精品解析：上海市闵行第四中学等校2026-2027学年第一学期期中考试八年级数学试卷

2026学年第一学期期中考试八年级数学试卷 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 对于实数，下列二次根式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法错误的有（ ） ①带根号的数都是无理数； ②任何一个无理数都可以与数轴上的一个点对应； ③无理数可以化成无限小数； ④无理数可以写成分数； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 粮站的一个粮仓形状为圆柱体，粮仓的底面半径是它的高的2倍，在保持粮仓形状的同时，再建造一个体积扩大为原来的100倍的新粮仓（新粮仓的底面半径仍然是高的2倍），则新粮仓的底面半径是原来粮仓底面半径的（ ）倍； A. 2 B. 10 C. D. 6. 若是方程的一个根，设则与的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 不确定 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 若代数式在实数范围内有意义，则满足的条件为________． 8. 在、3、、、1.01001、、中，有理数有_____________个； 9. 比较大小：________．（填“”或“”） 10. 写出的一个有理化因式：________． 11. 数轴上，点表示数，若，则点表示的数为___________； 12. 不等式的解集是____________； 13. 统计数据显示，截至2026年3月30日，电影《飞驰人生3》的票房总收入约为44亿元．如果该电影的平均票价是每张40元，那么售出的电影票大约_______张．（用科学记数法表示） 14. 已知，则的值为________． 15. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为______． 16. 通过计算，我们可知．小李同学用这样的方法求出了的立方根：先估计的立方根的个位数，猜想它的个位数为，由，猜想它的立方根的十位数是，通过计算验证可得的立方根是，根据小李同学的方法，可得__________________； 17. 如果记表示任意实数的整数部分，例如：，，那么（其中“”“”间隔排列）的值为________________． 18. 若关于的一元二次方程满足：与（均为常数），则称它们为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么___________． 三、简答题（本大题共5题，每题6分，满分30分） 19. 计算． 20. 计算：． 21. 解方程：． 22. 用配方法解方程：． 23. 已知， ，求代数式的值． 四、解答题（本大题共3题，第24题5分，第25题6分，第26题7分，满分18分） 24. 机械节拍器的摆锤摆动一个来回需要的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示摆长（单位：），．节拍器每摆动一个来回打出一拍，若某机械节拍器摆长，求连续打出60拍大约需要多少时间？（取3.14，结果精确到）． 25. 阅读甲、乙两同学解方程的过程． 甲同学解答：去分母得． 乙同学解答：去分母得． （1） 的解答不正确，错的理由是 ． （2）补完整解方程的正确过程． 26. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另外一个根的两倍，则称这样的方程为“倍根方程”．请根据倍根方程的定义，完成下列问题． （1）请写出一个关于的一元二次“倍根方程”， （方程用一般形式表达）． （2）若关于的一元二次方程(为常数)是“倍根方程”，探讨满足的数量关系．（要求：给出结论，并写出所得结论的推理过程）． 五、综合题（本大题满分10分，第一问4分，第2问和第3问各3分） 27. 通过无理数的学习，同学们可利用有理数估计一个无理数的近似值，欢欢同学给出了另一种探索无理数近似值的方法，如下 因为面积为87的正方形的边长是，且， 所以 设，其中， 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图如图 ， 所以， 当，假设忽略不计， 可得， 解得 ，即． （1）画探究的近似值的示意图，并写出求解过程．（结果精确到0.01，要求：画示意图，无需严格尺规作图，需标明数据） （2）已知为无理数，为正整数，设的整数部分为，小数部分为n，证明：． （3）在上述探究过程中，我们利用“等式两边平方”，把含有根号的式子转化为整式来求解．请类比这种 “平方去根号”的思路，试求x的值，满足． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中考试八年级数学试卷 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简，再求其平方根． 【详解】解：∵， 又∵3的平方根为， ∴的平方根是． 2. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、，，这组不是同类二次根式； C、，，这组不是同类二次根式； D、与是同类二次根式． 3. 对于实数，下列二次根式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质及运算法则判断各选项即可得解． 【详解】解：选项A：，有意义时，，此时，成立．故A项正确； 选项B、C：当，时，，有意义，但，无意义，等式不成立．故B、C两项都错误； 选项D：，不成立，故D项错误． 4. 下列说法错误的有（ ） ①带根号的数都是无理数； ②任何一个无理数都可以与数轴上的一个点对应； ③无理数可以化成无限小数； ④无理数可以写成分数； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】依据无理数的定义、实数与数轴的对应关系，逐一判断各说法正误，统计错误说法的数量． 【详解】解：①是有理数，带根号的数不一定是无理数，该说法错误； ②任何一个无理数都可以与数轴上的一个点对应，该说法正确； ③无理数是无限不循环小数，可以化成无限小数，该说法正确； ④分数是有理数，无理数不能写成分数形式，该说法错误． 综上，错误的说法共2个． 5. 粮站的一个粮仓形状为圆柱体，粮仓的底面半径是它的高的2倍，在保持粮仓形状的同时，再建造一个体积扩大为原来的100倍的新粮仓（新粮仓的底面半径仍然是高的2倍），则新粮仓的底面半径是原来粮仓底面半径的（ ）倍； A. 2 B. 10 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据底面半径与高的固定比例，将体积转化为仅含底面半径的表达式，结合体积倍数关系求解半径倍数． 【详解】解：设原来粮仓底面半径为，高为， 由题意得，即， 原来的体积为， 设新粮仓底面半径为，高为， 同理得，即， 新的体积为， ∵ 新体积是原来的100倍， ∴ ， 化简得， ∴ ． 6. 若是方程的一个根，设则与的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=-c，作差法比较可得． 【详解】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根， ∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=-c， 则N-M=（ax0+1）2-（1-ac） =a2x02+2ax0+1-1+ac =a（ax02+2x0）+ac =-ac+ac =0， ∴M=N， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 若代数式在实数范围内有意义，则满足的条件为________． 【答案】且 【解析】 【分析】该代数式同时包含二次根式与分式结构，需分别满足两类结构在实数范围内有意义的限制，联立求解即可得到的取值条件． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 解得且， ∴满足的条件为且． 8. 在、3、、、1.01001、、中，有理数有_____________个； 【答案】5 【解析】 【详解】解：是无限不循环小数，属于无理数； 3是正整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是无理数； 是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是负整数，属于有理数； 综上，有理数有5个． 9. 比较大小：________．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较实数的大小，比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而小进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 10. 写出的一个有理化因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式为， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式，解题的关键是掌握分母有理化的方法． 11. 数轴上，点表示数，若，则点表示的数为___________； 【答案】或 【解析】 【分析】根据的几何意义，即数轴上两点间的距离为，结合点表示的数，分点在的左右两侧两种情况计算即可． 【详解】解：∵ 表示数轴上点到点的距离为， ∵ 点在数轴上表示的数为， ∴ 当点位于点右侧时，点表示的数为； ∴ 当点位于点左侧时，点表示的数为． 12. 不等式的解集是____________； 【答案】 【解析】 【分析】将含的项移到不等号左侧合并同类项，判断一次项系数的正负，依据不等式基本性质化系数为1，再对结果分母有理化得到最简解集． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， ∵， ∴， ∴ ∴ ． 13. 统计数据显示，截至2026年3月30日，电影《飞驰人生3》的票房总收入约为44亿元．如果该电影的平均票价是每张40元，那么售出的电影票大约_______张．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】先将总票房统一单位为元，再根据售票张数等于总票房除以平均票价计算结果，最后将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：亿元 000元 元， 根据题意计算售出电影票的张数：． 14. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】对根号内的二次三项式配方，结合已知的取值凑出可直接计算的完全平方式，简化运算过程． 【详解】解：， ∵ ∴， 将代入得， ∴原式． 15. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】核心条件有两点：一是是方程的根，代入方程可得到关于的等式；二是原方程为一元二次方程，二次项系数不能为，联立两个条件筛选出符合要求的值． 【详解】解：∵是原方程的根， ∴将代入方程可得， 因式分解得， 解得或， ∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数，即， ∴舍去不符合要求的，最终的值为． 16. 通过计算，我们可知．小李同学用这样的方法求出了的立方根：先估计的立方根的个位数，猜想它的个位数为，由，猜想它的立方根的十位数是，通过计算验证可得的立方根是，根据小李同学的方法，可得__________________； 【答案】 【解析】 【分析】先估计的立方根的末位数为1，再猜想的立方根的十分位数，然后进行验证即可得． 【详解】解：∵， ∴估计的立方根的末位数为1， ∵， ∴猜想的立方根的十分位数为8， 验证：， ∴． 17. 如果记表示任意实数的整数部分，例如：，，那么（其中“”“”间隔排列）的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用取整函数的性质，按的整数部分划分区间，结合符号交替的规律计算各区间的和，最后合并得到结果． 【详解】解：∵表示不超过实数的最大整数，即当整数满足时，， ∴对每个整数正整数的取值范围是， 共个连续整数， ∵式子的符号为间隔排列，即为奇数时项的符号为，为偶数时项的符号为， ∴当为奇数时，是奇数，区间内第一个为奇数，符号为，区间共（奇数）个数， ∴该区间的和为个相加，并且符号交替，即该区间的和为， 当为偶数时，是偶数，区间内第一个为偶数，符号为，区间共个（奇数）个数， ∴该区间的和为个相加，并且符号交替，即该区间的和为， 从到时，对应区间内的从到，各区间的和分别为： 奇数：时：和为， 时：和为， 时：和为， 时：和为， 时：和为， 偶数：时：和为， 时：和为， 时：和为， 时：和为， ∴以上区间的总和为： ， ∵最后一项为，符号为， ∴整个式子的值为． 18. 若关于的一元二次方程满足：与（均为常数），则称它们为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么___________． 【答案】19 【解析】 【分析】根据“同类方程”的定义可得第二个方程需与第一个方程的结构一致，即可写成的形式，通过展开后对比系数可得，的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程与是“同类方程”， ∴方程可表示为的形式， 即方程可表示为的形式， ∴，，， 解得，，， ∴． 三、简答题（本大题共5题，每题6分，满分30分） 19. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】先计算立方根、算术平方根、绝对值，再计算加减即可得出结果． 【详解】解： ． 20. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简、二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ． 21. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【详解】解： 或 ∴，． 22. 用配方法解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】利用完全平方公式进行配方解一元二次方程即可得． 【详解】， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 23. 已知， ，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式对所求代数式化简，再将、进行分母有理化，求出的值，代入化简后的式子计算即可得出结果． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴原式． 四、解答题（本大题共3题，第24题5分，第25题6分，第26题7分，满分18分） 24. 机械节拍器的摆锤摆动一个来回需要的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示摆长（单位：），．节拍器每摆动一个来回打出一拍，若某机械节拍器摆长，求连续打出60拍大约需要多少时间？（取3.14，结果精确到）． 【答案】连续打出60拍大约需要的时间为 【解析】 【分析】将，代入公式计算出一个周期的值，再计算即可． 【详解】解：将，代入， 得， 连续打出60拍大约需要的时间：， 即连续打出60拍大约需要的时间为． 25. 阅读甲、乙两同学解方程的过程． 甲同学解答：去分母得． 乙同学解答：去分母得． （1） 的解答不正确，错的理由是 ． （2）补完整解方程的正确过程． 【答案】（1）甲，去分母时，分子是多项式，没有将分子作为整体加括号，导致符号运算错误． （2）解：方程变形，得， 其中， 由求根公式得，，即 所以，原方程的根是 【解析】 【分析】（1）分别检查甲、乙同学去分母的步骤即可解答； （2）先将乙同学的解答结果化成方程，然后运用公式法求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略 26. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另外一个根的两倍，则称这样的方程为“倍根方程”．请根据倍根方程的定义，完成下列问题． （1）请写出一个关于的一元二次“倍根方程”， （方程用一般形式表达）． （2）若关于的一元二次方程(为常数)是“倍根方程”，探讨满足的数量关系．（要求：给出结论，并写出所得结论的推理过程）． 【答案】（1）； （2） ，推理过程： 由求根公式，得方程的根为 若，则， 整理得， 两边平方得， 即； 若，则， 整理得， 两边平方得， 即； 综上，若关于x的一元二次方程(为常数)是“倍根方程”，则． 【解析】 【分析】（1）根据“倍根方程”的定义写出一个即可； （2）先根据求根公式写出方程的两个根，然后根据“倍根方程”的定义分两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：设方程的一个根为2，另一个根为1， 则该方程为，化为一般式为， ∴关于的“倍根方程”为（答案不唯一）； 【小问2详解】 略 五、综合题（本大题满分10分，第一问4分，第2问和第3问各3分） 27. 通过无理数的学习，同学们可利用有理数估计一个无理数的近似值，欢欢同学给出了另一种探索无理数近似值的方法，如下 因为面积为87的正方形的边长是，且， 所以 设，其中， 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图如图 ， 所以， 当，假设忽略不计， 可得， 解得 ，即． （1）画探究的近似值的示意图，并写出求解过程．（结果精确到0.01，要求：画示意图，无需严格尺规作图，需标明数据） （2）已知为无理数，为正整数，设的整数部分为，小数部分为n，证明：． （3）在上述探究过程中，我们利用“等式两边平方”，把含有根号的式子转化为整式来求解．请类比这种 “平方去根号”的思路，试求x的值，满足． 【答案】（1） 解：∵面积为122的正方形的边长是，且， 可设，其中， 正方形面积示意图如下： 则， 所以， 由，故可以忽略不计， 从而可得， 解得， 即； （2）证明：由题意可得， 两边同时平方可得， 即， 又， 两边同时除以得，， ∴， ∴； （3）的值为6． 【解析】 【分析】（1）仿照题中例子，根据进行画图解答即可； （2）由题意可得，先两边同时平方，移项后两边同时除以，即可证得结论； （3）先将原式两边同时平方后，把含有根号的式子移项到等号一边，再次将式子两边同时平方，可得到一元二次方程，解方程后将方程的解代入原式进行检验即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：两边同时平方得，， 整理得， 两边再同时平方得， 整理得， 解得或， 经检验，当时，等式左边右边，符合题意； 当时，等式左边右边，不符合题意，舍去； ∴的值为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $