第五章 一元函数的导数及其应用（举一反三讲义·培优篇）高二数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用全章十一大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 求曲线的切线方程 1．（25-26高三上·湖南永州·开学考试）函数在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对求导，得到，从而有，再利用导数的几何意义，即可求解. 【解答过程】由，得到，所以， 所以在点处的切线方程是，即， 故选：A. 2．（25-26高二上·陕西安康·期末）函数的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程. 【解答过程】因为，所以，， 所以的图象在处的切线方程为. 故选：B. 3．（2026·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程. 【解答过程】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：A. 4．（25-26高三上·吉林长春·期中）已知函数，则曲线过点的切线方程为____________． 【答案】或 【解题思路】设切点为，利用导数写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，代入切线方程即可得出所求切线的方程. 【解答过程】设切点为，，则切线斜率为， 故曲线在处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程可得，解或， 故所求切线方程为或，即或. 故答案为：或. 5．（25-26高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程. 【解答过程】（1）解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 题型2 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 6．（25-26高三上·河南洛阳·阶段检测）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．11 B．12 C． D． 【答案】A 【解题思路】由直线是曲线的切线求解，可得切线方程，再设直线与曲线的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解n，则答案可求． 【解答过程】解：由，得，由，解得， 则直线与曲线相切于点， ∴，得， ∴直线是曲线的切线， 由，得，设切点为， 则，且，联立可得， 解得，所以． ∴． 故选：A． 7．（25-26高二下·云南丽江·阶段检测）已知函数（为自然对数的底数），，直线既与相切又与相切，则直线的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】先设切点，再根据导数几何意义列等量关系，解出切点，即得切线方程. 【解答过程】设与相切于点，，则切线的斜率为， 切线方程：，即， 设与相切于点，，则切线的斜率为， 切线方程：，即 ∴，解得，或，， 则直线的方程：或．所以满足条件的直线有2条． 故选：C. 8．（2026·陕西渭南·一模）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【解题思路】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【解答过程】设是图象上的一点，， 所以在点处的切线方程为，①， 令，解得， ，所以， ，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去）， 所以，此时①可化为， 所以. 故选：D. 9．（25-26高三上·辽宁·期中）已知直线是曲线和的公切线，则的值为___________. 【答案】 【解题思路】利用导数的几何意义求解即可. 【解答过程】令，则， 因为直线是曲线的切线， 所以由解得，此时 所以在处的切线为，所以， 又是的切线， 联立得， 令解得， 所以， 故答案为：. 10．（2026·湖南郴州·三模）已知函数. (1)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数和有公切线，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，用导数法解即可； （2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线， 由，化简得到，然后将问题转化为关于的方程有解求解. 【解答过程】（1）由题意，当时，设， 则， ， 令，得（舍负） 在上单调递减，在上单调递增， . 根据题意的取值范围为. （2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线， 则， ，代入 得. 问题转化为：关于的方程有解， 设，则函数有零点， ，当时， . 问题转化为：的最小值小于或等于0. ， 设，则 当时，，当时，. 在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为. 由知， 故. 设， 则， 故在上单调递增， 当时，， 的最小值等价于. 又函数在上单调递增， . 题型3 导数中函数单调性的应用 11．（2026·湖南·模拟预测）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据的形式构造新函数，根据的形式构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性，利用单调性进行运算判断即可. 【解答过程】构造新函数， 当时，，函数单调递减， 于是由， 所以有， 所以， 构造新函数， 当时，，函数单调递增， 由， 故，所以，故， 故选：D. 12．（25-26高二下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性即可求解不等式. 【解答过程】即，即 令， 则， 依题意，，即， 因此，，可得在上单调递减， 又因为， 所以等价于，由单调性可得，即. 故选：B. 13．（25-26高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性进而比较大小. 【解答过程】令函数，求导得， 函数在上单调递增，则，因此； 令函数，求导得， 令，求导得 由，得， 则，即，函数在上单调递增， ，，函数在上单调递增，， 因此，所以. 故选：B. 14．（25-26高三上·内蒙古包头·期中）已知在上是奇函数且为的导函数，对任意均有成立，若，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解题思路】根据所给含导数的不等式，构造函数，确定其单调性，利用单调性解不等式即可. 【解答过程】． 令，则 ， 所以，则在上是减函数． 由，且在上是奇函数，得，则， 又 ， 所以，即不等式的解集为． 故答案为：. 15．（25-26高二下·云南玉溪·期中）已知函数的图象在处的切线与直线平行，其中为常数. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，在处的切线的斜率等于，据此求解； （2）利用导数判断的单调性，进而利用单调性解不等式. 【解答过程】（1）， 在处的切线与直线平行， ， （2）函数的定义域为， 和都大于0，可得 又 所以在上单调递减                又  所以，解得：或 因此原不等式的解集为． 题型4 根据极值（点）求参数 16．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）函数在处有极小值，则的值等于（   ） A．0 B． C． D．6 【答案】A 【解题思路】对函数求导，利用以及解出，进而得出答案． 【解答过程】由题意得，因为在处有极小值， 所以，解得， 所以， 令，解得或， 故函数在和上为增函数， 令，解得， 故函数在上为减函数， 所以在处有极小值，符合题意， 所以， 故选：A. 17．（25-26高三上·辽宁大连·期中）若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先求导得到，根据题意得到方程有一个根大于0，一个根小于等于0，即可得到答案. 【解答过程】，定义域为，， 因为函数有且只有一个极值点， 所以方程有一个根大于0，一个根小于等于0， 所以. 故选：C. 18．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】根据题意得有两个不同的实根，分，，利用参变分离得，根据函数单调性分析求解即可. 【解答过程】因为，所以， 时，，无极值点，不符合题意； 时，恰有两个极值点，则方程有两个不同实根， 设，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 又时，，当时，，时，， 所以，解得， 当时，有两个变号零点（在零点的左右附近导函数值变号），符合题意． 故a的取值范围为． 故答案为：. 19．（2026·湖北·模拟预测）已知函数有两个极值点. (1)求实数的取值范围； (2)记两个极值点分别为，，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）由题意知，导函数在上有两个不相等的实数根，再根据二次函数的性质进行求解即可； （2）根据题意可得，，是方程的两个不等正实根，根据韦达定理得，，代入化简，进而构造函数，再求导判断其单调性和最值，即可证明. 【解答过程】（1）由题意得，，. 因为有两个极值点，所以方程有两个不相等的正根， 所以，解得. 检验：当时，由得或. 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，满足题意. 所以实数的取值范围为. （2）证明：由（1）知，， 所以， 所以. 令，则， 令，则， 所以在上单调递增. 因为，， 所以函数存在唯一零点，即， 且当时，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，存在最小值，即. 因为，所以，所以， 所以. 20．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知函数为的导函数，记，其中为常数. (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点， ①求的取值范围； ②求证：. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减. (2)①； ②证明见解析 【解题思路】（1）求出，分类讨论，利用，解不等式即可得解； （2）①先分析不合题意，再求出时函数在有两个极值点的必要条件，再此条件下分析即可得解；②对结论进行转化，只需证，换元后利用导数确定函数单调性，得出函数最值，即可得证. 【解答过程】（1）定义域为. ，， ， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，则，解得， 令，则，解得， 在单调递增，在单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，时，最多一个根，不符合题意，故， 函数有两个极值点， 在有两个不同零点的必要条件是， 解得， 当，在单调递增，在单调递减， ， 由零点存在性定理得：在，各有1个零点， 的取值范围是. ②证明：函数有两个极值点， ①， ②， ①②得：， 要证，即证，即证， 即证， 令，则， 令，则， 在上单调递增，， 在上成立， ，得证. 题型5 已知函数最值求参数 21．（25-26高二下·贵州黔西南·阶段检测）已知函数在上有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导函数分析函数的单调性，结合二次函数性质分类讨论导函数单调性情况即可求解. 【解答过程】由函数求导可得，. 设，其开口向上，对称轴为， 因为函数在上有最大值， 所以方程一定有两个不相等的实数根，设为且， 则，即两根同号， 则有，解得或. 当时，对称轴，则要使函数在上有最大值， 则，所以，解得， 此时在上单调递增，在上单调递减，有最大值，故符合； 当时，对称轴，此时方程的两根均为负根， 则在上恒成立，即函数单调递增，没有最大值. 综上，. 故选：D. 22．（25-26高三上·辽宁·阶段检测）已知函数，若在内存在最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数确定函数的单调区间及极小值为，再令，得，最后由，求解即可. 【解答过程】解：因为， 所以， 令，解得或， 所以在，内单调递增，在内单调递减， 所以极小值为． 令，则， 所以， 由题意得， 所以a的取值范围为. 故选:C． 23．（25-26高二下·天津·期中）已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为____________. 【答案】 【解题思路】求导，分、和三种情况讨论的符号，进而可得的单调性和最值，结合题意运算求解即可. 【解答过程】因为，，则， 若，则，可知在内单调递增，无最小值，不合题意； 若，则，可知在内单调递减， 则在内最小值为，解得，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则在内最小值为，解得； 综上所述：. 故答案为：. 24．（25-26高二下·安徽滁州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； (2)或 【解题思路】（1）由题意得，分别讨论，，的情况，即可求解； （2）由（1）可得当时函数有最小值，从而可求解. 【解答过程】（1）由题意得的定义为，且， 当时，恒成立，此时在上单调递减； 当时，令，则或， 当时，则，当时，，此时在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以， 当时，即时，取得极小值也是最小值， 所以，解得或， 故函数的最小值为，实数的值为或. 25．（25-26高三上·海南·开学考试）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当函数有最大值，且最大值小于时，求的取值范围. 【答案】(1) 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) 【解题思路】（1）求定义域，求导，对参数进行分类讨论即可； （2）由（1）知a的初步范围，求得最大值，利用导数解不等式即可. 【解答过程】（1）由，知，定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，则在上单调递增； 令，则在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，若有最大值，则，且， 因为的最大值小于， 所以，即， 设，问题转化为解不等式， 因为恒成立，所以在上单调递增， 又，所以，所以， 故的取值范围为. 题型6 函数单调性、极值与最值的综合应用 26．（25-26高二上·黑龙江绥化·期末）下列关于函数的判断正确的是（    ） ①的解集是；    ②是极小值，是极大值； ③没有最小值，也没有最大值；    ④有最大值，没有最小值. A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②④ 【答案】D 【解题思路】令可解x的范围确定①正确；对函数进行求导，利用导数判断原函数的单调性进而可确定②正确；根据函数的单调性结合最值的定义分析判断③、④的正误，从而得到答案． 【解答过程】对①： ∵，若，则，解得， ∴的解集是，①正确； 对②： 又∵， 令，则，解得， ∴在上单调递减，在上单调递增， 则是极小值，是极大值，②正确； 对③④： ∵，则， ∴当时，在上单调递减，则， 故无最小值； 又∵， 当时，则； 当时，在上单调递增，在上单调递减，则； 综上所述：对，，即为的最大值； 故③错误，④正确； 故选：D. 27．（2026·江西上饶·一模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（    ） A．有且只有一个极大值点 B．在上单调递增 C．存在实数，使得 D．有最小值，最小值为 【答案】D 【解题思路】根据对数恒等式将函数变形转化为，利用导函数研究的单调性，再由复合函数单调性得单调性、极值与最值，再分别判断选项即可. 【解答过程】由，则， 令，则，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 由函数与复合而成，而在上单调递增； 故在上单调递减，在上单调递增； 所以在处取极小值，且无极大值， 又，故不存在实数，使得. 故ABC错误，D正确. 故选：D. 28．（2026·广西·三模）设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是___________. 【答案】 【解题思路】根据函数有两个极值点可得方程在上有两个不等实根，由此可得韦达定理的结论，将表示为关于的函数的形式，构造函数，利用导数求得即可. 【解答过程】定义域为，， 有两个极值点等价于在上有两个不等实根， ，，，， ； 设， 则， 在上单调递减，， 即， 的最小值为. 故答案为：. 29．（25-26高三上·河南郑州·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若（为的导函数），求函数在区间上的最大值； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 【答案】(1)； (2)当时，；当时，；当时，. (3)证明见解析 【解题思路】（1）当时，求出切线斜率，然后得到切线方程； （2）利用导数通过分类讨论判断函数的单调性，从而求函数的最大值； （3）把要证结论等价转化为，结合函数的极值点再次把要证结论转化为 ，()，通过构造函数即可证明. 【解答过程】（1）当时，， 的定义域为． 所以，， 因此曲线在点处的切线方程为，即切线方程为：． （2）因为，， ①当时，因为，所以， 所以函数在上单调递增，则； ②当，即时，，， 所以函数在上单调递增，则； ③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则； ④当，即时，，，函数在上单调递减，则． 综上，当时，； 当时，； 当时，. （3）证明：要证，只需证：， 若有两个极值点，即函数有两个零点，又， 所以是方程的两个不同实根， 即，解得， 另一方面，由，得， 从而可得， 于是． 不妨设，设，则． 因此， ． 要证，即证：， 即当时，有， 设函数，则， 所以为上的增函数． ，因此，． 于是，当时，有． 所以成立，． 30．（25-26高三上·福建·阶段检测）设函数，为实数. (1)当时，求的极值； (2)已知，若在上单调递增，求的最大值； (3)已知，设为的极值点，求的最大值. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) (3) 【解题思路】（1）对函数求导得出其单调性可求出极值； （2）解法一：依题意可得恒成立，构造函数，求出其最小值可得结果；解法二：依题意恒成立，可得，当时对函数进行验证即可； （3）当时由零点存在定理即可得存在使得，可得为的极小值点，构造函数，即可求出的最大值. 【解答过程】（1）当时，，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值； （2）解法一：由， 若在上单调递增，必有恒成立； 令，有， 当时，由已知在单调递增，但，不合题意； 当时，令，可得， 故函数的减区间为，增区间为，有， 又由函数单调递减，且. 又由，故a的最大值为. 解法二：，依题意恒成立， 所以，故， 因为，所以， 当时，， 设，则 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以 所以满足题意，即的最大值为； （3）当时，易知单调递增. 易知，， 所以存在使得，即，为的极小值点， 所以， 其中， 设，则 整理得 因为，， 所以当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递减， 所以，即的最大值为. 题型7 利用导数研究函数零点（方程根） 31．（25-26高二下·安徽宣城·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】因式分解，将求的零点个数问题转为求方程与和交点的个数，利用导数分析时函数的性质，画出的函数图像，得出结论. 【解答过程】令，即， 解得或， 故求的零点个数，等价于求函数与和交点的个数和. 时，，求导得， 令，得或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，又， 可以画出函数的大致图像，如图所示， 可知与和交点共有5个， 即的零点个数为5个，C正确. 故选：C. 32．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数若恰有4个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】转化问题为函数和的图象有3个不同的交点，进而结合图象求解即可. 【解答过程】函数恰有4个零点，则函数和的图象有4个不同的交点， 又因为，所以是函数的一个零点， 所以函数和的图象有3个不同的交点． 设， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，当时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，则， 且，时，. 作出函数的图象： 由图可知，要使和的图象有3个不同的交点，则或， 所以的取值范围为. 故选：D. 33．（25-26高三上·贵州六盘水·阶段检测）已知函数，函数恰有3个零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】利用导数分别讨论和时函数的单调性，求出最值，画出函数图象，根据函数的零点个数与和图象交点个数的关系，确定的取值范围. 【解答过程】当时，，则， 令， 所以当时，单调递减；当时，单调递增. 所以当时，，当. 当时，，则， 令， 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 当时，，，当， 作出函数的图象如图所示． 因为函数有3个零点， 所以与的图象有3个交点， 由图知，即实数的取值范围为. 故答案为：. 34．（25-26高二下·贵州安顺·期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)设函数，若在上有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为. (2). 【解题思路】（1）求导，通过和求解即可； （2）将问题转换成函数的图象与直线在上有三个不同的交点，结合函数单调性，即可求解. 【解答过程】（1）. 令，解得或，令，解得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）令，在上有三个零点， 等价于方程在上有三个不同的实数根， 即函数的图象与直线在上有三个不同的交点. 由（1）知在和上单调递增，在上单调递减， 所以在处有极大值，在处有极小值-8. 计算可得. 要使函数的图象与直线在上有三个不同的交点， 则，即实数的取值范围为. 35．（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2)（i）； （ii）证明见解析 【解题思路】（1）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （2）（i）结合（1）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. 【解答过程】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，所以函数在上单调递增；． 当时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（1）知，且， 所以，解得． （ii）证明：由（1）得，所以，两边同时取自然对数， 得， 两式相减得，即， 要证，只需证明， 令，只需证明构造函数， 求导得， 所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式（*）成立，于是原不等式成立． 题型8 利用导数证明不等式 36．（2026·江苏·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）. (1)求的极值； (2)证明：. 【答案】(1)极小值为0，无极大值. (2)证明见解析 【解题思路】（1）通过求导判断函数的单调性从而找到极值； （2）通过求导得到切线方程，构建辅助函数，根据辅助函数的单调性来判断函数的极值，进而对不等式进行证明. 【解答过程】（1），求导可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）证明：因为，，所以在点处的切线方程为，即，所以， 设，求导可得， 设，求导可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极大值为，即，在上单调递减， 因为， 所以当时，，， 当时，，， 综上所述，. 37．（25-26高二下·重庆·期中）函数，存在两个不同的零点，（）（其中是自然对数的底数）． (1)求实数的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【解题思路】（1）根据题干两个零点条件，可知函数的极小值需小于0才能满足条件，利用导数求出极小值，列出不等关系，求解即可； （2）根据，为两个不同的零点，建立，等量关系；再根据两个不等式构造相应的两个函数，利用导数研究函数的单调性，即可得出证明. 【解答过程】（1）解：由题意知，函数的定义域为，则， 当时，，在上单调递增， 因此最多存在一个零点，不合题意； 当时，令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增，所以在处取极小值，即， 又因为存在两个不同的零点，所以当时，才能符合题意， 即，又，所以，解得， 因此，当存在两个不同的零点时，实数的取值范围为. （2）证明：由，为两个不同的零点，则， 即，，则，， 所以，化简得，令，则， 因为，所以，所以，即， 因此，两边取对数得，所以，则， 所以. 要证，需证，即， 令，则， ，所以单调递增，即， 因此单调递增，所以，即，所以； 要证，需证， 由（1）知在处取极小值，且，所以，则， 又在上单调递增，所以只需证明， 因为，只需证， 令， 则， 所以在上单调递增，则， 所以，即，又， 所以， 又因为，都在的单调递增区间上，所以， 即，因此原不等式得证. 38．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知函数存在两个不同的极值点． (1)求实数的取值范围； (2)设，求的最大值； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）由题意知有两个不同的实根，即方程有两个不同实根，令，通过求导求出的单调性，结合图象即可求出答案； （2），通过求导求出的单调性，即可求出答案； （3）函数，证明出，再证明在上单调递减，从而得到，结合第（2）问即可求出答案. 【解答过程】（1）由题意知． 因存在两个不同的极值点，故有两个不同的实根， 即方程有两个不同实根． 令，则． 令，因恒成立，故在上单调递减． 又，故： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 所以在处取得极大值即最大值，且． 又，，当，， 要使直线与图象有两个不同交点，必须满足． 当时，易知函数存在两个不同的极值点，符合题意， 故实数的取值范围是． （2）， ， 令， 所以单调递增，又， 所以当时，，则在上单调递减； 当时，，则，在上单调递增． 因此在处取得最大值，． 即的最大值为． （3）由（1）知．不妨设． 因在上递增，上递减，且，故必有． 构造函数， 当时，，即恒成立． 因为，所以．又，故． 因为，且在上单调递减， 所以，即． 当时，，此时，故在上单调递减． 由于，故． 于是． 由（2）知，当时，． 因为，所以． 综上可得，，原命题得证． 39．（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）设函数. (1)求的最大值； (2)若函数存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）设的极大值点为，的零点为，求证：. 【答案】(1)1； (2)（i）且； （ii）证明见解析 【解题思路】（1）直接求导，求出函数有唯一的极大值点，即为最大值点，求出最大值即可； （2）（i）由存在两个极值点，则存在个变号零点，令，求出零点即可求出的取值范围；（ii）先根据导数关系确定极大值点和极小值点，再分别求出极值，最后利用基本不等式得出证明结论. 【解答过程】（1）由题可知，定义域为，则， 当时，则，所以在上单调递增， 当时，则，所以在上单调递减， 故在处取极大值，即最大值，为． （2）（i）由题可得，，则， 因为函数存在两个极值点，则存在个变号零点，令， 则一个零点为，另一个零点为方程的非零实根， 当时，方程无解，则，所以，因此且； （ii）证明：根据（i）可知时，存在两个极值点， 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值点， 为的零点，则，因为，所以， 则； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值点， 即，，， 所以， 故，，当且仅当，时，等号成立， 综上，. 40．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若存在两个极值点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据导数的几何意义可得切线方程； （2）先将不等式转化为，再构造函数，进而只需求函数在上的最小值，运用导数研究函数单调性及最值可得； （3）先将函数有两个极值点转化为方程有两个不同的实根，进而可得，且，再令，进而可得及，从而只须证明，即，再构造函数，，用导数求得函数的最小值，从而可得所证不等式. 【解答过程】（1）当时，，，所以，， 所以切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即． （2）由，即，因为，所以不等式可变形为． 令，则“存在，使得成立”等价于大于等于在上的最小值， ． 令，，则． 当时，，故，所以在上单调递增． 因此，故，所以在上单调递增． 所以，因此的取值范围为． （3）证明：因为的极值点满足，即，即． 因为存在两个极值点等价于方程有两个不同的实根． 令，则的定义域为，， 当时，，则在上单调递减，且； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故在处取得极小值，且． 又当时，，当时，， 所以当，即时，方程有两个不同的实根，且， 故． 由，变形得． 令，则，代入上式得， 两边同时取自然对数，得，因此． 要证，即证，只需证，即. 令，，则， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，即恒成立， 即，得证． 题型9 利用导数研究不等式恒（能）成立问题 41．（25-26高三上·广西柳州·阶段检测）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造函数得出，进而得出，可得出，令，，其中，则，结合导数求解即可. 【解答过程】令，，其中， 则，， 当时，，， 当时，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即， ，即， 故当时，，则， 因为不等式对任意恒成立，则， 令，，其中，则， ，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，，所以， 因此实数的取值范围是. 故选：C. 42．（25-26高二下·安徽·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先化简将问题转化为有解，再构造利用导数研究函数的性质得出最小值解题. 【解答过程】由题意得在区间上有解， 可转化为，令，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，所以在区间上单调递增， 因此要使得在区间上有解， 只需满足，即. 故选：B. 43．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得恒成立，构造函数，求导根据函数单调性可得的最大值即可得答案. 【解答过程】因为函数， 在上恒成立， 所以恒成立， 令，则， 令，则， 所以当时，单调递增；当时，单调递减； 所以当时，取得极大值，也是最大值， 因为 ，所以. 故选：B. 44．（2026高二·全国·专题练习）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】由通过变形得到，构造，利用导数法得到在区间为增函数，从而得到，构造函数，利用导数法得到的最大值，从而得到的取值范围. 【解答过程】，且， 不等式两边同乘以，得到， 设，故不等式转化为， ， 因为，所以，所以在区间为增函数， 又时，， 则转化为在上恒成立， 即在上恒成立，即， 设，， 的解为，的解为， 故在上是单调递增函数，在上是单调递减函数， 则在处取得极大值，也是最大值， 故的最大值为， 则，即． 故答案为：． 45．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若直线与曲线相切，求a的值； (3)若对任意的恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)极大值为，无极小值； (2)； (3)． 【解题思路】（1）利用导数法求出的单调性，利用单调性得到极值． （2）设切点为，利用导数的几何意义求出切线的斜率，得到一个关于的等式，将切点代入得到另一个关于的等式，这两个等式相减得到的方程，构造函数，利用导数法得到的单调性，从而得到所求. （3）由对任意的恒成立，得到，构造函数，利用恒成立得到，解得的范围．通过放缩法得到，构造函数，求导，构造函数，利用导数法得到的单调性，从而得到的取值范围． 【解答过程】（1）因为，所以， 令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值． （2）直线与曲线相切，设切点为， 因为，所以， 所以，解得，① 因为切点在上， 所以，即，② 由②-①并整理得：． 令，则，令，解得， 则当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，，且， 则方程有唯一解为，将代入①式，可得． （3），， 因为对任意的恒成立， 所以， 因为，所以， 即， 即恒成立，则， 解得． 则， 令，则， 设， 则在恒成立，则在上单调递增， 又，则由，由， 所以在上单调递减， 在上单调递增，所以， 即恒成立，所以的取值范围是． 题型10 利用导数研究双变量问题 46．（25-26高二下·湖北武汉·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据极值点为导函数的零点，整理变形得，然后令代入后表示出，代入目标式转化为关于的函数，利用导数求最值即可. 【解答过程】由题知，函数的定义域为，， 因为有两个极值点，所以，，则，① 令，因为，所以， 将代入①整理可得，， 所以， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以 故选：D. 47．（25-26高二下·四川眉山·阶段检测）已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．有极小值点 【答案】C 【解题思路】求得函数的导数，得到函数的单调区间，确定函数的极小值，根据极小值小于0，判断A；根据方程，指对互化，判断B；根据极值点的位置，结合，即可判断C；根据A的判断，即可判断D. 【解答过程】由题意，函数，则， 当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为函数有两个零点且， 对A，则，且， 所以，解得，所以A正确； 对B，，且，，故，， 所以，所以B正确； 对C，由，且由A可知，，，则，但不能确定， 所以C不正确； 对D，由函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值点为，所以D正确； 故选：C. 48．（25-26高二下·四川遂宁·期中）已知函数，若，则的最小值为___________. 【答案】 【解题思路】令，则，求导，利用导数研究函数的最小值即可. 【解答过程】设，即，解得， 所以，令，则，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，所以的最小值为. 故答案为：. 49．（25-26高二下·重庆江津·期中）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若，为的两个极值点，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. (2). 【解题思路】（1）求函数的导数，根据的正负判断函数的单调性，因式分解将问题转化为关于的含参一元二次不等式，对参数分类讨论即可. （2）函数在上有两个极值点，即方程有两个不相等的正实根，利用判别式求参数的范围，利用韦达定理求出和的值，整体代入已化简的式子，再将所求问题转化为求关于的函数的值域，根据导数的正负判断函数的单调性，求出的值域，即可得出的取值范围. 【解答过程】（1）函数的定义域，， 令得，. 当时， 令得，或；令得，. 所以，在和上单调递增，在上单调递减. 当时，，当且仅当时取等号， 此时在上单调递增. 当时， 令得，或；令得，. 所以，在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2），定义域为， ， 因为和是的两个极值点，所以方程有两个不同的正实根和， 即方程有两个不同的正实根和， 则，解得. ， ， ， 将和代入上式得， ， 令，则， 由得，，即，所以在上单调递减， 当时，，得， 当时，， 得的范围为， 即的取值范围为. 50．（25-26高二下·河南·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程； （2）求出函数的导函数，依题意可得有两个不同的变号正根，设，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围； （3）根据极值点的性质得到相关等式，再通过构造函数进行证明. 【解答过程】（1）当时，，所以， 所以，所以曲线在点处的切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 因为有两个极值点， 意味着有两个不同的变号正根. 设，，则. 若，，在上单调递增，不会有两个正根； 当，令，得， 所以当时，所以在上单调递增； 当时，所以在上单调递减. 又当时，当时， 要使有两个正根，需，即，解得. 所以当时，有两个极值点. （3）证明：的定义域为， 因为有两个极值点，意味着是有两个不同正根. 所以，且， 所以，所以， 所以，当时， ， 令，即证当时，对恒成立. 令，则. 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以，即， 所以当时，恒成立. 题型11 导数新定义 51．（25-26高三上·湖南·阶段检测）定义的实数根为的“坚定点”，已知，且，则下列函数中，不存在“坚定点”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对各个选项的函数求导，根据“坚定点”的定义判断方程是否有解即可. 【解答过程】对选项A：，令，则，解得，，存在“坚定点”； 对选项B：，在上单调递减， 时，，时，； 在上单调递增，时，，时，， 所以关于的方程在上有一解，存在“坚定点”； 对选项C：，令， 则，即，显然是“坚定点”； 对选项D：，令，则，因为且，所以不存在“坚定点”． 故选：D. 52．（2026·江西南昌·一模）我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用导数求出函数的极值点，再逐一判断各个选项即可. 【解答过程】，则， 令，则， 如图，作出函数的图象， 由图可知函数的图象有两个交点， 即函数有两个零点，且， 令，则或，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点为，极小值点为. 对于A，函数在上单调递减，在单调递增， 所以函数有极小值点，无极大值点，故A选项不符； 对于B，函数在上单调递增，在单调递减， 所以函数有极大值点，无极小值点，故B选项不符； 对于C，， 当或时，，当时，， 所以函数的极大值点为，极小值点为，故C选项符合题意； 对于D，， 则函数的极小值点为，极大值点为，故D选项不符. 故选：C. 53．（25-26高三上·陕西汉中·阶段检测）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值点”，根据这个定理，判断函数在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为____________. 【答案】2 【解题思路】根据拉格朗日中值定理的定义可构造方程，解方程即可求得“拉格朗日中值点”的个数. 【解答过程】，， 令，解得：或， 在上的“拉格朗日中值点”的个数为. 故答案为：. 54．（2026·四川绵阳·模拟预测）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）．设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．已知三次函数 (1)过点作曲线的切线，求切线方程： (2)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数，其中．求的拐点． 【答案】(1)或． (2)且 (3) 【解题思路】（1）设切点，利用导数的几何意义和两点斜率公式列方程可求，再利用点斜式求切线方程； （2）利用导数判断函数的单调性，作函数的大致图象，由时，成立，可得，求函数的对称中心，利用对称性化简可得，结合图象进一步化简，由此可求结论， （3）由条件结合导数运算法则可得，令，，利用导数研究函数的单调性，结合函数性质求其零点，由此可得结论. 【解答过程】（1）因为，故可设切点为，， 所以， 整理得： 解得：或， 当时，切点为，切线斜率为，故切线方程为， 当时，切点为，切线斜率为，切线方程为， 故切线方程为：或． （2），当且仅当时，， 由（1）， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又由可得，，， 作函数的大致图象如下，    所以， 要使恒成立 当即时，恒成立， 即，且， 所以 当时，由恒成立， 得（*）， 因为，所以，， 令，所以， 当时，，当时，， 由题干可得函数的图象关于点对称， 所以， 所以不等式（*）为， 因为，结合图象可得， 所以恒成立， ，所以． 综上，且 （3）， 由于，故，即的定义域为， ， ， 令得，， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，由零点存在性定理知，有唯一的零点， 故，即时，满足， 当时，， 故的拐点为. 55．（2026·河南许昌·模拟预测）对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； (3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1），，利用导数判断其单调性后可证函数，与“具有性质”. （2）根据函数具有性质得，令，，利用极值点偏移的方法可证，故可得原不等式成立； （3）令， ，利用导数可证在前者为减函数，后者为增函数，再结合不等式的性质可证函数与“具有性质”. 【解答过程】（1）具有性质，理由如下： 令，， 所以，所以在上单调递增， 不妨设，所以，即， 即， 所以， 所以函数，与“具有性质”. （2）证明：由函数在上有两个零点，，得， 又函数与“具有性质”， 则， 即，即， 令，，即. 记，即，又， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 要证，即证，不妨设， 即证，只需证，即证. 设，即， 所以， 所以函数在上单调递减，且， 又，则，即，则得证， 故. （3）证明：不妨设，所以，所以， 所以，令，， 所以，所以在上单调递减， 又，所以，即， 所以； 当时，， 令，，所以， 令，所以， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 综上，，即， 即函数与“具有性质”. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用全章十一大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 求曲线的切线方程 1．（25-26高三上·湖南永州·开学考试）函数在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西安康·期末）函数的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·吉林长春·期中）已知函数，则曲线过点的切线方程为____________． 5．（25-26高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 题型2 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 6．（25-26高三上·河南洛阳·阶段检测）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．11 B．12 C． D． 7．（25-26高二下·云南丽江·阶段检测）已知函数（为自然对数的底数），，直线既与相切又与相切，则直线的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 8．（2026·陕西渭南·一模）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（    ） A． B．3 C． D．2 9．（25-26高三上·辽宁·期中）已知直线是曲线和的公切线，则的值为___________. 10．（2026·湖南郴州·三模）已知函数. (1)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数和有公切线，求实数的取值范围. 题型3 导数中函数单调性的应用 11．（2026·湖南·模拟预测）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·内蒙古包头·期中）已知在上是奇函数且为的导函数，对任意均有成立，若，则不等式的解集为__________. 15．（25-26高二下·云南玉溪·期中）已知函数的图象在处的切线与直线平行，其中为常数. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 题型4 根据极值（点）求参数 16．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）函数在处有极小值，则的值等于（   ） A．0 B． C． D．6 17．（25-26高三上·辽宁大连·期中）若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是___________． 19．（2026·湖北·模拟预测）已知函数有两个极值点. (1)求实数的取值范围； (2)记两个极值点分别为，，证明：. 20．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知函数为的导函数，记，其中为常数. (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点， ①求的取值范围； ②求证：. 题型5 已知函数最值求参数 21．（25-26高二下·贵州黔西南·阶段检测）已知函数在上有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高三上·辽宁·阶段检测）已知函数，若在内存在最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二下·天津·期中）已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为____________. 24．（25-26高二下·安徽滁州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 25．（25-26高三上·海南·开学考试）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当函数有最大值，且最大值小于时，求的取值范围. 题型6 函数单调性、极值与最值的综合应用 26．（25-26高二上·黑龙江绥化·期末）下列关于函数的判断正确的是（    ） ①的解集是；    ②是极小值，是极大值； ③没有最小值，也没有最大值；    ④有最大值，没有最小值. A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②④ 27．（2026·江西上饶·一模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（    ） A．有且只有一个极大值点 B．在上单调递增 C．存在实数，使得 D．有最小值，最小值为 28．（2026·广西·三模）设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是___________. 29．（25-26高三上·河南郑州·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若（为的导函数），求函数在区间上的最大值； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 30．（25-26高三上·福建·阶段检测）设函数，为实数. (1)当时，求的极值； (2)已知，若在上单调递增，求的最大值； (3)已知，设为的极值点，求的最大值. 题型7 利用导数研究函数零点（方程根） 31．（25-26高二下·安徽宣城·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 32．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数若恰有4个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高三上·贵州六盘水·阶段检测）已知函数，函数恰有3个零点，则实数的取值范围是__________． 34．（25-26高二下·贵州安顺·期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)设函数，若在上有三个零点，求实数的取值范围. 35．（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 题型8 利用导数证明不等式 36．（2026·江苏·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）. (1)求的极值； (2)证明：. 37．（25-26高二下·重庆·期中）函数，存在两个不同的零点，（）（其中是自然对数的底数）． (1)求实数的取值范围； (2)证明：． 38．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知函数存在两个不同的极值点． (1)求实数的取值范围； (2)设，求的最大值； (3)求证：． 39．（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）设函数. (1)求的最大值； (2)若函数存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）设的极大值点为，的零点为，求证：. 40．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若存在两个极值点，证明：． 题型9 利用导数研究不等式恒（能）成立问题 41．（25-26高三上·广西柳州·阶段检测）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 42．（25-26高二下·安徽·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 44．（2026高二·全国·专题练习）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是___________． 45．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若直线与曲线相切，求a的值； (3)若对任意的恒成立，求a的取值范围． 题型10 利用导数研究双变量问题 46．（25-26高二下·湖北武汉·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 47．（25-26高二下·四川眉山·阶段检测）已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．有极小值点 48．（25-26高二下·四川遂宁·期中）已知函数，若，则的最小值为___________. 49．（25-26高二下·重庆江津·期中）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若，为的两个极值点，求的取值范围． 50．（25-26高二下·河南·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 题型11 导数新定义 51．（25-26高三上·湖南·阶段检测）定义的实数根为的“坚定点”，已知，且，则下列函数中，不存在“坚定点”的是（   ） A． B． C． D． 52．（2026·江西南昌·一模）我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（   ） A． B． C． D． 53．（25-26高三上·陕西汉中·阶段检测）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值点”，根据这个定理，判断函数在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为____________. 54．（2026·四川绵阳·模拟预测）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）．设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．已知三次函数 (1)过点作曲线的切线，求切线方程： (2)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数，其中．求的拐点． 55．（2026·河南许昌·模拟预测）对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； (3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $