黑龙江哈尔滨市德强中学2026-2027学年九年级上学期数学期中试卷

德强中学2026-2027学年度上学期九年级数学期中测试1104 一.选择题（每小题3分，共计30分） 1.下列标志中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是() 2.如图所示的几何体的左视图是( 正面 B. 3.点(2，-3)在反比例函数y=k的图象上，则下列各点在此函数图象上的是《 A.(2,3) B.(3,-2) C.(-2,-3) D.(-6,-1) 4反比例函数y=m-3 (其中m≠3)，当x>0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是 () A.m<3 B.m>3 C.m<-3 D.m>-3 5.如果将抛物线y=（x-1)+2向下平移1个单位，再向右平移2个单位，那么所得的抛物线解析式是 () A.y=(x+1)2+1 B.y=(x-32+1 C.y=(x+1)2+3 D.y=(x-3)}+3 6.关于抛物线y=-(x+2)2+6图象的性质，下列说法错误的是() A.开口向下 B.对称轴x=-2 C.顶点坐标是(-2,6) D.与x轴没有交点 7.如图，AB是⊙O的直径，点C,D,E在⊙O上，若∠AED=18°，则∠BCD的度数为() 第1页/共41页 EA B A.99 B.108° C.109° D.118° 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D,再分别以 B,D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P,作射线CP交AB于点B.若 AB=10,AC=8,则CE的长为() B P咪 12 A. 16 C.4 9.如图，点E是平行四边形ABCD的边AB上一点，射线DE交BC延长线于点F,则下列比例式错误 的是() E A AD DE B.AE、AD BF BC BE EF BE CF C40 DF CF D EF DE 10.如图，菱形ABCD的边长为3cm,∠B=60°，动点P从点B出发以3cm/s的速度沿着边 BC-CD-DA运动，到达点A后停止运动：同时动点Q从点B出发，以Icms的速度沿着边BA向A点 运动，到达点A后停止运动.设点P的运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm),则y关于x的函数 图象为() 第2页/供41页 33 B. 0 33 33 C.33 D 33 3 23 二.填空题（每小题3分，共计30分） 1山.若反比例函数y=《一1图象的一支在第三象限，则人的取值范围是 12.二次函数y=x2-x+3的对称轴为直线x=3,则m= 13.定义一种新运算：a⑧b=a2+ab-5,例如1⑧1=12+1×1-5.则(-2)⑧7的值为 14.如图，点A在反比例函数y=上的图象上，M⊥x轴于点M,△AM0的面积为4，则K= VA 15.一个扇形的面积是24πcm2,弧长为4πcm,则此扇形的圆心角度数为 16.一组有规律的图案如图所示，第1个图案有4个五角星，第2个图案有7个五角星，第3个图案有10 个五角星…，第12个图案有 个五角星， 第1个图案 第2个图案 第3个图案 17.某校决定从三名男生和一名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人.则选出的恰好 第3页/供41页 为一男一女的概率是 18.已知抛物线y=2x2+mx-6与x轴相交时两交点间的线段长为4，则m的值是 19正方形BCD中，MD=6,点E在直线AB上，且BE=B,连4C、DE交于0，则CO 20.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD交CD于点E,点F在AE的延长线上，连接CF, 4 ∠EFC=2∠DAE,则下列结论：①∠ACF=90°：②AE=CE:③若tan∠F=二，AB=8,则 S=18:@若BD=4EF,AD=2,M为BC边上一点，则AM+EM的最小值为V53.其中正 3 确的结论序号有 E 三.解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共60分） x+2(x4 21.先化简，再求值：产二气x-2-2x 其中x=2cos30°+tan45°. 22.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，A、B均在格 点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）. B (1)画∠ABC=45°，点C在格点上： (2)连接AC,在BC上找一点D,连接AD,使3S。Am=2S。AcD,并直接写出tan∠ADC的值. 23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-心+b的图象与反比例函数y-←的图象相交于点 A(4,-2)、B(m,4),与y轴相交于点C. 第4页/供41页 VA (1)求反比例函数和一次函数的表达式： (2)求△AOB的面积. 24.在矩形ABCD中，点E是BC上的一个动点（点E不与端点B、C重合），点F为AE的中点，连接 CF、DF 图1 图2 (1)如图1，求证：CF=DF: (2)如图2，连接BF,若AB=8,AD=15,当线段BF的长为整数时，直接写出线段BE的长 25.挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”深得大家喜欢，其独特的空心技艺传承千年， 从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序.数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已 知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元. (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋.在单价不变，总费用不 超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，求购买多少袋B种挂面时，所需费用最小，并求出最小 的购买费用 26.如图，△BCD内接于⊙O,连接OC,BD=√2OC. 第5页/供41页 M B 图1 图2 图3 (1)求证：∠BCD=45°： (2)如图2，A为弧BC上一点，连接AB交CD于点E,连接OD交AB于点M, ∠OCB+∠AEC=3∠ABC,求证：DE=DM: (3)如图3，在(2)的条件下，若AB=9,CD=1210 求OM的长. 27.如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=a2+2ar-10交x轴于点A、B,，交y轴于点 C,连接AC,tan∠ACO=1. B B主 C 图1 图2 图3 (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，P为第三象限抛物线上一点，连接BP交y轴于点D,设点P的横坐标为1，OD的长为 d,求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量1的取值范围）： (3)如图3，在(2)的条件下，E为OB上一点，连接CE交BP于点F,CD-OE=2, ∠OCE+∠OBD=45°，M为第二象限内一点，连接OM、AM、CM,若∠AOM=2∠ACM, S。MCM=60,求PM的长. 第6页/供41页 德强中学2026-2027学年度上学期九年级数学期中测试1104 参考答案及解析 一.选择题（每小题3分，共计30分） 1.下列标志中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是() 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对选项进行一一分析即可得到答案. 【详解】A,是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误： B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确： C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误： D.不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误： 【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的概念， 2.如图所示的几何体的左视图是(） 正面 A c日 【答案】A 【解析】 【详解】解：该几何体的左视图是： 3.点(2，-3)在反比例函数y=的图象上，则下列各点在此函数图象上的是《) A.(2,3) B.(3,-2) C.(-2,-3) D.(-6,-1) 第7页/共41页 【答案】B 【解析】 【分析】根据点(2，-3)在反比例函数y=冬的图象上，求得k=-6,根据反比例函数图象上的点都满足yk, 依次计算各选项后即可解答 【详解】：点(2,3》在反比例函数)=的图象上，K2×(3》二6 选项A,2×36+6,∴此点不在函数图象上： 选项B,3×(-2)=-6,.此点在函数图象上： 选项C,:(-2)×(-3)=6+6,此点不在函数图象上： 选项D,·(-6)×(-1)=6≠-6，此点不在函数图象上. 故选B 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决该题型题目时，结合点的坐标利用反比例函数 图象上点的坐标特征求出k值是关键 4反比例函数y=m-3 (其中m≠3)，当x>0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是 () A.m<3 B.m>3 C.m<-3 D.m>-3 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得出m-3<0,进而即可求解. m-3 【详解】解：反比例函数y= 二，当x>0时，y随x的增大而增大， m-3<0, .∴.m<3, 故选：A 【点睛】本恩考查了反比例函数y=(k≠0)的性质，解题的关键是掌握反比例函数性质：图像为双曲 线，当k>0,图像分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小：当k<0,图像分布在第 二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大 5.如果将抛物线y=(x-1)+2向下平移1个单位，再向右平移2个单位，那么所得的抛物线解析式是 () A.y=(x+1)2+1 B.y=(x-3)}+1 第8页/共41页 C.y=(x+1)2+3 D.y=（x-3)2+3 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可. 【详解】解：将y=(x-1)+2向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得 y=(x-1-2)2+2-1=(x-3)2+1. 6.关于抛物线y=-(x+2)+6图象的性质，下列说法错误的是() A.开口向下 B.对称轴x=-2 C.顶点坐标是(-2,6) D.与x轴没有交点 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的解析式可求得开口方向、对称轴及顶点坐标，可判断A、B、C,令0计算相应的一 元二次方程的解即可判断D,则可求得答案. 【详解】=.(x+2)246, ∴抛物线开口向下、对称轴为x=2、顶点坐标为(-2,6)，故A、B、C说法是正确的： 在)=(x+2)2+6中，令=0可得.(x+2)2+6=0,解得x二2±V6, “抛物线与x轴有交点， ∴选项D的说法是错误的， 故选：D 【点睛】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在=a(xh)2+k中，顶点 坐标为(h,k),对称轴为x=h. 7.如图，AB是⊙O的直径，点C,D,E在⊙O上，若∠AED=18°，则∠BCD的度数为() A.99° B.108 C.109° D.118° 【答案】B 第9页/共41页 【解析】 【分析】连接AC,根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，根据同弧所对的圆周角相等可得 ∠ACD=∠AED=18°，进而求出∠BCD的度数. 【详解】解：连接AC,如图， :AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， 由图可得，∠ACD=∠AED=I8°， .∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+18°=108°. 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D,再分别以 B,D为圆心，以大于二BD的长为半径作弧，两弧交于点P,作射线CP交AB于点E.若 AB=10,AC=8,则CE的长为() E B PX 号 B16 C.4 24 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了作图复杂作图、勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质.根 据作图过程可得CE⊥AB,根据勾股定理可得BC=√AB2-AC2=6,再根据等面积法即可求解。 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,AC=8, ∴BC=VAB2-AC2=6, 由作图知，CE⊥AB, 第10页/共41页 SMwce-4B-CE=AC.BC=1x10xCE= 1 ×8×6, 2 …CE=24 故选：D, 9.如图，点E是平行四边形ABCD的边AB上一点，射线DE交BC延长线于点F,则下列比例式错误 的是() B AD DE AE AD DE AD D BF BC A. B BE CE DFCF EF DE 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，通过相似三角形的性质和平行线分线段 AD DE AE ADAD DE AD 成比例可 BF BC BFEF'BE=BF≠CF, DFCF'EF DE 即可得出结果 【详解】解：，四边形ABCD是平行四边形， .ADI BC,AD=BC,BAlI CD, ∴AADE∽ABFE, .AD_DE 故选项A正确，不符合题意： BF EF BF∥AD 4E、4D AD BE BFCF 故选项B错误，符合题意： .BAI CD, DE BC DF CF .·四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD, 第11页/共41页 DE AD 故选项C正确，不符合题意： DE CE .BAlI CD, BF EF BC ED BF BC EFDE 故选项D正确，不符合题意： 故选：B 10.如图，菱形ABCD的边长为3cm,∠B=60°，动点P从点B出发以3cm/s的速度沿着边 BC-CD-DA运动，到达点A后停止运动：同时动点Q从点B出发，以lcm/s的速度沿着边BA向A点 运动，到达点A后停止运动.设点P的运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm),则y关于x的函数 图象为( 35 A.33 B.3J3 4 3主 23 33 33 C.33 D 33 3x 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象.根据拐点得到各个自变量范围内的函数解析式是解决本题的关 键.易得点P运动的路程为3xcm,点Q运动的路程为xCm,当0≤x≤1时，点P在线段BC上，点Q 在线段AB上，过点Q作QE⊥BC于点E,求得OE的长度，然后根据面积公式可得y与x关系式：当 点P在线段CD上时，1<x≤2，BO边上的高是AB和CD之间的距离为3V5, 根据面积公式可得y与 2 x之间的关系式：当点Q在线段AD上时，2<x≤3，作出BQ边上的高，利用三角形的面积公式可得y 第12页/共41页 与x的关系式.然后根据各个函数解析式可得正确选项. 【详解】解：：点P的速度是3cm/s,点Q的速度为lcm/s,运动时间为x(s), .点P运动的路程为3xcm/s,点Q运动的路程为xcm/s. ①当0≤x≤1时，点P在线段BC上，点Q在线段AB上. B< 过点Q作QE⊥BC于点E, .∠BEQ=90°. :∠B=60°， .∠BQE=30°. .BE=二xcm 2 0B= -xcm 2 1 S.wo-BP-QE-7x3x 5x35(em） -X= 4 ∴.y 3V x2(0≤x≤1) 4 ∴此段函数图象为开口向上的二次函数图象，排除B: ②当1<x≤2时，点P在线段CD上，点Q在线段AB上. 过点C作CF⊥AB于点F,则CF为△BPQ中BQ边上的高. ∴.∠BFC=90° :∠ABC=60°， .∴.∠BCF=30° .BC=3cm, 第13页/共41页 .BF=3cm. 2 cr=3 -cm. S.mo-1BO.cF=1x.3 2 F22= 4cm2) 3 ∴y= x(1<x≤2) 此段函数图象为y随x的增大而增大的正比例函数图象，故排除A: ③当2<x≤3时，点P在线段AD上，点Q在线段AB上. 过点P作PM⊥AB于点M. .∠M=90° :四边形ABCD是菱形， .AD‖BC :∠ABC=60°， .∴.∠MAP=60°. .∠APM=30°， 由题意得：AP=(9-3x)cm ·AM=9-3x cm PM=95-3V5x cm. y ∴.SBre= B0-PM=x9W5-35x-3W5r+95x(em） 2 2 2 4 ∴y=-3v3r2+9w5x ∴.此段函数图象为开口向下的二次函数图象 第14页/共41页 故选：D. 二.填空题（每小题3分，共计30分） 11.若反比例函数y= 一图象的一支在第三象限，则k的取值范围是 【答案】k>1#1<k 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象性质，解一元一次不等式，利用反比例函数的性质求解是解题的关键，解 题时注意y=人：当k>0时，反比例函数图象位于第一、三象限，当k<0时，反比例函数图象位于第二、 四象限，根据反比例函数的性质列不等式求解，即可解题 k-1 【详解】解：反比例函数y= 图象的一支在第三象限， k-1>0, 解得k>1, 故答案为：k>1. 12.二次函数y=x2-mx+3的对称轴为直线x=3,则m= 【答案】6 【解析】 【分析】利用二次函数一般式的对称轴公式x=- ,结合已知对称轴的条件列方程求解m的值. 2a 【详解】解：，二次函数y=x2-mx+3的对称轴为直线x=3,其中a=1,b=-m, .X= -mm=3, 2×12 解得m=6 13.定义一种新运算：a⑧b=a2+ab-5,例如1⑧1=12+1×1-5.则(-2)⑧7的值为 【答案】-15 【解析】 【分析】根据题目给出的新运算规则，代入对应数值，按照有理数混合运算法则计算即可. 【详解】解：由题意得，a⑧b=a2+ab-5, 将a=-2,b=7代入， 得(-2)⑧7=(-2)2+(-2)×7-5 =4-14-5 第15页/共41页 =-15. 14.如图，点A在反比例函数y=冬的图象上，M⊥x轴于点M,△AM0的面积为4，则K= VA 【答案】 -8 【解析】 k,由面积为4求出1的值，再根据图像位于第 1 【分析】根据反比例函数k的几何意义可知S4M0= 二象限确定k的符号， 【详解】解：设点A的坐标为(x,y), AM⊥x轴于点M, :.OMx,AMyl, ∴SAMO= 20MM :点A在反比例函数y=的图象上， x x=k, SAM0=4, 4, .|k=8, ,图象位于第二象限， .k<0, .k=-8. 15.一个扇形的面积是24πcm2,弧长为4πcm,则此扇形的圆心角度数为 第16页/共41页 【答案】 60° 【解析】 【分析】利用扇形面积与弧长的关系求出扇形半径，再结合弧长公式计算圆心角度数， 【详解】解：，扇形面积与弧长、半径的关系为S=二R,已知S=24πCm2,1=4πcm, 1 ∴.代入得24π=二×4π×R, 2 解得R=12cm, 设扇形圆心角度数为n°，根据弧长公式1=πR 180 将1=4π，R=12代入得， 4n=nr×12 180 等式两边约去π，整理得4=12n 180 解得n=60 16.一组有规律的图案如图所示，第1个图案有4个五角星，第2个图案有7个五角星，第3个图案有10 个五角星…，第12个图案有 个五角星， ☆ 第1个图案 第2个图案 第3个图案 【答案】37 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律问题， 根据第1个图案有4个五角星，第2个图案有4+3=7个五角星，第3个图案有4+3×2=10个五角星， 第4个图案有4+3×3=13个五角星，可得数字变化的规律再根据规律解答即可 【详解】解：第1个图案有4个五角星： 第2个图案有4+3=7个五角星： 第3个图案有4+3×2=10个五角星： 第4个图案有4+3×3=13个五角星， 第12个图案有4+3×11=37个五角星 故答案为：37 第17页/共41页 17.某校决定从三名男生和一名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰好 为一男一女的概率是 【答案】 1 2 【解析】 【分析】通过列举法统计从4名同学中选2名的所有等可能结果，再统计其中恰好为一男一女的结果数 量，两类结果的比值即为所求概率。 【详解】解：设三名男生分别为A、B、C,女生为D, 从4人中任选2人的所有等可能结果为AB、AC、AD、BC、BD、CD,共6种， 其中恰好为一男一女的结果为AD、BD、CD,共3种， 二选甜的恰好为男女的概率为。2 18.已知抛物线y=2x2+mx-6与x轴相交时两交点间的线段长为4，则m的值是 【答案】±4 【解析】 【分析】先令y=0,则2x2+mx-6=0,设一元二次方程2x2+x-6=0的两根分别为x,x2,再根据 根与系数的关系得出x+x2与xx2的值，根据两交点间的线段长为4即可得出m的值 【详解】解：令y=0,设一元二次方程2x+mx-6=0的两根分别为x,x,则x+5=-”0, 2 6 6=2-3②， .:抛物线与x轴相交时两交点间的线段长为4 .x-x2=4, .(-x)》2=16,即(x+x2)2-4xx2=16, 把①②代入得，←2-4×(3)=16，解得m=4. 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，熟知一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键。 19.正方形ABCD中，AD=6,点E在直线AB上，且BE=AB,连AC、DE交于O,则CO= 2 【答案】4V2或12V2 5 第18页/共41页 【解析】 【分析】正方形边长为6，点E在直线AB上，需分点E在线段AB上、点E在线段AB的延长线上两种位 置，利用AB∥CD得到相似三角形，结合正方形对角线长度计算CO的长。 【详解】解：：正方形ABCD中，AD=6,∠ADC=90°， ∴AB=BC=CD=DA=6,对角线AC=V62+62=6√2，且AB∥CD, 分两种情况讨论： 1.点E在线段AB上时， D B C BE=1AB=3. 2 .AE=AB-BE=6-3=3, AB∥CD, ∴.∠OAE=∠OCD,∠OEA=∠ODC, ∴.△OAE∽△OCD 40-4E31 OC CD 62' :A0+0C=AC=62, x6N2=4N2: :.0C=1+2 2.点E在线段AB的延长线上时， A D 1 :BE=24B=3, 第19页/共41页 ∴.AE=AB+BE=6+3=9, .AB∥CD ∴.∠OAE=∠OCD,∠OEA=∠ODC, ∴.△OAE∽△OCD 40-AE93 OC CD 6 2 A0+OC=AC=62 .OC= ×6V2=122 2 3+2 5 综上，0C的长度为42或122 5 20.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD交CD于点E,点F在AE的延长线上，连接CF, ∠BFC=2ZDB,则下列结论：①∠ACF-90:②AE=CE:®若amF=号AB=8,则 4 S△F=18:④若BD=,EF,AD=2,M为BC边上一点，则AM+EM的最小值为V53.其中正 3 确的结论序号有 【答案】①③④ 【解析】 【分析】过F作FH⊥CD,由∠EFC=2∠DAE和平行线性质，得到FH平分∠EFC,证△EHF≌△CHF, 得到EF=CF,再结合等角转化证明∠ACF=90°，判断①：对于②，通过角度关系发现∠DAE与∠EAC 没有必然相等关系，无法推出AB=CE:对于③，在R△MCF中利用anF=4设参，结合 4 △ADE∽△DCB得到线段比例，依次求出CE与高FH,计算三角形面积：对于④，由BD=EF转化 3 得到1C、4 到C一了，复用®得到的线段比例求出各线段长：利用对称枸造全等实现线段转化，结合两点之间线 段最短确定最小值，最后用勾股定理求值， 第20页/共41页 【详解】解：①：如图，过点F作FH⊥DC于H,设BD与AC交于点O, E :四边形ABCD是矩形， AD⊥DC,BD=AC,DO=CO .HF‖AD ∴∠EFH=∠DAE, 又.：∠EFC=2∠DAE, ·∠EFH=∠DAE=I∠EFC, 2 ∴.∠EFH=∠CFH, .·FH⊥EC, .∴.∠EHIF=∠CHF=90°， 又FH=FH, ∴.AEHF≌ACHF(ASA), ·EF=FC,EH=CH,∠FCH=∠FEH, :∠FEH=∠AED,∠DAE+∠AED=90°， ∴.∠FCH+∠DAE=90°， AE⊥BD ∴∠DAE+∠ADB=90°， 又∠BDC+∠ADB=90°， ∴.∠DAE=∠BDC, :D0=C0, ∠DCO=∠BDC, .∴.∠DCO=∠DAE, ∴∠DCO+∠FCH=90,即∠ACF=90°，故①正确， ②：：∠DCO=∠DAE,∠DAE与∠EAC不一定相等， 第21页/共41页 .∠DCO与∠EAC不一定相等， “AE与CE不一定相等，故②错误， @:若an∠F=行MB=8,判断Saar=18 由∠ACF=90°，an∠F=4C=4 FC3 设AC=4a,则FC=3a, .EF=FC, .EF =3a, 在Rt△ACF中，由勾股定理： AF=AC2+FC2=(4a)2+(3a)2=5a .AE AF-EF 5a-3a=2a, BD=AC, .BD=4a, .·∠BDC=∠DAE,∠BCD=∠ADE=90°， .AADE∽ADCB, :.AD-DE AE_2d 1 …DC BC BD4a21 AB=DC=8, :.AD=IDC=4,DE=IBC=IAD=2. 2 2 ∴CE=DC-DE=8-2=6, ∴.EH=HC=3, :∠DEA=∠HEF,LADE=∠FHE=90°， ∴.AADE∽AFHE, 阳-班，即 FH 3 -=三，解得FH=6, AD DE 42 1 :.S.C 2 EC-FH=2×6x6=18,故③正，确 ④：若BD=4EF,AD=2,判断AM+EM的最小值为V53 3 .BD=AC,EF=FC, 小4c-r-号心.即C4 3 FC3 anF=7,和图条件一致 第22页/供41页 由③知DE=14D1 AD 2'DC 2' 当AD=2时，DE=1,DC=4, .EC=DC-DE=3, 如图，延长EC至点E',使E'C=EC,连接EM, E H ----- B .·∠ECM=∠E'CM,CM=CM,EC=EC, ∴.AECM≌aE'CM(SAS). ∴.E'M=EM, ∴.AM+EM=AM+E'M, 根据两点之间线段最短，当A,M,E三点共线时，AM+E'M最小，最小值为AE的长， DE=DC+CE'=4+3=7, 在Rt△ADE'中， AE=√AD2+DE2=V22+72=V4+49=√53， ∴.AM+EM的最小值为√S3,故④正确， 综上，正确结论序号：①③④ 【点晴】本题属于矩形背景下几何多结论压轴题，综合矩形性质、全等三角形、相似三角形、直角三角形 边角关系以及最短路径模型，解题关键是通过作垂线构造全等，得到EF=C℉，完成核心角度转化：后 续利用相似得到固定线段比例，结合参数计算、轴对称转化线段求解最值，侧重考查倒角推理、相似计算 以及几何模型识别能力， 三.解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共60分） 21.先化简，再求值： x+2.x4 其中x=2cos30°+tan45° x2-x'x-2x2-2x 【答案】化简： 1V5 x-3 第23页/供41页 【解析】 【分析】先将多项式进行因式分解，根据分式的加减乘除混合运算法则，先对括号里的进行通分，再将除法 转化为乘法，约分化简即可。 【详解】解： x+2 4 x2-x(x-2x2-2x t+2 4 x2-x'x(x-2)x(x-2) =x+2 x2-4 x(x-1)x(x-2) =-*+2 x(x-2) x(x-1)(x+2)(x-2) 当，x=2c0s30°+tan45°=2xV5 1=V5+1时， 15 原式= 1 V3+1-1V33 22.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，A、B均在格 点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹） A B (1)画∠ABC=45°，点C在格点上： (2)连接AC,在BC上找一点D,连接AD,使3S。MD=2SACD,并直接写出tan∠ADC的值. 【答案】(1)如图，∠ABC即为所求： 第24页/供41页 (2)如图，点D即为所求，tan∠ADC=5. M 【解析】 【分析】(1)取格点C,连接AC、BC,利用勾股定理求得三边的长，证明△ABC为等腰直角三角形，可 得∠ABC=45°： (2)由面积比可得BD-?取格点M,网格线上中点N,连接MN交BC于D,利用相似三角形的性质可 CD 3 得点D即为所求：过A作AF⊥BC于F,利用等腰直角三角形的性质求得AF、DF,利用正切定义求解 即可 【小问1详解】 解：作图依据：AB=AC=V32+42=5,BC=V72+12=50=5√2 ∴AB2+AC2=BC2, ∴.△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°， .∠ABC=45°： 【小问2详解】 解：作图依据：BM∥CN,CN=1.5,BM=1, ∴.△BDM△CDN, :BD=BM I 2 CD CN 1.5 3 SAAMD BD2 SAACD =CD3,即3SAm=2SMm 过A作AF⊥BC于F,如图， 第25页/共41页 D M .·△ABC是等腰直角三角形，AF⊥BC, LAFD-90,AF=BF=CF=IBC-52 2 BD2 CD 3' BD=2BC=22. ÷DF=BF-BD=2 5v2 ∴.tan∠ADC= AF 2=5. DF 2 23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-r+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点 A(一4，-2)、B(m,4),与y轴相交于点C. 0 (1)求反比例函数和一次函数的表达式： (2)求△AOB的面积 8 【答案】(1)y=x+2,y=° (2)6 【解析】 第26页/共41页 【分析】(1)先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，再据此求出点B的坐标，再利用待定系数法求 一次函数解析式即可： 1 （2)先求出C点坐标，再根据S40s=2×0C×(x,-x,)作答即可. 【小问1详解】 解：：点4(4，-2)、B(m,4)在反比例函数y=k的图象上， k -2644中 m .k=8,m=2, 即反比例函数解析式为y=8 B(2,4) :点A(4,-2）、B(2,4)在一次函数y=-x+b的图象上， 4a+b=-2 a=-l -2a+b=4'解得： b=21 ∴.一次函数解析式为：y=x+2: 【小问2详解】 当x=0时，y=x+2=2 .C(0,2) .0C=2, :S.0m=2×0Cx(xm-x小B(2,4),A(-4-2). SB=)×2x2+4)=6 24.在矩形ABCD中，点E是BC上的一个动点（点E不与端点B、C重合），点F为AE的中点，连接 CF、DF. E 图1 图2 (1)如图1，求证：CF=DF: (2)如图2，连接BF,若AB=8,AD=15,当线段BF的长为整数时，直接写出线段BE的长， 第27页/共41页 【答案】(1)证明：连接BF,如图， E :矩形ABCD, .∴.AD=BC,∠BAD=∠ABC=90°， :点F为AE的中点， :在R△ABE中，BF=AE=AF, 2 .∠FAB=∠FBA ∴.∠BAD-∠FAB=∠ABC-∠FBA, ∴.∠FAD=∠FBC, AD=BC ∠FAD=∠FBC, AF=BE .△FAD≌AFBC(SAS, :.CF=DE: (2)6、4V5、2W33、8√5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质以及 勾股定理等知识。 (1)连接BF,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得BF=AE=AF,再证明AFAD≌△FBC, 即可证明： 1 （2)结合BF=24E=AF,可知线段AE的长也为整数，群结合B距<15可得4E的取值范围，进而可 作答 【小问1详解】 见答案 【小问2详解】 解：根据D中的证明可知：在Rt△MBE中，BF)A企 第28页/共41页 线段BF的长为整数， .线段AE的长也为整数， 矩形ABCD, ∴.BC=AD=15, :点E不与端点B、C重合， .BE<BC, ∴.0<BE<15, .在Rt△ABE中，AB=8,AE为整数， 假设BE=15,则有：AE=√AB2+BE2=V82+152=17 .∴.8<AE<17, 原号征， ∴.4<BF<8.5 ~线段BF的长为整数， .BF的长度可以为5、6、7、8， .AE的长度可以为10、12、14、16， 根据BE=VAE2-AB2=VAE2-64,可知BE可以为：6、4V5、2V33、8V3 25.挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”深得大家喜欢，其独特的空心技艺传承千年， 从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序.数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已 知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元. (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋，在单价不变，总费用不 超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，求购买多少袋B种挂面时，所需费用最小，并求出最小 的购买费用。 【答案】(1)A型挂面单价为20元，B型挂面单价为30元： (2)购买10袋B型挂面时所需费用最小，最小购买费用为900元 【解析】 【分析】(1)设A型挂面的单价是x元，B型挂面的单价是y元，由题意列出方程组，求解即可： (2)设购买B型挂面a袋，总费用为w元，则购买A型挂面(40-a)袋，根据题意列出关于a的不等式组 求出其取值范围，再表示出总费用为w=10a+800,即可得出答案， 第29页/共41页 【小问1详解】 解：设A型挂面的单价是x元，B型挂面的单价是y元，由题意，得： 2x+2y=100 3x+2y=120 x=20 解得 y=301 ∴.A型挂面的单价是20元，B型挂面的单价是30元： 【小问2详解】 解：设购买B型挂面a袋，总费用为w元，则购买A型挂面(40-)袋，根据题意得： [20(40-a+30a≤950 a≥10 解得：10≤a≤15 总费用为：w=(40-a×20+30a=10a+800, 10>0, .w随a的增大而增大， .当a=10时，w有最小值，最小值为10×10+800=900， ∴购买10袋B型挂面时所需费用最小，最小购买费用为900元. 26.如图，△BCD内接于⊙O,连接OC,BD=√2OC B E D B 图1 图2 图3 (1)求证：∠BCD=45°： (2)如图2，A为弧BC上一点，连接AB交CD于点E,连接OD交AB于点M, ∠OCB+∠AEC=3∠ABC,求证：DE=DM: (3)如图3，在(2)的条件下，若AB=9,CD=1210 求OM的长. 5 第30页/共41页 【答案】(1)证明：如图所示，连接OB、OD, D B 设⊙O的半径为R,则OC=OB=OD=R, ∴.BD=V2OC=V2R, 在△0DB中，0B2+0D2=2R2,BD2=(V2R}=2R2. ∴0B2+0D2=BD2, ,△ODB是直角三角形，且∠BOD=90°， ,在⊙O中，圆周角∠BCD与圆心角∠BOD同对弧BD, .∠BCD=。 ∠B0D=45° (2)证明：如图所示，由(1)可得：∠BCD=45°， 在ABCE中，∠AEC=∠BCD+∠ABC=45°+∠ABC, .OB=OC. .∠OCB=∠OBC, 在△OBC中，∠BOC=180°-2∠OCB, ,圆周角∠BDC与圆心角∠BOC同对弧BC, .2∠BDC=∠BOC, .2∠BDC=180°-2∠OCB ∴.∠OCB=90°-∠BDC 第31页/共41页 在△BCD中，∠BDC+∠DBC+∠BCD=180°， .∠BDC=180°-45°-∠DBC=135°-∠DBC, ∴.∠OCB=90°-(135°-∠DBC)=∠DBC-45°， :∠OCB+∠AEC=3∠ABC, ∴（∠DBC-45)+(45°+∠ABC)=3∠ABC, ∴.∠DBC=2∠ABC, :射线BA在∠DBC内部， ∴.∠DBC=∠ABD+∠ABC, .2∠ABC=∠ABD+∠ABC, ∴.∠ABC=∠ABD,即AB平分∠DBC, 在△DEM中，∠DEM=∠AEC=45°+∠ABC, 在△BDM中，∠DME=∠MDB+∠MBD=∠ODB+∠ABD, .·OB=OD且∠BOD=90° ∴.△OBD是等腰直角三角形，∠ODB=45°， ∴.∠DME=45°+∠ABD, :∠ABC=∠ABD .∠DME=∠DEM, .DE=DM (3)10 2 【解析】 【分析】(1)连接OB、OD,设⊙O的半径为R,则OC=OB=OD=R,在△ODB中利用勾股定理逆 定理证明∠BOD=90°，再由圆周角∠BCD与圆心角∠BOD同对弧BD,即可得出 BCD2∠B0D=45 (2)在△BCE中∠AEC=45°+∠ABC,再由圆周角定理得出∠OCB=90°-∠BDC,进而得出 ∠DBC=2∠ABC，,根据∠DBC=∠ABD+∠ABC,，得出∠ABC=∠ABD,即AB平分∠DBC,在 △DEM中，∠DEM=∠AEC=45°+∠ABC,∠DME=45°+∠ABD,所以∠DME=∠DEM,即可 得出DE=DM; (3)连接OA交CD与点H,设⊙O的半径为R,过点A作AK⊥BK交BO的延长线于点K,过点A 第32页/共41页 作AT⊥OD于点T,，连接AD,在Rt△AOK中，∠OAK=2a,得出 AK=OA×cos2a=Rcos2a,OK=OA×sin2a=Rsin2a,进而得出AB2=2R2+2R2sin2a,在 Rt△COH中，CH=OC×sin2a=Rsin2a,得出CD=2CH=2Rsin2a,将CD代入AB2的式子 中，得：AB-2R2+R×CD,将AB=9,CD-120代入，建立方程求出R=30,在 5 2 Rt△AOK中得出sin2a= =5 cos2a=4K3 K0 AO 5 A0=亏'进而在Rt△AOT中求出AT=610 5 D7=3v0 5 在Rt△ATD中，AD=√AT2+DT2=3N2,在Rt△OBD中，BD=3W5,最后根据 △ADE△ABD,DM=DE=√I0,即可根据OM=OD-DM求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的 【小问3详解】 解：如图所示，连接OA交CD于点H,设⊙O的半径为R,由(2)可设∠ABD=∠ABC=a, D ∴.∠AOC=∠AOD=2a, 由(2)可得：∠B0D=90°， .∠AOB=2a+90° 过点A作AK⊥BK交BO的延长线于点K, .∠AOK=180°-∠AOB=90°-2a, ∴.在Rt△AOK中，∠OAK=2C, .AK=OAxcos2a=Rcos2a,OK =OAxsin 2a=Rsin 2a, 第33页/共41页 在Rt△AKB中，AB2=AK2+BK2=AK2+(OB+OK)2, .'AB2 =(Rcos2a)+(R+Rsin 2a)'=R2 cos22a+R2+2R2 sin 2a+R2 sin22a, .'AB2 =R2 cos2 2a+R2+2R2 sin 2a+R2 sin2 2a=R2(cos2 2a+sin2 2a)+R2+2R2 sin 2a '在Rt△AOK中，cos2a= AK AO sin 2a=Ko AO .'cos2 2a+sin2 2a= AK KO AK2+KO2 AO2 =1, A03 A02 .'AB2=2R2+2R2 sin 2a, :∠AOC=∠AOD=2a,OC=OD ∴由等腰三角形“三线合一”可得：OH⊥CD,CD=2CH, 在Rt△COH中，CH=OC×sin2a=Rsin2a, .CD=2CH=2Rsin 2a. 将CD代入AB2的式子中，得：AB2=2R2+R×CD, 将B=9,CD=120代入得：g=2R2+Rx12i0 5 整理得：10R2+12V10R-405=0, 设R=√10x,原方程可化为：20x2+24x-81=0, 3 ∴(2x-3)(10x+27)=0,解得：x=三或x=- 27 (舍去) 2 10 .33V10 ∴R=10x2= 22 .'CD=2Rsin 2a, :1210=2x 310 5 2 2xsin2a,解得：sin2a=5 .在Rt△AOK中，sin2a= K04 A05 .设K0=4k,A0=5k, AK=A02-K02=3k, icos2a=4张-3 ΓA05 过点A作AT⊥OD于点T,连接AD, 第34页/共41页 :∠AOD=2a, ÷在R△40r中，An=OA×in2a=30×4_6而，OT=O4xcos2a=3Y×2-9 2 55 2510 ∴DT=0D-07=310_910_310 2 10 5 在Rt△ATD中，AD=√AT2+DT2 6V10 310 36090 55 V2525-V25 450=18=32, 在Rt△OBD中，BD=V2R=V2×3i0 =35, :∠ADE=∠ABD=L,∠DAE=∠DAE, .△ADE∽AABD, .AD_DE AB BD :32D 93√5 解得：DE=V10 ∴.DM=DE=V10, ..OM=OD-DM= 310 io- 2 2 27.如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+2ax-10交x轴于点A、B,交y轴于点 C,连接AC,tan∠ACO=1. B方 B衣 C 图1 图2 图3 (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，P为第三象限抛物线上一点，连接BP交y轴于点D,设点P的横坐标为1，OD的长为 d,求d与1之间的函数关系式（不要求写出自变量1的取值范围）： (3)如图3，在(2)的条件下，E为OB上一点，连接CE交BP于点F,CD-OE=2, ∠OCE+∠OBD=45°，M为第二象限内一点，连接OM、AM、CM,若∠AOM=2∠ACM, 第35页/共41页 SACw=60,求PM的长. 12.1 【答案】(1)y=。x2+x-10 8 4 (2)d=t+10 (3)237 【解析】 【分析】(1)先求出点C的坐标，随即得到OC的值，再由正切的定义求出点A的坐标，代入抛物线解析 式即可求得a的值，从而得解： (2)先设P1,。 12+-1-10 再求出点B的坐标，通过待定系数法求出直线BP的解析式，根据题意 4 令x=0,则y=-1-10,得到点D的坐标，从而求出OD的表达式，即可得解： (3)过点D作DOCE且DQ=CE,过点B作DB⊥BQ交CE的平行线于点Q,连接OE,先证得 四边形DCEQ是平行四边形，由平行四边形的性质结合已知条件并通过倒角可推出△DQB是等腰直角三 角形，再证明△ODB≌aEBQ(ASA),根据(2)的结论得到CD=QE=OB=-1=8,求出1的值，待 定系数法求出直线BD的解析式，联立抛物线解析式即可求得点P的坐标：过点M作MG⊥y轴交y轴于 点G,作MH⊥CA交CA延长线于点H,过点A作MA⊥AN交MC于点N,过点N作NK⊥AC于点 K,设CM与x轴的交点为点R,通过倒角证得△OCM和△AOM是等腰三角形，再证明 △HMA≌△KAN(AAS),通过勾股定理求得AC的值，继续利用已知条件通过三角形面积公式推导求得 HM的值，然后利用相似三角形的判定与性质，勾股定理及三角形面积公式推导可得出点M的坐标，最 后利用两点之间的距离公式即可求得PM的值. 【小问1详解】 解：抛物线与y轴交于点C, 令x=0,则y=-10, .C(0,-10),即OC=10, ,tan∠ACO=l, :04=1,解得：0A=10, “0C ∴A(-10,0), 第36页/供41页 将点A(-10,0)代入抛物线解析式， ∴.0=(-10)a+2×(-10)a-10, 解得：a=8 1 ∴.抛物线的解析式为y= 12+x-10 8 4 【小问2详解】 解：·点P位于抛物线第三象限上， 1 1 令y=0,则。x2+二x-10=0, 8 4 解得：x=-10,x2=8, ∴B(8,0) 设直线BP的解析式为y=c+b, 0=8k+b + -10 ,?+-10=+b'解得： k=84 1-8 4 b=-1-10 12+-10 ∴.直线BP的解析式 y=8 4 t-8 —x-t-10 ,点D为直线BP与y轴交点，且OD=d, .令x=0,则y=-1-10, ∴D(0,-1-10) .OD=d=-1-10=1+10, 即d与1之间的函数关系式为d=1+10 【小问3详解】 解：如图，过点D作DQ‖CE且DQ=CE,过点B作DB⊥BQ交CE的平行线DQ于点Q,连接 OE, 第37页/供41页 H R .四边形DCEO是平行四边形 .CD=OE,CDIlOE, .QE⊥OB, :∠OCE+∠OBD=45°， 设∠OBD=a,则∠OCE=45°-a, ∴.∠OCE=∠D0E=45°-a, .∴.∠OEC=90°-∠OCE=45°+a, .∴.∠EFB=∠DFC=∠OEC-∠OBD=45°， :DQ川CE, ∴.∠BD0=∠DFC=45°， .∠D0B=90°-∠BD0=45°， .DB=BQ,∠EQB=∠DQB-∠DQE=∠OBD=a, 在△ODB和△EBO中， [∠DOB=∠BEQ=90° DB=BO ∠OBD=∠EOB ∴.△ODB≌AEBQ(ASA), ..OB=OE=8,OD=BE, 由(2)知，OD=1+10,则CD=OC-OD=10-(t+10)=-1, .CD=QE=OB=-1=8,解得：t=-8, 第38页/共41页 ∴OD=BE=1+10=2,即D(0,-2) 设直线BD的解析式为y=kx+b, 0=8k+b 1-2=b ,解得 k= 4, 6=-2 .直线BD的解析式为y=二x-2, 4 42 1 -10, 1 联立抛物线解析式，得： 解得：x=8,x2=-8 ∴P(-8,-4) 过点M作MG⊥y轴交y轴于点G,作MH⊥CA交CA延长线于点H,过点A作MA⊥AN交MC于点 N,过点N作NK⊥AC于点K,设CM与x轴的交点为点R, :∠AOM=2∠ACM 设∠ACM=B,则∠AOM=2B, :A0=OC=10,∠AOC=90°， ∴.∠OAC=∠OCA=45°， ∴∠OCM=∠AC0-∠ACM=45°-B :∠OAC+∠ACM=∠AOM+∠OMC=∠CRO .∠OMC=∠OAC+∠ACM-∠AOM=45°-B ∴.∠OCM=∠OMC,即AOCM是等腰三角形， .OM=OC=10, .∴.AO=OM=10 ÷∠04M=∠0MA=180°-∠A0M=90°-B. 2 ∴.∠AMC=∠AMO-∠OMC=45°， ,∠MAN=90°， .∠ANM=45°， ∴.AM=AN, :∠HAM+∠NAK=∠HAM+∠HIMA=90°， 第39页/共41页 .∠NAK=∠HMA, 在AHMA和△KAN中， [∠H=∠AKN=90° ∠HMA=∠NAK, AM=AN ∴.△HMA≌AKAN(AAS), .HM=AK,HA=KN, 在Rt△AOC中，AC=VOA2+OC2=10N2, :S4cw=60, M,AC=HM102=60.解：M=62. ∴HM=AK=62,则CK=AC-AK=4V2, :NK⊥AC,HM⊥AC, .HM NK :∠NCK=∠MCH, .△KCN∽aHCM, KN=CK HM AC+AH 设HA=KN=n, 4V2 解得：n=22, 62102+n ∴.AH=NK=2V2, AM=AN=√AK2+KN2=4V5, MN=AM2+AN2=410.CN=CK2+NK2=210 ∴.CM=MN+CW=610 过点O作OJ⊥CM交CM于点J, MCC-30 .0J=V0C2-CJ2=10, 第40页/共41页 S.@J-CM-jOC-GM x6Dx10xGM, .GM=6, ∴G0=VOM2-GM2=8,即M(6,8), PM=V(-8+6}+(-4-8}=237 第41页/供41页