专题5.3.1 函数的单调性（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题5.3.1 函数的单调性（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 判断不含参函数的单调性】 2 【题型2 判断含参函数的单调性】 4 【题型3 利用导数求函数的单调区间】 8 【题型4 根据函数的单调性求参数】 10 【题型5 函数与导函数图象之间的关系】 13 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 16 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 18 考点1 函数的单调性 知识点1 函数的单调性 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 函数值减小得越来越快 函数值减小得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【题型1 判断不含参函数的单调性】 【例1】（25-26高二下·安徽亳州·期末）下列函数在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出导函数，在给定的区间判断导数的正负，从而判断函数的单调性，逐项排除可得答案. 【解答过程】A选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，A错误； B选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，B错误； C选项，， 当时，，所以，是单调递增函数，C错误； D选项，， 时，则恒成立， 所以在区间上单调递减，D正确. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高三下·天津·开学考试）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递减 B．是奇函数，且在单调递增 C．是偶函数，且在单调递减 D．是偶函数，且在单调递增 【答案】D 【解题思路】根据偶函数的定义分析可知是偶函数，再利用导数判断原函数的单调性. 【解答过程】因为的定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以是偶函数， 又因为， 当时，则，可得， 则， 所以在单调递增． 故选：D． 【变式1-2】（25-26高二下·北京·期中）已知曲线在点处的切线为. (1)求切线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在和上单调递增. 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得切线方程； （2）由导函数符号解不等式即可判断得出函数的单调性. 【解答过程】（1）易知，则其斜率为； 又，所以切线方程为， 即切线的方程为. （2）令， 解得，即可得在上单调递减， 令， 解得或，即可得在和上单调递增； 综上可得，在上单调递减，在和上单调递增. 【变式1-3】（25-26高二下·四川资阳·期末）已知函数. (1)判断的单调性； (2)若，恒成立，求正数的取值范围. 【答案】(1)函数在单调递减，在单调递增 (2) 【解题思路】（1）直接求导判断即可； （2）利用（1）的条件可得，然后两边取对数并作出转化得到，最后构建函数求出最大值判断即可. 【解答过程】（1）由题可知：函数的定义域为 ，令，令， 所以函数在单调递减，在单调递增. （2）因为，所以，由（1）可知函数在单调递增， 所以在恒成立，因为，所以， 令， 若；若， 所以函数在单调递增，在单调递减， 所以有的最大值为，所以. 【题型2 判断含参函数的单调性】 【例2】（25-26高二下·重庆渝北·期中）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2) 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，为常数函数； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【解题思路】（1）先求时的函数值和导数值，再用点斜式得到切线方程即可； （2）通过求导后对参数分类讨论，根据导数的正负即可判断函数的单调区间. 【解答过程】（1）由函数，所以函数的定义域为，又， 所以，， 所以函数在点处的切线方程为：，即. （2）因为函数的定义域为，且， 令，得，即. 若，，为常数函数； 若，由，得，由，得； 若，由，得，由，得； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，为常数函数； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式2-1】（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数. (1)试讨论的单调性； (2)当时，求的单调区间. 【答案】(1) 当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在单调递减，在，单调递增， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减，在，单调递增. (2)单调增区间 【解题思路】（1）求出导函数，按的不同取值分类讨论的符号即可； （2）利用导数的符号判断单调区间即可. 【解答过程】（1）由可得 ，， 令，解得或， ①当时，在小于0，即，单调递减， 在大于0，即，单调递增， ②当时，在，大于0，即，单调递增， 在小于0，即，单调递减， ③当时，在恒成立，即恒成立，当且仅当时等号成立， 所以在单调递增， ④当时，在，大于0，即，单调递增， 在小于0，即，单调递减， 综上所述，当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在单调递减，在，单调递增， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减，在，单调递增. （2）当时， ，，， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又因为，所以当时恒成立，即恒成立， 所以在上单调递增， 所以的单调增区间为. 【变式2-2】（2026·江西南昌·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 【解题思路】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程； （2）求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，进行求解函数的单调性. 【解答过程】（1）当时，函数，则，切点坐标为， ，则曲线在点处的切线斜率为， 所求切线方程为，即. （2），函数定义域为R， ， ①，解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②，解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ③，恒成立，在上单调递增. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 【变式2-3】（25-26高二下·四川资阳·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)函数单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【解题思路】（1）利用求导并因式分解，再结合定义域，即可由导数的正负确定函数的单调区间； （2）利用求导，再通过对参数的分类讨论，来决定导数的正负，从而确定函数的单调区间. 【解答过程】（1）由，可得， 因为定义域，所以由，解得， ，解得， 即在上单调递减，在上单调递增． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时， 当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【题型3 利用导数求函数的单调区间】 【例3】（25-26高二下·福建莆田·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，即可求解. 【解答过程】由，得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高二上·全国·课后作业）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，求得，结合的解集，即可求得函数的递增区间. 【解答过程】由函数，可得其定义域为， 且， 令，解得，所以函数的单调增区间为． 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知曲线在点处的切线与直线平行. (1)求； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)的单调递增区间为，单调递减区间为 【解题思路】（1）对原函数进行求导，根据切线与直线平行，得到，代入求解即可. （2）根据导数与单调性的关系求解即可. 【解答过程】（1）已知，所以. 曲线在点处的切线与直线平行， 所以，即，解得. （2）函数的定义域为，. 令，即，又，所以， 即，也即， 解得或（舍去，因为）. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式3-3】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间. 【答案】(1)， (2)单调递减区间为，单调递增区间为和 【解题思路】（1）求出导函数，利用导数的几何意义及切点坐标列方程组求解即可. （2）求出导函数，解导函数不等式即可求解单调区间. 【解答过程】（1）因为，，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以，； （2）由（1）得， 令，解得或2，易知恒成立， 所以令，解得，在上单调递减； 令，解得或，在，上单调递增； 则的单调递减区间为，单调递增区间为和. 【题型4 根据函数的单调性求参数】 【例4】（25-26高三上·山东淄博·开学考试）已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数求出函数的单调增区间为，利用集合关系列不等式求解即可. 【解答过程】由得，令，得． 当时，，所以的单调增区间为， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：D. 【变式4-1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】的部分利用导数转换成不等式恒成立问题；的部分利用二次函数的性质即可判定；分段点处也要满足递减的性质，然后取交集即可得出答案. 【解答过程】因为函数在上单调递减， 所以当时，恒成立，则； 当时，由在上递减， 若，，合题意， 若，则，故; 又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得. 综上所述，， 故选：C． 【变式4-2】（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）函数在上单调递减，转化为恒成立，进而用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【解答过程】（1），， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． （2）∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 【变式4-3】（25-26高三上·黑龙江绥化·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线的单调增区间； (3)若函数在区间上为单调递增函数，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）求导可得斜率，即可由点斜式求解切线方程； （2）求导，利用导数的正负即可求解； （3）根据单调性与导数的关系，将问题转化为在恒成立，即可求解. 【解答过程】（1）求导，得， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）令， 求导，得，由，得， 所以的单调递增区间是. （3）设函数， 求导，得， 因为函数在区间上为单调递增函数， 所以在上恒成立， 即恒成立. 又因为函数在区间上单调递减， 所以， 所以. 【题型5 函数与导函数图象之间的关系】 【例5】（25-26高二下·广东·阶段检测）设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）    A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【解题思路】根据导数正负与单调性关系，结合图像逐个判断. 【解答过程】根据的图象可知，当时，， 当时，， 所以在内单调递减，在内单调递增， 故BCD错误，A正确. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【解答过程】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二下·山东临沂·期中）已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解. 【解答过程】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减， 则当时，，时，， 时，，所以不等式的解集为. 故选：C. 【变式5-3】（2026·山东济南·模拟预测）已知在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 【答案】C 【解题思路】首先分析哪一个函数图象为、的图象，再根据导数的运算法则求出选项中的导函数，最后分析其正负，即可判断其单调性. 【解答过程】如图，不妨令上面的曲线为，与的轴交点横坐标分别为， ， 下面的曲线为，与的轴交点横坐标为， 由的图象可知，当时函数值小于，当时函数值大于，且的图象从左至右呈上升趋势； 由的图象可知，当时函数值小于，当或时函数值大于，且的图象从左至右呈先下降，后上升趋势； 又这两个函数图象为函数及其导函数的图象， 所以对应的是，对应的是； 所以当时，单调递减，且， 当时，单调递增，且当时，当时； 对于A、B：由，所以， 显然，当时，所以，则在上单调递减， 当时，所以，则在上单调递增，故A、B错误； 对于C、D：，则， 显然，且当时，即， 所以，所以在区间上单调递增，故C正确，D错误. 故选：C. 考点2 导数中函数单调性的应用 知识点2 导数中函数单调性的应用 1．比较大小： 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2．解不等式： 与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 【例6】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出，，，结合函数的单调性可得出、、的大小关系. 【解答过程】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即 故选：D. 【变式6-1】（25-26高三上·湖南·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】构造函数、，结合导数讨论两函数单调性即可得解. 【解答过程】令，则， 则当时，，故在上单调递减， 则，即，故， 令，则， 令，则，故在上单调递增， 则当时，，则在上单调递增， 则， 即，故，故有. 故选：A. 【变式6-2】（2026高三上·宁夏·专题练习）已知定义在上的函数的导数为，且有，若 ，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】构造函数，根据条件判断出的正负，由此可知的单调性，再根据结合的单调性可判断出大小关系. 【解答过程】设，所以， 因为，所以，所以在上单调递增， 因为，，， 且，所以，所以， 故选：A. 【变式6-3】（2026·湖南·模拟预测）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据的形式构造新函数，根据的形式构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性，利用单调性进行运算判断即可. 【解答过程】构造新函数， 当时，，函数单调递减， 于是由， 所以有， 所以， 构造新函数， 当时，，函数单调递增， 由， 故，所以，故， 故选：D. 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 【例7】（2026·四川眉山·模拟预测）已知可导函数的导函数为，若对任意，都有，且，则不等式的解集为（  ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，进而求出不等式的解集. 【解答过程】设函数，求导得， 由，得，函数在R上单调递减， ，即， 由，得，因此，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 【变式7-1】（25-26高三上·江西新余·阶段检测）已知是定义域为的函数的导函数，满足，且为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构建函数，求导判断单调性，转化不等式为，代值计算即可. 【解答过程】令，则 ． 因为，所以，在上单调递减． 欲解 ，即解，又因为为奇函数，可得，而 ， 所以解，即解．因为单调递减，所以可得， 故选：B． 【变式7-2】（25-26高二下·云南玉溪·期中）已知函数的图象在处的切线与直线平行，其中为常数. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，在处的切线的斜率等于，据此求解； （2）利用导数判断的单调性，进而利用单调性解不等式. 【解答过程】（1），， 在处的切线与直线平行， ，； （2）函数的定义域为， 和都大于0，可得， 又所以在上单调递减， 又所以，解得：或， 因此原不等式的解集为． 【变式7-3】（2026·辽宁·一模）已知函数，曲线在处的切线斜率为2. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用导数的几何意义由可计算，由可计算； （2）利用导数求出的单调性，判断的奇偶性，利用奇偶性、单调性解不等式即可. 【解答过程】（1）， 所以， 由题意可得，所以， 所以，所以. 所以. （2）由（1）知，所以， 所以在上单调递增， ， 所以为奇函数， ，即， 即， 所以，即， 即，解得， 所以不等式的解集为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3.1 函数的单调性（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 判断不含参函数的单调性】 2 【题型2 判断含参函数的单调性】 3 【题型3 利用导数求函数的单调区间】 4 【题型4 根据函数的单调性求参数】 4 【题型5 函数与导函数图象之间的关系】 5 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 7 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 7 考点1 函数的单调性 知识点1 函数的单调性 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 函数值减小得越来越快 函数值减小得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【题型1 判断不含参函数的单调性】 【例1】（25-26高二下·安徽亳州·期末）下列函数在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高三下·天津·开学考试）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递减 B．是奇函数，且在单调递增 C．是偶函数，且在单调递减 D．是偶函数，且在单调递增 【变式1-2】（25-26高二下·北京·期中）已知曲线在点处的切线为. (1)求切线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【变式1-3】（25-26高二下·四川资阳·期末）已知函数. (1)判断的单调性； (2)若，恒成立，求正数的取值范围. 【题型2 判断含参函数的单调性】 【例2】（25-26高二下·重庆渝北·期中）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试讨论函数的单调性. 【变式2-1】（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数. (1)试讨论的单调性； (2)当时，求的单调区间. 【变式2-2】（2026·江西南昌·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线； (2)讨论的单调性； 【变式2-3】（25-26高二下·四川资阳·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 【题型3 利用导数求函数的单调区间】 【例3】（25-26高二下·福建莆田·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·全国·课后作业）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知曲线在点处的切线与直线平行. (1)求； (2)求的单调区间. 【变式3-3】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间. 【题型4 根据函数的单调性求参数】 【例4】（25-26高三上·山东淄博·开学考试）已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【变式4-3】（25-26高三上·黑龙江绥化·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线的单调增区间； (3)若函数在区间上为单调递增函数，求实数的取值范围； 【题型5 函数与导函数图象之间的关系】 【例5】（25-26高二下·广东·阶段检测）设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）    A．和 B． C．和 D．和 【变式5-1】（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式5-2】（25-26高二下·山东临沂·期中）已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·山东济南·模拟预测）已知在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 考点2 导数中函数单调性的应用 知识点2 导数中函数单调性的应用 1．比较大小： 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2．解不等式： 与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 【例6】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高三上·湖南·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026高三上·宁夏·专题练习）已知定义在上的函数的导数为，且有，若 ，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·湖南·模拟预测）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 【例7】（2026·四川眉山·模拟预测）已知可导函数的导函数为，若对任意，都有，且，则不等式的解集为（  ）. A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高三上·江西新余·阶段检测）已知是定义域为的函数的导函数，满足，且为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二下·云南玉溪·期中）已知函数的图象在处的切线与直线平行，其中为常数. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【变式7-3】（2026·辽宁·一模）已知函数，曲线在处的切线斜率为2. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $