专题01 导数的概念、运算与切线专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题01 导数的概念、运算与切线 导数 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、平均变化率与导数的定义 题型二、导数的运算法则与复合求导 题型三、曲线在某点与过某点的切线 题型四、公切线与切线条数 题型五、含参切线与切点问题 压轴挑战 ▍ 解题通法 导数把「瞬间的变化」写成可以运算的量： 既是瞬时变化率，也是曲线 在点 处切线的斜率，于是「求导—代点—写方程」成为一切切线问题的通法．求导的顺序由结构决定：先判断是和差、积、商还是复合，能化简的先化简，例如 与 先分离常数；而 是一个确定的数，出现在解析式里时它的导数为 ．「在某点」与「过某点」的差别在于切点是否已知：过曲线外一点必须先设切点，把点代入切线方程后得到关于切点横坐标的方程，切线的条数就是这个方程实根的个数；两条曲线共用一条切线时，斜率相等与截距相等要同时成立．含参数的切线问题总是翻译成两个等式——切点在曲线上、切线斜率等于该点导数值——联立后先消去一个未知量，再用整数、范围等条件取舍；最后由切线方程求出与坐标轴的交点，面积与距离才有落地的依据． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、平均变化率与导数的定义 ▸ 典例 1 用导数的定义求函数 在 处的导数，并写出曲线 在该点处的切线方程． （1）； （2）曲线在点 处的切线方程． 【答案】；切线方程为 ． 【分析】先按定义把平均变化率算成关于 的式子，再令 趋于 取极限得到斜率，最后用点斜式写切线． 【详解】解：（1）当 时， ． 令 ，得 ． （2）切点为 ，即 ，切线斜率 ． 由点斜式 ，整理得 ． 检验： 在 处也给出 ，与定义的结果一致． ▍ 题型模版 1.特征：给出平均变化率、某个极限式或具体函数，要求用定义求导数值、瞬时变化率，或由极限式的值反推 ． 2.方法：用定义求导时先把 化成关于 的最简式子再取极限；遇到 一类的极限式，先把分子自变量的增量与分母配成同一个量，配不上的系数提到极限外面． 3.提醒： 是一个数，不是函数；配系数时若分母的增量是分子增量的 ，极限值就是 ；平均变化率依赖于区间，瞬时变化率只依赖于点． ▸ 变式 1-1 设函数 在 处可导，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分子中自变量的增量是 ，分母却是 ，先配成同一个增量再取极限． 【详解】解：． 当 时 ，所以 ． 于是 ，即 ，选 B． 若把分母的 直接当成 ，会得到 ，这是漏掉系数 的典型错误． ▸ 变式 1-2 函数 在区间 （）上的平均变化率为            ，在 处的瞬时变化率为            ． 【答案】；． 【详解】解：，． 平均变化率为 ． 令 ，得瞬时变化率为 ，即 ． 检验：，，与定义一致． 故填 ；． ▍ 题型二、导数的运算法则与复合求导 ▸ 典例 2 下列求导运算正确的是（　　） 【答案】B 【分析】四个选项分别考查余弦、指数、对数与幂函数的求导公式，逐个对照公式即可，注意幂函数求导后指数要减 ． 【详解】解：，A 错误； ，B 正确； ，C 错误； ，D 错误． 故选 B． ▍ 题型模版 1.特征：给出由幂、指、对、三角函数经和差、积、商或复合得到的函数，要求求导或判断求导结果的正误． 2.方法：先按结构选定法则：积用「前导后不导加前不导后导」，商用「前导后不导减前不导后导」再除以分母的平方，复合函数由外向内逐层求导相乘；能先化简的先化简，把 写成 、把 分离成 都能减少运算量． 3.提醒： 是常数，含它的解析式求导时该项导数为 ； 而不是 ；复合求导最容易漏掉内层的导数，如 ． ▸ 变式 2-1 已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 是常数，先对整个式子求导，再令 解出这个常数． 【详解】解：因为 是常数，所以 ． 令 ，得 ，解得 ． 于是 ，令 得 ，选 B． 若先代入 再求导，就把 当成变量重复求导，得不到正确结果． ▸ 变式 2-2 下列求导运算正确的是（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】解：A 用积的法则，，正确； B 用复合求导，，正确； C 中 ，故 ，错误； D 用商的法则，，正确． 所以选 ABD． ▍ 题型三、曲线在某点与过某点的切线 ▸ 典例 3 曲线 在点 处的切线方程为（　　） 【答案】D 【分析】点在曲线上，切线斜率直接取导函数在 处的值，再用点斜式写方程． 【详解】解：，所以曲线在点 处的切线斜率为 ． 由点斜式 ，得 ，选 D． 选项 C 只取了 这一项，选项 B 只取了 这一项，都是把和的导数当成了一项的导数． ▍ 题型模版 1.特征：给出曲线与切点，求切线方程；或已知切线方程、斜率，反求解析式中的参数与切点坐标． 2.方法："在某点"时该点必为切点，取 后写 ；"过某点"时该点未必在曲线上，必须先设切点 ，把已知点代入切线方程解出 ；已知斜率求切点时令 ． 3.提醒：切线斜率是 ，不是纵坐标 ；直线与曲线相切要求在该点处导数存在且斜率相等，仅有公共点并不能说明相切；含 的曲线切点横坐标必须为正． ▸ 变式 3-1 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为            ． 【答案】 【详解】解：，所以 ． 又 ，即切点为 ． 切线方程为 ，化简得 ． 检验： 时右端为 ，切点确在切线上；故填 ． ▸ 变式 3-2 已知 ，函数 ．当 时，曲线 在点 处的切线方程为            ． 【答案】 【详解】解：当 时 ，． 求导得 ，所以 ． 切线方程为 ，即 ． 此处对 用的是复合求导：外层是平方，内层是 ，缺了内层的 就会得到 这类错误结果；故填 ． ▍ 题型四、公切线与切线条数 ▸ 典例 4 若直线 是曲线 的一条切线，则            ． 【答案】 【分析】切线斜率已知，先由 定出切点横坐标，再让切线在该点处的截距与 相等． 【详解】解：设 ，则 ． 设切点横坐标为 ，由斜率相等得 ，即 ，解得 ． 切点为 ，即 ，切线方程为 ，即 ． 与 比较常数项，得 ，所以 ． 检验： 时 在 处的切线恰为 ；故填 ． ▍ 题型模版 1.特征：一条直线同时与两条曲线相切；或要求过某一点的切线条数，以及由切线的条数反求参数范围． 2.方法：公切线问题分别设两条曲线的切点横坐标 、，由「斜率相等」与「截距相等」列两个方程；切线条数问题先写出以切点横坐标 为未知数的方程，再把「几条切线」翻译成该方程实根的个数，用判别式或函数图象的交点个数讨论． 3.提醒：公切线在两条曲线上的切点一般不同，不能设成同一个点；「有两条切线」要求方程有两个不相等的实根，判别式必须严格大于 ；约去 前要说明它恒大于 ；含 时要按 的正负分别求导． ▸ 变式 4-1 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则            ． 【答案】 【详解】解：，在 处斜率为 ，切线为 ． 设该切线与 相切于横坐标 （）处，． 由斜率相等得 ，解得 ． 此时 ，切线为 ，即 ． 与 比较得 ，即 ；故填 ． ▸ 变式 4-2 曲线 经过坐标原点的两条切线的方程分别为            和            ． 【答案】；． 【详解】解：先考虑 ，，． 设切点为 （），切线为 ．代入原点得 ，所以 ，切线为 ． 再考虑 ，，． 设切点为 （），切线为 ．代入原点得 ，即 ，，切线为 ． 两条切线关于 轴对称，与 的图象关于 轴对称一致；故填 与 ． ▍ 题型五、含参切线与切点问题 ▸ 典例 5 设函数 （ 是整数），已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则            ，            ． 【答案】；． 【分析】切线方程同时给出切点坐标与斜率，两条件相加可消去 ，剩下只含整数 的等式，再逐个整数检验． 【详解】解：，所以 ，． 切线 的斜率为 ，且当 时 ，即切点为 ． 于是 且 ． 两式相加，消去 得 ，即 ． 取 ，左端为 ，等式成立．当 时 ，由 知 ，等式不成立；当 时左端为 ，由 知 ；当 时左端为 ，当 时左端为负数，均不成立．故整数 只能为 ． 把 代入 ，得 ，即 ． 检验：、 时 且 ，切线正是 ；故填 ，． ▍ 题型模版 1.特征：解析式中含有未确定的系数或整数参数，条件以切线方程（斜率、过某点、与坐标轴围成图形）的形式给出，要求确定参数． 2.方法：把切线方程写成斜截式读出斜率与切点纵坐标，列出「切点在曲线上」与「斜率等于导数值」两个等式；两个未知量时优先相加或相减消去一次项系数，剩下含指数的等式再按整数或范围取值检验． 3.提醒：含 的式子求导要乘内层系数 ；由 只能得指数相等，前提是底数相同且不为 ；整数参数要逐个检验负数与零，避免漏解；切线与坐标轴围成三角形时，需截距都存在且不为 ． ▸ 变式 5-1 曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则            ． 【答案】 【详解】解：． 在 处，，由题意 ，解得 ． 点 在曲线上，因为 恒成立，所以该点就是切点；故填 ． ▸ 变式 5-2 若曲线 有两条经过坐标原点的切线，则 的取值范围是            ． 【答案】 【详解】解：． 设切点横坐标为 ，则切线为 ． 切线过原点，把 代入得 ． 因为 ，两边约去 ，得 ，整理为 ． 两条切线等价于这个关于 的方程有两个不相等的实根，故 ，即 ，解得 或 ． 当 时只有一个切点，即一条切线，不满足条件；故填 ． ▍ 压轴挑战 1．曲线 在点 处的切线方程为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在曲线上，斜率取 处导数值；、 用来化简． 【详解】解：，当 时 ． 切点为 ，切线方程为 ，即 ，选 C． 检验： 时右端为 ，与切点纵坐标一致． 2．已知 为偶函数，当 时 ，则曲线 在点 处的切线方程为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知解析式只在 时成立，先用偶函数求出 的解析式，再求导写切线． 【详解】解：当 时 ，由偶函数得 ． 此时 ，所以 ． 又 ，即 在曲线上，是切点． 切线方程为 ，即 ，选 A． 若直接对 求导并代入 ，会得到 ，这是没有换段的典型错误． 3．已知函数 ．当 时，曲线 在点 处的切线方程为 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 后分别对 与 求导，后者用积的法则；切点是 ． 【详解】解：当 时 ，，切点为 ． ． 所以 ，切线方程为 ，选 B． ，漏掉第二项会把斜率算成 或 ． 4．设函数 ，则 （　　）（多选） A． 有两个极值点 B． 有三个零点 C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线 【答案】AC 【分析】求导后看导函数变号得极值点；比较极小值与 定零点个数；把 的奇偶性与图象平移对应；切线用「设切点」验证． 【详解】解：，由 得 或 ． 当 或 时 ，当 时 ，导函数在两点两侧都变号，故 有两个极值点，A 正确． 极小值为 （因 ）． 又 在 上递增且趋于 ，在 上递增且 时 ，所以 只有一个零点，B 错误． 令 ，， 为奇函数，图象关于原点对称，从而 的图象关于点 对称，C 正确． 若直线 与曲线相切于横坐标 ，则 ，得 ． 当 时 ，切线为 ，即 ；当 时 ，切线为 ，都不是 ，D 错误． 所以选 AC． 5．下列关于导数的说法正确的是 （　　）（多选） A．函数 在 处的导数是曲线 在点 处切线的斜率 B．平均变化率 的几何意义是曲线上一条割线的斜率 C．若 ，则 是函数 的极值点 D．曲线 在点 处的切线与该曲线还有另一个公共点 【答案】ABD 【详解】解：A 是导数的几何意义，正确． B 中 正是过两点 与 的割线斜率，正确． C 错误：取 ，，但 在 两侧同为增， 不是极值点；极值点还要求导函数在该点两侧变号． D 正确： 在 处的切线为 ．令 ，得 ，即 ． 所以公共点的横坐标为 （切点）与 ，另一个公共点为 ，故选 ABD． 6．已知函数 ，则曲线 在 处的切线斜率为            ． 【答案】 【详解】解： 是两个因式的积，用积的法则：，． 所以 ． 代入 ，得 ． 切线斜率即该点导数值，无须再写切线方程；故填 ． 7．已知 ，函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为            ． 【答案】 【详解】解：，切点为 ． ，所以 ． 切线方程为 ，即 ． 含参切线方程要写成关于 的一次式，参数无法再化简时保留字母；故填 ． 8．已知函数 ． （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）当 时，证明 ． 【答案】（1）；（2）见详解． 【分析】第（1）问直接代 求斜率；第（2）问作差构造 ，只用 与 的大小关系定 的符号． 【详解】（1）解：，即切点为 ． ，故 ． 所以切线方程为 ，即 ． （2）证明：令 ，则 ，且 ． 当 时，，于是 ，故 ， 在该区间上单调递减． 因此当 时 ． 当 时，，于是 ，故 ， 在 上单调递增，从而 ． 又 ，所以对任意 有 ，即 ，当且仅当 时取等号． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 导数的概念、运算与切线 导数 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、平均变化率与导数的定义 题型二、导数的运算法则与复合求导 题型三、曲线在某点与过某点的切线 题型四、公切线与切线条数 题型五、含参切线与切点问题 压轴挑战 ▍ 解题通法 导数把「瞬间的变化」写成可以运算的量： 既是瞬时变化率，也是曲线 在点 处切线的斜率，于是「求导—代点—写方程」成为一切切线问题的通法．求导的顺序由结构决定：先判断是和差、积、商还是复合，能化简的先化简，例如 与 先分离常数；而 是一个确定的数，出现在解析式里时它的导数为 ．「在某点」与「过某点」的差别在于切点是否已知：过曲线外一点必须先设切点，把点代入切线方程后得到关于切点横坐标的方程，切线的条数就是这个方程实根的个数；两条曲线共用一条切线时，斜率相等与截距相等要同时成立．含参数的切线问题总是翻译成两个等式——切点在曲线上、切线斜率等于该点导数值——联立后先消去一个未知量，再用整数、范围等条件取舍；最后由切线方程求出与坐标轴的交点，面积与距离才有落地的依据． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、平均变化率与导数的定义 ▸ 典例 1 用导数的定义求函数 在 处的导数，并写出曲线 在该点处的切线方程． （1）； （2）曲线在点 处的切线方程． ▍ 题型模版 1.特征：给出平均变化率、某个极限式或具体函数，要求用定义求导数值、瞬时变化率，或由极限式的值反推 ． 2.方法：用定义求导时先把 化成关于 的最简式子再取极限；遇到 一类的极限式，先把分子自变量的增量与分母配成同一个量，配不上的系数提到极限外面． 3.提醒： 是一个数，不是函数；配系数时若分母的增量是分子增量的 ，极限值就是 ；平均变化率依赖于区间，瞬时变化率只依赖于点． ▸ 变式 1-1 设函数 在 处可导，且 ，则 （　　） A． B． C． D． ▸ 变式 1-2 函数 在区间 （）上的平均变化率为            ，在 处的瞬时变化率为            ． ▍ 题型二、导数的运算法则与复合求导 ▸ 典例 2 下列求导运算正确的是（　　） ▍ 题型模版 1.特征：给出由幂、指、对、三角函数经和差、积、商或复合得到的函数，要求求导或判断求导结果的正误． 2.方法：先按结构选定法则：积用「前导后不导加前不导后导」，商用「前导后不导减前不导后导」再除以分母的平方，复合函数由外向内逐层求导相乘；能先化简的先化简，把 写成 、把 分离成 都能减少运算量． 3.提醒： 是常数，含它的解析式求导时该项导数为 ； 而不是 ；复合求导最容易漏掉内层的导数，如 ． ▸ 变式 2-1 已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． ▸ 变式 2-2 下列求导运算正确的是（　　）（多选） A． B． C． D． ▍ 题型三、曲线在某点与过某点的切线 ▸ 典例 3 曲线 在点 处的切线方程为（　　） ▍ 题型模版 1.特征：给出曲线与切点，求切线方程；或已知切线方程、斜率，反求解析式中的参数与切点坐标． 2.方法："在某点"时该点必为切点，取 后写 ；"过某点"时该点未必在曲线上，必须先设切点 ，把已知点代入切线方程解出 ；已知斜率求切点时令 ． 3.提醒：切线斜率是 ，不是纵坐标 ；直线与曲线相切要求在该点处导数存在且斜率相等，仅有公共点并不能说明相切；含 的曲线切点横坐标必须为正． ▸ 变式 3-1 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为            ． ▸ 变式 3-2 已知 ，函数 ．当 时，曲线 在点 处的切线方程为            ． ▍ 题型四、公切线与切线条数 ▸ 典例 4 若直线 是曲线 的一条切线，则            ． ▍ 题型模版 1.特征：一条直线同时与两条曲线相切；或要求过某一点的切线条数，以及由切线的条数反求参数范围． 2.方法：公切线问题分别设两条曲线的切点横坐标 、，由「斜率相等」与「截距相等」列两个方程；切线条数问题先写出以切点横坐标 为未知数的方程，再把「几条切线」翻译成该方程实根的个数，用判别式或函数图象的交点个数讨论． 3.提醒：公切线在两条曲线上的切点一般不同，不能设成同一个点；「有两条切线」要求方程有两个不相等的实根，判别式必须严格大于 ；约去 前要说明它恒大于 ；含 时要按 的正负分别求导． ▸ 变式 4-1 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则            ． ▸ 变式 4-2 曲线 经过坐标原点的两条切线的方程分别为            和            ． ▍ 题型五、含参切线与切点问题 ▸ 典例 5 设函数 （ 是整数），已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则            ，            ． ▍ 题型模版 1.特征：解析式中含有未确定的系数或整数参数，条件以切线方程（斜率、过某点、与坐标轴围成图形）的形式给出，要求确定参数． 2.方法：把切线方程写成斜截式读出斜率与切点纵坐标，列出「切点在曲线上」与「斜率等于导数值」两个等式；两个未知量时优先相加或相减消去一次项系数，剩下含指数的等式再按整数或范围取值检验． 3.提醒：含 的式子求导要乘内层系数 ；由 只能得指数相等，前提是底数相同且不为 ；整数参数要逐个检验负数与零，避免漏解；切线与坐标轴围成三角形时，需截距都存在且不为 ． ▸ 变式 5-1 曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则            ． ▸ 变式 5-2 若曲线 有两条经过坐标原点的切线，则 的取值范围是            ． ▍ 压轴挑战 1．曲线 在点 处的切线方程为 （　　） A． B． C． D． 2．已知 为偶函数，当 时 ，则曲线 在点 处的切线方程为 （　　） A． B． C． D． 3．已知函数 ．当 时，曲线 在点 处的切线方程为 （　　） A． B． C． D． 4．设函数 ，则 （　　）（多选） A． 有两个极值点 B． 有三个零点 C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线 5．下列关于导数的说法正确的是 （　　）（多选） A．函数 在 处的导数是曲线 在点 处切线的斜率 B．平均变化率 的几何意义是曲线上一条割线的斜率 C．若 ，则 是函数 的极值点 D．曲线 在点 处的切线与该曲线还有另一个公共点 6．已知函数 ，则曲线 在 处的切线斜率为            ． 7．已知 ，函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为            ． 8．已知函数 ． （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）当 时，证明 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $