导数的概念与运算 常见题型训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦导数概念与运算，以题型递进构建从概念到切线综合应用的完整训练体系，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平均变化率|5题|给定函数与区间求变化率|从平均到瞬时的概念过渡| |瞬时变化率|3题|结合物理背景理解极限思想|导数定义的直观铺垫| |导数概念|4题|导数定义式的变形应用|概念到符号表达的转化| |导数运算|5题|四则运算与复合求导辨析|运算法则的系统训练| |切线方程|13题（含8道解答题）|在点/过点切线及参数求解|几何意义的深化应用| |切线条数|5题|含参数切线存在性问题|方程思想与分类讨论结合|

人教A版选择性必修第二册 专题复习 导数的概念与运算 【考点清单】 【考点题型一】求平均变化率 1-1．已知函数，则在上的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，函数， 则在上的平均变化率． 1-2．函数在区间上的平均变化率为（    ） A．4 B．12 C． D． 【答案】A 【详解】函数在区间上的平均变化率为： . 1-3．函数在区间 上的平均变化率为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】， 平均变化率为：． 1-4．设函数，当自变量x由1变到5时，的平均变化率为（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】D 【详解】由题意得当自变量x由1变到5时，的平均变化率为. 1-5．函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B．b C． D．a 【答案】C 【详解】根据平均变化率公式可得：． 【考点题型二】瞬时变化率 2-1．若一个质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是（    ） A．-6 B．6 C．3 D．-3 【答案】B 【详解】因为当无限趋近于0时，无限趋近于常数6， 所以该质点在时的瞬时速度为6. 2-2．某物体做自由落体运动时的位移（位移单位：，时间单位：），若 ，则是该物体（     ） A．从到这段时间的平均速度 B．从到这段时间的平均速度 C．在这一时刻的瞬时速度 D．在这一时刻的瞬时速度 【答案】C 【详解】根据如果当时，有极限，我们就说函数在点处可导， 这个极限叫做在点处的导数（即瞬时变化率，简称变化率）， 可知表示在这一时刻的瞬时速度． 2-3．已知，则函数在处的瞬时变化率为（   ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】C 【详解】依题意， 所以函数在处的瞬时变化率为． 【考点题型三】导数的概念 3-1．已知函数在处可导，且，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据导数定义，， 已知，所以， 令，当时，，则， 因此，解得. 3-2．若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在处可导， 所以. . 3-3．已知，则______． 【答案】 【分析】将所求极限式拆分为两个符合导数定义的形式，代入已知的导数值计算即可得到结果． 【详解】 ． 3-4．已知，则______. 【答案】9 【详解】因为， 所以. 【考点题型四】导数的加减乘除，复合运算 4-1．以下求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A，，故选项A错误； 选项B，，故选项B正确； 选项C，，故选项C正确；     选项D，，故选项D正确. 4-2．已知x是自变量，下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，．故A错误； 对于B选项，．故B错误； 对于C选项，．故C正确； 对于D选项，．故D错误. 4-3．下列求导运算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，，， 故ABC正确，D错误. 4-4．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，而，所以选项A错误. 对于B，，而不是，所以选项B错误. 对于C，，所以选项C正确. 对于D，，而不是，所以选项D错误. 4-5．函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，故. 【考点题型五】求在某一点处切线 5-1．曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 5-2．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求切点坐标，再求函数在切点处的导数值得到切线斜率，最后由点斜式整理得到切线方程. 【详解】函数的定义域为，切点为： 得，即切点为； ，代入得斜率； 切线方程为，整理得. 5-3．函数在点处的切线的斜率为________． 【答案】 【详解】由，得， 则，即函数在点处的切线的斜率为. 5-4．曲线在处的切线方程为______． 【答案】 【详解】由题可得，由于，， 所以曲线在处的切线方程为，即． 5-5．若曲线，则曲线在的切线方程为_______________. 【答案】 【分析】先求出切点，再根据导数的几何意义求出斜率，代入点斜式方程求出直线方程即可. 【详解】解：由题可得， 当时，，， 所以切点坐标为，斜率为， 因此切线方程为，即. 【考点题型六】求过某一点处切线 6-1．过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设曲线切点为，利用导数的几何意义与两点间斜率公式得到，解出后代入曲线方程即得切点坐标. 【详解】设切点坐标为，. 由，求导得，则切线的斜率. 因为切线过原点和切点，所以斜率. 又切点在曲线上，则，即得. 解得，即. 将其代入曲线方程得，所以切点坐标为. 6-2．已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（    ） A．无数条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】B 【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，利用导数的几何意义求出过原点的切线方程即可. 【详解】设过原点作函数的切线的切点为， 而，则， 因此切线方程为， 由切线过原点，得， 则或，当时，切线方程为； 由，得或， 当时，切线方程为； 当时，切线方程为， 所以过原点可作函数图象的切线条数为3. 6-3．过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 【答案】D 【分析】分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解． 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以 ， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或． 6-4．曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______． 【答案】 【详解】已知，则， 设切点坐标为，则切线斜率为， 此时切线方程为， 因为曲线的一条切线经过点， 所以，即， 因为恒成立，所以，此时切线斜率，切点坐标为， 则该切线方程为，即. 6-5．曲线过点的两条切线的方程为________，________. 【答案】 【分析】分和，设切点，得出。结合点斜式求出的切线方程. 【详解】当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为， 当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为； 6-6．已知函数，求过原点的切线方程． 【答案】和 【分析】设出切点坐标，利用导数几何意义写出切线方程，代入原点坐标求解切点横坐标，由点斜式即可得到切线方程. 【详解】 因为， 所以在定义域上处处可导，即过原点的切线的斜率存在. 设过原点的切线与曲线的切点为，则切线斜率， 所以切线方程为， 由切线过原点得，即，解得或. 当时，切点为，切线的斜率为，所以切线方程为； 当时，切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即． 综上，所求切线方程为和． 6-7．已知曲线 . (1)求曲线在点 处的切线方程； (2)求曲线过点 的切线方程. 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）先求函数导数，计算点处的切线斜率，利用点斜式得切线方程； （2）分点是切点和不是切点两种情况，设切点坐标，结合导数的几何意义与两点斜率公式求解切点，进而得到切线方程. 【详解】（1）已知函数，求导得， 则曲线在点处的切线斜率， 由点斜式可得切线方程为， 整理得. （2）分两种情况讨论： ① 当切点为时，由（1）得切线方程为； ② 当切点不为时，设切点为，其中， 则切线斜率， 又切线过点，故， 因此有， 化简得， 整理得，解得（舍去）， 此时切线斜率，切线方程为，即， 综上，过点的切线方程为或. 6-8．已知函数，曲线在点处的切线方程是． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）结合切点既在曲线上又在切线上的条件，列方程组即可求解； （2）通过设切点，利用切线方程过已知点的条件，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 则， 解得，． （2）由（1）可知，则． 当切点是时，所求切线斜率， 则所求切线方程为，即． 当切点不是时，设与曲线相切的切点为， 由导数的几何意义可得， 整理得，即， 解得（舍去）， 则所求切线斜率， 故所求切线方程为，即． 综上，所求切线方程为或． 【考点题型七】已知切线（斜率）求参数 7-1．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数________． 【答案】/ 【分析】对函数求导数，然后根据切线与已知直线垂直建立方程求解即可. 【详解】因为直线的斜率为：， 又曲线在点处的切线与直线垂直， 所以曲线在点处的切线的斜率为：， 由，则， 所以，解得：. 7-2．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 设切线斜率为，则， 又因为切线与直线垂直， 所以，即，解得. 7-3．若曲线在处的切线方程为，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】设，则， 由题意得，解得. 7-4．已知曲线在点处的切线方程为，则实数的值为（ ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义求出切点横坐标，再将切点坐标代入切线方程即可求解的值. 【详解】设切点 ，由导数的几何意义可知，曲线在点处切线的斜率等于函数在该点的导数值， 对 求导得，因此， 已知切线方程为，其斜率为，故 ，解得， 即切点坐标为，将切点坐标代入切线方程得 ，解得. 7-5．已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值为（   ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】已知的图象在点处的切线方程是， ， 当时，，则． 【考点题型八】已知切线的条数求参数 8-1．若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，由已知建立方程，利用方程无解列式求解. 【详解】函数，求导得， 则函数的图象在处的切线方程为， 由原点不在该切线上，得关于切点横坐标的方程无解， 即无解，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 8-2．已知曲线有两条过点的切线，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点，求出切线方程，将点代入切线方程，得到关于的一元二次方程；曲线有两条过点的切线等价于方程有2个不等实根，得到，解不等式即可. 【详解】. 设切点坐标为，其中. 在切点处的切线斜率为， 则切线方程可表示为. 又切线过点，则， 因为，所以，整理得. 因为曲线有两条过点的切线，等价于关于的方程有2个不等实根，即， 而，所以， 解得或. 故实数t的取值范围是. 8-3．已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】设切点坐标，求导确定切线方程，代入，得到，由方程根的个数，转换成在上单调，进而可求解. 【详解】由，定义域为， 导数，设切点为 ， 切线斜率为​， 则切线方程：，又切线过点 ， 代入整理得： 由题意对任意，方程关于仅有一个解， 即函数在上单调， 求导得： ​ ，又， 符号由分子 决定， 要让单调，需恒正或恒负对所有成立， 当时，恒成立，此时当时，恒正或恒负不成立， 当时，若恒正或恒负对所有成立， 需满足和有相同零点， 有正根​​，，得， 即，解得​； 此时 对所有恒成立， 仅处等号成立，在单调递减，且，， 故对任意，方程仅有一个解，符合要求； 因此. 8-4．若过点可以作函数的三条不同的切线，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，根据题意结合导数的几何意义可得，令，题意等价于与有3个交点，利用导数结合函数图象即可得结果. 【详解】因为，则， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 代入点可得，即， 令，原题意等价于与有3个交点， 因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则的极小值为，极大值为， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 可得，所以t的取值范围是. 8-5．过点可向曲线作三条切线，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】设切点坐标为，借助导数的几何意义计算可得切线方程为，将点代入，可得，构造相应函数，则可得该函数的图象与直线有三个不同交点，借助导数研究单调性后计算即可得解. 【详解】设曲线的切点坐标为，， 则切线方程为， 点在该直线上，有， 整理得， 由题意可得函数的图象与直线有三个不同交点， ， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， ，， 又当时，，时，， 故当时，函数的图象与直线有三个不同交点， 即实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修第二册 专题复习 导数的概念与运算 【考点清单】 【考点题型一】求平均变化率 1-1．已知函数，则在上的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 1-2．函数在区间上的平均变化率为（    ） A．4 B．12 C． D． 1-3．函数在区间 上的平均变化率为（   ） A． B． C．1 D． 1-4．设函数，当自变量x由1变到5时，的平均变化率为（    ） A．4 B．2 C．0 D． 1-5．函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B．b C． D．a 【考点题型二】瞬时变化率 2-1．若一个质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是（    ） A．-6 B．6 C．3 D．-3 2-2．某物体做自由落体运动时的位移（位移单位：，时间单位：），若 ，则是该物体（     ） A．从到这段时间的平均速度 B．从到这段时间的平均速度 C．在这一时刻的瞬时速度 D．在这一时刻的瞬时速度 2-3．已知，则函数在处的瞬时变化率为（   ） A．1 B．0 C． D．2 【考点题型三】导数的概念 3-1．已知函数在处可导，且，则（） A． B． C． D． 3-2．若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 3-3．已知，则______． 3-4．已知，则______. 【考点题型四】导数的加减乘除，复合运算 4-1．以下求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 4-2．已知x是自变量，下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4-3．下列求导运算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 4-4．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 4-5．函数，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】求在某一点处切线 5-1．曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 5-2．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5-3．函数在点处的切线的斜率为________． 5-4．曲线在处的切线方程为______． 5-5．若曲线，则曲线在的切线方程为_______________. 【考点题型六】求过某一点处切线 6-1．过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 6-2．已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（    ） A．无数条 B．3条 C．2条 D．1条 6-3．过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 6-4．曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______． 6-5．曲线过点的两条切线的方程为________，________. 6-6．已知函数，求过原点的切线方程． 6-7．已知曲线 . (1)求曲线在点 处的切线方程； (2)求曲线过点 的切线方程. 6-8．已知函数，曲线在点处的切线方程是． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 【考点题型七】已知切线（斜率）求参数 7-1．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数________． 7-2．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 7-3．若曲线在处的切线方程为，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．2 7-4．已知曲线在点处的切线方程为，则实数的值为（ ） A．1 B．2 C．0 D． 7-5．已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值为（   ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【考点题型八】已知切线的条数求参数 8-1．若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8-2．已知曲线有两条过点的切线，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8-3．已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 8-4．若过点可以作函数的三条不同的切线，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8-5．过点可向曲线作三条切线，则实数的取值范围为________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $