ②由①知，，， ， 而数列单调递增，则， 因此，由存在，使得，得， 所以的取值范围是. 18．（24-25高二上·广西南宁·阶段检测）已知数列的前n项和为数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)令求数列的前n项和； (3)若， 存在正整数n使得，成立，求k的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解即可； （2）利用错位相减法来求和即可； （3）由不等式能成立，来求的最小值，再由使不等式都成立，分离参变量，即可求k的取值范围. 【详解】（1）由得：， 两式相减得：， 所以数列是等比数列，公比为， 由于，即， 又因为，所以， 即数列是等差数列上，公差为，首项为， 所以, 即; （2）由于， 则， 利用错位相减法，则 ， 上面两式相减得：， 则， 即； （3）由于，所以数列是递增数列，即， 因为当， 存在正整数n使得，成立， 则，由,变形得：， 因为，由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 所以有， 则有. 综合攻坚·知能拔高 1．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，． (1)求证：数列为等差数列，并求； (2)设，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）对条件式变形可得，根据等差数列的定义证明求解； （2）先证明，可得，所以，利用裂项相消法求和得证. 【详解】（1）由，，得， 所以数列是以1为首项1为公差的等差数列， 即，化简得. （2）因为，所以，所以， 可得，即， 所以， 因为， 所以, 所以. 2．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据的关系式进行求解，结合累乘法求出通项公式； （2）放缩得到时，，从而裂项相消法求和可得结论 【详解】（1）①，当时，，即，所以， 当时，②， 式①-②得，即， 故当时，， 当时，依然成立， 故通项公式为； （2），故， 当时，， 当时，，故， 又，故， 所以， 故 3．（25-26高三下·河北衡水·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，求证：对于任意，都有． 【答案】(1) (2) ， 所以， 当时，，不等式成立， 当时， ， 综上. 【分析】（1）利用得到，进而可知是以为首项，为公比的等比数列，求出从而求出答案； （2）利用分组求和法求出，从而得到，利用放缩法即可证明. 【详解】（1）当时，由得， 所以，即， 当时，，所以，所以，故， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. （2）略 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)由（2）知，其中， 当时， ，    当时，．             综上所述，． 【分析】（1）利用等差数列的通项公式基本量运算计算求解； （2）利用等差数列求和公式结合裂项相消法求和； （3）放缩法解等比数列求和公式证明不等式问题． 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意可知 解得，故． （2）由（1）得，所以， 数列的前 项和为； （3）略 5．（25-26高二下·江西·阶段检测）已知数列满足． (1)证明：数列是等比数列，并求； (2)设，求数列的前项和； (3)设，证明：． 【答案】(1) 因为，所以， 将上式变形为，                                       又因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，           所以，所以. (2) (3) 由题知，当时，； 当时，；                                       当时，，                               所以                        综上，得证. 【分析】（1）可化为，利用等比数列的定义即可证明，利用等比数列的通项公式即可求出； （2）利用错位相减法即可求出答案； （3）由题意知，先证明当时、当时，不等式成立，当时，，利用等比数列前项和公式求和即可证明. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以， 所以     ①，                          ②，                        ①-②得 ，                           所以. （3）略 6．（25-26高三上·河南驻马店·期末）已知数列满足，（为常数）． (1)是否存在常数，使得为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)在（1）的结论下，当为递增数列时，证明：． 【答案】(1)存在，或； (2) 由（1）知，时为递增数列，显然， 当时，，则， 综上，，得证. 【分析】（1）假设为等比数列，应用等比中项的性质列方程求参数，再验证即可得结论； （2）根据（1）及已知得，应用放缩法及等比数列前n项和公式即可证. 【详解】（1）由已知得前三项分别为，，， 假设为等比数列，则，解得或， 当时，是每一项均为的常数列，也是等比数列； 当时，，则以为首项，3为公比的等比数列； （2）略 7．（25-26高三上·广东清远·阶段检测）已知数列满足，，点是函数上的点， (1)若.（，为正整数），求的值 (2)证明数列是等差数列，并求数列的前项和为 (3)证明：. 【答案】(1)2025 (2)证明： 令，由 得： ， 即 所以 是首项 ，公差 的等差数列， 所以， 于是 ， 得： ， ， 所以： 所以： (3)证明： 因为 对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 于是 因此. 【分析】（1）由题意得，代入到对数等式中，利用对数运算法则可得答案； （2）利用等差数列的定义可证明，并求出数列，利用错位相减法可得； （3）放缩成等比数列求和，可证明. 【详解】（1）因为点 在函数 上，所以， 所以， ，代入 ： ， 所以. （2）证明略， （3）略. 8．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足：，其前项和为． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) 由题意每一项都不为零．由得， 又， 因此是首项为，公比为的等比数列， 所以，故； (2) 对于任意的正整数，因为，所以， 求和得到． 【分析】（1）根据已知条件化简，再应用等比数列定义计算证明，最后应用等比数列的通项公式计算求解； （2）应用不等式关系及等比数列求和公式计算证明. 【详解】（1）略 （2）略 9．已知在数列中，，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明:因为， ， 所以． (2)证明:当时，; 当时，， 【分析】（1）由递推公式直接计算即可；（2）将式子进行化简成与（1）相关的式子，利用累乘法与裂项相消法求证. 【详解】（1）略． （2） 略. 10．（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 由①，得②， ②−①得③，则④， ④−③得，即， 所以是等差数列， (2) 【分析】（1）由，得，将这两个等式作差结合等差中项法可证得结论成立，在等式中令，可求出的值，结合可求得该数列的公差，再利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可求得的表达式，得出，结合题意得出对恒成立，于是得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）设其公差为， 由，得，所以． 因为，所以公差， 所以． （2） ， 所以． 由对恒成立，得，即． 设，由对恒成立， 得，解得或，故的范围为． 11．（25-26高三·全国·三轮复习）已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) 已知，故，当时，. 因为，代入， 整理得. 因此是首项为、公比为的等比数列， 所以，故. (2) (3) 【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明；进而求出的通项公式； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）根据（1）得到，根据作差法得到数列的单调性，再求范围即可. 【详解】（1）略 （2） 两边同乘​得 得，， 整理得. （3）由​得，设​，对任意正整数恒成立， 只需的最大值. ， 当时，，即； 当时，，即， 故最大值为. 因此的取值范围为. 12．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知数列满足，． (1)求，，的值，并猜测的通项公式；（无需证明猜测） (2)设，求数列的前项和； (3)设，数列的前项和为．若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)，，， (2). (3) 【分析】（1）根据已知递推公式，代入，求出，，的值，然后根据等差数列的定义得出通项公式； （2）分奇偶讨论，并项求和；（3）先裂项求和求出，根据数列的单调性求出的最值，进而求出的最小值. 【详解】（1）已知，， ，，， ， 因为，，所以. 则 ，即， 数列是以为首项，为公差的等差数列， . （2）， 为偶数时，， 为奇数时，， 所以. （3）， ， 随着的增大，减小，增大，所以， 若对任意，不等式恒成立， 所以，实数的最小值为. 13．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知数列满足，令且数列的前项和为， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为； (3)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据退位作差即可求得的通项公式； （2）由（1）求得，利用裂项相消法求得； （3）由（2）将不等式转化为对恒成立，令，判断的单调性，求出的最小值，得解. 【详解】（1）因为，① 所以，，② ①②得，整理得，， 又当时，， 所以. （2）由（1），，，， ， . （3）由（2），， 所以不等式，即对恒成立， 令，则，， 所以当时，，即， 当时，， 当时，，即， 所以， 所以的最小值为，所以，即的取值范围为. 14．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)若对一切，不等式均成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 已知，当时，. 则， 所以，即. 当时，， 则，，满足. 因此，数列是以3为首项，3为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）根据与的关系，结合作差法得到，变形可得，根据等比数列的概念证明即可. （2）结合（1）对不等式进行变形得到，求的最大值即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 故不等式可化为，即. 设，，故只需即可. ， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，，所以，即. 因此，在时取得最大值为， 故实数的取值范围为. 15．（24-25高三上·江苏镇江·期中）已知，数列前项和为，且满足；数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)是否存在实数，使得数列是等差数列？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由； (3)求使得不等式成立的的最大值． 【答案】(1) (2)存在， (3)4 【分析】（1）根据作差得到，结合等比数列的定义计算可得； （2）假设存在实数，使得数列是等差数列，根据等差数列的定义作差得到，即可求出； （3）结合（2）可得的通项公式，即可得到，令，利用作差法说明单调性，即可求出的最大值. 【详解】（1）因为①，②， ②-①得，∴，而，∴， ∴成首项为，公比为的等比数列，∴． （2）假设存在实数，使得数列是等差数列， ∴ 为常数， ∴，解得， ∴存在使成等差数列，且公差为． （3）由（2）知，∴， 解法一：∴不等式，即， 令，则（或使用作商法得）， ∴在上单调递减，注意到，， ∴时，，∴． 解法二：∴不等式，即，当时，不等式显然成立， 令， 则（或者通过导数说明单调递减），则单调递减， 所以，∴； 解法三：∴不等式，即，当时，不等式显然成立， 当时，，不合题意； ∴． 16．（24-25高三上·新疆塔城·期中）已知等比数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前n项和； (3)若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由已知及等比数列的性质求公比和首项，进而写出等比数列通项公式； （2）讨论n的奇偶性，结合数列通项公式及等差数列前n项和公式求； （3）等比数列前n项和得，且能成立，讨论n的奇偶性，结合的单调性求参数范围. 【详解】（1）设等比数列的公比为q，则， 由，解得， 所以. （2）由（1），得，则， 当n为偶数时，令，则， 当n为奇数时，. 所以. （3）由（1），知， 存在正整数n，使得成立. 当n为偶数时，，， 由，得. 因为单调递增，所以的最小值为， 因为单调递减，所以的最大值为， 所以. 当n为奇数时，，， 由，得. 因为单调递减，所以的最大值为， 因为单调递增，所以的最小值为， 所以. 综上，m的取值范围是. 17．（23-24高二下·河南濮阳·阶段检测）已知数列满足，，设． (1)求数列的通项公式； (2)记的前项和为，若存在使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得，于是得数列是以为首项，为公差的等差数列，接着根据等差数列通项公式求解即可. （2）先由（1）得，接着将问题“存在使得成立”转化为“存在使得成立”，再将存在问题转化为最值问题研究的最小值即可求解. 【详解】（1）因为①； 故，且②， 由②①得， 所以数列的偶数列是以为首项，公差的等差数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）， 所以即， 所以存在使得成立，即存在使得， 所以，令， 任取，则， 因为，所以， 所以即， 故在上单调递增，同理可得在上单调递减， 又， 所以， 所以实数的取值范围为. 18．（23-24高二下·江苏南京·阶段检测）已知数列的前n项和满足. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，记数列前n项和为，若存在使得成立，求λ的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义与通项公式即可得解； （2）利用（1）中结论，结合错位相减法求得，再将问题转化为能成立问题，进而求得不等式右式的最大值，从而得解. 【详解】（1）因为，当时，，得， 当，时，，， 两式相减，得，即， 而，则，， 所以是以1为首项，公比的等比数列， 故； （2）， 所以， ， 两式相减，得 ， 所以， 由，得，， 即存在使成立， 因为随着增大，在减小， 所以当时，， 故求的取值范围是. 19．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知正项数列的前n项和为，且；数列是单调递增的等比数列，公比为q，且，的等差中项为10；，的等比中项为8． (1)求，的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，若存在使得成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系可得，利用等比数列性质及等差中项、等比中项性质可得； （2）分组求和可得，可将原不等式转化为，计算即可得. 【详解】（1）由可得， 当时，，两式相减得， ， 即， ， 即可得是等差数列． 由，得， 即． 由题意得，即，解得或， 是递增的等比数列， ，所以，得， ， 即； （2）由（1）得： 若存在使得成立， 等价于存在使得能成立， 设，则， 是递减数列，故的最大值为， 因此的最大值为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08数列与不等式综合（放缩、恒成立、参数范围） 内容概览 目常考题型精推突破 考点一裂项放缩 题型1裂项放缩（重）（高频） 考点二数列不等式恒成立 题型2证明数列不等式恒成立问题（难） 题型3根据数列不等式恒成立求参数（难） 考点三数列不等式能成立（有解） 题型4根据数列不等式能成立求参数（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ·考点一裂项放缩 ● ◆题型1裂项放缩 1,(25-26高二下·贵州遵义期末)已知数列{a,}是等比数列，且4，-a=6,a,-4=12. (1)求{an的通项公式； 2诺数列6}的各项均为正数，其前n项和为5，：且为等差数列，么=3站 n ()证明：{也}为等差数列： 2 ()若6=1记c,a,(6.+0,证明： 24 1/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26高二下·江西景德镇·阶段检测)“裂项相消”是解决数列求和问题的一种方法，很多数列的通 项其实都可以写成两项相减的形式.例如：2n+1=(n+-2,2(n-)+1=n2-(n-1)2, 2×1+1=22-P,将这些式子累加便可得到2(1+2+3++m)+n=(n+)-1=m+2n,于是可以求得 1+2+3+.…+n= n2+n 111 2.相信你现在己经学会了“裂项相消”，现在已知n+)nn+1: 3n2+3n+1=(n+1)3-n3 2 (1)求数列 n0n+)广的前100项和： (2)求12+22+32+…+502： 11 (③)证明对任意的正整数n，1+2232十…+ 133 +0m-y+<20 3.(2026河南郑州模拟预测)在数列an}中，a=1,42=3，且数列{a-a}是公差为2的等差数列. (1)求数列{a}的通项公式： 1+1+1+…+1<2 111 (2)求证：a'424 a. 2/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26高三下河南阶段检测)已知数列an}满足4=1，a42=5,且数列{a1-a}是公差为4的等差数 列 (1)求数列{a}的通项公式： 2)求证：aa,a,a,2 ●考点二数列不等式恒成立。一 ◆题型2证明数列不等式恒成立问题 5.(25-26高二下辽宁抚顺期末)已知数列{0n}满足4=2，且2a=a.+4. (1)证明：{a。-4}是等比数列. (2)求{an}的通项公式. B设么=，数列仫}的前n项和为5正明：及≥个+4 2 3/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6(25-26高二下江西九江期末)尸知数列@满足：42，且对任高N,有%-+ an+2· (1)求a,a4,并比较大小； an-1 (2)证明：数列 a,+1 是等比数列： 1 (3)记数列 的前项和为s,证明：S,>n- 7.(25-26高二下·安徽滁州期中)已知等比数列{a}的首项4=2，公比9=8，在数列{a}中每相邻两项 之间都插入2个数，使得它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列也}： (1)求数列也，}的通项公式， (2)b2是不是数列{an}中的项？若是，它是an}的第几项？若不是，说明理由. 1,1,,15 3)i记c,=h,+1,证明：G+6+…+cn6 一十一十…十 4/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(2026吉林二模)己知正项等比数列{a}满足4=1，且20,4,3a成等差数列，正项数列亿.}的前 n项和为Tn,Tn=anbn」 (1)求{an}的通项公式： bat (2)证明：b>44m. ◆题型3根据数列不等式恒成立求参数 9.（2526商=下辽宁朝阳期未)已知数列{a,}满足4=3,34+3%+3a++30,-9。-9. 8 (1)求数列an的通项公式： 5120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 2记。，=l6g,a数列a的前n项和为红：若对vmN,A-7恒成立，求实数的最小值。 n 10.(25-26高一下·上海期末)已知数列{a}的前n项和为Sn,Sn=m+3n+1: (1)求an的通项公式： (2)若不等式Sm≥a对任意n∈N,n≥2恒成立，求实数的取值范围； 11.(25-26高二下上海宝山期末)己知数列{a,}满足：4=2,4，=1，且a2+4a,=5a对任意正整 数n都成立. (1)证明：数列{a-a,}是等比数列； (2)求数列{a的通项公式： 1 B)设h,=log,(3a,-少数列b,h的前n项和为S,·若对任意正整数n,不等式S,<2恒成立，求实数 九的最小值. 6120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12. (25-26高二下·山西吕梁阶段检测)已知数列{a}的前n项和为S,且a=5a,+5,S,=43. 1)求证：数列5 是等差数列： (2)求Sn: 归支别的，凯侣- 不学式一-+0对的N立，求安数 16 的取值范围. 7/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(25-26高二下江西萍乡期中)设数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=3an-3,n∈N. 1)求{an}的通项公式： (2)若数列{b.}满足bn=log,凸m1,求数列{a,b.}的前n项和T: (3)对于(2)中的T,若对任意的n∈N,不等式(-3)1<T+3恒成立，求实数2的取值范围. ●考点三数列不等式能成立（有解）●一 ◆题型4根据数列不等式能成立求参数 14.(26-27高三上山东日照开学考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,且2n-2,Sn,4an成等差数 列. (1)求数列{a,}的通项公式： (2)若b。=log2(1-a）,从数列{b.}中依次取出第2项，第4项，第8项，，第2项，按原来顺序组成新 数列{c},求使得不等式G+G2+C++C,>2026成立的最小正整数n的值. 8120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(25-26高二下黑龙江哈尔滨期末)数列{am}的前n项和为Sn,已知2n-2,Sn,4an成等差数列 (1)证明：数列{a,-是等比数列： (2)若b=1og2(1-a),从数列b}中依次取出第2项，第4项，第8项，，第2”项，按原来顺序组成新 数列{c},求使得不等式9+c+9++c.>2027成立的最小正整数n的值： 16(2425商三下上海阶段检测)已知数列a)的前和为S=12-12() (1)求数列a}的通项公式： (2)若数列，}满足b,=(2n-)0,问是否存在正整数m,使得b,≥9成立，并说明理由 9/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(24-25高二下山西期中)已知数列{a}的前n项和为Sm,且2S,=3a+2n-6. (1)证明：{a,-l是等比数列，并求{a,}的通项公式： 2记4-^40，-2) anam ,，记数列6，}的前n项和为7 ①求T☑m: ②若存在neN,使得2≥T,求元的取值范围. 18,（2425高二上广西有宁阶段检测)已知数列a}的前项和为8S=2山，eN,数列6)满足 b=1,bn-bn+1+2=0 1)求数列{a},b.}的通项公式： (2)令cn=2a。b,求数列{cn}的前n项和Tn: (3)若入>0，存在正整数n使得，2+k+2>T成立，求k的取值范围。 10/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 1.(2026高三·全国专题练习)己知数列{a}满足a=1,Va,-a=Va,·a(neN) (1)求证：数列 为等差数列，并求a, 2设6，=+2a,数列，}的前项和为s,求证：S<n+1- n+1 2.(25-26高三下广东揭阳阶段检测)记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn+na,=4. (1)求{an}的通项公式： 3 2)记为数列a 的前n项和，证明：T,<5 11/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26高三下河北衡水期中)已知数列{a}的前n项和为S,且满足S.+a,=2n+4neN). (1)求数列{a,}的通项公式： (2)若数列1 的前项和为，求证：对于任意 ,都有工，<4m+ n (S+2 n nEN 4.(2026-陕西榆林模拟预测)已知等差数列a}的前n项和为Sn,且a=9,S4=30. (1)求{an}的通项公式： 1 2求数列了的前”项和： 1,1,1 (3)证明： +1<1 S S2 Sa ,2 12/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.（2526商=下江西阶段检测)已知数列a}满足4=1a1=242 an+2. 1 (1)证明：数列 等比数列，并求。， 是 求数列，}的前n项和s,: 6.(25-26高三上河南驻马店期末)已知数列{an}满足4=1，an+=九a,+1（1为常数). (1)是否存在常数2，使得a,+2为等比数列？若存在，求出2的值，若不存在，请说明理由： (2在(1)的结论下，当{a,}为递增数列时，证明：aa,a, 0n2. 13/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26高三上广东清远阶段检测)己知数列{a}满足a=1,a=3a.+b,点(m,b.)(neN,)是函数 f(x)=3上的点 (1)若logb,+log3b,=2log,b5.(P,9为正整数)，求p+9的值 (2)证明数列3}是等差数列，并求数列{a,}的前n项和为s, ，1 (3)证明： +…t、13 b-1b2-1bn-14 、2 8. (24-25高二上江苏南京期末)已知数列{a,}满足：4=了？a+a,a1=2a,其前n项和为S。· (1)证明： -1 a。 为等比数列，并求数列{a,}的通项公式： (2)证明：Sn>n-1 14/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 g.已斑在孩列a中，4=+宁岁+叶a小a2》.来 an+l n2 aam+m≥2)， ®}a≥n. 10.(2026山东聊城：二模)记数列{an}的前n项和为S,若满足2S=n(4+a),n∈N,且a=16. (1)求证：{a,}是等差数列，并求{a}的通项公式： ②设%aa+ava,T为数列)的前n项和，若u1neN不等式7.<f+a-恒成 立，求实数t的取值范围. 15/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11. (25-26高三·全国三轮复习)己知数列{a,}的前n项和为S。,a=2,(1-n)S.=2n0 n (1)证明： S. 是等比数列，并求出{，}的通项公式： (2)求数列{S}的前n项和Tn; (3)若1≥nSm,求2的取值范围. 12.(25-26高二下内蒙古呼和浩特阶段检测)已知数列{a,}满足a=1,a1=Va+2a,+1+1. (1)求凸，a,a的值，并猜测{a}的通项公式：（无需证明猜测） 2)设b.=(-°a,求数列{b}的前n项和Tn: ?2名，数列C的前项和为S若对任意EN,不等式S<恒成立，求实数 16/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(25-26高二下-辽宁沈阳开学考试)已知数列{a}满足4+3a,++3a.=(n-2)3”+1(neN),令 b=4n2 ，neN且数列，}的前n项和为s, anan2 (1)求数列a}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和为Sn: B洁对物eN,个等式2”<n1-8)恒成立，求安数的联世范国 14.(25-26高二下·黑龙江哈尔滨阶段检测)已知数列{an}的前n项和为Sn,4=5且a+1=2Sn-4n+5. (1)求证：数列{a。-2}为等比数列： (2)若对一切neN,不等式2(a。-2)>n2-3n均成立，求实数元的取值范围. 17/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(24-25高三上江苏镇江期中)己知neN,数列{a}前n项和为S,且满足Sn=2a,-1;数列b.} 满足6=2，b1=2-1 bn· (1)求数列{a,}的通项公式： 1 (2)是否存在实数'使得数列6，-元是等差数列？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理 由： (3)求使得不等式2nb,≥am成立的n的最大值. 16,(245商三上新暖塔城期中)已如等比数列a,}的前0项和为S,怎=分，马+a=子 18/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求{a}的通项公式： 2若.- an+1+n,n为奇数 a,n为偶数求数列{b,}的前”项和T: (3)若存在正整数n,使得(S,-m(S-m)0成立，求m的取值范围. 17.(23-24高二下-河南濮阳阶段检测)己知数列{a,}满足a=1,a。+a1=3n-1,设b.=am. 1)求数列{凸，}的通项公式； (2)记b,}的前n项和为Tn,若存在neN使得T.+15<n:1成立，求实数2的取值范围. 19/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(23-24高二下江苏南京阶段检测)已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn+an=3 (1求{a}的通项公式： 15 2)设数列他，}满足h,=(n+)a,记数列，}前n项和为T,:若存在n∈N使得7，≥4+a成立，求元的 取值范围. 19.(23-24高二上江苏盐城期末)已知正项数列{a}的前n项和为Sn,且2√Sn=an+1;数列{b,}是单 调递增的等比数列，公比为q,且b2,b4的等差中项为10：b,b的等比中项为8. (1)求{a},{b}的通项公式： an,n为奇数 (2)设Cn= ,n为偶数， 为数列。的前n项和，若存在 使得 成立，求实数的 T RCn nEN'Tn-2n2+n≥b 最大值. 20/20