5.3.2函数的极值与最值讲义-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦函数的极值与最值核心知识点，系统梳理极值定义、辨析（如极值点非端点、导数为0与极值点关系）、求法（解方程f’(x)=0并判断符号），延伸至最值概念（闭区间连续函数最值在极值点或端点）及极值与最值区别，构建从导数应用到综合应用的完整知识链。 资料以结构化知识清单与分层题型设计为特色，通过辨析极值局部性与最值整体性培养抽象能力（数学眼光），含参数讨论题型提升推理运算能力（数学思维），不等式证明方法强化模型应用意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过基础与提升练习查漏补缺。

5.3.2 函数的极值与最值 【知识清单】 ▍知识点1：极小值与极小值点 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，而且在点附近的左侧，右侧，则把点叫作函数的极小值点，叫作函数的极小值。 ▍知识点2：极大值与极大值点 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，, 而且在点附近的左侧，右侧，则把点叫作函数的极大值点，叫作函数的极大值。 注意：极小值点、极大值点统称为极值点，极小值、极大值统称为极值。 ▍知识点3：极值概念的辨析 （1）按定义，极值点是区间内部的数，不会是端点值,. （2）极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小。 （3） 如果在内有极值，那么在内绝对不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值。 （4）若函数在上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点。一般地，当函数在上连续且有有限个极值点时，函数在内的极大值点、极小值点是交替出现的。 （5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点。 例如函数定义域内是增函数，是其拐点。 ▍知识点4：求极值的方法 一般地，求函数的极值的方法是：解方程当时： （1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；【左增右减】 （2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值。【左减右增】 注意：若在处取得极值，则且. ▍知识点5：函数的最大值与最小值 一般地，如果在区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值， 并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得。 注意：①当图像连续不断且在上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得。 ②给定区间必须是闭区间，在开区间上虽然连续不断，但不能保证有最大值或最小值。例如,的图像在内连续不断，但没有最大值和最小值。 ③在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点不能保证有最大值与最小值。 例如，作图可知无最小值。 ▍知识点6：求在上的最值的步骤 ①求函数在开区间内所有使的点。 ②计算函数在区间内使的所有点与端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 注意：某区间端点处的函数值可能是最值，但一定不是极值。 ▍知识点7：函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近（即局部）而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的。 ②在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值最多有一个。 ③函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点。 【基础专练】 【类型1】极值的相关概念 1．“”是“函数f（x）＝ax3﹣x2+x有极值”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：由题意函数f（x）＝ax3﹣x2+x有极值， 可得f′（x）＝3ax2﹣2x+1要有变号零点， 当a＝0，f′（x）＝﹣2x+1＝0，x，有变号零点，符合题意； 当a≠0，f′（x）＝3ax2﹣2x+1＝0， 即要Δ＝4﹣12a＞0，解得a， 综上，a或a＝0， 可得“”是“函数f（x）＝ax3﹣x2+x有极值”的充分不必要条件． 故选：A． 2．已知f（x）是R上的可导函数，则“f（x）在x＝x0处取得极值”是“f′（x0）＝0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解答】解：因为f（x）在R上可导，所以若f（x）在x＝x0处取得极值，则必有f′（x0）＝0，充分性成立； 若f′（x0）＝0，f（x）在x＝x0处不一定取得极值，例如f（x）＝x3，f'（x）＝3x2，满足f'（0）＝0，但x＝0不是f（x）的极值点，所以必要性不成立； 故“f（x）在x＝x0处取得极值”是“f′（x0）＝0”的充分不必要条件． 故选：A． 3．下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是（　　） A．f（x）＝xsinx B． C． D．f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1| 【答案】B 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，f（x）＝xsinx，其定义域为R，有f（﹣x）＝xsinx＝f（x），则f（x）为偶函数，不符合题意； 对于B，f（x）＝x，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝﹣x（x）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数， 由对勾函数的性质，f（x）存在极小值2，符合题意； 对于C，f（x）＝ex，其定义域为R，有f（﹣x）＝exf（x），则f（x）为偶函数，不符合题意； 对于D，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|，易得f（x）为奇函数，但在其定义域上不存在极小值，不符合题意． 故选：B． 4．对任意的x∈R，函数f（x）＝x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是（　　） A．0≤a≤21 B．a＝0或　a＝7 C．a＜0或a＞21 D．a＝0或a＝21 【答案】A 【解答】解：∵函数f（x）＝x3+ax2+7ax（x∈R）， ∴f′（x）＝3x2+2ax+7a， ∵函数f（x）＝x3+ax2+7ax（x∈R）不存在极值，且f′（x）的图象开口向上， ∴f′（x）≥0对x∈R恒成立， ∴Δ＝4a2﹣84a≤0， 解得0≤a≤21， ∴a的取值范围是0≤a≤21． 故选：A． 5．“函数f（x）在x0处取得极值”是“f′（x0）＝0“的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【解答】解：若“函数f（x）在x0处取得极值”，根据极值的定义可知“f′（x0）＝0”成立，反之，“f′（x0）＝0”，还应在导数为0的左右附近改变符号时，“函数f（x）在x0处取得极值”． 故选：A． 【类型2】导函数图像与极值的关系 1．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若函数f′（x）的图象如图所示，则f（x）的极小值点为（　　） A．x1 B．0 C．x2或x3 D．x4 【答案】D 【解答】解：由图可知，当x∈（﹣∞，x1）∪（x4，+∞）时，f′（x）＞0， 当x∈（x1，x4）时，f′（x）≤0， 所以f（x）的增区间为（﹣∞，x1），（x4，+∞），减区间为（x1，x4）， 可得f（x）的极小值点为x4． 故选：D． 2．导函数y＝f′（x）的图象如图所示，在标记的点中，函数y＝f（x）的极大值点为（　　） A．x1 B．x2 C．x3 D．x4 【答案】A 【解答】解：根据题中所给图象，当x∈（﹣∞，x1），（x3，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当x∈（x1，x3）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 所以函数f（x）的极大值点为x1． 故选：A． 3．如图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（　　） A．当x＝3时，f（x）取得极小值 B．f（x）在[﹣2，1]上是增函数 C．当x＝1时，f（x）取得极大值 D．f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数 【答案】D 【解答】解：如图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象， 对于A，f′（3）≠0，不满足取极值的必要条件，故A错误； 对于B，当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，这表明f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递增，故B错误； 对于C，f′（1）≠0，不满足取极值的必要条件，故C错误； 对于D，当﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，当2＜x＜4时，f′（x）＜0， 所以f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，故D正确． 故选：D． 4．已知y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．f（x）的增区间是（a，e）和（g，+∞） B．f（x）有4个极值点 C．f（x）的减区间是（b，c）和（d，f）和（h，i） D．f（x）极大值点和极小值点的个数相同 【答案】A 【解答】解：由y＝f（x）的导函数f′（x）的图象可知f（x）的减区间为（﹣∞，a）和（e，g），增区间为（a，e）和（g，+∞），故A正确，C错误， 所以f（x）有3个极值点分别是a，e，g，故B错误， f（x）极大值点为e，极小值点为a，g，故D错误． 故选：A． 5．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值 B．函数f（x）在x＝1处取得极大值 C．函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增 D．函数f（x）在区间（2，3）上单调递减 【答案】D 【解答】解：对于选项A，由图可知：函数f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递增，在（﹣2，1）单调递减， 函数f（x）在x＝﹣2处取得极大值，故A错误； 对选项B，导函数在x＝1附近同号，因此f（x）在x＝1不取极值，故B错误； 对选项C，由图，函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减，故C错误； 对选项D，由图，函数f（x）在区间（2，3）上单调递减，故D正确． 故选：D． 6．已知函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图像如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．函数y＝f（x）在区间（﹣3，3）内有三个零点 B．函数x＝﹣1是函数y＝f（x）的一个极值点 C．曲线y＝f（x）在点（﹣2，f（﹣2））处的切线斜率小于零 D．函数y＝f（x）在区间（﹣1，1）上是严格减函数 【答案】D 【解答】解：对于A，由f'（x）的图象可知，f（x）在（﹣3，﹣2）单调递增，在（﹣2，3）单调递减，故f（x）在区间（﹣3，3）内至多有两个零点，故A错误； 对于B，在x＝﹣1的左右两侧f′（x）＜0，故x＝﹣1不是极值点，故故B错误； 对于C，由f′（﹣2）＝0，可知y＝f（x）在点（﹣2，f（﹣2））处的切线斜率等于零，C错误； 对于D，f′（x）＜0在（﹣1，1）恒成立，故f（x）在区间（﹣1，1）上是严格减函数，故D正确． 故选：D． （多选）7．函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（　　） A．﹣3是函数y＝f（x）的极值 B．函数y＝f（x）的有最小值无最大值 C．y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增 D．y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零 【答案】BC 【解答】解：由图象可得，当x∈（﹣∞，﹣3）时，f′（x）＜0，函数y＝f（x）单调递减， 当x∈（﹣3，+∞）时，f′（x）≥0，函数y＝f（x）单调递增，故B，C正确； 则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点不是极值，故A错； 由y＝f′（x）图象可知函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，所以切线的斜率大于零，故D不正确． 故选：BC． （多选）8．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，5]，其导函数f′（x）的图象如图所示，则（　　） A．f（x）在区间（0，2）上单调递增 B．f（x）的极小值点为2 C．f（x）恰有2个极值点 D．f（x）的图象与x轴至多有2个公共点 【答案】AD 【解答】解：对于A，由导函数f′（x）的图象可知，当x∈（0，2）时，f′（x）＞0， 所以f（x）在区间（0，2）上单调递增，故A正确； 对于B，由导函数f′（x）的图象可知，f′（x）的符号在x＝2两侧都为正， 所以2不是f（x）的极值点，故B错误； 对于C，由导函数f′（x）的图象可知，当x∈（﹣2，4）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当x∈（4，5）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 所以f（x）只有一个极大值点，极大值点为4，故C错误； 对于D，由C可知，f（x）在（﹣2，4）上单调递增，在（4，5）上单调递减， 所以f（x）的图象与x轴至多有2个公共点，故D正确． 故选：AD． 【题型专练】 【题型1】 求已知函数的极值 1.解答本题型时应注意只是函数在处有极值的必要条件，只有再加上左右导数符号相反，方能断定函数在处取得极值。 2.对于可导函数而言，它的单调递减区间和单调递增区间的分界点应是其导数符号正负交替的分界点：解题时，按照求函数极值的步骤，要注意表格的使用，利用表格，可使极值点两边的增减性一目了然，便于求极值。 1．已知函数f（x）＝x3﹣6x，则f（x）在（0，+∞）上的极值为（　　） A． B．1 C． D．﹣3 【答案】A 【解答】解：因为函数f（x）＝x3﹣6x， 则f′（x）＝3x2﹣6＝3（x2﹣2），又x∈（0，+∞）， 令f′（x）＞0，则，令f′（x）＜0，则， 所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增， 所以f（x）极小值＝f（），无极大值． 故选：A． 2．函数f（x）＝2x3﹣6x+3的极小值为（　　） A．﹣33 B．﹣7 C．﹣1 D．7 【答案】C 【解答】解：函数f（x）＝2x3﹣6x+3，求导得f′（x）＝6x2﹣6＝6（x﹣1）（x+1），x∈R， 令f′（x）＝0，解得x＝﹣1或1， 当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 所以f（x）的极小值为f（1）＝﹣1． 故选：C． 3．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，则下列说法不正确（　　） A．f（x）在（0，1）上单调递减 B．x＝1是f（x）的零点 C．f（x）的极小值为0 D．f（x）的极大值点为x＝1 【答案】D 【解答】解：因为f（x）＝（x﹣1）lnx（x＞0）， 所以f（1）＝0，x＝1是f（x）的零点，B正确； 又（x＞0）， 当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减，A正确； x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增， 故x＝1是f（x）的极小值点，即f（x）极小值＝f（1）＝0，C正确，D错误． 故选：D． 4．函数的极大值点是（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解答】解：函数， 则f′（x）＝x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）， 令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1， 令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2， 故f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增， 故f（x）的极大值点是x＝1． 故选：A． 5．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝（x2﹣3）ex+2，则以下说法错误的是（　　） A．f（0）＝0 B．当x＜0时，f（x）＝﹣（x2﹣3）e﹣x﹣2 C．f（x）≥2当且仅当 D．x＝﹣1是f（x）的极大值点 【答案】C 【解答】解：对于选项A，因为f（x）定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，故A正确； 对于选项B，当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（（﹣x）2﹣3）e﹣x+2]＝﹣（x2﹣3）e﹣x﹣2，故B正确； 对于选项C，f（﹣1）＝2（e﹣1）＞2，故C错误； 对于选项D，当x＜0时，f（x）＝（3﹣x2）e﹣x﹣2，则f′（x）＝﹣（3﹣x2）e﹣x﹣2xe﹣x＝（x2﹣2x﹣3）e﹣x， 令f′（x）＝0，解得x＝﹣1或3（舍去）， 当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0， 所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减， 则x＝﹣1是f（x）极大值点，故D正确． 故选：C． 6．已知函数，则下列说法错误的是（　　） A．f（x）图象的对称点为（0，1） B．f（x）的最大值与最小值之和为2 C．f（x）恰有一个极值点 D．f（x）恰有两个零点 【答案】C 【解答】解：， 令，函数g（x）为奇函数，其图象对称点为（0，0）， ∴f（x）图象的对称点为（0，1），故A选项正确； ∵函数g（x）为奇函数， ∴其最大值点与最小值点关于原点对称， ∴g（x）最大值与最小值之和为0， ∴f（x）的最大值与最小值之和为2，故B选项正确； ∵函数f（x）的图象关于点（0，1）对称， ∴它如果有极值点应该也是对称的，不可能恰有一个极值点，故C选项错误； 令f（x）＝0，则sinx＝﹣（x+1）2， 由函数y＝sinx和y＝﹣（x+1）2的图象可知有两个公共点， 即函数f（x）恰有两个零点，故D选项正确． 故选：C． 二．多选题（共3小题） （多选）7．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝（x+1）e﹣x+x2，则（　　） A．f（0）＝0 B．当x＞0时，f（x）＝（x﹣1）ex﹣x2 C．f（x）≤0当且仅当x＜0 D．x＝ln2是f（x）的极小值点 【答案】ABD 【解答】解：对于A，f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，故A正确； 对于B，当x＞0时，﹣x＜0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（﹣x+1）ex﹣（﹣x）2＝（x﹣1）ex﹣x2，故B正确； 对于C，f（1）＝（1﹣1）e1﹣12＝﹣1＜0，故C错误； 对于D，当x＞0时，f（x）＝（x﹣1）ex﹣x2，则f'（x）＝xex﹣2x＝x（ex﹣2）， 令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝ln2， 当x∈（0，ln2）时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减， 当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增， 则x＝ln2是f（x）的极小值点，故D正确． 故选：ABD． （多选）8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝（x2﹣3）ex+2，则（　　） A．f（0）＝0 B．当x＜0时，f（x）＝﹣（x2﹣3）e﹣x﹣2 C．f（x）≥2，当且仅当x D．x＝﹣1是f（x）的极大值点 【答案】ABD 【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，所以A正确； 当x＜0时，﹣x＞0，函数是奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（（﹣x）2﹣3）e﹣x+2]＝﹣（x2﹣3）e﹣x﹣2，所以B正确． f′（x）＝（x2+2x﹣3）ex＝（x﹣1）（x+3）ex， x∈（0，1），f′（x）＜0，函数是减函数，x∈（1，+∞），f′（x）＞0．函数是增函数， 所以x＝1是极小值点，f（1）＝2﹣2e， 因为函数是奇函数，所以x＝﹣1是极大值点，D正确； 极大值为2e﹣2＞2，又因为f（）＝2，函数图象如下： 由图像可得C不正确． 故选：ABD． （多选）9．已知f（x）＝x3﹣12x+15，则（　　） A．曲线y＝f（x）关于点（0，15）对称 B．2是函数f（x）的极小值点 C．若方程f（x）＝m有三个不同的实数根，m的取值范围为m＞﹣1 D．不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣∞，﹣4） 【答案】ABD 【解答】解：函数f（x）＝x3﹣12x+1的定义域为R， 对于A：因为f（x）+f（﹣x）＝x3﹣12x+15+（﹣x）3﹣12（﹣x）+15＝30， 所以y＝f（x）关于点（0，15）对称，故A正确； 对于B：因为f'（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2）， 所以当x＜﹣2或x＞2时f′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时f'（x）＜0， 所以f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减， 所以2是函数f（x）的极小值点，故B正确； 对于C：因为f（2）＝﹣1，f（﹣2）＝31， 若方程f（x）＝m有三个不同的实数根，则m的取值范围为﹣1＜m＜31，故C错误； 对于D：令f（x）＝﹣1，即x3﹣12x+15＝﹣1，整理得x3﹣12x+16＝0， 因式分解：易得x＝2是根，使用综合除法：（x3﹣12x+16）÷（x﹣2）＝x2+2x﹣8， 再因式分解x2+2x﹣8＝（x+4）（x﹣2）， 故x3﹣12x+16＝（x﹣2）2（x+4），因此f（x）+1＝（x﹣2）2（x+4）， 其中（x﹣2）2≥0恒成立，且当x≠2时严格大于0， 符号分析： 当x+4＜0（即x＜﹣4），（x﹣2）2＞0x+4＜0，故f（x）+1＜0，即f（x）＜﹣1， 当x≥﹣4，f（x）+1≥0（仅在x＝﹣4和x＝2处等于0），故f（x）≥﹣1， 因此f（x）＜﹣1当且仅当x＜﹣4，解集为（﹣∞，﹣4），故D正确． 故选：ABD． 【题型2】 讨论含参数的函数的极值 1．已知函数．求函数f（x）的极值； 【解答】解：（1）由题意函数， 可得f（x）＝ex﹣ke﹣x﹣2，f'（x）＝ex+ke﹣x， ①当k≥0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增，f（x）无极值； ②当k＜0时，令f'（x）＝0，可得x，当x时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x时，f′（x）＞0，f（x）单调递增：f（x）极小值＝f（）k•2＝2•2，无极大值； 2．已知函数f（x）．讨论f（x）的极值； 【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 根据题意可得f′（x）， 若a＝0，则f（x）＝0，无极值， 若a≠0，由f′（x）＝0得x＝1， 若a＜0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 所以函数f（x）有唯一极小值f（1）＝a，无极大值， 若a＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 此时f（x）有唯一的极大值f（1）＝a，无极小值， 综上所述，当a＝0时，函数f（x）无极值， 当a＜0时，函数f（x）有极小值f（1）＝a，无极大值， 当a＞0时，函数f（x）有极大值f（1）＝a，无极小值， 3．已知函数f（x）＝x﹣asinx+mlnx，g（x）＝f（x）+asinx．讨论函数y＝g（x）的极值； 【解答】解：g（x）＝x﹣asinx+mlnx+asinx＝x+mlnx， ∴， 当m≥0时，x＞0，x+m＞0， ∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值； 当m＜0时，令g'（x）＝0，解得x＝﹣m， 当x∈（0，﹣m）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 当x∈（﹣m，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， ∴g（x）在x＝﹣m处取得极小值为g（﹣m）＝﹣m+mln（﹣m），无极大值， 综上：当m≥0时，g（x）无极值， 当m＜0时，g（x）有极小值为﹣m+mln（﹣m），无极大值． 4．定义：函数f（x）图象上不同的三点A，B，C，它们的横坐标依次成等差数列，且函数f（x）在点B处的切线斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设函数f（x）＝blnx+x2．讨论函数f（x）的极值； 【解答】解：函数f（x）＝blnx+x2的定义域为（0，+∞）， 求导得：， 当b≥0时，2x2+b＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值； 当b＜0时，令，解得， ∵x＞0，∴， 当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增， ∴函数f（x）在处取得极小值，极小值为：，且函数无极大值． 综上，若b≥0，函数无极值；若b＜0，函数的极小值为，无极大值． 5．已知函数．讨论f（x）的极值； 【解答】解：由题意，f（x）的定义域为（0，+∞），， 当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值； 当a＞0时，令f（x）＝0，得， 当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 因此f（x）在处取得极大值，极大值为，无极小值． 综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）有极大值，无极小值． 6．已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣2，a∈R，e是自然对数的底数．讨论函数y＝f（x）的极值； 【解答】解：函数f（x）＝lnx﹣ax﹣2，定义域为（0，+∞），， 当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增， 此时函数f（x）无极值； 当a＞0时，，， 所以f（x）在单调递增，在单调递减， 此时f（x）极大值，无极小值． 综上所述，a≤0时，无极值，当a＞0时，f（x）极大值，无极小值． 7．已知函数f（x）＝mx2﹣lnx，讨论函数f（x）的单调区间及极值； 【解答】解：（1）由f（x）＝mx2﹣lnx，得f（x）的定义域为（0，+∞），且， ①当m≤0时，f（x）＜0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数，无极值； ②当m＞0时，令f′（x）＞0，得， 令f（x）＜0，得， ∴函数f（x）在上为增函数，在为减函数， 且当时，有极小值，无极大值． 8．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣2．讨论f（x）的极值； 【解答】解：f（x）的定义域为R，f'（x）＝ex﹣a， 当a≤0时，则f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增； 当a＞0时，由f′（x）＝0，得x＝lna． 当x变化时，f′（x），f（x）变化如下表： x （﹣∞，lna） lna （lna，+∞） f′（x） ﹣ 0 + f（x） 单调递减 极小值 单调递增 综上，当a≤0时，f（x）无极值； 当a＞0时，f（x）有极小值，极小值为f（lna）＝a﹣2﹣alna，无极大值． 9．已知a∈R，函数f（x）＝ex﹣ax﹣1，讨论函数f（x）的极值； 【解答】解：因为f（x）＝ex﹣ax﹣1，则f'（x）＝ex﹣a， 当a≤0时，对∀x∈R，f'（x）＝ex﹣a＞0，则f（x）在（﹣∞，+∞）是增函数，此时函数不存在极值； 当a＞0时，f'（x）＝ex﹣a，令f'（x）＝0，解得x＝lna， 若x∈（﹣∞，lna），则f′（x）＜0，若x∈（lna，+∞），则f'（x）＞0， 当x＝lna时，f（x）取得极小值a﹣alna﹣1， 所以当a≤0时，f（x）没有极值，当a＞0时，f（x）有一个极小值a﹣alna﹣1，无极大值． 【题型3】 已知函数极值求参数 1．已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣2） B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意，，即在 x∈（﹣1，+∞） 内有两个不等实根， 由y＝x（x+1）的图象与性质知，，解得a∈（﹣∞，﹣2）． 故选：A． 2．已知函数，x＝﹣2是f（x）的一个极值点，且f（x）在[﹣3，2]上有且仅有一个零点，则实数b的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题f′（x）＝x2+ax， 因为x＝﹣2是f（x）的一个极值点，所以f′（﹣2）＝4﹣2a＝0， 所以a＝2，，f′（x）＝x2+2x＝x（x+2）， 在[﹣3，2]上有f′（x）＞0得﹣3≤x＜﹣2或0＜x≤2，f′（x）＜0得﹣2＜x＜0， 则f（x）在[﹣3，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增， 因， 由函数f（x）在[﹣3，2]上有且仅有一个零点， 则，， 解得实数b的取值范围为． 故选：A． 3．若函数f（x）＝lnx﹣m（x﹣1）2恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（　　） A． B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D． 【答案】C 【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），且， 因为函数f（x）恰有两个极值点，即﹣2mx2+2mx+1＝0在（0，+∞）上有两个不同的解， 显然m≠0，即在（0，+∞）上有两个不同的解， 即与y＝x2﹣x的图象在（0，+∞）上有两个不同的交点， 又由y＝x2﹣x对应的抛物线开口向上，且对称轴为，且， 如图所示， 可得，解得m＜﹣2，所以实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2）． 故选：C． 4．若x＝2是函数的极小值点，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，1） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞） 【答案】A 【解答】解：由， 可得， 若a＝0，当x＜2时，f'（x）＞0， 当x＞2时，f'（x）＜0， 故x＝2是的极大值点，不符合题意， 若a≠0时，令f'（x）＝0， 可得（﹣ax﹣2）（x﹣2）＝0， 解得x＝2或， 若a＞0时，则， 当时，f′（x）＞0， 当x＞2时，f'（x）＜0， 故x＝2是的极大值点，不符合题意， 若a＜0时，则，由二次函数y＝（﹣ax﹣2）（x﹣2）图象可知， 要使x＝2是函数的极小值点， 需，解得a＜﹣1， 所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）． 故选：A． 5．若函数有两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）≤﹣9，则（　　） A．a≤﹣4 B．a≥4 C． D． 【答案】A 【解答】解：由题， 因为函数有两个极值点x1，x2， 所以方程x2+ax+1＝0有两个不同的正根x1，x2， 所以a2﹣4＞0，x1+x2＝﹣a＞0，x1x2＝1，所以a＜﹣2①， 所以 ， 又f（x1）+f（x2）≤﹣9，所以，即a2﹣16≥0， 所以a≤﹣4或a≥4（舍去）②， 由①②得a≤﹣4． 故选：A． 6．已知有两个极值点x1，x2，且x2≥3x1，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为函数f（x）有两个极值点x1，x2， 所以f'（x）＝aex﹣x＝0有两个根x1，x2，即方程有两个根x1，x2． 设函数，，画出y1，y2的图象，如图所示， 可知a＞0且为直线的斜率． 因为x2≥3x1，所以极限为x2＝3x1． 又因为，， 所以，解得， 所以， 因为x2≥3x1，所以，a， 所以a的取值范围是． 故选：D． 7．已知函数f（x）＝lnx+ax2﹣2x有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：函数f（x）有2个极值点等价于f′（x）有2个零点， 令， ∴，令， 则 ，当x＝1时，g（x）＝0， 当0＜x＜1时，g（x）＞0，g（x）是增函数， 当x＞1时，g（x）＜0，g（x）是减函数，， 当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当时，g（x）＞0，， 当x趋于+∞时g（x）趋于0，g（x）的图像大致如图所示： 所以a的取值范围是． 故选：B． 8．若函数f（x）＝xex﹣（m﹣1）e2x存在唯一极值点，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C．m＜1 D．m≤1 【答案】D 【解答】解：函数f（x）＝xex﹣（m﹣1）e2x，x∈R， 那么导函数f′（x）＝（x+1）ex﹣2（m﹣1）e2x＝[x+1﹣2（m﹣1）ex]ex， 如果f（x）＝xex﹣（m﹣1）e2x存在唯一极值点， 那么方程f′（x）＝0在x∈R上有唯一的根， 因此根据f′（x）＝0，可得x+1﹣2（m﹣1）ex＝0，那么有唯一的根， y＝2m﹣2与的图象有一个交点（非切点）， 又因为导函数， 所以当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， 所以函数g（x）的极大值为g（0）＝1， 且当x＜﹣1时，g（x）＜0，当x＞﹣1时，g（x）＞0， 则函数g（x）的图象如下图所示： 所以当2m﹣2≤0时， 即当m≤1时，直线y＝2m﹣2与函数的图象有一个交点（非切点）， 因此，实数m的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D． 9．若函数f（x）＝x3﹣2x2+ax+3无极值，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意，f′（x）＝3x2﹣4x+a， ∵函数f（x）＝x3﹣2x2+ax+3无极值，∴f′（x）≥0在R上恒成立， 即3x2﹣4x+a≥0恒成立， ∴Δ＝（﹣4）2﹣12a≤0，解得， 即实数a的取值范围是． 故选：D． 【题型4】 求已知函数的最值 求一个函数在闭区间上的最值时一般是找出该区间上导数为零的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值。 1．制作一个容积为216π（cm3）的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，圆柱的底面半径为（　　） A．6cm B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图所示，设底面圆的半径为rcm，圆柱的高为hcm， 由于圆柱形容器的容积为216π（cm3），那么可得πr2h＝216π，那么， 容器的表面积为， 可得导函数， 令S′＝0，即，解得， 当时，导函数S′＞0，S单调递增；当时，导函数S′＜0，S单调递减， 所以当时，S取得极小值，也为S的最小值． 故选：C． 2．函数f（x）＝ex﹣lnex在其定义域上（　　） A．有最小值，有最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．无最小值，无最大值 【答案】B 【解答】解：令真数ex＞0，那么x＞0，因此f（x）＝ex﹣lnex的定义域为（0，+∞）， 导函数，令f′（x）＜0，则，令f′（x）＞0，则， 因此f（x）在上单调递减，在上单调递增， 所以f（x）在（0，+∞）上有最小值，无最大值． 故选：B． 3．函数的最小值为（　　） A． B．1 C．e D．e2 【答案】C 【解答】解：f'（x）＝ex，x＞0， 设s（x）＝x2ex﹣e+elnx，则s'（x）＝（x2+2x）ex0， 故s（x）为（0，+∞）上的增函数，而s（1）＝0， 故当0＜x＜1时，s（x）＜0，即f′（x）＜0，当x＞1时，s（x）＞0，即f′（x）＞0， 故f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，故f（x）min＝f（1）＝e． 故选：C． 4．已知函数f（x）＝ex﹣x，则函数f（x）的最小值为（　　） A． B．1 C．e﹣1 D．e 【答案】B 【解答】解：函数f（x）的定义域为R，且f'（x）＝ex﹣1，令f'（x）＝0，可得x＝0． 当x＜0时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减； 当x＞0时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增． 故． 故选：B． 5．函数f（x）＝x3﹣12x在区间[﹣3，2]上的最大值是（　　） A．﹣9 B．﹣16 C．16 D．9 【答案】C 【解答】解：因为f′（x）＝3x2﹣12，令f′（x）＝0，解得x＝±2， 当x∈（﹣3，﹣2）时，f′（x）＞0，即f（x）单调递增， 当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，即f（x）单调递减， 所以f（x）在x＝﹣2时取得极大值，即最大值f（﹣2）＝（﹣2）3+2×12＝16， 所以f（x）在区间[﹣3，2]上的最大值是16． 故选：C． 6．函数f（x）＝ex﹣ex的最小值为（　　） A．﹣e B．﹣1 C．0 D．1 【答案】C 【解答】解：函数f（x）＝ex﹣ex，则f′（x）＝ex﹣e， 令f′（x）＜0，则x＜1，令f′（x）＞0，则x＞1， 所以函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），单调增区间为（1，+∞）， 所以f（x）min＝f（1）＝0． 故选：C． 7．设函数f（x）＝（ex﹣m）ln（x+n），若f（x）≥0，则m+n的最小值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解答】解：f（x）＝（ex﹣m）ln（x+n）≥0可看作在定义域（﹣n，+∞）内同正同负， 因为两函数在定义域内均单调递增，所以在定义域（﹣n，+∞）内同正， 因此只需函数图象与x轴的交点重合，如图所示： 令，f2（x）＝ln（x+n）＝0，得lnm＝1﹣n， 所以m＝e1﹣n，所以m+n＝e1﹣n+n， 令y＝e1﹣n+n，y′＝﹣e1﹣n+1， 当y＝﹣e1﹣n+1＝0时，n＝1， 当n∈（﹣∞，1）时，y′＜0，y＝e1﹣n+n单调递减， 当n∈（1，+∞）时，y′＞0，y＝e1﹣n+n单调递增， 所以当n＝1时，y＝e1﹣n+n有最小值，最小值为e1﹣1+1＝2， 所以m+n的最小值为2． 故选：D． 8．若正实数x，y满足yln（3xy）＝e3x，则y的最小值为（　　） A．1 B． C．e D．2 【答案】C 【解答】解：由yln（3xy）＝e3x，得3xyln（3xy）＝3xe3x，故ln（3xy）•eln（3xy）＝3xe3x． 由题意得，3x＞0，3xy＞0，eln（3xy）＞0， 由ln（3xy）•eln（3xy）＝3xe3x得，ln（3xy）＞0． 设f（t）＝tet，t＞0，则f′（t）＝（t+1）et＞0， ∴f（t）在（0，+∞）上单调递增， ∵f（ln（3xy））＝f（3x），∴ln（3xy）＝3x， ∴3xy＝e3x，即，x＞0， ∴， 当时，y′＜0，在上单调递减， 当时，y′＞0，在上单调递增， ∴当时，y取极小值也是最小值，最小值为e． 故选：C． 9．若ex﹣2＝e2y，则x﹣y的最小值为（　　） （参考：a≥b＞0⇔lna≥lnb，ea≥eb⇔a≥b．） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由ex﹣2＝e2y＞0，两边取自然对数得：ln（ex﹣2）＝2y， 则， 设f（x）＝x﹣y， 求导得， 令f′（x）＝0，得ex＝4，可得x＝ln4＝2ln2， 当x＜2ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 所以f（x）的最小值为f（2ln2）＝2ln2ln（e2ln2﹣2）＝2ln2ln（4﹣2）＝2ln2ln2， 因此，x﹣y的最小值为． 故选：C． 【题型5】 讨论含参数的函数的最值 1．已知f（x）＝xeax． （1）当a＝0时，证明时，sinx＜f（x）＜tanx； （2）求f（x）在[0，2]上的最大值； 【解答】解：（1）证明：当a＝0时，f（x）＝x，当时，cosx∈（0，1）， 令函数u（x）＝x﹣sinx，则u′（x）＝1﹣cosx＞0， 因此u（x）在上单调递增，u（x）＞u（0）＝0，即f（x）＞sinx； 令函数v（x）＝tanx﹣x，则， 又当时，cosx∈（0，1），则 cos2x∈（0，1），， 则， 因此v（x）在上单调递增，v（x）＞v（0）＝0，即tanx＞f（x）； 因此时，sinx＜f（x）＜tanx； （2）f′（x）＝（xeax）′＝（1+ax）eax，x∈[0，2]， 当a≥0时，则1+ax≥0对任意x∈[0，2]恒成立，即f′（x）≥0恒成立， 因此f（x）在x∈[0，2]单调递增， 则f（x）的最大值为； 当a＜0时，令1+ax＝0，即， 当，即时， 当时f′（x）＞0，f（x）在上单调递增， 当时f′（x）＜0，f（x）在上单调递减，； 当即时，1+ax≥0对任意x∈[0，2]恒成立， 即f′（x）≥0恒成立，因此f（x）在x∈[0，2]单调递增， 则f（x）的最大值为； 综上所述：当时，； 当时，； 2．已知函数． （1）若a＝2e，求f（x）在[0，2]上的最值； （2）若a＞0，求f（x）在[1，2]上的最小值． 【解答】解：（1）a＝2e时，f（x）＝（x﹣1）ex﹣ex2，f′（x）＝x（ex﹣2e）． 令f′（x）＝0，可得x＝0或x＝ln2e， 当ln2e＜x≤2时，f′（x）＞0，当0≤x＜ln2e时，f′（x）＜0， 从而f（x）在[0，ln2e）上单调递减，在（ln2e，2]上单调递增． 则， f（x）max＝max{f（0），f（2）}＝max{﹣1，e（e﹣4）}＝﹣1； （2）f′（x）＝xex﹣ax＝x（ex﹣a）． 若0＜a≤e，x∈[1，2]时，f′（x）≥0⇒f（x）在[1，2]上单调递增， 则此时； 若e＜a＜e2，x∈[1，2]时，令f′（x）＝0⇒x＝lna． 当lna＜x≤2时，f′（x）＞0，当1≤x＜lna时，f′（x）＜0， 则f（x））在[1，lna）上单调递减，在（lna，2]上单调递增， 此时； 若a≥e2，x∈[1，2]时，f′（x）≤0⇒f（x））在[1，2]上单调递减， 所以． 综上，0＜a≤e时，； e＜a＜e2时，； a≥e2时，． 3．已知函数f（x）＝eax+2x2﹣ax﹣2，a∈R． （1）讨论f（x）的单调性； （2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值． 【答案】（1）f（x）在（0，+∞）上单调递增；f（x）在（﹣∞，0）上单调递减． （2）． 【解答】解：（1）由f（x）＝eax+2x2﹣ax﹣2，得f′（x）＝aeax+4x﹣a， 令g（x）＝aeax+4x﹣a，则g′（x）＝a2eax+4＞0， 所以g（x）在R上单调递增， 又g（0）＝ae0+4×0﹣a＝0， 故x＞0时，g（x）＞0，x＜0时，g（x）＜0． 即x＞0时，f′（x）＞0，x＜0时，f′（x）＜0． 所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减． （2）由（1）知f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减． 故f（x）max＝max{f（﹣1），f（1）}． ， f（1）＝ea﹣a， ， 令g（a）， 则g′（a）， 当且仅当，即a＝0时，等号成立． 所以g（a）在R上单调递减． 又g（0）． 所以a＞0时，g（a）＜0；a＜0时，g（a）＞0， 故当a＞0时，f（﹣1）＜f（1），a＜0时，f（1）＜f（﹣1），a＝0时，f（﹣1）＝f（1）＝1． 故． 4．已知函数f（x）＝x2+ax﹣xlna，a＞1． （1）若a＝e，求f（x）的单调区间． （2）∀t≥1，求f（x）在[﹣t，t]上的最小值与最大值． 【解答】解：（1）当a＝e时，函数f（x）＝x2+ex﹣x， 因此导函数f′（x）＝2x+ex﹣1， 设函数g（x）＝f′（x）＝2x+ex﹣1，那么导函数g′（x）＝2+ex． 因为导函数g′（x）＞0，x∈R，所以函数g（x）在R上单调递增， 从而得导函数f′（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又因为f′（0）＝0， 因此当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0， 所以函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间为（0，+∞）． （2）导函数f′（x）＝2x+axlna﹣lna， 设函数g（x）＝f′（x）＝2x+axlna﹣lna，那么导函数g′（x）＝2+axln2a． 因为导函数g′（x）＞0，x∈R，所以函数g（x）在R上单调递增， 从而得导函数f′（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又因为f′（0）＝0， 所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0， 所以函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间为（0，+∞）， ∀t≥1，f（x）则（﹣t，0）单调递减，在（0，t）单调递增， 因此函数f（x）的最小值为f（0）＝1， f（x）max＝max{f（﹣t），f（t）}， 因为f（t）＝t2+at﹣tlna，f（﹣t）＝t2+a﹣t+tlna， 所以f（t）﹣f（﹣t）＝at﹣a﹣t﹣2tlna． 设p（t）＝at﹣a﹣t﹣2tlna， 则p′（t）＝atlna+a﹣tlna﹣2lna＝lna（at+a﹣t﹣2）． 因为a＞1，t≥1，所以at＞1，所以at+a﹣t≥2， 且lna＞0，所以p′（t）＞0， 则函数p（t）在[1，+∞）单调递增， 所以， 设， 则， 则h（a）＞h（1）＝0，所以p（t）＞0，即f（t）＞f（﹣t）， 所以f（x）在[﹣t，t]上的最大值为f（t）＝t2+at﹣tlna，最小值为f（0）＝1． 5．已知函数f（x）＝xlnx+（a﹣1）x（a∈R）．求函数f（x）在区间上的最小值． 【解答】解：易知f′（x）＝lnx+a， 令f′（x）＝0， 解得x＝e﹣a， 当，即a＞1时，f′（x）＞0，f（x）在上单调递增， 所以； 当，即﹣1≤a≤1时， 当时，f′（x）≤0，f（x）单调递减； 当x∈[e﹣a，e]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增， 所以； 当e﹣a＞e，即a＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）在单调递减， 所以f（x）min＝f（e）＝ea． 综上所述，． 6．已知函数． （1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （2）讨论函数f（x）的单调性； （3）当a＜0时，求函数f（x）在区间[1，e]的最小值． 【答案】（1）； （2）详见解析； （3）详见解析． 【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）， ∴，，∴f'（1）＝0，故切线方程为； （2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， ， （i）当a＝0时，f'（x）＝x＞0，所以f（x）在定义域为（0，+∞）上单调递增； （ii）当a＞0时，令f'（x）＝0，得x1＝﹣2a（舍去），x2＝a， 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：此时，f（x）在区间（0，a）单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增； x （0，a） a （a，+∞） f′（x） ﹣ 0 + f（x） 递减 递增 （iii）当a＜0时，令f'（x）＝0得x1＝﹣2a，x2＝a（舍去）， 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：此时，f（x）在区间（0，﹣2a）单调递减，在区间（﹣2a，+∞）上单调递增． x （0．﹣2a） ﹣2a （﹣2a，+∞） f′（x） ﹣ 0 + f（x） 递减 递增 （3）由（2）知当a＜0时，f（x）在区间（0，﹣2a）单调递减，在区间（﹣2a，+∞）上单调递增， （i）当﹣2a≥e，即时，f（x）在区间[1，e]单调递减， 所以； （ii）当1＜﹣2a＜e，即时， f（x）在区间（1，﹣2a）单调递减，在区间（﹣2a，e）单调递增，所以， （iii）当﹣2a≤1，即时，f（x）在区间[1，e]单调递增，所以． 7．已知a∈R，函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x． （1）当a＝1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）讨论函数f（x）的单调性； （3）当a＞0时，求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值． 【答案】（1）y＝（2e2﹣e﹣1）x﹣e2； （2）a≤0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减； a＞0时，f（x）在（﹣lna，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣lna）上单调递减． （3）． 【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝e2x﹣ex﹣x，f′（x）＝2e2x﹣ex﹣1， 可得f′（1）＝2e2﹣e﹣1，又f（1）＝e2﹣e﹣1， 所以f（x）在x＝0处的切线方程为y＝（2e2﹣e﹣1）（x﹣1）+e2﹣e﹣1． 即y＝（2e2﹣e﹣1）x﹣e2． （2）f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）ex﹣1＝（2ex+1）（aex﹣1）， ①若a≤0，f′（x）＜0，则f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减， ②若a＞0，令f′（x）＝0时，解得x＝﹣lna， 当x＞﹣lna，f′（x）＞0；当x＜﹣lna，f′（x）＜0； 所以f（x）在（﹣lna，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣lna）上单调递减． 综上，a≤0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减； a＞0时，f（x）在（﹣lna，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣lna）上单调递减． （3）由（2）知a＞0时，f（x）在（﹣lna，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣lna）上单调递减， ①当﹣lna≤0时，即a≥1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增， 所以f（x）min＝f（0）＝2a﹣2； ②当0＜﹣lna＜1时，即时，函数f（x）在区间[0，﹣lna]上单调递减， 在[﹣lna，1]上单调递增，所以； ③当﹣lna≥1，即时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减， 所以． 综上，a≥1时，f（x）min＝2a﹣2，时，， 时，． 【题型6】 求已知函数的最值求参数 1．若函数f（x）＝kx﹣ex在（1，+∞）上存在最值，则实数k的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣e] B．（e，+∞） C．（2e，+∞） D．（﹣∞，﹣2e] 【答案】B 【解答】解：f′（x）＝k﹣ex， 当k≤0时，f′（x）＝k﹣ex＜0，此时f（x）在（1，+∞）上单调递减，无最值； 当k＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝lnk， 要使函数f（x）在（1，+∞）上存在最值，则lnk＞1，解得k＞e， 故选：B． 2．若函数在区间（a﹣1，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣5，1） B．（﹣5，1） C．[﹣2，1） D．（﹣2，1） 【答案】C 【解答】解：由f′（x）＝x2+2x，令f′（x）＝0，可得x＝﹣2或x＝0， 由f′（x）＞0得：x＜﹣2或x＞0，由f′（x）＜0得：﹣2＜x＜0， 所以函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， 所以函数在x＝0处取得极小值， 令，解得x＝0或x＝﹣3， 若函数f（x）在（a﹣1，a+5）内存在最小值，则﹣3≤a﹣1＜0＜a+5， 得﹣2≤a＜1． 故选：C． 3．已知函数f（x）＝ax﹣（a+3）x3在区间[﹣1，1]上的最小值为﹣3，则实数a的取值范围为（　　） A． B．（﹣∞，9] C． D． 【答案】C 【解答】解：因为f（1）＝﹣3，函数f（x）＝ax﹣（a+3）x3在[﹣1，1]上的最小值为﹣3， 所以对∀x∈[﹣1，1]，f（x）≥﹣3恒成立， 所以ax﹣（a+3）x3≥﹣3恒成立， 所以ax（1﹣x2）≥﹣3（1﹣x3）恒成立， 当x＝1时，a∈R， 当﹣1≤x＜1时，可得ax（1+x）≥﹣3（x2+x+1）恒成立， 当x＝0或x＝﹣1时，不等式成立， 当0＜x＜1时，a3（1）， 因为x2+x∈（0，2）， 所以∈（，+∞）， 所以1∈（，+∞）， 所以﹣3（1）∈（﹣∞，）， 所以a， 当﹣1＜x＜0时，b≤﹣3（1）， 所以x2+x∈（，0）， 所以1∈（﹣∞，﹣3）， 所以﹣3（1）∈（9，+∞）， 所以a≤9， 综上所述，实数b的取值范围为[，9]． 故选：C． 4．已知函数有最大值﹣8，则a的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣12 【答案】A 【解答】解：易知，且x∈（1，+∞）； 显然当a＝0时不合题意， 当a＞0时，若x∈（1，2），易知f′（x）＜0，此时函数f（x）在（1，2）上单调递减， 若x∈（2，+∞），易知f′（x）＞0，此时函数f（x）在（2，+∞）上单调递增； 此时f（x）无最大值，不符合题意； 当a＜0时，若x∈（1，2），易知f′（x）＞0，此时函数f（x）在（1，2）上单调递增， 若x∈（2，+∞），易知f′（x）＜0，此时函数f（x）在（2，+∞）上单调递减； 所以f（x）在x＝2处取得极大值，也是最大值，即f（2）＝4a＝﹣8， 解得a＝﹣2，符合题意； 综上可知，a＝﹣2． 故选：A． 5．已知函数，若f（x）在区间（m，m2）上有最大值，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C．（2，3） D． 【答案】D 【解答】解：当x＞1时，， ， 当1＜x＜3时，f'（x）＞0f（x）单调递增， 当x＞3时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在x＝3处取得极大值， 若f（x）在区间（m，m2）上有最大值，只需即可，解得， 当﹣1＜x＜1时，， ， 显然此时f'（x）＜0，f（x）单调递减，不存在有最大值的开区间； 当x＜﹣1时，， ， 当﹣3＜x＜﹣1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， 当x＜﹣3时，f（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在x＝﹣3处取得极小值， 此时也不存在最大值的开区间． 故选：D． 6．若函数f（x）＝a（ex+a）﹣x的最小值为2，则实数a的值是 　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：因为f（x）＝a（ex+a）﹣x，所以f′（x）＝aex﹣1， 当a＝0时，f（x）＝﹣x，显然函数f（x）在R上单调递减，故不合题意； 当a＜0时，f′（x）＝aex﹣1＜0，函数f（x）在R上单调递减，故不合题意； 当a＞0时，令f′（x）＝0，可得x＝﹣lna， 由f′（x）＜0可得x＜﹣lna，由f′（x）＞0得x＞﹣lna， 所以函数f（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递减，在（﹣lna，+∞）上单调递增， 故，解得a＝1； 综上，a＝1． 故答案为：1． 7．若函数f（x）＝kx﹣ex在（1，+∞）上不存在最值，则实数k的取值范围为　（﹣∞，e]　 ． 【答案】（﹣∞，e]． 【解答】解：由题可得f′（x）＝k﹣ex， 当k＞0时，令f′（x）＝k﹣ex＝0，可得x＝lnk， 令f′（x）＞0，则x＜lnk，令f′（x）＜0，则x＞lnk， 所以函数f（x）在（﹣∞，lnk）上单调递增，在（lnk，+∞）上单调递减， 若函数f（x）＝kx﹣ex在（1，+∞）上不存在最值，则lnk≤1，即0＜k≤e； 当k≤0时，f′（x）＝k﹣ex＜0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，不存在最值； 综上所述，实数k的取值范围为（﹣∞，e]． 故答案为：（﹣∞，e]． 8．若函数在（2a，3﹣a）内有最小值，则实数a的取值范围是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：由已知，的定义域为（0，+∞）， 求导，得， 当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0， 即f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 则f（x）在x＝1时取极小值，也即最小值， 因为在（2a，3﹣a）内有最小值，所以0≤2a＜1＜3﹣a， 解得，即实数a的取值范围是． 故答案为：． 9．若函数在[0，3]上的最大值为4，则m＝ 　4　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为，所以f′（x）＝x2﹣4，x∈[0，3]， 所以当x∈[0，2）时，f′（x）＜0； 当x∈（2，3]时，f′（x）＞0， 所以f（x）在x∈[0，2）上单调递减，在x∈（2，3]上单调递增． 又f（0）＝m，f（3）＝﹣3+m，显然f（0）＞f（3）， 所以在[0，3]上，f（x）max＝f（0），所以m＝4． 故答案为：4． 【题型7】 利用最值证明不等式 利用最值证明不等式形如的恒成立问题，一般方法有： （1）构造函数法：即直接构造，证明; （2）凹凸翻转法：即证明即可； （3）等价转化法：即将待证不等式左右两边进行等价变形，使得左右函数的最值可比较。 （4）适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系。 方法1：构造函数法 1. 利用导数证明基本不等式： (1) ; (2) . 解析： (1) 设 ，令 ，得 单调递增，令 ，得 单调递减，所以 ，所以 ; （2）设 令 ，得 单调递增，令 ，得 单调递减，所以 ，所以 . 2.证明不等式 . 解析： 由题意知 ，令 , 所以 . 当 时， ; 当 时， , 故 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 有最大值 ，故 , 即 成立。 3.证明： . 解析： 令 ，则 , 令 ，则 , 所以 在 上单调递增，且 , 故当 时， 单调递增，当 时， 单调递减， 故当 时， 取极小值也是最小值， 故 ，因此 . 4.当 时，证明： . 解析： 设 ，其中 ，则 故函数 在 上为增函数，所以， , 故对任意的 . 5.当 时，证明： 不等式 . 解析： 证明不等式 ，即证 , 设 ，则 , 所以当 时， ， 单调递减， 当 时， 单调递增， 当 时， 取得极小值，也是最小值， 因为 ，所以 . 6.证明： 当 时， . 解析： 令函数 ，则 , 所以 在 上单调递增， ，即 . 令函数 ，则 . 当 时， ，所以 在 上单调递 增， ，即 . 故当 时， . 7.证明： 当 时， . 解析： 令 , 则 , , 又 在 上恒成立， 故 在 恒成立， 故 在 上单调递增， 又 ，故 ，即当 时， , 8.证明： . 解析： 要证 ，即证 . 令 ，又 ，所以 为偶函数， 只需证明 在 上恒成立即可，显然 当 时， ，则 ，则 ，当且仅当 时取等号。 令 ，则 , 当且仅当 时取等号，所以 在 上单调递增，所以 , 所以 ，当且仅当 时取等号，即 在 上单调递增， 所以，当 时， ，又 为偶函数， 所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 故 . 方法2：凹凸翻转法 1.证明不等式 . 解析： 令 ，则 ，令 ，得 根据单调性可知函数 在 处取得最小值为 令 ，则 ，令 ，得 根据单调性可知函数 在 处取得最大值为 由于最值不能同时取到，所以 ，即 2.证明不等式 . 解析： 设函数 , 因为 ，所以函数 在 处取得最小值为 设函数 ，则 , ; 令 ，得 所以函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递 减，所以当 时，函数 取得最大值，其值为 而函数 在 处取得最小值为 所以 ，即 3.证明不等式 . 解析： 设函数 , 因为 ，则 ，令 ，得 根据单调性可知函数 在 处取得最大值为 1 设函数 ，则 ; 令 ，得 根据单调性可知函数 在 处取得最小值为 1 所以 ，“在 处相等” 4.当 时，证明： . 解析： 设 则 , 令 得 , 当 时， 单调递增； 当 时， 单调递减； 当 时， 取得最大值，且最大值为 . 在 上单调递增， ，即 在 上的最小值为 4, , 当 时， . 5.证明不等式 . 解析： 证 , 只需证明 . 令 且 ，则 , 所以 ，即在 上 单调递增， ，即在 上 单调递减， 所以 ; 令 且 ，则 显然 ，则 ，即在 上 单调递减； ，即在 上 单调递增，所以 . 而 ，即 成立，所以任意的 ，不等式 恒成立。 方法3：等价转化法 1.当 时，证明 恒成立。 解析： 令 , 则 恒成立，故 在 上单调递增， 则 ，令 , 则 ，故 在 上单调递增， 故 ，所以 ，即 2.已知函数 . 当 时，证明： . 解析： 要证 时， ，即证 令 且 ，则 所以 在 上单调递增，则 ，即 , 所以 时， . 3.当 时，证明： . 解析： 由题意，可知 ，要证明 , 即证 ，令 ，则 , 当 ，当 , 所以 在 上单调递减，在 上单调递增。 所以 . 令 ，则 ，因为 , 所以当 ，当 , 所以 在 上单调递增，在 上单调递减。 所以 , 所以 恒成立，即 恒成立， 所以当 时， . 4.当 时，求证： . 解析： 不等式 ，等价于 , 令 ，则 , 令 ，则 ，由此可知： 当 时， ， 在 上单调递减， 当 时， 在 上单调递增， 所以 ，因此， , 即 ，所以 . 提升强化练 一．选择题（共8小题） 1．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图像如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．﹣3是函数f（x）的极大值点 B．﹣1是函数f（x）的最小值点 C．函数f（x）在区间（﹣3，0）上单调递增 D．曲线y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零 【答案】C 【解答】解：由导函数f′（x）的图象可知，当x＞﹣1时f′（x）＞0；当﹣3＜x＜﹣1时f′（x）＞0； 当x＜﹣3时f′（x）＜0，当x＝﹣3或x＝﹣1时f′（x）＝0， 则f（x）在（﹣3，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣3）上单调递减，故B错误，C正确； 所以函数在x＝﹣3处取得极小值即最小值， 所以﹣3是函数的极小值点与最小值点故A错； 因为f′（0）＞0，所以曲线y＝f（x）在x＝0处切线的斜率大于零，故D错误． 故选：C． 2．已知函数f（x）＝x3﹣6x，则f（x）在（0，+∞）上的极值为（　　） A． B．1 C． D．﹣3 【答案】A 【解答】解：因为函数f（x）＝x3﹣6x， 则f′（x）＝3x2﹣6＝3（x2﹣2），又x∈（0，+∞）， 令f′（x）＞0，则，令f′（x）＜0，则， 所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增， 所以f（x）极小值＝f（），无极大值． 故选：A． 3．函数f（x）＝x3﹣ax2+2x﹣1有极值，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：函数f（x）＝x3﹣ax2+2x﹣1的定义域为R，且f′（x）＝3x2﹣2ax+2， 因为f（x）有极值，所以函数f′（x）有变号零点，即f′（x）＝0有2个不相等的实数根， 所以Δ＝4a2﹣24＞0，解得a或a， 即a的取值范围是， 故选：B． 4．已知函数f（x）＝xex的最小值为（　　） A． B．1 C． D．e2 【答案】C 【解答】解：根据函数f（x）＝xex，得导函数f′（x）＝ex+xex＝ex（x+1），令f′（x）＝0，解得x＝﹣1， 因此当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增， 当x∈（﹣∞，﹣1）时，导函数f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 所以当x＝﹣1时，函数有最小值，即． 故选：C． 5．函数f（x）＝（x﹣2）ex﹣x2+2x的极小值点为（　　） A．1﹣e B．1 C．ln2 D．2 【答案】B 【解答】解：函数f（x）＝（x﹣2）ex﹣x2+2x的定义域为R， 则f′（x）＝（x﹣1）ex﹣2x+2＝（x﹣1）（ex﹣2）， 令f′（x）＝0，可得x＝ln2或x＝1， 当x＜ln2或x＞1时，f′（x）＞0，当ln2＜x＜1时，f′（x）＜0， 所以f（x）在（﹣∞，ln2）和（1，+∞）上单调递增，在（ln2，1）上单调递减， 所以f（x）在x＝1处取得极小值． 故选：B． 6．已知函数g（x）＝3alnx﹣2x+1，若存在x∈（1，4），使得g（x）≥1成立，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C．（﹣∞，2e] D．[2e，+∞） 【答案】B 【解答】解：g（x）＝3alnx﹣2x+1≥1在区间（1，4）上有解， 可转化为存在x∈（1，4），使得成立，即3a≥（）min， 令，则， 当x∈（1，e）时，φ′（x）＜0，当x∈（e，4）时，φ′（x）＞0， 所以φ（x）在区间（1，e）上单调递减，在区间（e，4）上单调递增， 故当x＝e时，φ（x）取得极小值φ（e）＝2e，也是最小值， 所以3a≥2e， 即． 故选：B． 7．已知aeax≥lnx对∀x≥3恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设f（t）＝tet（t＞0），则f′（t）＝（t+1）et． ∵t＞0时，f′（t）＝（t+1）et＞0，∴f（t）在（0，+∞）上单调递增． 已知aeax≥lnx对∀x≥3恒成立，当x＝3时，ae3a≥ln3＞0，则有a＞0， 当a＞0时，aeax≥lnx可变形为axeax≥xlnx＝lnx•elnx． ∵f（t）在（0，+∞）上单调递增，且ax＞0，lnx＞0（x≥3）， ∴由axeax≥lnx•elnx可得ax≥lnx，即对∀x≥3恒成立． 设，则． 当x≥3时，lnx≥ln3＞1，∴1﹣lnx＜0，x2＞0，则． 这说明g（x）在[3，+∞）上单调递减，那么g（x）在[3，+∞）上的最大值为． ∵对∀x≥3恒成立，∴，即实数a的取值范围是． 故选：A． 8．已知a＞0，不等式xex﹣ax≥alnx恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．[1，e] B． C．（0，e] D． 【答案】C 【解答】解：不等式xex﹣ax≥alnx，即xex﹣a（x+lnx）≥0． 设f（x）＝xex﹣a（x+lnx），则，x＞0， 令f′（x0）＝0，则， 当x∈（0，x0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x0+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， 故只需f（x）min＝f（x0）＝x0a（x0+lnx0）＝x0（1﹣x0﹣lnx0）≥0， 所以1﹣x0﹣lnx0≥0，即x0+lnx0≤1， 设g（x）＝x+lnx，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝1， 所以x0∈（0，1]，设h（x）＝xex，x∈（0，1]，则h′（x）＝（1+x）ex＞0， 所以h（x）在（0，1]上单调递增，所以h（x）的值域为（0，e]，即a的取值范围为（0，e]． 故选：C． 二．多选题（共3小题） （多选）9．已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（　　） A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有三个零点 C．f（x）关于（0，1）对称 D．直线y＝2x﹣1是曲线y＝f（x）的切线 【答案】ACD 【解答】解：由题，f'（x）＝3x2﹣1，令f'（x）＞0得或，令f'（x）＜0得， 所以f（x）在，（，+∞）上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，f（﹣2）＝﹣5＜0，所以，函数f（x）在上有一个零点， 当时，，即函数f（x）在上无零点， 综上所述，函数f（x）有一个零点，故B错误； 令h（x）＝x3﹣x，该函数的定义域为R， 则h（x）是奇函数，（0，0）是h（x）的对称中心，将h（x）的图象向上移动一个单位得到f（x）的图象， 所以点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心，故C正确； 令f'（x）＝3x2﹣1＝2，可得x＝±1，又f（1）＝f（﹣1）＝1，当切点为（1，1）时，切线方程为y＝2x﹣1， 当切点为（﹣1，1）时，切线方程为y＝2x+3，故D正确． 故选：ACD． （多选）10．关于函数f（x）2lnx，下列判断正确的是（　　） A．x是f（x）的极大值点 B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点 C．对k＞1不等式f（x）＜kx在[1，+∞）上恒成立 D．对任意两个正实数x1，x2，且x1＞x2，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＜1 【答案】BC 【解答】解：对于A选项：因为，x＞0，所以， 令f′（x）＝0，得， 所以，当时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减， 当时，f′（x）＞0，函数d（x）在上单调递增， 所以，当时，f（x）取得极小值，故A选项错误； 对于B选项：设，则， 所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝1+2ln1﹣1＝0， 所以函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点，故B选项正确； 对于C选项：若f（x）＜kx在[1，+∞）上恒成立，所以在[1，+∞）上恒成立， 则，设，， 设k（x）＝﹣2+2x﹣2xlnx，设k′（x）＝﹣2lnx， 所以，当x∈[1，+∞）时，k′（x）≤0，k（x）单调递减，当x∈（0，1）时，k′（x）＞0，k（x）单调递增， 所以k（x）≤k（1）＝﹣2+2﹣2ln1＝0，所以h′（x）≤0， 所以，h（x）在[1，+∞）上单调递减， 所以函数h（x）的最大值为h（1）＝1，所以k＞1，故C选项正确； 对于D选项：方法一：令， 设， 所以， 所以g（t）在上单调递减， 则，即f（t）﹣f（1﹣t）＞0，， 因为x1＞x2，f（x1）＝f（x2），结合A选项可得，，，， 所以f（x2）＞f（1﹣x2），f（x1）＞f（1﹣x2），函数f（x）在上单调递增， 则x1＞1﹣x2，所以x1+x2＞1， 即对任意两个正实数x1，x2，且x1＞x2，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞1，故D选项错误； 方法二：由f（x1）＝f（x2），，所以， 设，x＞1，则， 所以F（x）在（1，+∞）上单调递减，所以F（x）＜F（1）＝0， 所以， 由x1＞x2＞0，则，因此， 所以x1+x2＞1， 即对任意两个正实数x1，x2，且x1＞x2，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞1，故D选项错误； 故选：BC． （多选）11．已知函数f（x）＝alnx﹣bx（b＞0）有大于0的极值，e为自然对数的底，则下列说法正确的是（　　） A．a＜0 B．a﹣be＞0 C．f（1）＜f（e） D．f（x）有两个零点且其乘积大于e 【答案】BCD 【解答】解：因为， 所以当a≤0时，f'（x）＜0没有极值，所以a＞0，选项A错误； 当a＞0时，令f'（x），得， 所以，所以，所以a﹣be＞0，选项B正确； 由于，f（1）＝﹣b＜0，又f（e）＝a﹣bc＞0，所以f（1）＜f（e），选项C正确； 当x→0时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f（x）→﹣∞， 所以f（x）有两个零点，设为x1，x2且x1＜x2， 所以1＜x1＜e＜x2，所以e＜x1x2，选项D正确． 故选：BCD． 三．填空题（共3小题） 12．函数y＝excosx在（0，π）上的极大值点为　　 ． 【答案】． 【解答】解：由已知得y′＝ex（cosx﹣sinx），x∈（0，π）， 显然ex＞0， 令y′＝ex（cosx﹣sinx）＝0，解得， 所以当时，y′＞0，函数y＝excosx单调递增， 当时，y′＜0，函数y＝excosx单调递减， 则函数y＝excosx在（0，π）上的极大值点为． 故答案为：． 13．已知函数f（x）＝ex+1﹣alnx，若f（x）≥a（lna﹣1）对x＞0恒成立，则实数a的取值范围是 　（0，e2]　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：易知a＞0，由ex+1﹣alnx≥a（lna﹣1）可得， 即ex+1﹣lna+1﹣lna≥lnx，则有ex+1﹣lna+x+1﹣lna≥x+lnx， 设h（x）＝ex+x，易知h（x）在R上单调递增， 故h（x+1﹣lna）≥h（lnx）， 所以x+1﹣lna≥lnx，即x﹣lnx≥lna﹣1， 设，令g′（x）＞0⇒x＞1，g′（x）＜0⇒0＜x＜1， 故g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 所以g（x）≥g（1）＝1，则有1≥lna﹣1，解之得a∈（0，e2]． 故答案为：（0，e2]． 14．已知函数f（x）＝（x2﹣3x+1）ex﹣a恰有三个零点，则实数a的取值范围为　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为函数f（x）＝（x2﹣3x+1）ex﹣a恰有三个零点， 所以（x2﹣3x+1）ex＝a恰有三个实根， 令g（x）＝（x2﹣3x+1）ex， 所以g'（x）＝（x﹣2）（x+1）ex， 当x＜﹣1或x＞2时，g'（x）＞0，g（x）单调递增， 当﹣1＜x＜2时，g'（x）＜0，g（x）单调递减， 所以当x＝﹣1时，g（x）取得极大值，当x＝2时，g（x）取得极小值﹣e2， 当x＜0时，g（x）＞0，x→+∞时，g（x）→+∞，作出g（x）的大致图象如图所示： 所以实数a的取值范围为． 故答案为：． 四．解答题（共5小题） 15．已知，． （1）求函数y＝g（x）在（1，g（1））处的切线方程； （2）讨论函数y＝f（x）的极值点个数； （3）若对于任意x∈（0，+∞）总有f（x）≤g（x），求实数a的取值范围． 【答案】（1）（2e+6）x﹣2y﹣3＝0； （2）当a∈[﹣2，+∞）时，f（x）没有极值点；当a∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）有两个极值点； （3）（﹣∞，e+1]． 【解答】解：（1）由题意，求导可得g′（x）＝ex+3x， 所以g′（1）＝e+3，即函数y＝g（x）在（1，g（1））处的切线的斜率为e+3， 又， 由直线的点斜式方程可得所求的切线方程为， 即（2e+6）x﹣2y﹣3＝0； （2）由得， 因为x＞0，所以，当且仅当x＝1时等号成立， ①当a+2≥0，即a∈[﹣2，+∞）时，f'（x）≥0对∀x＞0恒成立， 此时f（x）在（0，+∞）单调增，故f（x）没有极值点； ②当a+2＜0，即a∈（﹣∞，﹣2）时，方程x2+ax+1＝0有两个不等正数解x1，x2， ， 不妨设0＜x1＜x2，则x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（0，x1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 所以x1，x2分别为f（x）极大值点和极小值点，f（x）有两个极值点． 综上所述，当a∈[﹣2，+∞）时，f（x）没有极值点；当a∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）有两个极值点； （3）f（x）≤g（x）⇔ex﹣lnx+x2≥ax， 由x＞0，得对于∀x＞0恒成立，设， 则， 因为x＞0，所以x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减， 所以φ（x）≥φ（1）＝e+1， 所以实数a的取值范围为（﹣∞，e+1]． 16．已知函数． （1）若a＝0，求f（x）的极小值； （2）当时，求f（x）的单调递增区间； （3）当a＞0时，设f（x）的极大值为g（a），求证． 【答案】（1）； （2）（﹣∞，﹣1）和 （lna，+∞）； （3）证明见解析． 【解答】解：（1）由题意知f'（x）＝ex（x+1）﹣ax﹣a＝（ex﹣a）（x+1）（a∈R）． 若 a＝0，则f（x）＝xex，所以f'（x）＝ex（x+1）．令f'（x）＝0，得x＝﹣1． 当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）＜0，当x∈（﹣1，+∞）时，f'（x）＞0， 所以 f（x）在 （﹣∞，﹣1）单调递减，在 （﹣1，+∞） 单调递增， 所以f（x）的极小值等于； （2）因为，所以lna＞﹣1，由f'（x）＞0，即（ex﹣a）（x+1）＞0， 解得x＜﹣1或x＞hna，所以f（x）在（﹣∞，﹣1）和 （lna，+∞） 单调递增， 由f'（x）＜0，即（ex﹣a）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜lna，所以f（x）在 （﹣1，lna） 单调递减， 故f（x） 的单调增区间为 （﹣∞，﹣1）和 （lna，+∞）． （3）证明：当时，由（2）知，f（x）的极大值等于； 当时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）无极大值； 当时，当x∈（﹣∞，lna）时，f（x）＞0，f（x）单调递增， 当x∈（lna，+∞）时，f（x）＜0，f（x）单调递减， 所以 f（x） 的极大值等于， 令，所以， g（x）在，在上，g'（x）＞0， 所以g（x）在上单调递减，在上单调递增， 故， 综上所述，． 17．已知函数（a∈R）． （1）当a＝﹣3时，求函数f（x）的极值； （2）设g（x）＝f（x）+f′（x）+ax2，若函数g（x）在区间（﹣1，1）有极值，求a的取值范围； （3）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当a＝﹣3时，， ∴f'（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）．令f'（x）＝0，得 x1＝﹣1，x2＝3． 当x＜﹣1时，f′（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增； 当﹣1＜x＜3时，f′（x）＜0，则f（x）在（﹣1，3）上单调递减； 当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）在（3，+∞）上单调递增； ∴当x＝﹣1时，f（x）取得极大值为：f（﹣1）； 当x＝3时，f（x）取得极小值为：6． （2）∵ 问题转化为方程g′（x）＝0在区间（﹣1，1）内有解， ∴g′（﹣1）•g′（1）＜0或， 解得a＜﹣1或a， 故a的取值范围为：（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）． （3）∵f'（x）＝x2﹣2x+a，∴Δ＝4﹣4a＝4（1﹣a）． ①若a≥1，则△≤0，∴f'（x）≥0在R上恒成立， ∴f（x）在R上单调递增．∵f（0）＝﹣a＜0，f（3）＝2a＞0， ∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点． ②若a＜1，则Δ＞0， ∴f'（x）＝0有两个不相等的实数根，不妨设为x1，x2，（x1＜x2）． ∴x1+x2＝2，x1x2＝a． 当x变化时，f′（x），f（x）的取值情况如下表： x （﹣∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞） f'（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∵， ∴．∴， 同理f（x2）． ∴ ． 令f（x1）•f（x2）＞0，解得a＞0． 而当0＜a＜1时，f（0）＝﹣a＜0，f（3）＝2a＞0， 故当0＜a＜1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点． 综上所述，a的取值范围是（0，+∞）． 18．已知函数在x＝1处的切线垂直于y轴． （1）求实数a的值； （2）求函数f（x）的极小值． 【答案】（1）3； （2）﹣4+2ln2． 【解答】解：（1），求导得， 则f（x）在x＝1处的切线斜率k＝f′（1）＝1﹣a+2＝3﹣a， 由题意知k＝0，则3﹣a＝0，得a＝3． （2）， 当0＜x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，当1＜x＜2时，f′（x）＜0， 所以f（x）在（0，1）和（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减， 因此f（x）的极小值为f（2）＝﹣4+2ln2． 19．已知函数f（x）＝（x2+2x+a）ex． （1）讨论f（x）的单调性． （2）若f（x）无零点，但有两个不同的极值点， （i）求a的取值范围； （ii）设x1，x2为f（x）的两个极值点，求f（x1）+f（x2）的取值范围． 【答案】（1）当a≥2时，f（x）在R上单调递增； 当a＜2时，f（x）在区间和上单调递增，在区间上单调递减； （2）（i）（1，2）；（ii）（4e﹣3，4e﹣2）． 【解答】解：（1）由题意得f'（x）＝（2x+2）ex+（x2+2x+a）ex＝（x2+4x+2+a）ex， 令f′（x）＝0，则x2+4x+2+a＝0，判别Δ＝42﹣4×1×（2+a）＝8﹣4a， ①当8﹣4a≤0时，解得a≥2，则x2+4x+2+a≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上单调递增； ②当8﹣4a＞0时，解得a＜2，则方程x2+4x+2+a＝0有2个实根， 由求根公式可知方程的解为， 由二次函数的性质可知f（x）在区间和上单调递增， 在区间单调递减， 综上所述，当a≥2时，f（x）在R上单调递增； 当a＜2时，f（x）在区间和上单调递增，在区间上单调递减； （2）（i）令f（x）＝（x2+2x+a）ex＝0，即x2+2x+a＝0⇒a＝﹣x2﹣2x， 由f（x）无零点，则直线y＝a与y＝﹣x2﹣2x无交点，则a＞1， 又f（x）有两个不同的极值点，由（1）可知a＜2时满足题意， 故a的取值范围为（1，2）； （ii）不妨设x1＜x2，由（1）知，， 因为f（x1）+f（x2）＝（2x1+a）（2x2+a）， 又x1，x2为f（x）的两个极值点，f'（x1）＝f'（x2）＝0， 即， 可得2x1+a＝﹣2x1﹣2，， 则f（x1）+f（x2）＝（﹣2x1﹣2）（﹣2x2﹣2）2[（x1+1）（x2+1）]， 设x1＝﹣2﹣m，x2＝﹣2+m，其中，∵a∈（1，2），∴m∈（0，1）， ∴f（x1）+f（x2）＝﹣2[（﹣1﹣m）e﹣2﹣m+（﹣1+m）e﹣2+m] ＝﹣2e﹣2[（﹣1﹣m）e﹣m+（﹣1+m）em]＝﹣2e﹣2[m（em﹣e﹣m）﹣（em+e﹣m）]， 令h（m）＝m（em﹣e﹣m）﹣（em+e﹣m）， 求导得h'（m）＝（em﹣e﹣m）+m（em+e﹣m）﹣（em﹣e﹣m）＝m（em+e﹣m）＞0， 故h（m）在（0，1）上单调递增，又h（0）＝﹣2，h（1）＝﹣2e﹣1， ∴h（m）∈（﹣2，﹣2e﹣1），则﹣2e﹣2h（m）∈（4e﹣3，4e﹣2）， 故f（x1）+f（x2）的取值范围为（4e﹣3，4e﹣2）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.2 函数的极值与最值 【知识清单】 ▍知识点1：极小值与极小值点 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，而且在点附近的左侧，右侧，则把点叫作函数的极小值点，叫作函数的极小值。 ▍知识点2：极大值与极大值点 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，, 而且在点附近的左侧，右侧，则把点叫作函数的极大值点，叫作函数的极大值。 注意：极小值点、极大值点统称为极值点，极小值、极大值统称为极值。 ▍知识点3：极值概念的辨析 （1）按定义，极值点是区间内部的数，不会是端点值,. （2）极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小。 （3） 如果在内有极值，那么在内绝对不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值。 （4）若函数在上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点。一般地，当函数在上连续且有有限个极值点时，函数在内的极大值点、极小值点是交替出现的。 （5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点。 例如函数定义域内是增函数，是其拐点。 ▍知识点4：求极值的方法 一般地，求函数的极值的方法是：解方程当时： （1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；【左增右减】 （2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值。【左减右增】 注意：若在处取得极值，则且. ▍知识点5：函数的最大值与最小值 一般地，如果在区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值， 并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得。 注意：①当图像连续不断且在上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得。 ②给定区间必须是闭区间，在开区间上虽然连续不断，但不能保证有最大值或最小值。例如,的图像在内连续不断，但没有最大值和最小值。 ③在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点不能保证有最大值与最小值。 例如，作图可知无最小值。 ▍知识点6：求在上的最值的步骤 ①求函数在开区间内所有使的点。 ②计算函数在区间内使的所有点与端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 注意：某区间端点处的函数值可能是最值，但一定不是极值。 ▍知识点7：函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近（即局部）而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的。 ②在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值最多有一个。 ③函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点。 【基础专练】 【类型1】极值的相关概念 1．“”是“函数f（x）＝ax3﹣x2+x有极值”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知f（x）是R上的可导函数，则“f（x）在x＝x0处取得极值”是“f′（x0）＝0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是（　　） A．f（x）＝xsinx B． C． D．f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1| 4．对任意的x∈R，函数f（x）＝x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是（　　） A．0≤a≤21 B．a＝0或　a＝7 C．a＜0或a＞21 D．a＝0或a＝21 5．“函数f（x）在x0处取得极值”是“f′（x0）＝0“的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【类型2】导函数图像与极值的关系 1．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若函数f′（x）的图象如图所示，则f（x）的极小值点为（　　） A．x1 B．0 C．x2或x3 D．x4 2．导函数y＝f′（x）的图象如图所示，在标记的点中，函数y＝f（x）的极大值点为（　　） A．x1 B．x2 C．x3 D．x4 3．如图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（　　） A．当x＝3时，f（x）取得极小值 B．f（x）在[﹣2，1]上是增函数 C．当x＝1时，f（x）取得极大值 D．f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数 4．已知y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．f（x）的增区间是（a，e）和（g，+∞） B．f（x）有4个极值点 C．f（x）的减区间是（b，c）和（d，f）和（h，i） D．f（x）极大值点和极小值点的个数相同 5．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值 B．函数f（x）在x＝1处取得极大值 C．函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增 D．函数f（x）在区间（2，3）上单调递减 6．已知函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图像如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．函数y＝f（x）在区间（﹣3，3）内有三个零点 B．函数x＝﹣1是函数y＝f（x）的一个极值点 C．曲线y＝f（x）在点（﹣2，f（﹣2））处的切线斜率小于零 D．函数y＝f（x）在区间（﹣1，1）上是严格减函数 （多选）7．函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（　　） A．﹣3是函数y＝f（x）的极值 B．函数y＝f（x）的有最小值无最大值 C．y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增 D．y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零 （多选）8．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，5]，其导函数f′（x）的图象如图所示，则（　　） A．f（x）在区间（0，2）上单调递增 B．f（x）的极小值点为2 C．f（x）恰有2个极值点 D．f（x）的图象与x轴至多有2个公共点 【题型专练】 【题型1】 求已知函数的极值 1.解答本题型时应注意只是函数在处有极值的必要条件，只有再加上左右导数符号相反，方能断定函数在处取得极值。 2.对于可导函数而言，它的单调递减区间和单调递增区间的分界点应是其导数符号正负交替的分界点：解题时，按照求函数极值的步骤，要注意表格的使用，利用表格，可使极值点两边的增减性一目了然，便于求极值。 1．已知函数f（x）＝x3﹣6x，则f（x）在（0，+∞）上的极值为（　　） A． B．1 C． D．﹣3 2．函数f（x）＝2x3﹣6x+3的极小值为（　　） A．﹣33 B．﹣7 C．﹣1 D．7 3．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，则下列说法不正确（　　） A．f（x）在（0，1）上单调递减 B．x＝1是f（x）的零点 C．f（x）的极小值为0 D．f（x）的极大值点为x＝1 4．函数的极大值点是（　　） A．1 B．2 C． D． 5．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝（x2﹣3）ex+2，则以下说法错误的是（　　） A．f（0）＝0 B．当x＜0时，f（x）＝﹣（x2﹣3）e﹣x﹣2 C．f（x）≥2当且仅当 D．x＝﹣1是f（x）的极大值点 6．已知函数，则下列说法错误的是（　　） A．f（x）图象的对称点为（0，1） B．f（x）的最大值与最小值之和为2 C．f（x）恰有一个极值点 D．f（x）恰有两个零点 （多选）7．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝（x+1）e﹣x+x2，则（　　） A．f（0）＝0 B．当x＞0时，f（x）＝（x﹣1）ex﹣x2 C．f（x）≤0当且仅当x＜0 D．x＝ln2是f（x）的极小值点 （多选）8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝（x2﹣3）ex+2，则（　　） A．f（0）＝0 B．当x＜0时，f（x）＝﹣（x2﹣3）e﹣x﹣2 C．f（x）≥2，当且仅当x D．x＝﹣1是f（x）的极大值点 （多选）9．已知f（x）＝x3﹣12x+15，则（　　） A．曲线y＝f（x）关于点（0，15）对称 B．2是函数f（x）的极小值点 C．若方程f（x）＝m有三个不同的实数根，m的取值范围为m＞﹣1 D．不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣∞，﹣4） 【题型2】 讨论含参数的函数的极值 1．已知函数．求函数f（x）的极值； 2．已知函数f（x）．讨论f（x）的极值； 3．已知函数f（x）＝x﹣asinx+mlnx，g（x）＝f（x）+asinx．讨论函数y＝g（x）的极值； 4．定义：函数f（x）图象上不同的三点A，B，C，它们的横坐标依次成等差数列，且函数f（x）在点B处的切线斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设函数f（x）＝blnx+x2．讨论函数f（x）的极值； 5．已知函数．讨论f（x）的极值； 6．已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣2，a∈R，e是自然对数的底数．讨论函数y＝f（x）的极值； 7．已知函数f（x）＝mx2﹣lnx，讨论函数f（x）的单调区间及极值； 8．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣2．讨论f（x）的极值； 9．已知a∈R，函数f（x）＝ex﹣ax﹣1，讨论函数f（x）的极值； 【题型3】 已知函数极值求参数 1．已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣2） B． C． D． 2．已知函数，x＝﹣2是f（x）的一个极值点，且f（x）在[﹣3，2]上有且仅有一个零点，则实数b的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．若函数f（x）＝lnx﹣m（x﹣1）2恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（　　） A． B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D． 4．若x＝2是函数的极小值点，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，1） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞） 5．若函数有两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）≤﹣9，则（　　） A．a≤﹣4 B．a≥4 C． D． 6．已知有两个极值点x1，x2，且x2≥3x1，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 7．已知函数f（x）＝lnx+ax2﹣2x有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．若函数f（x）＝xex﹣（m﹣1）e2x存在唯一极值点，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C．m＜1 D．m≤1 9．若函数f（x）＝x3﹣2x2+ax+3无极值，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型4】 求已知函数的最值 求一个函数在闭区间上的最值时一般是找出该区间上导数为零的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值。 1．制作一个容积为216π（cm3）的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，圆柱的底面半径为（　　） A．6cm B． C． D． 2．函数f（x）＝ex﹣lnex在其定义域上（　　） A．有最小值，有最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．无最小值，无最大值 3．函数的最小值为（　　） A． B．1 C．e D．e2 4．已知函数f（x）＝ex﹣x，则函数f（x）的最小值为（　　） A． B．1 C．e﹣1 D．e 5．函数f（x）＝x3﹣12x在区间[﹣3，2]上的最大值是（　　） A．﹣9 B．﹣16 C．16 D．9 6．函数f（x）＝ex﹣ex的最小值为（　　） A．﹣e B．﹣1 C．0 D．1 7．设函数f（x）＝（ex﹣m）ln（x+n），若f（x）≥0，则m+n的最小值为（　　） A． B． C．1 D．2 8．若正实数x，y满足yln（3xy）＝e3x，则y的最小值为（　　） A．1 B． C．e D．2 9．若ex﹣2＝e2y，则x﹣y的最小值为（　　） （参考：a≥b＞0⇔lna≥lnb，ea≥eb⇔a≥b．） A． B． C． D． 【题型5】 讨论含参数的函数的最值 1．已知f（x）＝xeax． （1）当a＝0时，证明时，sinx＜f（x）＜tanx； （2）求f（x）在[0，2]上的最大值； 2．已知函数． （1）若a＝2e，求f（x）在[0，2]上的最值； （2）若a＞0，求f（x）在[1，2]上的最小值． 3．已知函数f（x）＝eax+2x2﹣ax﹣2，a∈R． （1）讨论f（x）的单调性； （2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值． 4．已知函数f（x）＝x2+ax﹣xlna，a＞1． （1）若a＝e，求f（x）的单调区间． （2）∀t≥1，求f（x）在[﹣t，t]上的最小值与最大值． 5．已知函数f（x）＝xlnx+（a﹣1）x（a∈R）．求函数f（x）在区间上的最小值． 6．已知函数． （1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （2）讨论函数f（x）的单调性； （3）当a＜0时，求函数f（x）在区间[1，e]的最小值． 7．已知a∈R，函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x． （1）当a＝1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）讨论函数f（x）的单调性； （3）当a＞0时，求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值． 【题型6】 求已知函数的最值求参数 1．若函数f（x）＝kx﹣ex在（1，+∞）上存在最值，则实数k的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣e] B．（e，+∞） C．（2e，+∞） D．（﹣∞，﹣2e] 2．若函数在区间（a﹣1，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣5，1） B．（﹣5，1） C．[﹣2，1） D．（﹣2，1） 3．已知函数f（x）＝ax﹣（a+3）x3在区间[﹣1，1]上的最小值为﹣3，则实数a的取值范围为（　　） A． B．（﹣∞，9] C． D． 4．已知函数有最大值﹣8，则a的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣12 5．已知函数，若f（x）在区间（m，m2）上有最大值，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C．（2，3） D． 6．若函数f（x）＝a（ex+a）﹣x的最小值为2，则实数a的值是 　 　 ． 7．若函数f（x）＝kx﹣ex在（1，+∞）上不存在最值，则实数k的取值范围为　 　 ． 8．若函数在（2a，3﹣a）内有最小值，则实数a的取值范围是 　 　 ． 9．若函数在[0，3]上的最大值为4，则m＝ 　 　 ． 【题型7】 利用最值证明不等式 利用最值证明不等式形如的恒成立问题，一般方法有： （1）构造函数法：即直接构造，证明; （2）凹凸翻转法：即证明即可； （3）等价转化法：即将待证不等式左右两边进行等价变形，使得左右函数的最值可比较。 （4）适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系。 方法1：构造函数法 1. 利用导数证明基本不等式： (1) ; (2) . 2. 证明不等式 . 3.证明： . 4.当 时，证明： . 5.当 时，证明： 不等式 . 6.证明： 当 时， . 7.证明： 当 时， . 8.证明： . 方法2：凹凸翻转法 1.证明不等式 . 2.证明不等式 . 3.证明不等式 . 4.当 时，证明： . 5.证明不等式 . 方法3：等价转化法 1.当 时，证明 恒成立。 2.已知函数 . 当 时，证明： . 3.当 时，证明： . 4.当 时，求证： . 提升强化练 一．选择题（共8小题） 1．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图像如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．﹣3是函数f（x）的极大值点 B．﹣1是函数f（x）的最小值点 C．函数f（x）在区间（﹣3，0）上单调递增 D．曲线y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零 2．已知函数f（x）＝x3﹣6x，则f（x）在（0，+∞）上的极值为（　　） A． B．1 C． D．﹣3 3．函数f（x）＝x3﹣ax2+2x﹣1有极值，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知函数f（x）＝xex的最小值为（　　） A． B．1 C． D．e2 5．函数f（x）＝（x﹣2）ex﹣x2+2x的极小值点为（　　） A．1﹣e B．1 C．ln2 D．2 6．已知函数g（x）＝3alnx﹣2x+1，若存在x∈（1，4），使得g（x）≥1成立，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C．（﹣∞，2e] D．[2e，+∞） 7．已知aeax≥lnx对∀x≥3恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知a＞0，不等式xex﹣ax≥alnx恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．[1，e] B． C．（0，e] D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（　　） A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有三个零点 C．f（x）关于（0，1）对称 D．直线y＝2x﹣1是曲线y＝f（x）的切线 （多选）10．关于函数f（x）2lnx，下列判断正确的是（　　） A．x是f（x）的极大值点 B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点 C．对k＞1不等式f（x）＜kx在[1，+∞）上恒成立 D．对任意两个正实数x1，x2，且x1＞x2，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＜1 （多选）11．已知函数f（x）＝alnx﹣bx（b＞0）有大于0的极值，e为自然对数的底，则下列说法正确的是（　　） A．a＜0 B．a﹣be＞0 C．f（1）＜f（e） D．f（x）有两个零点且其乘积大于e 三．填空题（共3小题） 12．函数y＝excosx在（0，π）上的极大值点为　 　 ． 13．已知函数f（x）＝ex+1﹣alnx，若f（x）≥a（lna﹣1）对x＞0恒成立，则实数a的取值范围是 　 　 ． 14．已知函数f（x）＝（x2﹣3x+1）ex﹣a恰有三个零点，则实数a的取值范围为　 　 ． 四．解答题（共5小题） 15．已知，． （1）求函数y＝g（x）在（1，g（1））处的切线方程； （2）讨论函数y＝f（x）的极值点个数； （3）若对于任意x∈（0，+∞）总有f（x）≤g（x），求实数a的取值范围． 16．已知函数． （1）若a＝0，求f（x）的极小值； （2）当时，求f（x）的单调递增区间； （3）当a＞0时，设f（x）的极大值为g（a），求证． 17．已知函数（a∈R）． （1）当a＝﹣3时，求函数f（x）的极值； （2）设g（x）＝f（x）+f′（x）+ax2，若函数g（x）在区间（﹣1，1）有极值，求a的取值范围； （3）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围． 18．已知函数在x＝1处的切线垂直于y轴． （1）求实数a的值； （2）求函数f（x）的极小值． 19．已知函数f（x）＝（x2+2x+a）ex． （1）讨论f（x）的单调性． （2）若f（x）无零点，但有两个不同的极值点， （i）求a的取值范围； （ii）设x1，x2为f（x）的两个极值点，求f（x1）+f（x2）的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $