5.3.2函数的极值与最大（小）值（知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第04讲 5.3.2函数的极值与最大（小）值 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01、函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 【即学即练1】（25-26高二下·甘肃武威·期末）已知函数 ，则的极大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用导数知识判断单调性，据此可得答案. 【详解】，， 从而在上单调递增，在上单调递减，则的极大值为. 知识点02、函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【即学即练2】（2026·甘肃平凉·模拟预测）函数在上的最大值是____. 【答案】 【详解】，则， 当时，，在上单调递增． 所以. 知识点03、函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【即学即练3】（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（   ） A．当时，取得最小值 B．在上单调递增 C．当时，取得极大值 D．在上不具备单调性 【答案】C 【分析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点和最值，进而确定正确选项. 【详解】由图可知，在区间上,单调递减； 在区间上,单调递增. 所以当时，取不到最小值，当时，取得极大值. 所以ABD选项错误，C选项正确. 故选：C. 第三部分 题型精讲 题型01 函数图象与极值（点）的关系 【典例1】（25-26高二下·湖北黄冈·期中）已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极值点个数为（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由的图象可知，当时，， 当时，， 且， 所以函数有3个极值点. 【变式1】（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）已知定义在上的函数的导函数为，且的图象如图所示，则在上的极值点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由图可得在上有2个变号零点，所以在上的极值点个数为2. 【变式2】（25-26高二下·全国·课堂例题）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极小值点有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】根据导函数的图象推得导函数在各区间上的符号，确定函数的单调区间，再由单调性分析得到函数的极值点. 【详解】 如上图，为导函数与轴的交点的横坐标. 由图知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，. 即函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数在处都取得极小值；在处都取得极大值. 故函数在开区间内的极小值点有3个． 故选：C. 【变式3】（25-26高二上·天津·期末）已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，函数在上极大值点的个数为（   ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据图象分析导函数在区间上的正负，得到的单调性，即可求得极大值个数. 【详解】由图可知，当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，是的唯一极大值点. 故选：B. 题型02求已知函数的极值（点） 【典例1】（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知函数，则的极小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数，定义域为，， 令得，即，解得， 当时，，当时，， 故是极小值点．极小值为. 【典例2】（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知，则的极大值为______. 【答案】 【分析】利用导数求函数的单调区间，得到极大值点求出极大值. 【详解】函数的定义域为，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此是的极大值点，极大值为. 【变式1】（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）函数的极小值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】可知， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值，所以极小值为. 【变式2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数的极小值为________. 【答案】 【详解】， 当时，，当时，， 故在处取极小值，且极小值为. 【变式3】（25-26高二下·四川内江·期中）已知函数. (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数的极值. 【答案】(1) (2)极小值，无极大值. 【分析】（1）直接求导即可； （2）令导函数为0，再列表即可得到极值 【详解】（1） （2）定义域：，令，则， 的变化表格如下： 0 所以当时，函数有极小值，无极大值. 题型03 根据函数的极值（点）求参数 【典例1】（25-26高二下·北京·期中）已知函数在处取得极大值，则的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．-1或2 【答案】B 【详解】. 因为函数在处取得极大值，故， 解得或， 当时，， 且仅在处为零，导函数不变号，函数在上单调递减，不是极值点，舍去； 当时，， 当时，当时， 故函数在处取得极大值，符合题意. 【典例2】（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知函数，当时，有极小值0. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）利用函数在极值点处的两个核心条件 —— 函数值为0、导数值为0，列方程组求解参数，再验证该点确实为极小值点； （2）由（1）利用导数判断函数在上的单调性，求出极值和端点值，比较得解. 【详解】（1），， 当时，有极小值0，， ，，，， 的解为或，在上是单调递增函数； 的解为，在上是单调递减函数， 在处取得极小值，满足题意，故. （2）由（1），，， 又，在上的解为，在上是单调递增函数； 在上的解为，在上是单调递减函数； 在上的最小值为， 又，， 在上的最大值为， 综上可知，在上的最小值为，最大值为. 【变式1】（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知函数有两个极值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数有两个极值点，得方程有两个不等的实数根， 因此，解得，所以的取值范围是. 【变式2】（26-27高三上·广西河池·阶段检测）若是函数的极值点，则_________ 【答案】 【详解】函数的定义域为，. ∵ 是的极值点, ∴ , 即 ,解得 . 验证: 当时, , . 当时, , 单调递增; 当时, , 单调递减; 当时, , 单调递增, 故是的极小值点, 符合题意. 【变式3】（25-26高二下·上海宝山·期末）设（常数，），若函数为奇函数，且在处取得极值，则__________． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性以及导数判断极值即可求得结果. 【详解】因为函数在上为奇函数， 所以， 又，在处取得极值， 所以，可得， 经检验，时，为极小值点，满足要求， 所以. 题型04求函数的最值（不含参） 【典例1】（25-26高二下·甘肃白银·期末）已知函数的导函数，且，则在上的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据导函数，且，求出原函数，结合的单调性确定的最小值. 【详解】因为，故，即， 所以令，由，得， 所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ， 所以的最小值为0. 【典例2】（26-27高三上·四川内江·阶段检测）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1)单调递减区间为和，单调递增区间为和 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）对求导，求出的解，然后求解的单调区间. （2）由（1）确定在区间的单调性，然后求出极值和端点值，比较大小确定最值. 【详解】（1） ， 令，得或或，列表如下 单调递减区间为和，单调递增区间为和. （2）由（1）可得在单调递增，在单调递减， 且，，. 在区间的最大值为，最小值为. 【变式1】（25-26高二下·吉林·期末）已知函数的导函数，且，则在上的最小值为_______． 【答案】0 【分析】利用导数研究函数单调性及闭区间上函数最值的求解，首先由条件求出，再得出在上的单调性，即可求解最小值. 【详解】已知函数的导函数， 所以（为常数），由代入求出， 故，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 又，，， 因此在上的最小值为0. 【变式2】（25-26高一下·上海·期末）已知，则函数的最大值为__________. 【答案】 【详解】可知函数定义域为，且， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，. 【变式3】已知函数． (1)若函数与的图象关于点对称，求的解析式； (2)当时，求的最大值； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，； （2）由题意得，，，令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为. 题型05 求函数的最值（含参） 【典例1】（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减． (2)当时，最大值为；当时，最大值为2 【分析】（1）求导后，分、及进行讨论即可得； （2）结合函数单调性，分及进行讨论即可得. 【详解】（1）因为，所以， 令，解得或， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，，所以当或时，， 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，所以当或时，， 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为和中的较大者， 因为，， 解，得，解，得， 所以当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为； 综上，当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为2． 【典例2】（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)函数的导函数为，求函数在区间上的最小值. 【答案】(1) (2)当时，的最小值为；当时，的最小值为 【分析】（1）利用导数求切线斜率，并代入切点求参数； （2）对函数求导并令导数为零，以求得的根对进行分类讨论. 【详解】（1）由题知， 则，得， ，将点代入切线方程得， 故. （2）由（1）知，令， 令，得或， ①当时，若，，单调递减， 故函数在区间上的最小值为； ②当时，若，，单调递减， 若，单调递增， 故函数在区间上的最小值为； 综上，当时，的最小值为； 当时，的最小值为. 【变式1】（25-26高二下·广东深圳·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在区间上的最大值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）将代入，求函数的导数即可求解. （2）求的导数，令，再由即可求解. 【详解】（1）当时，， 令，解得：；令，解得：； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）由得：， 令，解得对恒成立， 在递减，. 【变式2】（25-26高二下·安徽·期中）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)当时，求函数在上的最小值. 【答案】(1)当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时在，上单调递增，在上单调递减. (2)时，； 时，. 【分析】（1）求导，分，，，根据导数讨论求解即可； （2）结合（1），根据函数单调性，分，讨论求解即可. 【详解】（1）易得定义域为. 当时，. ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，. ⅰ.若时，，，， 则在上递增，在上递减. ⅱ.若时，令或. 当， 此时或，， 则在，上单调递增，在上单调递减， 当，此时在上单调递增， 当，此时或， ， 则在，上单调递增，在上单调递减. 综上可得：当时，在上递增，在上递减， 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）分析可得， 若，则在上单调递减， ； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则此时； 综上可得：时，； 时，. 【变式3】（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）已知函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)函数的单调增区间是；单调递减区间是 (2)当时，在区间上的最小值是；当时，在区间上的最小值是. 【分析】（1）先确定函数的定义域，再对函数求导，根据导函数与0的大小关系划分区间，从而判断函数的单调性； （2）要求闭区间上的最小值，先对函数求导，找到导函数的点，再根据该点在区间的位置关系，分情况讨论函数在上的单调性，进而确定最小值. 【详解】（1）函数的定义域为； 当时，，则； 令，即，解得； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 的递增区间为，递减区间为. （2）由，得； 令，即，解得； ，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减. ①当，即时，函数在区间上单调递减，此时的最小值为； ②当，即时，函数在区间上单调递增，在上单调递减； ，， 当时，，此时最小值为； 当时，，此时最小值为. ③当，即时，函数在区间上单调递增，此时的最小值为； 综上所述，当时，在区间上的最小值是；当时，在区间上的最小值是. 题型06 根据函数的最值求参数 【典例1】（26-27高三上·山西·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，函数取得最小值；求和的值． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增． (2). 【分析】（1）对函数求导，通过解不等式进行求解函数的单调性； （2）由函数的单调性及最值的性质进行求解． 【详解】（1）由题意知 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）因为当时，函数取得最小值-3，所以 解得 由（1）知当时，在上单调递减，在上单调递增，当时取最小值，满足题意． 【典例2】（26-27高三上·天津·阶段检测）已知函数． (1)若，求； (2)若，求函数的极值； (3)若函数的最小值为0，求的值． 【答案】(1) (2)有极小值，无极大值； (3) 【分析】（1）求出函数导数可得，即可求解； （2）利用导数讨论函数单调性，根据单调性可得极值； （3）分，两种情况分类求出最小值即可列式求参. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 故. （2）当时，，则， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，有极小值，无极大值. （3）令， 当时，，函数在上单调递增，故无最小值 所以，由得， 所以时单调递减，时单调递增， 所以， 所以. 【变式1】（26-27高三上·江西·阶段检测）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)若在区间上的最大值为，求的值． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】（1）先确定函数的定义域，求导得到，讨论导数的符号：当，在定义域内恒正，直接判断单调性；当，解得到极值点，再分区间判断导数符号，确定单调区间； （2）结合（1）的单调性，对参数继续分类讨论，分析在区间上的最大值，令最大值等于，解方程求出. 【详解】（1）函数的定义域为，对其求导得： . 若，则对任意，，即恒成立，因此在上单调递增； 若，令，得，令，解得，单调递增； 令，解得，单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）可知： 当时，在上单调递增，最大值为，令，得，与矛盾，舍去； 当即时，在上单调递减，最大值为，令，得，符合条件； 当即时，在上单调递增，最大值为，令，得，与矛盾，舍去； 当即时，在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 令，得，与矛盾，舍去. 综上，. 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）已知：函数是定义在上的偶函数，当时，（a为实数）． (1)当时，求的解析式； (2)若，试判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)是否存在a，使得当时，有最大值1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，． 又，，即，在上为增函数． (3)存在 【分析】（1）根据偶函数的性质即可求解， （2）求导，根据导数的正负即可求解， （3）对进行讨论，即可结合函数的单调性求解最值得解. 【详解】（1）设，则． ，为偶函数， ， （2）略 （3）当时，在上是增函数， （不合题意，舍去）， 当时，，令，． 如下表： x + 0 - ↗ 最大值 ↘ 在处取最大值 ，则． 当时，，在上单调递减，在无最大值． ∴存在，使在上有最大值1． 【变式3】（25-26高二下·山东青岛·期末）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若的最大值为1，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意先求，再根据导数的几何意义即可求解； （2）先求导，令得，即存在，使得，解出，再验证即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 所以， 所以， 所以，所以； （2）由已知得：，令，解得， 由的最大值为1，所以存在，使得， 所以， 即，解得或， 当时，，所以， 所以，令，且， 所以，令，解得， 由，由， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，当，当时，， 所以当时，，即，当时，，即， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，满足题意， 所以， 当时，，所以， 当时,无意义， 当时，，所以无最大值，不满足题意， 综上所述，. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知是的导函数，的图象如图所示，则的极小值点是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的图象可知，当或时，，当时，， 所以是的极大值点，是的极小值点. 2．（24-25高二下·福建福州·期末）函数在区间上（　　） A．有极值 B．有最小值 C．有最大值 D．无最值 【答案】D 【详解】因为，所以在上单调递增，所以无最值． 3．（25-26高二下·云南昆明·期末）函数在区间上的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用求导判断函数的单调性，继而即可判断在给定区间上的极大值点. 【详解】由已知可得，令，即. 因为，所以解得或. 所以，当时，则，得，所以函数在区间单调递增； 当时，则，得，函数在区间单调递减； 当时，则，得，函数在区间单调递增. 所以函数在区间上的极大值点为. 4．（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D．e 【答案】A 【详解】函数的定义域为，， 令，解得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 5．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）函数的极小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】，当或时，，当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为． 6．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（    ）    A．在单调递增 B．在处取得极大值 C．在单调递增 D．在处取得最大值 【答案】C 【详解】由导函数的图象，可得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，但不一定为函数的最大值 7．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）函数在上的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据求导法则求导后判断函数在给定区间单调性即可求得最大值, 【详解】，令，得或，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以时，函数取得极大值，即函数在上的最大值为3. 8．（25-26高二下·广东佛山·期中）若函数恰好有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，因为有两个极值点， 所以有两个不同的实数根， 于是有，得或. 二、多选题 9．（25-26高二下·贵州黔西南·阶段检测）已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递增 B．当时，取得极大值 C．当时，取得极小值 D．是在上的最大值 【答案】BC 【分析】根据导函数图象的正负判断函数的增减与极值、最值，依此判断各个选项即可． 【详解】对于A，由题图可知时，，则单调递减，故A错误； 对于B、C，由题图易知在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，故B、C正确； 对于D，在上的最大值应是与中的较大者，故D错误． 10．（25-26高二上·陕西西安·期末）如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（   ） A．在内是增函数 B．在内是减函数 C．在时取得极大值 D．当时取得极小值 【答案】BD 【分析】由导函数图象和极值的定义逐项判断. 【详解】选项A，由图象可知，在，，单调递减， 在，，单调递增，所以选项A错误. 选项B，由图象可知，在内，单调递减，所以选项B正确. 选项C，由图象可知，两侧均为正，始终递增，所以选项C错误. 选项D，当时，，左侧，右侧，导数由负变正，是极小值点， 所以取得极小值，所以选项D正确. 故选：BD 三、填空题 11．（2026·贵州遵义·模拟预测）函数的所有极值点之和为__________. 【答案】0 【详解】，令，解得，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增. 所以在取得极大值，在取得极小值，所以函数所有极值点之和为. 12．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）已知函数存在极值点，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【详解】因为函数存在极值点， 所以有两个不相等的实数根，故. 四、解答题 13．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）通过导数判断函数的单调性； （2）通过比较各单调区间端点的函数值大小求最值. 【详解】（1）函数定义域为，， 当时，即，解得； 当时，即，解得； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由单调性可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又因为，，， 所以最大值为，最小值为. 14．（26-27高三上·四川雅安·阶段检测）已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的极值． 【答案】(1) (2)极大值为，无极小值 【分析】（1）由导数的几何意义可知，在一点处的导数值等于在这点处切线的斜率，通过求导计算出切线斜率，代入切点坐标即可得到切线方程； （2）在定义域范围内通过求导求出导函数的零点，讨论零点左右的正负判断极大值与极小值，代入横坐标计算极值即可． 【详解】（1）若，则， 所以，， 所以， 故曲线在点处的切线方程为，即； （2）若，则，所以，令，解得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值 15．（25-26高二下·河北唐山·期中）已知函数 (1)求在处的切线方程． (2)求的单调区间． (3)求在区间上的最值． 【答案】(1)切线方程为； (2)单调递减区间为，单调递增区间为； (3)最小值为，最大值为. 【分析】（1）先确定函数定义域并求导，利用导数几何意义求切线方程； （2）通过分析导函数符号确定单调区间； （3）比较区间内极值点和端点的函数值得到最值. 【详解】（1）函数的定义域为，， 所以，即切点为，， 由点斜式得切线方程为，即. （2）将导函数整理为， 令，解得，令，解得， 所以单调递减区间为，单调递增区间为. （3）由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点， 计算端点与极值点的函数值： 比较大小：，因此：最小值为；最大值为. B能力提升 16．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知定义在上的函数． (1)当时， （ⅰ）证明：函数在上单调递增； （ⅱ）求不等式的解集； (2)若函数在上无极值点，求的取值范围． 【答案】(1)（ⅰ）时，函数，求导得， 令，，则，则： ， 时，，故，仅当时等号成立， 故在上单调递增． （ⅱ） (2) 【分析】（1）（i）求导换元后因式分解，判定导数恒非负，从而证明函数单调递增； （ii）先证函数为奇函数，结合单调性脱去函数符号，联立定义域解不等式； （2）换元分析导函数的单调性，由无极值点得导数恒非负，进而由最小值求出参数范围． 【详解】（1）（ⅰ）略 （ⅱ）， 故是奇函数，不等式化为， 由单调递增，由定义域得，取交集得． （2）对函数求导得，令，则， 求导得， 在时，故在上单调递减，值域为， 已知函数无极值点，则在定义域内不变号， 时，，则不可能恒负，故只能恒成立， 故最小值，解得，故的取值范围为． 17．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知函数. (1)当时，求在区间上的最大值与最小值； (2)若的极小值小于1，求的取值范围. 【答案】(1)最大值为，最小值为1. (2). 【分析】（1）方法一（导数法）,求导判断区间内单调性，找到极值点，再比较极值点、区间端点函数值，得到最值；方法二（换元法），换元把分式函数转化为对勾型函数，利用导数研究新函数单调性，再求值域； （2）先求导找临界点，结合分析单调性，确定极小值点为,代入极小值点算出极小值，列不等式，结合已知条件解不等式，舍去不符合范围的解得到的取值范围. 【详解】（1）方法一：因为，所以. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 又，，， 所以在区间上的最大值为，最小值为1. 方法二：，， 令，则，， 则. 所以. 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，， 故在区间上的最大值为，最小值为1. （2）由，得的定义域为. 易知.令，得，得或 当时，，间断点，得，且 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以的极小值点为. 由，又，得或（舍去）. 故的取值范围为. 18．（26-27高三上·山东日照·开学考试）已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若函数在上存在极大值，求实数的取值范围． 【答案】(1) 在区间上单调递减，在区间上单调递增； (2) 【分析】利用导数求出函数的单调性与极值，再利用已知条件求出参数范围. 【详解】（1）已知函数， 因为，所以，即， 所以，求导得， 当，，单调递减； 当，，单调递增； 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增； （2）已知函数，所以， 因为函数在上存在极大值， 所以方程在上有两个不相等的实数根， 设， 则需要满足，解得且且， 综上，实数的取值范围为. 19．（26-27高三上·河北廊坊·阶段检测）已知． (1)若在上单调递增，求参数的取值范围； (2)讨论函数的单调性； (3)若在上既存在极小值点，又存在零点，求参数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）求函数的导函数，将在上单调递增，转化为在恒成立，分离参数，根据二次函数在给定区间上的最值求法，求得参数的取值范围； （2）分和两种情况，利用导数分析函数的单调性； （3）结合（2）的结论分析的极小值点，并根据极小值小于零，列出相应的不等式，求参数的取值范围． 【详解】（1）∵，定义域为， ∴. 又∵在上单调递增，∴在恒成立， 即得在恒成立. 所以. （2）由题得； ①若，则，此时在上单调递增； ②若，令舍去） 当时，，当时， 则在上单调递减，在上单调递增. （3）因为，所以， ①若，则，此时在上单调递增，不存在极小值点，与题设矛盾，故舍去； ②若，令舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增 因为在上存在极小值点，所以，解得 又因为在上存在零点，且，当时， 所以，即，解得， 综上，参数的取值范围为. 20．（25-26高二下·四川泸州·阶段检测）已知函数． (1)求的单调区间及极小值点； (2)若有极大值3，并且函数在上有最大值3，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，，单调递减区间为；的极小值点为1. (2). 【分析】（1）求出定义域，求导，得到函数单调性，进而求出极小值点； （2）根据极大值求出，并求出的解，结合函数单调性得到答案 【详解】（1）函数的定义域为，且， 当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 在处取得极小值，故极小值点为1. （2）由（1）可知当时，有极大值，且极大值为3， 则，解得，故， 由（1）知，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 令，即，， 解得或2， 函数在上有最大值3，故的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 5.3.2函数的极值与最大（小）值 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01、函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 【即学即练1】（25-26高二下·甘肃武威·期末）已知函数 ，则的极大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 知识点02、函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【即学即练2】（2026·甘肃平凉·模拟预测）函数在上的最大值是____. 知识点03、函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【即学即练3】（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（   ） A．当时，取得最小值 B．在上单调递增 C．当时，取得极大值 D．在上不具备单调性 第三部分 题型精讲 题型01 函数图象与极值（点）的关系 【典例1】（25-26高二下·湖北黄冈·期中）已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极值点个数为（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）已知定义在上的函数的导函数为，且的图象如图所示，则在上的极值点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26高二下·全国·课堂例题）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极小值点有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式3】（25-26高二上·天津·期末）已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，函数在上极大值点的个数为（   ）    A．0 B．1 C．2 D．3 题型02求已知函数的极值（点） 【典例1】（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知函数，则的极小值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知，则的极大值为______. 【变式1】（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）函数的极小值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数的极小值为________. 【变式3】（25-26高二下·四川内江·期中）已知函数. (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数的极值. 题型03 根据函数的极值（点）求参数 【典例1】（25-26高二下·北京·期中）已知函数在处取得极大值，则的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．-1或2 【典例2】（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知函数，当时，有极小值0. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最值. 【变式1】（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知函数有两个极值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高三上·广西河池·阶段检测）若是函数的极值点，则_________ 【变式3】（25-26高二下·上海宝山·期末）设（常数，），若函数为奇函数，且在处取得极值，则__________． 题型04求函数的最值（不含参） 【典例1】（25-26高二下·甘肃白银·期末）已知函数的导函数，且，则在上的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【典例2】（26-27高三上·四川内江·阶段检测）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值． 【变式1】（25-26高二下·吉林·期末）已知函数的导函数，且，则在上的最小值为_______． 【变式2】（25-26高一下·上海·期末）已知，则函数的最大值为__________. 【变式3】已知函数． (1)若函数与的图象关于点对称，求的解析式； (2)当时，求的最大值； 题型05 求函数的最值（含参） 【典例1】（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 【典例2】（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)函数的导函数为，求函数在区间上的最小值. 【变式1】（25-26高二下·广东深圳·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在区间上的最大值. 【变式2】（25-26高二下·安徽·期中）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)当时，求函数在上的最小值. 【变式3】（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）已知函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在区间上的最小值． 题型06 根据函数的最值求参数 【典例1】（26-27高三上·山西·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，函数取得最小值；求和的值． 【典例2】（26-27高三上·天津·阶段检测）已知函数． (1)若，求； (2)若，求函数的极值； (3)若函数的最小值为0，求的值． 【变式1】（26-27高三上·江西·阶段检测）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)若在区间上的最大值为，求的值． 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）已知：函数是定义在上的偶函数，当时，（a为实数）． (1)当时，求的解析式； (2)若，试判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)是否存在a，使得当时，有最大值1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】（25-26高二下·山东青岛·期末）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若的最大值为1，求. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知是的导函数，的图象如图所示，则的极小值点是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建福州·期末）函数在区间上（　　） A．有极值 B．有最小值 C．有最大值 D．无最值 3．（25-26高二下·云南昆明·期末）函数在区间上的极大值点为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D．e 5．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）函数的极小值为（   ） A． B． C．1 D．2 6．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（    ）    A．在单调递增 B．在处取得极大值 C．在单调递增 D．在处取得最大值 7．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）函数在上的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 8．（25-26高二下·广东佛山·期中）若函数恰好有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·贵州黔西南·阶段检测）已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递增 B．当时，取得极大值 C．当时，取得极小值 D．是在上的最大值 10．（25-26高二上·陕西西安·期末）如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（   ） A．在内是增函数 B．在内是减函数 C．在时取得极大值 D．当时取得极小值 三、填空题 11．（2026·贵州遵义·模拟预测）函数的所有极值点之和为__________. 12．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）已知函数存在极值点，则实数的取值范围为_________． 四、解答题 13．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值. 14．（26-27高三上·四川雅安·阶段检测）已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的极值． 15．（25-26高二下·河北唐山·期中）已知函数 (1)求在处的切线方程． (2)求的单调区间． (3)求在区间上的最值． B能力提升 16．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知定义在上的函数． (1)当时， （ⅰ）证明：函数在上单调递增； （ⅱ）求不等式的解集； (2)若函数在上无极值点，求的取值范围． 17．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知函数. (1)当时，求在区间上的最大值与最小值； (2)若的极小值小于1，求的取值范围. 18．（26-27高三上·山东日照·开学考试）已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若函数在上存在极大值，求实数的取值范围． 19．（26-27高三上·河北廊坊·阶段检测）已知． (1)若在上单调递增，求参数的取值范围； (2)讨论函数的单调性； (3)若在上既存在极小值点，又存在零点，求参数的取值范围． 20．（25-26高二下·四川泸州·阶段检测）已知函数． (1)求的单调区间及极小值点； (2)若有极大值3，并且函数在上有最大值3，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $