专题01 等差、等比数列的判定与基本量 压轴题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题01 等差、等比数列的判定与基本量 数列 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、等差数列的判定与证明 题型二、等比数列的判定与证明 题型三、基本量方程（首项、公差／公比与前n项和） 题型四、下标和性质与整体运算 题型五、前n项和的最值与项的符号变化 压轴挑战 ▍ 解题通法 等差、等比数列的判定与基本量运算是全章的入口．判定只看相邻两项的差或比： 恒为常数即为等差， 恒为同一非零常数即为等比，凡条件给出 与 的关系式，都要先用 （）变形，并单独检验 时 是否符合，否则结论不成立．基本量只看两个数：等差取 与 ，等比取 与 ，、、、、 五个量中知三求二，把每个条件都翻译成关于这两个量的方程即可．下标和性质把运算转移到下标上，当 时 ，等比中相应地有 ，配平下标常能整体求出中间项而无需先解首项． 的最值取决于项的符号， 由正变负之处正是 由增转减之处，既可把 写成 的二次函数配方，也可用 与 夹出 ，两种做法都要检验等号能否取到以及 是否为正整数． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、等差数列的判定与证明 ▸ 典例 1 记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，则（　　） 【答案】C 【分析】两个方向都要证：正向把 的公式代入 化简，反向由 是等差数列设出关于 的一次式，再用 求通项并补验 ． 【详解】若 为等差数列，设公差为 ，则 ， 于是 ，是以 为首项、 为公差的等差数列，故甲 乙． 反之，若 为等差数列，设 （、 为常数），则 ． 当 时，． 当 时，，与上式取值相同，故 对一切 成立． 从而 为与 无关的常数， 为等差数列，即乙 甲． 综上，甲是乙的充要条件，选 C． ▍ 题型模版 1.特征：给出通项公式、递推式或前 项和的表达式，要求判断（证明）数列是等差数列，或判断「 为等差数列」与「（或 ）为等差数列」之间的条件关系． 2.方法：定义法最稳妥：对一切 证明 为常数；由 的表达式判定，则先写成 的形式，此时 必为等差数列；中项法 只能保证相邻三项的关系，必须回到定义补验首项． 3.提醒：由 求 的公式 只对 成立，必须单独验证 ； 中只有 时 才是等差数列，否则从第二项起才成等差；判断充要关系时两个方向都要给出依据，反向用特例否定． ▸ 变式 1-1 已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，从下面（1）（2）（3）中选取两个作为条件，证明另外一个成立．（1）数列 是等差数列；（2）数列 是等差数列；（3）． （1）选（1）（2），证明（3）； （2）选（1）（3），证明（2）； （3）选（2）（3），证明（1）． 【答案】三种组合都成立，证明见详解． 【分析】关键是把「等差数列的前 项和」翻译成 的二次式： 等差 （常数项为 ）； 等差 ，比较两种形式即可定出 ． 【详解】（1）设 的公差为 ，则 的形式，平方得 ． 因为 是等差数列，所以 ，常数项为 ． 两式对一切 恒等，比较常数项得 ，即 ，于是 ． 故 ，，所以 ，（3）成立． （2）由 是等差数列且 ，得公差 ， 所以 ． 由各项均为正数知 ，故 ，从而 为常数， 是等差数列，（2）成立． （3）设 ，则 ，． 于是 ．若 ，则 ，此时 ，与 矛盾（ 由 随 增大而增大确定）． 故只能 ，即 ，，． 当 时 ；当 时 也符合上式，故 ， 从而 为常数， 是等差数列，（1）成立． ▸ 变式 1-2 已知数列 是公差不为 的等差数列，其前 项和为 ，且满足 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． 最小 D． 【答案】AB 【分析】先把条件化为 与 的一个方程，解出 ，于是通项含公因子 ，逐项核对 、 与 、；最值一项因 的符号未知而无法确定． 【详解】设公差为 （），则 ，． 由 ，得 ，即 ． 所以 ，取 得 ，A 正确． 又 ，故 ，B 正确． ，其最值取决于 的符号： 时 最小， 时 最大，题中未给出 的符号，故 C 不一定成立． ，D 错误． 所以选 AB． ▍ 题型二、等比数列的判定与证明 ▸ 典例 2 记 为数列 的前 项和，已知 ． （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）用 定首项，再用 与 作差得 ，据此判定为等比数列；（2）先约去符号因子化为 ，再错位相减． 【详解】（1）当 时，，得 ． 当 时，，，两式相减得 ， 即 ，亦即 （常数）， 所以 是首项为 、公比为 的等比数列，故 ． （2）由（1）得 ． 设 ，则 ． 两式相减得 ， 所以 ， 从而 ，即 ． ▍ 题型模版 1.特征：给出递推式、 与 的关系式或变换后的新数列，要求判断（证明） 是等比数列，并求通项或前 项和． 2.方法：定义法需对一切 证明 且 、各项非零；由 判定，可用 （，，）这一特征形式；需要构造时，把 配成 ，则 为等比数列． 3.提醒：等比数列要求每一项都不为 且 ，判定前先确认 ；用两式相减得到的递推只对 成立，首项必须代回原式单独求出；约去 、、 一类因子前，要先说明其不为 ，公比 与 的情形要单独排除． ▸ 变式 2-1 等比数列 的公比为 ，前 项和为 ．设甲：，乙： 是递增数列，则（　　） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】充分性举反例 且 ；必要性把 递增翻译成 对一切 成立，再由 、 定出 与 的符号． 【详解】先看甲能否推出乙：取 ，，则 是各项均为 的等比数列， 递减，故甲不是乙的充分条件． 再看乙能否推出甲：若 递增，则对一切 有 ． 取 、 得 ，． 由 知 ，故 给出 ；再由 与 得 ，即乙 甲． 所以甲是乙的必要条件但不是充分条件，选 B． ▸ 变式 2-2 设 是等比数列，则下列结论中正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】AD 【分析】逐项用公比 表示，判断时注意 可正可负：结论不恒成立的，只需给出一组 、 的反例． 【详解】A 项：，又 ，故 ，A 正确． B 项：，其符号由 决定．取 ，，则 ，而 ，B 错误． C 项： 即 ，而 的符号还取决于 ．取 ，，则 ，但 ，C 错误． D 项：由 得 且 ， 于是 ，故 ，D 正确． 所以选 AD． ▍ 题型三、基本量方程（首项、公差／公比与前n项和） ▸ 典例 3 已知 为等差数列， 是公比为 的等比数列，且 ． （1）证明：； （2）求集合 中元素的个数． 【答案】（1）证明见详解；（2）． 【分析】（1）把 、、 用 、 表示，、、 用 表示，由两个等式联立消去 ；（2）由（1）把 、 都用 表示，约去 后得到 与 的指数关系，再用 夹出整数 ． 【详解】（1）设 的公差为 ， 的首项为 ，则 ，，， 且 ，，． 由 得 ，化简得 ． 由 得 ，化简得 ． 将 代入得 ，所以 ． （2）由（1）知 （等比数列首项不为 ），且 ， 故 ，． 由 得 ，两边同除以 得 ， 即 ．由 得 ． 因为 ，所以 ，即 ， 故集合中元素的个数为 ． ▍ 题型模版 1.特征：给出若干项或若干前 项和的具体数值，要求通项、某一项或某个前 项和；条件多为 、（或 ）与 的混合等式． 2.方法：统一设基本量：等差设 、，等比设 、，把每个条件都写成关于这两个未知数的方程（组）；方程个数与未知数个数相当时直接解出，不能一一相当时用整体代换，把 或 视为一个未知量． 3.提醒： 中 易算错；等比求和须先排除 才能用 ；解出 后要按「各项均为正数」「公差不为 」等限制取舍，负根、零根都要舍去． ▸ 变式 3-1 设等比数列 的各项均为正数，前 项和为 ，若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由 把 、 直接写成 的多项式，因式分解后用「各项均为正数」限定 定根，再逐项相加求 ． 【详解】由 得 ，， 代入 得 ， 移项整理得 ，即 ，亦即 ． 等比数列要求 ；各项均为正数给出 ，故 与 都舍去，只能 ． 于是 ，选 C． ▸ 变式 3-2 记 为等差数列 的前 项和．若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把 、、 都用 与 表示，条件化为只含 的一次方程；亦可由 、 把条件化为 ． 【详解】设公差为 ，则 ，，． 代入 得 ，即 ． 再把 代入，得 ，所以 ． 故 ，选 B． ▍ 题型四、下标和性质与整体运算 ▸ 典例 4 记 为等差数列 的前 项和．若 ，，则 （　　） 【答案】C 【分析】由 得 ，先定出 ；再由 得 ，从而求出公差；最后用 整体求解，不必解出 ． 【详解】因为 ，所以 ，得 ． 由 得 ，于是公差 ． 从而 ，． 因为 ，所以 ， 故 ，选 C． ▍ 题型模版 1.特征：条件与结论都以「若干项之和（或积）」的形式给出，项的下标分散但下标之和有明显规律，直接解首项与公差（公比）运算量大． 2.方法：等差数列中 时 ，特别地 （ 为偶数）；，故 与中间项可互相转化．等比数列中相应地有 ，、、 成等比（公比 ）或等差（公差 ）．先把下标配平，再整体代入． 3.提醒：等比数列中 只能定出乘积，开方求单项时要按项的符号取舍，（）常给出 两值；片段和性质里片段是 、、，不要把 直接当作第二片； 用不到中间项，需回到 ． ▸ 变式 4-1 若一个各项均为正数的等比数列的前 项和等于 ，前 项和等于 ，则这个数列的公比等于           ． 【答案】 【分析】先排除 ，再用 这一整体关系定出 ，最后由正项条件取 ． 【详解】若 ，则 ，故 ． 设首项为 ，则 ，． 两式相除得 ，所以 ． 因为各项均为正数，所以 且 ，故 ． 检验： 时 ，与前 项和为 相符． 故填 ． ▸ 变式 4-2 记 为等比数列 的前 项和．若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把 、 都写成 乘以关于 的多项式，先由 定出 ，再由 定出 ，全程不解 与 ． 【详解】若 ，则 ，与 （此时 ）矛盾，故 ；又 知 ． 由 与 ，且 ，得 ， 即 ，由 得 （ 舍去）． 又 ，所以 ． 于是 ，选 C． ▍ 题型五、前n项和的最值与项的符号变化 ▸ 典例 5 设数列 是等差数列， 是其前 项和，，且 ，则（　　） 【答案】BC 【分析】 等价于 ，结合 定出 ，于是 由正转负， 在含零项处取得最大值． 【详解】由 ，得 ，B 正确． 又 ，即 ，由 得 ，A 错误． 因为 ，所以 ，， 故 时 ，， 时 ， 于是 ， 的最大值为 或 ，C 正确． 由 得 ，D 错误． 所以选 BC． ▍ 题型模版 1.特征：要求 的最大（小）项、使 （或 ）成立的一切 ，或已知两个 相等判断数列的单调性与最值位置． 2.方法：通法一：把 看成 的二次函数，配方后用对称轴 定位，取离对称轴最近的正整数．通法二：追踪项的符号，、 时，解 且 得最大值处；、 时同理得最小值处．比较 与 （或与 ）的大小时，把不等式化成关于 的二次不等式再结合 取值． 3.提醒：当某个 时 与 同为最值，答题要写成两个下标；对称轴不是整数时须把两侧最近的正整数都代入比较；同除（或乘）、 这类符号未定的量时，必须先判定符号再决定不等号是否反向． ▸ 变式 5-1 记 为等差数列 的前 项和，已知 ，． （1）求 的通项公式； （2）求 ，并求 的最小值． 【答案】（1）；（2），最小值为 ． 【分析】（1）用 直接定出 ，再求公差；（2）配方或用项的符号变化定位最小值，两者互相印证． 【详解】（1）由 得 ，故公差 ， 所以 ． （2）． 因为 且 可取到，所以当 时 取得最小值 ． 另法（项的符号）：由 得 ，，故 ， 在 处最小，，与配方法一致． ▸ 变式 5-2 设等差数列 的公差为 ，若数列 为递减数列，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把新数列的单调性翻译成相邻两项之比小于 ，指数上是 ，再用底数 时指数函数递增定号． 【详解】记 ，因为 （否则 为常数列），故 ， 于是 递减等价于 ． 又 在 上单调递增且 ，所以 等价于 ． 反之当 时 恒成立， 确为递减数列，故条件即 ． 此时 与 异号， 的符号无法单独确定，A、B、C 都不能选，选 D． ▍ 压轴挑战 1．记 为等差数列 的前 项和．若 ，，则 的公差为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个条件都化成 与 的二元一次方程组，相减消去 ；也可用 整体转化． 【详解】设公差为 ，则 ． 又 ，即 ． 两式相减得 ，所以 ，选 C． 检验：由 得 ，，，与题设相符． 2．记 为等比数列 的前 项和．若 ，，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用片段和性质：、、 成等比，先求该片等比数列的公比再回推第三片． 【详解】若 ，则 ，与 矛盾，故三段片段 、、 均非零且成等比数列． 其中 ，，所以该片等比数列的公比为 ． 于是 ，故 ，选 A． 检验：由 得 ，与片段和法结果一致． 3．记 为等差数列 的前 项和．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把 、 写成关于 、 的方程组，解出基本量后同时核对通项与 两个表达式． 【详解】设公差为 ．由 得 ；由 ． 两式联立：由第一式 ，代入第二式得 ，即 ，． 所以 ，A 正确，B 错误． 又 ，故 C、D 都不正确． 检验：，，符合题设，选 A． 4．已知等比数列 的前 项和为 ，，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先排除 ，再把两式写成 与 ，两式相除并利用 约去公共因子定出 ． 【详解】若 ，则 ，与 矛盾，故 ． 设公比为 ，则 ，． 两式相除，并用 （其中 恒成立），得 ， 即 ，，解得 ． 代回得 ，所以 ． 故 ，选 D． 5．设 是等比数列，且 ，，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连续三项的和仍成等比，公比就是原数列的公比 ，因此不必求 ，只需求出 再整体乘 ． 【详解】记 ，，则 ， 由 ， 得 （此时 ，可以相除）． 同理 ． 检验： 得 ， 而 ，与整体法一致，选 D． 6．记 为等差数列 的前 项和．若 ，，则           ． 【答案】 【分析】两条件展开为 与 ，解出基本量后代入 ． 【详解】设首项为 ，公差为 ，则 ， ． 第一式乘 得 ，与第二式相减得 ，即 ，代回得 ． 所以 ． 检验：，，则 ；，与题设相符，故填 ． 7．记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为           ． 【答案】 【分析】先排除 ，用 约去非零因子 ，得关于 的一次方程． 【详解】若 ，则 ，，由等比数列 知等式不成立，故 ． 由 得 ， 约去 ，得 ，即 ． 因 故 ，可约去，得 ，即 ． 实数范围内 ，故填 ． 8．记 为等差数列 的前 项和，已知 ． （1）若 ，求 的通项公式； （2）若 ，求使得 的 的取值范围． 【答案】（1）；（2）（）． 【分析】（1）由 与 得 ，配合 定公差；（2）用 把 、 都表示成只含 的式子，再在 的条件下解关于 的二次不等式． 【详解】（1）因为 ，由 得 ，即 ． 又 ，故 ， 于是 ． （2）由 得 ，结合 得 ． 从而 ，． 不等式 即 ，两边同除以 ，因 不等号反向， 得 ，即 ，， 解得 ，又 ，故 的取值范围是 ． 检验： 时 成立； 时 ，，等号成立； 时 ，，由 知 ，不成立，与范围一致． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 等差、等比数列的判定与基本量 数列 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、等差数列的判定与证明 题型二、等比数列的判定与证明 题型三、基本量方程（首项、公差／公比与前n项和） 题型四、下标和性质与整体运算 题型五、前n项和的最值与项的符号变化 压轴挑战 ▍ 解题通法 等差、等比数列的判定与基本量运算是全章的入口．判定只看相邻两项的差或比： 恒为常数即为等差， 恒为同一非零常数即为等比，凡条件给出 与 的关系式，都要先用 （）变形，并单独检验 时 是否符合，否则结论不成立．基本量只看两个数：等差取 与 ，等比取 与 ，、、、、 五个量中知三求二，把每个条件都翻译成关于这两个量的方程即可．下标和性质把运算转移到下标上，当 时 ，等比中相应地有 ，配平下标常能整体求出中间项而无需先解首项． 的最值取决于项的符号， 由正变负之处正是 由增转减之处，既可把 写成 的二次函数配方，也可用 与 夹出 ，两种做法都要检验等号能否取到以及 是否为正整数． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、等差数列的判定与证明 ▸ 典例 1 记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，则（　　） ▍ 题型模版 1.特征：给出通项公式、递推式或前 项和的表达式，要求判断（证明）数列是等差数列，或判断「 为等差数列」与「（或 ）为等差数列」之间的条件关系． 2.方法：定义法最稳妥：对一切 证明 为常数；由 的表达式判定，则先写成 的形式，此时 必为等差数列；中项法 只能保证相邻三项的关系，必须回到定义补验首项． 3.提醒：由 求 的公式 只对 成立，必须单独验证 ； 中只有 时 才是等差数列，否则从第二项起才成等差；判断充要关系时两个方向都要给出依据，反向用特例否定． ▸ 变式 1-1 已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，从下面（1）（2）（3）中选取两个作为条件，证明另外一个成立．（1）数列 是等差数列；（2）数列 是等差数列；（3）． （1）选（1）（2），证明（3）； （2）选（1）（3），证明（2）； （3）选（2）（3），证明（1）． ▸ 变式 1-2 已知数列 是公差不为 的等差数列，其前 项和为 ，且满足 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． 最小 D． ▍ 题型二、等比数列的判定与证明 ▸ 典例 2 记 为数列 的前 项和，已知 ． （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． ▍ 题型模版 1.特征：给出递推式、 与 的关系式或变换后的新数列，要求判断（证明） 是等比数列，并求通项或前 项和． 2.方法：定义法需对一切 证明 且 、各项非零；由 判定，可用 （，，）这一特征形式；需要构造时，把 配成 ，则 为等比数列． 3.提醒：等比数列要求每一项都不为 且 ，判定前先确认 ；用两式相减得到的递推只对 成立，首项必须代回原式单独求出；约去 、、 一类因子前，要先说明其不为 ，公比 与 的情形要单独排除． ▸ 变式 2-1 等比数列 的公比为 ，前 项和为 ．设甲：，乙： 是递增数列，则（　　） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 ▸ 变式 2-2 设 是等比数列，则下列结论中正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 ▍ 题型三、基本量方程（首项、公差／公比与前n项和） ▸ 典例 3 已知 为等差数列， 是公比为 的等比数列，且 ． （1）证明：； （2）求集合 中元素的个数． ▍ 题型模版 1.特征：给出若干项或若干前 项和的具体数值，要求通项、某一项或某个前 项和；条件多为 、（或 ）与 的混合等式． 2.方法：统一设基本量：等差设 、，等比设 、，把每个条件都写成关于这两个未知数的方程（组）；方程个数与未知数个数相当时直接解出，不能一一相当时用整体代换，把 或 视为一个未知量． 3.提醒： 中 易算错；等比求和须先排除 才能用 ；解出 后要按「各项均为正数」「公差不为 」等限制取舍，负根、零根都要舍去． ▸ 变式 3-1 设等比数列 的各项均为正数，前 项和为 ，若 ，，则 （　　） A． B． C． D． ▸ 变式 3-2 记 为等差数列 的前 项和．若 ，，则 （　　） A． B． C． D． ▍ 题型四、下标和性质与整体运算 ▸ 典例 4 记 为等差数列 的前 项和．若 ，，则 （　　） ▍ 题型模版 1.特征：条件与结论都以「若干项之和（或积）」的形式给出，项的下标分散但下标之和有明显规律，直接解首项与公差（公比）运算量大． 2.方法：等差数列中 时 ，特别地 （ 为偶数）；，故 与中间项可互相转化．等比数列中相应地有 ，、、 成等比（公比 ）或等差（公差 ）．先把下标配平，再整体代入． 3.提醒：等比数列中 只能定出乘积，开方求单项时要按项的符号取舍，（）常给出 两值；片段和性质里片段是 、、，不要把 直接当作第二片； 用不到中间项，需回到 ． ▸ 变式 4-1 若一个各项均为正数的等比数列的前 项和等于 ，前 项和等于 ，则这个数列的公比等于           ． ▸ 变式 4-2 记 为等比数列 的前 项和．若 ，，则 （　　） A． B． C． D． ▍ 题型五、前n项和的最值与项的符号变化 ▸ 典例 5 设数列 是等差数列， 是其前 项和，，且 ，则（　　） ▍ 题型模版 1.特征：要求 的最大（小）项、使 （或 ）成立的一切 ，或已知两个 相等判断数列的单调性与最值位置． 2.方法：通法一：把 看成 的二次函数，配方后用对称轴 定位，取离对称轴最近的正整数．通法二：追踪项的符号，、 时，解 且 得最大值处；、 时同理得最小值处．比较 与 （或与 ）的大小时，把不等式化成关于 的二次不等式再结合 取值． 3.提醒：当某个 时 与 同为最值，答题要写成两个下标；对称轴不是整数时须把两侧最近的正整数都代入比较；同除（或乘）、 这类符号未定的量时，必须先判定符号再决定不等号是否反向． ▸ 变式 5-1 记 为等差数列 的前 项和，已知 ，． （1）求 的通项公式； （2）求 ，并求 的最小值． ▸ 变式 5-2 设等差数列 的公差为 ，若数列 为递减数列，则（　　） A． B． C． D． ▍ 压轴挑战 1．记 为等差数列 的前 项和．若 ，，则 的公差为 （　　） A． B． C． D． 2．记 为等比数列 的前 项和．若 ，，则  （　　） A． B． C． D． 3．记 为等差数列 的前 项和．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知等比数列 的前 项和为 ，，则  （　　） A． B． C． D． 5．设 是等比数列，且 ，，则  （　　） A． B． C． D． 6．记 为等差数列 的前 项和．若 ，，则           ． 7．记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为           ． 8．记 为等差数列 的前 项和，已知 ． （1）若 ，求 的通项公式； （2）若 ，求使得 的 的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $