专题03 极值、最值 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题03 极值、最值与含参极值点 导数 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、极值点与极值求参数 题型二、闭区间上的最值与值域反求参数 题型三、导函数零点的分布与韦达关系 题型四、双极值点、极值差与极值符号 题型五、生活中的优化问题 压轴挑战 ▍ 解题通法 极值的判定只看导函数在该点两侧的符号：左正右负取极大值，左负右正取极小值， 只是必要条件而不是充分条件， 在 处导数为 却不是极值点就是最常用的反例．由此产生三条主线：其一，「 是极值点」与「 处取最值」都给出 与 两个等式，联立先解出参数，再回代检验导函数是否真的在该点两侧变号；其二，闭区间上的最值要把极值与端点函数值放进同一张表里比较，含参时条件往往翻译成值域能否取到某个数或最值能否取到，从而解出参数范围；其三，若导函数能化成二次式 ，则「既有极大值又有极小值」翻译成该二次式有两个不相等的正根，判别式、两根之和、两根之积三类条件必须同时使用，缺一个就可能多解．极值点个数问题一律设 ，讨论 的单调性与零点分布，不引入新的求导记号；双极值点问题则要把极大值与极小值都算出来，用它们的符号与差决定图象走势与零点个数。生活中的优化问题先写出目标函数，明确长度、体积、价格都为正的实际约束，在约束确定的区间内求最值，最后把答案落回实际的量并写出答语． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、极值点与极值求参数 ▸ 典例 1 已知函数 （）。当 时 取得最大值 ，则 （　　） 【答案】B 【分析】最大值点同时给出 与 ，两式定出 后还要回代检验导函数在 两侧变号。 【详解】解： 的定义域为 ，。 由 是最大值点，得 ，且 ，所以 。 此时 ：当 时为正，当 时为负，故 确为最大值点。 于是 ，选 B。 若只由 得 ，参数并不能确定，必须同时使用最大值 ；求出的参数仍要回代检验两侧符号。 ▍ 题型模版 1.特征：解析式含待定系数，条件以「在某点取极大值、极小值或最值」「某点是极值点」的形式给出，要求定出参数或求导数值、极值差。 2.方法：把条件翻译成两个等式—— 等于给定的极值、——联立解出参数；只给「 是极值点」时先用 ，解出的多组值必须逐组回代，检验导函数在 两侧是否变号。 3.提醒： 只是可导函数取极值的必要条件， 在 处就不是极值点；极大值不一定比极小值大，区间上最大的函数值才是最大值；含 与 的解析式定义域为 ，参数的取舍要在定义域内进行。 ▸ 变式 1-1 已知函数 在 处有极值 ，则 （　　） A． B． C． D． 或 【答案】B 【分析】由 与 解出两组 ，再用导函数在 两侧是否变号取舍。 【详解】解：。由题意得 ，。 由第二式得 ，代入第一式得 ，解得 或 。 当 时 ，，在 左负右正，导函数变号， 是极小值点，符合题意，此时 。 当 时 ，， 在 上单调递增， 不是极值点，舍去。 所以 ，选 B。 选项 D 对应只解方程组而不检验变号的情形：、 时 只是导数为零的点，函数在该点两侧都递增。 ▸ 变式 1-2 已知函数 。若 有极小值，且极小值小于 ，则 的取值范围是            ． 【答案】 【分析】先由 定出极小值点 ，再把极小值小于 化成关于 的不等式，用单调性比较求解。 【详解】解：。当 时 恒成立， 单调递增，没有极值，不合题意。 当 时，令 得 ； 时 ， 时 ，故 是极小值点。 极小值 。由 ， 等价于 。 设 （），则 ，故 在 上单调递增，又 ，所以 当且仅当 。 求 之前必须先把参数范围缩小到 ， 时函数单调递增、根本没有极小值，不能列入不等式。 故填 。 ▍ 题型二、闭区间上的最值与值域反求参数 ▸ 典例 2 已知函数 。 （1）求 的单调区间与极值； （2）求 在区间 上的最大值与最小值． 【答案】（1）单调递增区间为 ，，单调递减区间为 ，极大值 ，极小值 ；（2）最大值 ，最小值 。 【分析】先由 定出极值，再把两个极值与两个端点函数值列在同一张表中比较。 【详解】解：（1）。 令 得 或 ；令 得 。所以单调递增区间为 ，，单调递减区间为 。 处导数左正右负，极大值 ； 处导数左负右正，极小值 。 （2）端点函数值 ，。 四个数 、、、 比较，最大者为 ，最小者为 ，故在 上的最大值为 ，最小值为 。 最小值取在端点 而不是极小值点 ，闭区间上的最值必须把端点函数值与极值一并比较，不能只比较两个极值。 ▍ 题型模版 1.特征：给出闭区间上的最大值、最小值或值域，要求区间上的最值、满足最值条件的参数值或参数范围。 2.方法：先求导找出区间内全部极值点，把极值与端点函数值放在同一张表中比较，最大者为最大值、最小者为最小值；条件写成「值域为某区间」「最大值为某数」「存在最小值」时，先把说法翻译成最值能否取到、取何值，再列关于参数的方程或不等式。 3.提醒：最值是函数值，极值点是横坐标，两者不能混写；单调区间有两段时用逗号隔开，不能写成并集；含 的函数要先说明定义域；分段函数是否存在最小值要逐段看递减趋势，开区间端点处取不到的值不能当成最小值。 ▸ 变式 2-1 函数 的最小值为            ． 【答案】 【分析】按 分段，各段用导数定单调性求段内最小值，再比较两段结果。 【详解】解：定义域为 ，分界点为 。 当 时，，， 递减，故 。 当 时，，，在 上为负，在 上为正，故 。 比较 与 ：由 得 ，故最小值为 ；故填 。 ▸ 变式 2-2 已知函数 与 有相同的最小值，则            ． 【答案】 【分析】分别求两个函数在定义域内的最小值（都要先说明 ），令两者相等后构造函数 ，用 的单调性说明解唯一。 【详解】解：若 ，则 ， 在 上递增且无下界，不存在最小值，故 。 当 时， 在 上递减，在 上递增，最小值 。 对 （），，故 在 上递减，在 上递增，最小值 。 两最小值相等得 ，即 。设 （），则 。 注意两个函数的定义域不同： 的定义域为 ， 的定义域为 ，最小值在各自的定义域内取得。 当 时 且 ，故 ；当 时，设 ，，故 ，仍有 。所以 在 上单调递减。 又 ，故 是唯一解。检验： 时 的最小值为 ， 的最小值为 ，符合题意；故填 。 ▍ 题型三、导函数零点的分布与韦达关系 ▸ 典例 3 若函数 （）既有极大值也有极小值，则（　　）（多选） 【答案】BCD 【分析】导函数通分后分子是二次式，「既有极大值也有极小值」翻译成该二次式在 内有两个不相等的实根，判别式、两根之和、两根之积三类条件同时使用。 【详解】解： 的定义域为 ，。 因为 ， 的符号由 决定。 既有极大值又有极小值，等价于 在 内有两个不相等的实根 、。 由不相等实根得 ，C 正确。 由两根都在 内得 ，即 ，B 正确；，即 ，D 正确。 由 知 与 同号，由 知 与 异号，故 与 异号，，A 错误。 反之当 B、C、D 同时成立时， 确有两个不相等的正根 。若 ，则 在两根之间取负、在两根外侧取正， 在 处左正右负取极大值、在 处左负右正取极小值；若 则两个极值的次序相反，两种情形都同时出现极大值与极小值。所以选 BCD。 ▍ 题型模版 1.特征：导函数通分后分子是含参二次式，或导函数含有不易直接求出的零点，条件以极值点个数、两极值点的位置、各系数符号的形式给出。 2.方法：把 写成分式，分母定号，只讨论分子二次式的根：两个极值点要求判别式大于 ，两根都在 内再加两根之和大于 、两根之积大于 ；极值点个数问题一律设 ，讨论 的单调性、最值与两端趋势，由 与 轴的交点个数定极值点个数。 3.提醒：韦达关系给出的是必要条件，解出范围后仍要回到定义域与变号检验；约去分母之前要说明分母的符号；「有两个极值点」要求 严格成立， 时导函数不变号；判别式、两根之和、两根之积三个条件缺一不可。 ▸ 变式 3-1 设 ，，函数 的极值点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导后设 ，讨论 的单调性、最大值与两端趋势，由 的零点个数定极值点个数。 【详解】解：。设 ，则 等价于 。 的导数为 ，令其为零得 ；当 时该导数为正，当 时为负，故 先增后减。 最大值 。 又 时 、，故 ； 时 起主导作用，。 所以 在 与 内各有一个零点且都变号。 取点定位：，，，故两个零点分别落在 与 内， 先减、再增、再减，极值点个数为 ，选 C。 ▸ 变式 3-2 已知函数 ，则 的极值点个数为            ． 【答案】 【分析】令 ，则 ，讨论 的单调性与极值，逐段数方程 的根。 【详解】解：。设 ，则 等价于 。 。 由 知 在 上递减，在 上递增，在 上递减，在 上递增。 取值与趋势：，；当 且 时 ，当 时 ； 时 。 极大值 。由 ，，得 ；极小值 。 逐段判断 ： 上由 递减到 ，一根； 上由 递增到大于 ，一根； 上由大于 递减到 ，一根； 上 ，无根。 故 恰有三个根， 在每个根两侧都变号，极值点个数为 ；故填 。 ▍ 题型四、双极值点、极值差与极值符号 ▸ 典例 4 设函数 ，则（　　）（多选） 【答案】AD 【分析】 给出两个极值点 与 ，按 的正负排大小，把极大值 与极小值 都算出来，用极值符号定零点个数。 【详解】解：，导函数的零点为 与 。 A：当 时 。在 上 ，在 上 ，在 上 ，故极大值 ，极小值 （因 ）。 又 时 ， 时 ，所以 在 ，， 内各有一个零点，共三个，A 正确。 B：当 时，在 上 且 ，故 ；在 上 ，所以 是极小值点，B 错误。 C：若 是对称轴，则对一切实数 有 。而 ，其中 的系数为 ，不可能恒为零，故曲线没有对称轴，C 错误。 D：若 是对称中心，则 对一切 成立。计算得 ，令 得 。取 得 ，对称中心即 ，其中 ，故这样的 存在，D 正确。所以选 AD。 ▍ 题型模版 1.特征：导函数有两个零点，需要同时讨论极大值与极小值，或由两个极值的符号、极值差、极值点的位置判断零点个数与图象的对称性。 2.方法：解出 的两根并比较大小，列符号表定极大值点与极小值点；极大值小于 或极小值大于 时只有一个零点，一正一负时可能有三个零点；极值差用两根之和、两根之积代换，避免解出根的具体值。 3.提醒：两根的大小要按参数分类，不能默认 ；用极值符号定零点个数时必须补上 趋向两端时 的趋向；三次函数的图象只有对称中心没有对称轴；极大值与极小值之间没有必然的大小关系。 ▸ 变式 4-1 设 ，若 为函数 的极大值点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 有两个零点 与 ，它是二次式且二次项系数为 ，按 的正负定开口方向，「 是极大值点」就是导数在 处左正右负。 【详解】解： 的定义域为 。求导：。 令 得两个零点 与 。把 看成 的二次式，其二次项系数为 ，开口方向由 的符号决定，须分两类讨论。 当 时， 的图象开口向上，在两根之外为正、两根之间为负。要使 为极大值点，需 在 处左正右负，故 必为较小的根，即 ，去分母得 ，即 。此时以 乘 的两边，得 。 当 时， 的图象开口向下，在两根之外为负、两根之间为正。同理需 为较大的根，即 ，解得 。此时以负数 乘 的两边，不等号反向，仍有 。 变号表复核：取 、，，在 上为正、在 上为负， 确为极大值点，且 ；取 、，，在 上为正、在 上为负， 确为极大值点，且 。 反向排除：、 符合条件但 不成立，B 不一定正确；、 符合条件但 不成立，A 不一定正确；C 与两种情形下都成立的 相反。所以选 D。 ▸ 变式 4-2 设函数 ，其中 。 （1）讨论 的单调性； （2）若 的图象与 轴没有公共点，求 的取值范围． 【答案】（1） 在 上单调递减，在 上单调递增；（2） 【分析】导函数通分后分子可因式分解，唯一极小值点即最小值点；图象与 轴无公共点翻译成最小值大于 。 【详解】解：（1）定义域为 ，。 因为 ，，所以 ， 的符号由 决定。 当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增。 （2）由（1）知 在 处取极小值，也是最小值，。 又 时 ，故 ； 时 起主导作用，故 ，所以该极小值就是最小值。 图象与 轴没有公共点等价于 恒成立，即 ，，解得 。 当 时最小值为 ，图象与 轴恰有一个公共点，不合题意。故 的取值范围是 。 ▍ 题型五、生活中的优化问题 ▸ 典例 5 某工厂用一块边长为 厘米的正方形铁皮制作无盖长方体盒子：在四个角各剪去一个边长为 厘米的小正方形，再把四边折起并焊接。 （1）写出盒子的容积 （单位：立方厘米）关于 的解析式，并指出 的取值范围； （2）当 为何值时容积最大？最大容积是多少？ 【答案】（1），；（2） 时容积最大，最大容积为 立方厘米。 【分析】底面边长为 、高为 ，由长宽高都为正定出 ，再对三次函数求导找极大值点。 【详解】解：（1）折起后盒子的底面是边长 厘米的正方形，高为 厘米，故 。 由实际意义，剪去的小正方形边长为正且底面边长为正，即 且 ，所以 。 （2）展开得 ，故 。 当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减。 所以 是 在 内唯一的极大值点，也是最大值点，最大容积 。 答：当剪去的小正方形边长为 厘米时，盒子的容积最大，最大容积为 立方厘米。 ▍ 题型模版 1.特征：以用料最省、容积最大、利润最大、成本最低等实际问题为背景，要求在给定约束下求某个量的最值。 2.方法：设出自变量并用它表示目标函数：几何量之间用体积、面积、周长等关系消元；再由长度为正、价格为正、容积固定等实际约束确定定义域；求导找驻点，用单调性判定最值，最后把结果翻译回实际的量并写出答语。 3.提醒：定义域由实际约束决定，常常是开区间，此时必须说明最值在驻点取得而不是在端点取得；答案要带单位并回答原始问题；导函数不变号时函数在区间内单调，最值取在端点附近；不能把自变量取成负数或超出材料允许的值。 ▸ 变式 5-1 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 ， 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数， 越大水质越好。如果某河流治理前后的生物种类数 没有变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 不变时 与 成反比，两式相比消去 ，再用对数的倍数性质整理。 【详解】解：治理前后 不变，记 ，由题意 ，则 ，。 两式相除得 ，即 。 由对数运算性质得 ，所以 ，选 D。 由 得 ，故 ，个体总数确实减少。 选项 A 给出 、选项 B 给出 、选项 C 给出 ，都与 不一致，其中 B 还与 矛盾。 ▸ 变式 5-2 要做一个容积为 立方厘米的有盖圆柱形容器，当底面半径为            厘米时所用材料最少，此时容器的表面积为            平方厘米。 【答案】； 【详解】解：设底面半径为 厘米、高为 厘米，则 ，即 ，且 。 表面积即用料面积 （）。 。 当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增，故 时用料最少，此时 ，。 故填 ；。 ▍ 压轴挑战 1．已知函数 的最大值为 ，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设最大值点为 ，由 得 ，代回 后约分化简为 。 【详解】解：当 时 在 上有零点， 无最大值，故 ，此时分母恒正。 。 设最大值点为 ，则 ，从而 ，且 。 代入得最大值 。由最大值为 得 ，即 ，故 。 检验： 时设 ，，当 时 ， 单调递减，又 ，故 时 、 时 ， 在 处取最大值 ，符合题意，选 B。 把参数放在分子上（即 ）时， 在 处取最大值 ，令其等于 得 ，不在四个选项中，故参数应在分母上。 2．已知 是定义在 上的奇函数，且当 时，，则 （　　）（多选） A． B．当 时， C． 当且仅当 D． 是 的极大值点 【答案】ABD 【分析】先用奇函数在 处有定义定 ，再用 求出负半轴解析式；C 只要负半轴上找到一个函数值不小于 的点即被否定；D 对负半轴解析式求导、列变号表。 【详解】解： 是定义在 上的奇函数，取 得 ，故 ，A 正确。 当 时 ，由奇函数性质 ，B 正确。 先看 ： 即 ，因 ，等价于 ，即 。再看 ：取 ，，由 得 ，即 也满足 ，而 ，故「当且仅当 」不成立，C 错误。 当 时，，。 在 上恒有 、：当 时 ，， 单调递增；当 时 ，， 单调递减。 故 处导数左正右负，是 的极大值点，且极大值 ，D 正确。所以选 ABD。 3．已知函数 （）。若 是 的极大值点，则 的取值范围是 （　　） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】 是偶函数、 恒成立，极大值点要求 为正且足够小时 ，用 与 夹出 的符号。 【详解】解：定义域为 。，故 为偶函数， 为奇函数，且 对任意 成立。 于是 是极大值点等价于存在 ，使 在 上单调递减，即 时 。 当 （含 ）时，取 且 充分小。若 ，由 时 得 ；若 ，由 （）得 ，同样 ； 时 。三种情形下 都是极小值点，不合题意。 当 时 （）， 也不是极大值点。 当 时，取 ，由 与 得 ，其中 。只要 ，就有 ，故 是极大值点。 综上，使 成为极大值点的条件是 ，即 或 。 所以 的取值范围是 ，，选 C。 4．函数 的极大值为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】商的求导后分子是 ，在 处左正右负，极大值即 。 【详解】解：定义域为 ，。 当 时 ，， 单调递增；当 时 ，， 单调递减。 所以 是极大值点，也是最大值点，极大值为 ，选 A。 是极大值点， 才是极大值，选项 B 把两者混为一谈。 5．用面积为 平方厘米的材料做一个无盖的圆柱形水桶，当底面半径为 （　　）时，水桶的容积最大。 A． 厘米 B． 厘米 C． 厘米 D． 厘米 【答案】C 【分析】用表面积固定把高表示成半径的函数，容积成为关于半径的三次式，在 内求导定极大值。 【详解】解：设底面半径为 厘米、高为 厘米。无盖，故材料面积为 ，即 。 由实际意义 且 ，得 。 容积 ，。 当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减。 所以 是 在 内唯一的极大值点，也是最大值点，此时 ，容积 （立方厘米），选 C。 6．设 为实数，函数 当 时取 ，当 时取 。若 存在最小值，则 的一个取值为            ； 的最大值为            ． 【答案】（第一空答案不唯一，满足 即可）； 【分析】按 的正负讨论一次段的单调趋势与二次段能否取到 ，把「存在最小值」翻译成下确界能否在某点取到。 【详解】解： 段上 是一次函数， 段上 是开口向上的抛物线。 当 时 ， 段上 单调递增，且 时 ，函数无下界，不存在最小值。 当 时， 段上 ； 段上 且 ，故最小值为 ，存在。 当 时， 段上 单调递减，值域为 ，下界 只能由 逼近而取不到。 若 ，则 ，而 段上的函数值都不小于 ，故整体的下确界为 且取不到，不存在最小值。 若 ，则 ， 段的函数值都为正，而 落在 段内且 ，故最小值为 ，存在。 所以 存在最小值当且仅当 。第一空可填 ， 的最大值为 ；故填 ；。 7．函数 的极小值为            ． 【答案】 【分析】积的求导得 ，在 处左负右正，极小值即 。 【详解】解：，因 ， 的符号由 决定。 当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增。 所以 是极小值点，也是最小值点，极小值为 ；故填 。 8．某研究小组发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异。经大量调查，指标落在各组的频率如下：患病者在区间 与 内的频率分别为 与 ；未患病者在区间 与 内的频率分别为 与 ，且未患病者的指标都不超过 。假设数据在各组内均匀分布，以频率作为相应事件的概率。利用该指标制定检测标准时需要确定临界值 ，把指标大于 的人判定为阳性，小于或等于 的人判定为阴性；漏诊率 是将患病者判定为阴性的概率，误诊率 是将未患病者判定为阳性的概率。 （1）当漏诊率 时，求临界值 和误诊率 ； （2）设 。当 时，写出 的解析式，并求 在区间 上的最小值． 【答案】（1），；（2）当 时 ，当 时 ， 的最小值为 【分析】均匀分布下用组内长度乘频率密度表示 与 ，得到分段一次函数，比较两段单调性定最小值。 【详解】解：（1）组距为 ，故患病者在 内的频率密度为 ，未患病者在 与 内的频率密度分别为 、。 患病者指标不超过 的频率为 ，故 时 。令 ，得 ，即 。 此时误诊率 （未患病者落在 与 内的全部频率分别贡献 与 ）。 （2）当 时，，，故 。 当 时，，，故 。 第一段上 随 递减，；第二段上 随 递增，，。 所以 在区间 上的最小值为 ，此时临界值 。 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 极值、最值与含参极值点 导数 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、极值点与极值求参数 题型二、闭区间上的最值与值域反求参数 题型三、导函数零点的分布与韦达关系 题型四、双极值点、极值差与极值符号 题型五、生活中的优化问题 压轴挑战 ▍ 解题通法 极值的判定只看导函数在该点两侧的符号：左正右负取极大值，左负右正取极小值， 只是必要条件而不是充分条件， 在 处导数为 却不是极值点就是最常用的反例．由此产生三条主线：其一，「 是极值点」与「 处取最值」都给出 与 两个等式，联立先解出参数，再回代检验导函数是否真的在该点两侧变号；其二，闭区间上的最值要把极值与端点函数值放进同一张表里比较，含参时条件往往翻译成值域能否取到某个数或最值能否取到，从而解出参数范围；其三，若导函数能化成二次式 ，则「既有极大值又有极小值」翻译成该二次式有两个不相等的正根，判别式、两根之和、两根之积三类条件必须同时使用，缺一个就可能多解．极值点个数问题一律设 ，讨论 的单调性与零点分布，不引入新的求导记号；双极值点问题则要把极大值与极小值都算出来，用它们的符号与差决定图象走势与零点个数。生活中的优化问题先写出目标函数，明确长度、体积、价格都为正的实际约束，在约束确定的区间内求最值，最后把答案落回实际的量并写出答语． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、极值点与极值求参数 ▸ 典例 1 已知函数 （）。当 时 取得最大值 ，则 （　　） ▍ 题型模版 1.特征：解析式含待定系数，条件以「在某点取极大值、极小值或最值」「某点是极值点」的形式给出，要求定出参数或求导数值、极值差。 2.方法：把条件翻译成两个等式—— 等于给定的极值、——联立解出参数；只给「 是极值点」时先用 ，解出的多组值必须逐组回代，检验导函数在 两侧是否变号。 3.提醒： 只是可导函数取极值的必要条件， 在 处就不是极值点；极大值不一定比极小值大，区间上最大的函数值才是最大值；含 与 的解析式定义域为 ，参数的取舍要在定义域内进行。 ▸ 变式 1-1 已知函数 在 处有极值 ，则 （　　） A． B． C． D． 或 ▸ 变式 1-2 已知函数 。若 有极小值，且极小值小于 ，则 的取值范围是            ． ▍ 题型二、闭区间上的最值与值域反求参数 ▸ 典例 2 已知函数 。 （1）求 的单调区间与极值； （2）求 在区间 上的最大值与最小值． ▍ 题型模版 1.特征：给出闭区间上的最大值、最小值或值域，要求区间上的最值、满足最值条件的参数值或参数范围。 2.方法：先求导找出区间内全部极值点，把极值与端点函数值放在同一张表中比较，最大者为最大值、最小者为最小值；条件写成「值域为某区间」「最大值为某数」「存在最小值」时，先把说法翻译成最值能否取到、取何值，再列关于参数的方程或不等式。 3.提醒：最值是函数值，极值点是横坐标，两者不能混写；单调区间有两段时用逗号隔开，不能写成并集；含 的函数要先说明定义域；分段函数是否存在最小值要逐段看递减趋势，开区间端点处取不到的值不能当成最小值。 ▸ 变式 2-1 函数 的最小值为            ． ▸ 变式 2-2 已知函数 与 有相同的最小值，则            ． ▍ 题型三、导函数零点的分布与韦达关系 ▸ 典例 3 若函数 （）既有极大值也有极小值，则（　　）（多选） ▍ 题型模版 1.特征：导函数通分后分子是含参二次式，或导函数含有不易直接求出的零点，条件以极值点个数、两极值点的位置、各系数符号的形式给出。 2.方法：把 写成分式，分母定号，只讨论分子二次式的根：两个极值点要求判别式大于 ，两根都在 内再加两根之和大于 、两根之积大于 ；极值点个数问题一律设 ，讨论 的单调性、最值与两端趋势，由 与 轴的交点个数定极值点个数。 3.提醒：韦达关系给出的是必要条件，解出范围后仍要回到定义域与变号检验；约去分母之前要说明分母的符号；「有两个极值点」要求 严格成立， 时导函数不变号；判别式、两根之和、两根之积三个条件缺一不可。 ▸ 变式 3-1 设 ，，函数 的极值点个数为（　　） A． B． C． D． ▸ 变式 3-2 已知函数 ，则 的极值点个数为            ． ▍ 题型四、双极值点、极值差与极值符号 ▸ 典例 4 设函数 ，则（　　）（多选） ▍ 题型模版 1.特征：导函数有两个零点，需要同时讨论极大值与极小值，或由两个极值的符号、极值差、极值点的位置判断零点个数与图象的对称性。 2.方法：解出 的两根并比较大小，列符号表定极大值点与极小值点；极大值小于 或极小值大于 时只有一个零点，一正一负时可能有三个零点；极值差用两根之和、两根之积代换，避免解出根的具体值。 3.提醒：两根的大小要按参数分类，不能默认 ；用极值符号定零点个数时必须补上 趋向两端时 的趋向；三次函数的图象只有对称中心没有对称轴；极大值与极小值之间没有必然的大小关系。 ▸ 变式 4-1 设 ，若 为函数 的极大值点，则（　　） A． B． C． D． ▸ 变式 4-2 设函数 ，其中 。 （1）讨论 的单调性； （2）若 的图象与 轴没有公共点，求 的取值范围． ▍ 题型五、生活中的优化问题 ▸ 典例 5 某工厂用一块边长为 厘米的正方形铁皮制作无盖长方体盒子：在四个角各剪去一个边长为 厘米的小正方形，再把四边折起并焊接。 （1）写出盒子的容积 （单位：立方厘米）关于 的解析式，并指出 的取值范围； （2）当 为何值时容积最大？最大容积是多少？ ▍ 题型模版 1.特征：以用料最省、容积最大、利润最大、成本最低等实际问题为背景，要求在给定约束下求某个量的最值。 2.方法：设出自变量并用它表示目标函数：几何量之间用体积、面积、周长等关系消元；再由长度为正、价格为正、容积固定等实际约束确定定义域；求导找驻点，用单调性判定最值，最后把结果翻译回实际的量并写出答语。 3.提醒：定义域由实际约束决定，常常是开区间，此时必须说明最值在驻点取得而不是在端点取得；答案要带单位并回答原始问题；导函数不变号时函数在区间内单调，最值取在端点附近；不能把自变量取成负数或超出材料允许的值。 ▸ 变式 5-1 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 ， 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数， 越大水质越好。如果某河流治理前后的生物种类数 没有变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则（　　） A． B． C． D． ▸ 变式 5-2 要做一个容积为 立方厘米的有盖圆柱形容器，当底面半径为            厘米时所用材料最少，此时容器的表面积为            平方厘米。 ▍ 压轴挑战 1．已知函数 的最大值为 ，则  （　　） A． B． C． D． 2．已知 是定义在 上的奇函数，且当 时，，则 （　　）（多选） A． B．当 时， C． 当且仅当 D． 是 的极大值点 3．已知函数 （）。若 是 的极大值点，则 的取值范围是 （　　） A． B． C．， D．， 4．函数 的极大值为 （　　） A． B． C． D． 5．用面积为 平方厘米的材料做一个无盖的圆柱形水桶，当底面半径为 （　　）时，水桶的容积最大。 A． 厘米 B． 厘米 C． 厘米 D． 厘米 6．设 为实数，函数 当 时取 ，当 时取 。若 存在最小值，则 的一个取值为            ； 的最大值为            ． 7．函数 的极小值为            ． 8．某研究小组发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异。经大量调查，指标落在各组的频率如下：患病者在区间 与 内的频率分别为 与 ；未患病者在区间 与 内的频率分别为 与 ，且未患病者的指标都不超过 。假设数据在各组内均匀分布，以频率作为相应事件的概率。利用该指标制定检测标准时需要确定临界值 ，把指标大于 的人判定为阳性，小于或等于 的人判定为阴性；漏诊率 是将患病者判定为阴性的概率，误诊率 是将未患病者判定为阳性的概率。 （1）当漏诊率 时，求临界值 和误诊率 ； （2）设 。当 时，写出 的解析式，并求 在区间 上的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $