2026-2027学年九年级数学上学期期中自编模拟练习卷（广东省深圳市适用）

2026-2027学年九年级数学上学期期中自编模拟练习卷 广东省深圳市适用 （本试卷共三大题20小题，满分100分，考试时间90分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C．2 D．3 3．2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同   D．三种视图都不相同 4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点为的黄金分割点（），若cm，则约为（    ） A．42cm B．38cm C．62cm D．70cm 6．下列说法错误的是（      ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 7．我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法以方程，即为例说明，方图注中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，点E为正方形的对角线的中点，在中，两直角边、分别交、于点M、N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．若t是方程的一个根，则的值为________． 10．如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为_______． 11．若、是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 12．如图，，，点E从B出发，沿方向以的速度运动，点D从A出发，沿方向以的速度运动，那么在_____秒后，以A，D，E为顶点的三角形与相似． 13．如图，正方形的边长为6，点E是的中点，与交于点P，F是上一点，连接分别交，于点M、N，且，连接，则的长为______． 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（本题满分5分）解方程： (1) (2) 15．（本题满分7分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)与是以P点为位似中心的位似图形，点都在格点上，则点P的坐标为 ； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为． 16．（本题满分8分）如图，在中，交于点E，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 17．（本题满分8分）某商家为深圳大运会议提供制作纪念品所需的环保树脂．今年三月份该环保树脂供应千克，四、五两个月供应量的月平均增长率相同，五月份供应量达到千克． (1)求四、五两个月供应量的月平均增长率； (2)从六月起，该商家将同款环保树脂面向其他生产商供货，采用降价促销方式．经调查，每千克降价元，月供应量增加千克．已知该环保树脂每千克盈利元，且以五月份供应量千克为基准．当每千克降价多少元时，商家六月份能获利元？ 18．（本题满分9分）如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 19．（本题满分12分）【背景】我们已经学习过，判定两个三角形相似至少需要两个条件，即：①两个角分别相等；②两边成比例及夹角相等；③三边成比例．这些判定方法使用的要素都是三角形的边和内角，于是数学兴趣小组的同学提出问题：三角形中的特殊线段（中线，高，角平分线）及其相关角，是否也可以作为判定三角形相似的要素呢？ 【探究】小新以中线为例，进行了如下研究：如图，与分别为与的中线． (1)当且时，是否一定与相似？_________（填“是”或“否”．） (2)当且时，判断与是否相似．若相似，请给出证明；若不相似，请画出反例． (3)当时，判断与是否相似．若相似，请给出证明；若不相似，请画出反例． 20．（本题满分12分）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)如图（a），在正方形中，为边上一点（点不与点重合），交于点，过点作交于点，试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由； (2)如图（b），若正方形的边长为，点分别在射线上，且，当四边形为“等补四边形”时，请求出的长度． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中自编模拟练习卷 广东省深圳市适用 （本试卷共三大题20小题，满分100分，考试时间90分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵各条平行线间距离相等， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：D． 3．2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同   D．三种视图都不相同 【答案】B 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 故选：B． 4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：对于方程 ，其判别式为 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， 解得． 故选：D． 5．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点为的黄金分割点（），若cm，则约为（    ） A．42cm B．38cm C．62cm D．70cm 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可．熟练掌握黄金分割中的比例关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：，cm， ∴， ∴； 故选B． 6．下列说法错误的是（      ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，故不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，题中说法错误，故符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，正确，故不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 7．我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法以方程，即为例说明，方图注中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】画出方程的拼图过程，由面积之间的关系得，，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， 解得：，. 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 8．如图，点E为正方形的对角线的中点，在中，两直角边、分别交、于点M、N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，三角形全等，角平分线的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 过点作于点于点，证明，得到计算即可． 【详解】解：过点作于点于点， ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．若t是方程的一个根，则的值为________． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值， 根据一元二次方程根的定义，将 代入方程得到关系式，然后化简，即可求出答案． 【详解】解：因为 是方程 的一个根， 所以 ，即 ， 又因为 ， 所以 ． 故答案为：8． 10．如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为_______． 【答案】16 【分析】如图，先证明，得，进而求出，再利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：如图， 由题意可知：A、H、G三点共线，， ∵3个矩形相同， ∴， ∴， ∴， 菱形中，， ∴， ∴， ∵每个矩形的周长为， ∴， ∴， ∴菱形的周长为： ， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键． 11．若、是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 【答案】 【分析】将所求代数式通分变形为含两根之和、两根之积的形式，结合一元二次方程根与系数的关系求出对应值，代入计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵， ∴将，代入， 可得． 12．如图，，，点E从B出发，沿方向以的速度运动，点D从A出发，沿方向以的速度运动，那么在_____秒后，以A，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查相似三角形的分类讨论，根据题意列出线段的长是解题的关键． 首先设运动时间为t秒，得到，，再分为和两种情况进行讨论，分别求解不同的t值即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， ∵点E从B出发，沿方向以的速度运动，点D从A出发，沿方向以的速度运动， ∴，， ∴， ①当时， ∴，即，解得：； ②当时， ∴，即，解得：； ∴在或时，以A，D，E为顶点的三角形与相似 故答案为：或． 13．如图，正方形的边长为6，点E是的中点，与交于点P，F是上一点，连接分别交，于点M、N，且，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】先证明，推出，接着证明，得到，接着利用勾股定理求得其长度，利用面积法求得，继而求出，作交于点Q，则，，然后利用对应边成比例，即可求得，接着算得，最后利用勾股定理求得答案． 【详解】解：∵四边形是边长为6的正方形，点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点N， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 作交于点Q，则，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（本题满分5分）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）利用因式分解法即可解答； （2）一元二次方程根的判别式以及求根公式，即可解答。 【详解】（1）解： 或 ， ． （2）解：∵ ∴， ∴， ． 15．（本题满分7分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)与是以P点为位似中心的位似图形，点都在格点上，则点P的坐标为 ； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为． 【答案】(1) (2) 由题意，画图如下： 【分析】本题考查坐标与图形变换—位似，熟练掌握位似图形的性质，是解题的关键： （1）根据位似图形的位似中心为对应点所连线段所在直线的交点上，确定点的坐标即可； （2）根据位似图形的性质，画出即可． 【详解】（1）解：由题意，点的位置如图所示， 由图可知：； （2）略 16．（本题满分8分）如图，在中，交于点E，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）先利用平行四边形的性质得出，，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，根据菱形的判定即可证明． （2）由菱形的性质得出，进而得出，根据勾股定理得出，利用平行四边形的性质得出，根据菱形的性质求菱形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）∵四边形是菱形， ∴． ∴ 在中，，，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定以及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握菱形的判定定理以及性质是解题的关键． 17．（本题满分8分）某商家为深圳大运会议提供制作纪念品所需的环保树脂．今年三月份该环保树脂供应千克，四、五两个月供应量的月平均增长率相同，五月份供应量达到千克． (1)求四、五两个月供应量的月平均增长率； (2)从六月起，该商家将同款环保树脂面向其他生产商供货，采用降价促销方式．经调查，每千克降价元，月供应量增加千克．已知该环保树脂每千克盈利元，且以五月份供应量千克为基准．当每千克降价多少元时，商家六月份能获利元？ 【答案】(1)四、五两个月供应量的月平均增长率为 (2)当每千克降价元时，商家六月份能获利元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据增长率公式列出一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的根； （2）设每千克降价元，表达出降价后每千克利润和总供应量，依据“总利润单件利润销售量”列一元二次方程求解，舍去负根． 【详解】（1）解：设四、五两个月供应量的月平均增长率为，根据题意得： ， ， 或， 故，（不符合题意，舍去）． 答：四、五两个月供应量的月平均增长率为； （2）解：设每千克降价元，根据题意得： ， 即． 解得（不符合题意，舍去）， 答：当每千克降价元时，商家六月份能获利元． 18．（本题满分9分）如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是正方形的对角线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据正方形的性质得到，，，证明，根据相似三角形的性质即可得证； （3）根据正方形的性质证明，可得，设，则，得到，再证明，根据相似三角形的性质可得，代入数据求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，注意运用数形结合的思想方法．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．也考查了二次根式的混合运算． 19．（本题满分12分）【背景】我们已经学习过，判定两个三角形相似至少需要两个条件，即：①两个角分别相等；②两边成比例及夹角相等；③三边成比例．这些判定方法使用的要素都是三角形的边和内角，于是数学兴趣小组的同学提出问题：三角形中的特殊线段（中线，高，角平分线）及其相关角，是否也可以作为判定三角形相似的要素呢？ 【探究】小新以中线为例，进行了如下研究：如图，与分别为与的中线． (1)当且时，是否一定与相似？_________（填“是”或“否”．） (2)当且时，判断与是否相似．若相似，请给出证明；若不相似，请画出反例． (3)当时，判断与是否相似．若相似，请给出证明；若不相似，请画出反例． 【答案】(1)是 (2)与不相似，反例如下： (3)与相似，证明如下： 如图，延长到点E使，连接，延长到点使，连接， ∵是的中线 ∴ 又∵ ∴ ∴， 同理可得， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴，即 ∵ ∴． 【分析】（1）证明，得到，然后证明，得到，证明； （2）由和不是对应边的夹角即可得到与不相似，然后画出反例即可； （3）延长到点E使，连接，延长到点使，连接，证明，，得到，，，，然后证明，得到，，然后等量代换得到，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∵与分别为与的中线 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴一定与相似； （2）解：∵和不是对应边的夹角 ∴与不相似； 举反例如图， ∵， ∴，且 但是钝角三角形，是锐角三角形 ∴和不相似， ∴与不相似； （3）略 20．（本题满分12分）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)如图（a），在正方形中，为边上一点（点不与点重合），交于点，过点作交于点，试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由； (2)如图（b），若正方形的边长为，点分别在射线上，且，当四边形为“等补四边形”时，请求出的长度． 【答案】(1)四边形是“等补四边形”，理由如下： ∵正方形中，交于点， 交于点， ∴，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为“等补四边形”． (2)或1或 【分析】（1）根据正方形的性质得到，易得；再结合可得，如图：连接，通过证明得到，即 ，利用等角对等边可得，从而说明结论． （2）根据四边形为“等补四边形”，得到，分、 、、四种情况，分别求出此时的的长度即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形为“等补四边形”， ∴， ∵正方形的边长为， ∴，， 如图，当时，过点F分别作于点G，于点K， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴点F在上， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即． 如图，当时， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当时， ∵，， ∴， ∴，即 ∴， 当时，同时，． 综上所述，当四边形为“等补四边形”时，的长度为或1或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $