专题02 导数与函数的单调性 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题02 导数与函数的单调性 导数 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、求单调区间与导函数的符号 题型二、含参单调性的分类讨论 题型三、在给定区间上单调反求参数 题型四、构造函数比较大小与解不等式 题型五、抽象函数、奇偶性与导数不等式 压轴挑战 ▍ 解题通法 导数把函数的升降变成一个可以解不等式的问题：在区间上 给出递增、 给出递减，于是「定定义域—求导—分解定号—写区间」四步就是本讲一切题目的公共骨架．求单调区间时，定义域永远先于导数， 要求 、 要求 ，导函数零点落在定义域外的必须舍去；两个单调区间之间用逗号隔开，不能写成并集．含参数时，讨论的标准只有一个：导函数零点是否存在、是否落在定义域或给定区间内，分类要按同一标准逐类写清 变号的区间与结论，最后回扣定义域．已知函数在给定区间上单调，则把它翻译成 （或 ）在该区间恒成立，优先参变分离再求最值，等号能否取到要单独验证；分段函数还要补上一条「拼接处左段的值不超过右段的值」，否则只在每段内部递增并不保证在整条数轴上递增．不给解析式时，导数信息只能通过构造辅助函数使用： 对应 ， 对应 ， 对应 ， 对应 ；比较几个数的大小，则把每个数写成同一个函数在同一类自变量下的取值，再用单调性传递．奇函数与偶函数求导后奇偶性互换， 两边求导得 ，这条关系把导数信息补到整个定义域，抽象函数的解集与求值才有落脚点． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、求单调区间与导函数的符号 ▸ 典例 1 已知函数 （ 是不为零的常数）。当 时，求 的单调区间。 ▍ 题型模版 1.特征：给出具体解析式，要求写出单调区间，或判断导函数在某个区间上的符号。 2.方法：第一步求定义域，第二步求导并把 化成「分子几个因式相乘、分母恒正」的形式，第三步令分子为零解出全部候选分界点，第四步按分界点把定义域分段并逐段定号。 3.提醒：导函数的零点必须在定义域内才起作用，落在定义域外的要舍去；递增（减）区间有两段以上时用逗号隔开，不能写成 ；含 与分式的解析式，定义域往往比导函数的表达式限制更紧。 ▸ 变式 1-1 已知函数 ，讨论 在区间 上的单调性。 ▸ 变式 1-2 函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． ▍ 题型二、含参单调性的分类讨论 ▸ 典例 2 已知函数 （），讨论 的单调性。 ▍ 题型模版 1.特征：解析式中含参数，导函数的零点是否存在、零点是否落在定义域或给定区间内，都随参数的取值而改变。 2.方法：先把 通分并分解成因式乘积，把分子写成关于 的式子；分类的标准依次是「导函数有无零点」「零点是否在定义域内」「零点与给定区间端点的大小」；每一类都写清定义域、 变号的区间与结论，类与类之间不重不漏，最后合并作答。 3.提醒：参数出现在系数位置时要先讨论它等于 的情形，此时 可能退化成一次式或常数；、 一类恒正的因子可以约去，但约去前必须说明其恒正；导函数恒正（恒负）时不要遗漏「整个定义域上单调」这一类结论。 ▸ 变式 2-1 设函数 （），讨论 的单调性。 ▸ 变式 2-2 已知函数 。当 时，讨论 的单调性。 ▍ 题型三、在给定区间上单调反求参数 ▸ 典例 3 已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为（　　） ▍ 题型模版 1.特征：已知 在某个给定区间（开区间、闭区间或分段的一段）上单调递增或递减，要求参数的取值范围或最值。 2.方法：第一步把单调性写成 （递增）或 （递减）在该区间上恒成立；第二步参变分离，把参数与只含 的式子分开放；第三步求该式子在区间上的最值或上（下）确界，恒成立要求参数不小于最大值（或不小于下确界一类方向要逐题判断）；第四步验证分离时乘除的因子恒正，并单独检查等号。 3.提醒：「在区间上单调」要求导数在该区间上不变号， 与 要按题意区别对待；开区间端点处取不到最值时答案常是「 上确界」；分段函数在整条数轴上递增，除每段内部递增外还要拼接处左段的上界不超过右段的下界。 ▸ 变式 3-1 已知函数 在 上单调递增，且当 时 ，当 时 （），则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ▸ 变式 3-2 设函数 （ 为常数）。若 为奇函数，则            ；若 是 上的增函数，则 的取值范围是            。 ▍ 题型四、构造函数比较大小与解不等式 ▸ 典例 4 设 ，，，则（　　） ▍ 题型模版 1.特征：几个数值（指对混合）要比较大小；或给出含 与 的不等式，要求解集或比较函数值。 2.方法：比较大小先把每个数改写成同一变量 的同一类表达式，选 、、 这样的公共模型，再作差（或作商）构造函数，用其单调性定号；解不等式先把含 的项移到同侧，按 配 、 配 、 配 、 配 找出辅助函数，把题面不等式改写成 的形式脱去 。 3.提醒：辅助函数的定义域要写清， 不含 ；两边取倒数或乘方必须保证两端同号；单调性只能传递「同函数、同区间」的两点，自变量落到同一区间内才能比较。 ▸ 变式 4-1 设 ，，，则（　　） A． B． C． D． ▸ 变式 4-2 已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ，，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． ▍ 题型五、抽象函数、奇偶性与导数不等式 ▸ 典例 5 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 。若 ， 均为偶函数，则（　　）（多选） ▍ 题型模版 1.特征：不给出 的解析式，只给出奇偶性、图象的对称性、某段区间上 的符号与个别点的函数值，要求判断结论、解不等式或求值。 2.方法：先把对称条件改写成 （关于直线 对称）或 （关于点 对称）；两边求导即得导函数关于同一点（同一条直线）的对称关系，注意对称轴求导后变对称中心、对称中心求导后变对称轴，并由此推出周期；再把要解的不等式配成辅助函数 （常见 、、），用 的单调性与奇偶性把 翻译成 的范围。 3.提醒：奇函数的导函数是偶函数、偶函数的导函数是奇函数； 的定义域不含 ， 处的函数值要单独用「奇函数在原点有定义则 」处理；由 与 的大小反推 与 的大小，必须两点落在同一个单调区间内。 ▸ 变式 5-1 下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的是（　　） A． B． C． D． ▸ 变式 5-2 已知 是定义在 上的奇函数，其导函数 满足：当 时 ，且 ，则不等式 的解集是            。 ▍ 压轴挑战 1．设函数 ，则 （　　）（多选） A． 是 的极小值点 B．当 时， C．当 时， D．当 时， 2．已知偶函数 在 上可导，且当 时 ，，则不等式 的解集是 （　　） A． B． C． D． 3．函数 的单调递减区间是 （　　） A． B． C． D． 4．已知函数 ，下列命题正确的是 （　　）（多选） A． 是 上的增函数，没有极值 B． 是 上的减函数，没有极值 C． 的单调递增区间为 ，，单调递减区间为 D． 是极大值， 是极小值 5．已知函数 在 上可导，且 ，则 （　　）（多选） A． 在 上单调递增 B．若 ，则当 时 C．若 ，则当 时 D． 在 上单调递增 6．已知函数 ，设 ，则 的单调递增区间是            ，单调递减区间是            。 7．已知函数 在 上可导，且 ，，则不等式 的解集是            。 8．已知函数 ，设 ，讨论函数 在 上的单调性。 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 导数与函数的单调性 导数 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、求单调区间与导函数的符号 题型二、含参单调性的分类讨论 题型三、在给定区间上单调反求参数 题型四、构造函数比较大小与解不等式 题型五、抽象函数、奇偶性与导数不等式 压轴挑战 ▍ 解题通法 导数把函数的升降变成一个可以解不等式的问题：在区间上 给出递增、 给出递减，于是「定定义域—求导—分解定号—写区间」四步就是本讲一切题目的公共骨架．求单调区间时，定义域永远先于导数， 要求 、 要求 ，导函数零点落在定义域外的必须舍去；两个单调区间之间用逗号隔开，不能写成并集．含参数时，讨论的标准只有一个：导函数零点是否存在、是否落在定义域或给定区间内，分类要按同一标准逐类写清 变号的区间与结论，最后回扣定义域．已知函数在给定区间上单调，则把它翻译成 （或 ）在该区间恒成立，优先参变分离再求最值，等号能否取到要单独验证；分段函数还要补上一条「拼接处左段的值不超过右段的值」，否则只在每段内部递增并不保证在整条数轴上递增．不给解析式时，导数信息只能通过构造辅助函数使用： 对应 ， 对应 ， 对应 ， 对应 ；比较几个数的大小，则把每个数写成同一个函数在同一类自变量下的取值，再用单调性传递．奇函数与偶函数求导后奇偶性互换， 两边求导得 ，这条关系把导数信息补到整个定义域，抽象函数的解集与求值才有落脚点． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、求单调区间与导函数的符号 ▸ 典例 1 已知函数 （ 是不为零的常数）。当 时，求 的单调区间。 【答案】单调递减区间为 ，单调递增区间为 。 【分析】先由 定定义域，再把 通分，符号只由分子决定。 【详解】解：由 得 的定义域为 。 当 时 ，所以 。 在定义域内 恒成立，故 的符号与 相同。 当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增。 又 ， 是导函数的唯一零点，它是增减区间的分界点。 所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 。 ▍ 题型模版 1.特征：给出具体解析式，要求写出单调区间，或判断导函数在某个区间上的符号。 2.方法：第一步求定义域，第二步求导并把 化成「分子几个因式相乘、分母恒正」的形式，第三步令分子为零解出全部候选分界点，第四步按分界点把定义域分段并逐段定号。 3.提醒：导函数的零点必须在定义域内才起作用，落在定义域外的要舍去；递增（减）区间有两段以上时用逗号隔开，不能写成 ；含 与分式的解析式，定义域往往比导函数的表达式限制更紧。 ▸ 变式 1-1 已知函数 ，讨论 在区间 上的单调性。 【答案】 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增。 【分析】先用二倍角公式把解析式化成 的三次式，求导后提取公因式，符号由 决定。 【详解】解：由 得 。 所以 。 当 时 ，即 ，故 的符号完全由 决定。 令 ，得 ，由 得 ，即 或 。 当 或 时 ，， 单调递增； 当 时 ，， 单调递减。 综上， 在 与 上单调递增，在 上单调递减。 ▸ 变式 1-2 函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】定义域为 ，解 得一元二次不等式的解集。 【详解】解： 的定义域为 ，。 令 ，得 ，所以单调递减区间为 。 又 的解为 或 ，其递增区间是 与 两段，应写成 ，。 选项 D 把两段递增区间用 连接，且它也不是递减区间；选项 B、C 各只给出一段，均不合要求，选 A。 ▍ 题型二、含参单调性的分类讨论 ▸ 典例 2 已知函数 （），讨论 的单调性。 【答案】 时 在 上单调递减； 时 在 上单调递减，在 上单调递增。 【分析】 的零点是否存在取决于 是否为正，按 与 两类讨论。 【详解】解： 的定义域为 ，展开得 ，所以 。 第一类：当 时，由 得 ，从而 对一切实数 成立， 故 时 在 上单调递减，且导函数没有零点。 第二类：当 时，令 ，得 ，即 ，该零点落在定义域 内。 由 随 增大而增大知：当 时 ，，， 单调递减； 当 时 ，，， 单调递增。 综上，当 时 在 上单调递减；当 时 在 上单调递减，在 上单调递增。 检验：取 ，临界点为 ，此时 ，、，与「先减后增」的结论一致。 ▍ 题型模版 1.特征：解析式中含参数，导函数的零点是否存在、零点是否落在定义域或给定区间内，都随参数的取值而改变。 2.方法：先把 通分并分解成因式乘积，把分子写成关于 的式子；分类的标准依次是「导函数有无零点」「零点是否在定义域内」「零点与给定区间端点的大小」；每一类都写清定义域、 变号的区间与结论，类与类之间不重不漏，最后合并作答。 3.提醒：参数出现在系数位置时要先讨论它等于 的情形，此时 可能退化成一次式或常数；、 一类恒正的因子可以约去，但约去前必须说明其恒正；导函数恒正（恒负）时不要遗漏「整个定义域上单调」这一类结论。 ▸ 变式 2-1 设函数 （），讨论 的单调性。 【答案】 在 上单调递减，在 上单调递增。 【分析】求导通分后分子可分解成 ，负根不在定义域内，须舍去。 【详解】解：由 有意义得定义域为 。 。 令 ，得 或 ，即 或 。 因为 ，所以 不在定义域 内，应舍去；只有 是分界点。 在定义域内 且 ，故 的符号由 决定。 当 时 ，， 单调递减；当 时 ，， 单调递增。 所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 。 ▸ 变式 2-2 已知函数 。当 时，讨论 的单调性。 【答案】 在 上单调递减，在 上单调递增。 【分析】代入 后合并同类项，导函数含公因式 ，符号只由 决定。 【详解】解： 的定义域为 。当 时 。 由积的求导法则，。 因为 恒成立，所以 的符号与 相同。 当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增；且 。 所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 。 检验：取 时 ，，在 上为正、在 上为负，增减方向与 时相反，可见参数取值的改变会翻转单调性。 ▍ 题型三、在给定区间上单调反求参数 ▸ 典例 3 已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为（　　） 【答案】C 【分析】把递增翻译成 在 上恒成立，参变分离后求 的上界。 【详解】解：定义域为 ，。 由 在 上单调递增，得 对一切 成立。 因为 ，上式等价于 对一切 成立。 设 ，则 （），故 在 上单调递增， 从而 ，即 ，且当 时 趋于 。 于是 。反过来，当 时 ，在 上 ，故 ， 确实递增。 所以 的最小值为 ，选 C。 ▍ 题型模版 1.特征：已知 在某个给定区间（开区间、闭区间或分段的一段）上单调递增或递减，要求参数的取值范围或最值。 2.方法：第一步把单调性写成 （递增）或 （递减）在该区间上恒成立；第二步参变分离，把参数与只含 的式子分开放；第三步求该式子在区间上的最值或上（下）确界，恒成立要求参数不小于最大值（或不小于下确界一类方向要逐题判断）；第四步验证分离时乘除的因子恒正，并单独检查等号。 3.提醒：「在区间上单调」要求导数在该区间上不变号， 与 要按题意区别对待；开区间端点处取不到最值时答案常是「 上确界」；分段函数在整条数轴上递增，除每段内部递增外还要拼接处左段的上界不超过右段的下界。 ▸ 变式 3-1 已知函数 在 上单调递增，且当 时 ，当 时 （），则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两段各自递增给出两个条件，再由 处的拼接条件补足第三个不等式。 【详解】解：先看 一段，记 ，其定义域含 ，，且 ，故 在 上单调递增。 再看 一段，记 ，则 。 要使 在 上单调递增，需 对一切 成立，即 对一切 成立，故 ，得 。 此时 在 上递增，其上界为 时的极限值 。 最后写拼接条件： 在 上递增，必须 ，即 。 三个条件合并得 。 检验： 时左段为 ，在 上 ，且 时趋于 ，整体仍递增； 时 趋于 ，在 处「回落」，不递增。故选 B。 ▸ 变式 3-2 设函数 （ 为常数）。若 为奇函数，则            ；若 是 上的增函数，则 的取值范围是            。 【答案】；。 【分析】奇函数用 定出 再回代验证；增函数把 分离成 恒成立。 【详解】解：第一空： 的定义域为 ，奇函数必有 ，即 ，得 。 回代检验： 时 ，，确为奇函数，故 。 第二空：。 在 上递增，需 对一切 成立。 由 ， 等价于 对一切 成立。 当 时 的值域为 ，其下确界为 ，故 。 反过来， 时 ，于是 ， 确实递增； 若 ，取 ，则 使 ，而当 时 即 ， 在该处附近递减，不合要求。 故填 ；。 ▍ 题型四、构造函数比较大小与解不等式 ▸ 典例 4 设 ，，，则（　　） 【答案】C 【分析】把三个数统一成 的函数值 、、，再各构造一个辅助函数比较。 【详解】解：记 ，则 ；由 得 ；由 得 。 第一步，比较 与 ：设 ，，则 ， 故 在 上单调递增，，即 。取 得 。 第二步，比较 与 ：由 （，可由 满足 、 得到）， 取 得 ，两边取倒数（都为正数）得 ， 于是 ，即 。 第三步，比较 与 ：设 ，，则 ， 。因为 ， 等价于 ，即 。 设 ，则 。 由 得 ，而 ，故 在 上单调递增， 于是当 时 ，从而 ， 在 上单调递增，。 取 得 ，即 。 合并三步得 ，选 C。 ▍ 题型模版 1.特征：几个数值（指对混合）要比较大小；或给出含 与 的不等式，要求解集或比较函数值。 2.方法：比较大小先把每个数改写成同一变量 的同一类表达式，选 、、 这样的公共模型，再作差（或作商）构造函数，用其单调性定号；解不等式先把含 的项移到同侧，按 配 、 配 、 配 、 配 找出辅助函数，把题面不等式改写成 的形式脱去 。 3.提醒：辅助函数的定义域要写清， 不含 ；两边取倒数或乘方必须保证两端同号；单调性只能传递「同函数、同区间」的两点，自变量落到同一区间内才能比较。 ▸ 变式 4-1 设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把 的对数系数放进真数得 ，再分别构造 与 。 【详解】解：第一步，，而 ，由 单调递增得 。 第二步，比较 与 。设 ，，则 ， 。由 得 ，故 ， 于是 ，即 ， 在 上单调递增， 取 得 ，即 。 第三步，比较 与 。设 ，，则 ， 。由 得 ， 故 ，即 ， 单调递增， 取 得 ，即 。 三步合并得 ，选 B。 ▸ 变式 4-2 已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ，，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 正是 的导数的一部分，构造 后把不等式两边同乘 。 【详解】解：设 ，则 。 因为 且 ，所以 在 上恒成立， 在 上单调递增。 又 。 不等式 两边同乘 ，得 ，即 。 由 单调递增得 ，所以解集为 ，选 A。 ▍ 题型五、抽象函数、奇偶性与导数不等式 ▸ 典例 5 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 。若 ， 均为偶函数，则（　　）（多选） 【答案】BC 【分析】两个「复合后为偶函数」的条件分别给出 关于 对称、 关于 对称，求导得 关于 中心对称，进而得 的周期为 。 【详解】解： 是偶函数，故 对一切实数 成立， 令 ，则上式即 ，说明 的图象关于直线 对称。 取 得 ，故 C 正确。 又 两边对 求导，得 ，即 ，说明 的图象关于点 中心对称。 令 得 ，所以 。 是偶函数，故 ，令 得 ，即 的图象关于直线 对称。 两式合并：把 代入 ，得 ；再把 代入 ，得 ， 于是 对一切实数 成立，即以 记 有 ，从而 ， 是以 为周期的周期函数。 从而 ，故 B 正确。 对于 D：由 得 ，而 ，故 等价于 ，这并不被题设强制。 取 ，则 成立， 满足 ， 此时 、，两者不等，故 D 不一定正确。 对于 A：题设只给出 的图象关于直线 对称，没有任何条件约束 的数值；上例中 ，故 A 不一定正确。 所以选 BC。 ▍ 题型模版 1.特征：不给出 的解析式，只给出奇偶性、图象的对称性、某段区间上 的符号与个别点的函数值，要求判断结论、解不等式或求值。 2.方法：先把对称条件改写成 （关于直线 对称）或 （关于点 对称）；两边求导即得导函数关于同一点（同一条直线）的对称关系，注意对称轴求导后变对称中心、对称中心求导后变对称轴，并由此推出周期；再把要解的不等式配成辅助函数 （常见 、、），用 的单调性与奇偶性把 翻译成 的范围。 3.提醒：奇函数的导函数是偶函数、偶函数的导函数是奇函数； 的定义域不含 ， 处的函数值要单独用「奇函数在原点有定义则 」处理；由 与 的大小反推 与 的大小，必须两点落在同一个单调区间内。 ▸ 变式 5-1 下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐个检验奇偶性，再求导看 是否在整个定义域上不变号。 【详解】解：A 中 满足 ，是偶函数，不符合。 B 中记 ， 是奇函数；但 ， 故 在 上单调递减，不符合。 C 中 是奇函数，但其导数 在 上为负、在 上为正，在 上不是增函数，不符合。 D 中由 得定义域为 ，关于原点对称。记 ， 则 ，是奇函数； 又 在 上恒成立，故 在定义域上单调递增，符合。 选 D。 ▸ 变式 5-2 已知 是定义在 上的奇函数，其导函数 满足：当 时 ，且 ，则不等式 的解集是            。 【答案】 【分析】由 构造商函数 定出正半轴，再用奇函数把结论翻到负半轴。 【详解】解：设 （），则 。 当 时，由题设 且 ，得 ，故 在 上单调递减。 由 为奇函数且 ，得 ，于是 。 当 时 ，而 ，故 ；当 时 ，故 。 再看负半轴： 是定义在 上的奇函数，故 。 当 时 ，由上一段结论 ，从而 ； 当 时 ，，从而 。 又 ，这三点都不满足 ，端点不取。 合并得 的解集为 ，故填 。 ▍ 压轴挑战 1．设函数 ，则 （　　）（多选） A． 是 的极小值点 B．当 时， C．当 时， D．当 时， 【答案】ACD 【分析】先求导分解得 ，据此写出增减区间，再用区间比较函数值；D 直接作差因式分解。 【详解】解：。 当 时 、，；当 时 ；当 时 。 故 在 ， 上单调递增，在 上单调递减； 在 两侧由负变正，所以 是极小值点，A 正确。 B：当 时 ，而 在 上单调递增，故 ，与「」相反，B 错误。 C：当 时 ，而 在 上单调递减，且 、， 故 ，C 正确。 D：当 时，，， 两式作差得 。 由 得 ，故 ，即 ，D 正确。 所以选 ACD。 2．已知偶函数 在 上可导，且当 时 ，，则不等式 的解集是 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造 （）得递增，正半轴上 即 ；偶函数不改变符号，把结论对称到负半轴。 【详解】解：设 （），则 ，故 在 上单调递增。 又 。 当 时 ，由 得 ；当 时 ，得 。 因为 是偶函数，所以 ：当 时 ，；当 时 ，。 综上，在 的范围内 的解集为 ； 两点不取。 四个选项中，B、C、D 都含有使 的区间，只有 A 与上述结果一致，选 A。 与题型五的典例对照：同样构造 ，奇函数版本要把 的负号带过去，偶函数版本符号不变，这是两类解集差别的原因。 3．函数 的单调递减区间是 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】定义域为 ，导数通分后分子为 ，分母恒正。 【详解】解：由 有意义得定义域为 。 。 当 时 、，故 的符号由 决定。 由 得 ，所以单调递减区间为 。 选项 A 中的 不在定义域内，选项 C 是递增区间，选项 D 同样混入了负数，故选 B。 4．已知函数 ，下列命题正确的是 （　　）（多选） A． 是 上的增函数，没有极值 B． 是 上的减函数，没有极值 C． 的单调递增区间为 ，，单调递减区间为 D． 是极大值， 是极小值 【答案】CD 【分析】 的两个零点把定义域分成三段，逐段定号即同时得到单调区间与极值。 【详解】解： 的定义域为 ，。 令 得 或 。 当 时 且 ，；当 时 且 ，；当 时 。 所以 的单调递增区间为 ，，单调递减区间为 ，C 正确； 在 上既有增区间又有减区间，A、B 都不正确。 在 处 由正变负，且 ，故 是极大值； 在 处 由负变正，且 ，故 是极小值，D 正确。 所以选 CD。 5．已知函数 在 上可导，且 ，则 （　　）（多选） A． 在 上单调递增 B．若 ，则当 时 C．若 ，则当 时 D． 在 上单调递增 【答案】ABC 【分析】条件正是商函数 的导数分子，先定商函数的单调性，再由 还原 的符号；D 用反例排除。 【详解】解：设 （），则 。 由 知 ，又题设 ，故 ， 在 上单调递增，A 正确。 若 ，则 。当 时 ，由 得 ，B 正确； 当 时 ，同理 ，C 正确。 D 不一定成立：取 ，则 ， 对一切 成立， 但 在 上单调递减，其导数 在 时为负，故 D 错误。 所以选 ABC。 6．已知函数 ，设 ，则 的单调递增区间是            ，单调递减区间是            。 【答案】，；，。 【分析】先求出 ，再对 求导，符号由三个一次因式的乘积决定。 【详解】解： 的定义域为 。对 用积的法则：。 所以 。 再求导：。 由 ， 的符号由 决定。 解 得 或 ，三个零点从小到大为 、、（其中 ）。 当 时 且 ，； 当 时 且 ，； 当 时 且 ，； 当 时 且 ，。 故填 的单调递增区间是 ，，单调递减区间是 ，。 7．已知函数 在 上可导，且 ，，则不等式 的解集是            。 【答案】 【分析】系数是 就乘 ： 的导数恰为 。 【详解】解：设 （），则 。 当 时 且 ，故 ， 在 上单调递增。 又 。 当 时 ，由 得 ；当 时 ，得 。 处 ，不满足严格不等式，端点不取。 故填 。 8．已知函数 ，设 ，讨论函数 在 上的单调性。 【答案】 在 上单调递增。 【分析】先求出 ，再对 求导并把 的符号交给一个新构造的 判断。 【详解】解： 的定义域为 ， 在 上有意义。 由积的法则 ， 即 。 对 求导：， 整理得 。 因为 ， 的符号由中括号内的式子决定。设 ，当 时 ， 再设 （），则 ， 故 在 上单调递增，从而 。 于是当 时 。 所以 在 上单调递增。 检验：，，与递增的结论一致。 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $