2026-2027学年北师大版七年级数学上册期中模拟卷

2026-2027学年北师大版七年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第1章丰富的图形世界整式及其加减 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（    ） A． B． C． D． 2．在，，，，，中，负数的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．某快递公司的同城互寄服务按如下规则计费：当包裹重量不超过1千克时，只收取首重费用15元；当包裹重量超过1千克时，除首重费用外，超过部分按每千克3元收取续重费用．设包裹重量为x千克，其中x为大于1的整数，则应付快递费为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．观察下图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后，可能形成的立体图形是（     ） A． B． C．D． 5．如图，数轴上有三个点、、，它们所表示的数分别为、、．若点、表示的数互为相反数，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若多项式与的差是一个单项式，则与的关系一定满足（     ） A． B． C． D．不能确定 7．用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是三棱锥，则剩下的几何体的顶点最少有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 8．如图，圆柱的高为，底面周长为，在外侧距离下底的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、且在圆柱外侧离上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（     ） A． B．C．D． 9．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取，则： 若，则第2026次“F运算”的结果是（     ） A．19 B．31 C．62 D．98 10．如图在下列表格中，每行、每列以及每条对角线上的三位数字之和都相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．如图，小明做了四个不同的模型，每个模型都由五个棱长为1的正方体组成，则能从墙面的空隙中钻过去的模型有___________个． 12．定义关于a、b的新运算：，其中a、b为整数，且为a与b的乘积，例如，若，则________． 13．数，在数轴上表示的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来___________． 14．在正方体展开图上标有，B，C，D，E，F，G，H，M，N，P的字样，如图当将它折叠成正方体时，点与点_____重合，点与点_____重合． 15．下列说法：①两个数互为倒数，则它们的乘积为 1；②若，则a，b互为相反数；③ 几个有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负；④若，且，则；⑤若 ， ，则．其中正确的结论是_______．（填正确结论的序号） 16．若与是同类项，则________． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（8分）如图1、图2、图3，这些是将正方体截取一部分后得到的几何体． (1)指出它们的截面形状分别是__________；__________；__________． (2)根据要求填写表格： 面数 顶点数 棱数 图1 图2 图3 19．（8分）如图是南昌地铁2号线部分站点的线路示意图．周末，某校开展“文明出行，暖心南昌”的志愿者活动，志愿者小丽从“地铁大厦”站上车，在车厢内流动，专门为外地游客提供路线咨询、换乘引导等帮助．活动当天，她一直随车往返于客流密集的车站之间．规定从南路开往南昌东站的方向记为正方向．当天小丽随车行进的站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：，，，，，． (1)请通过计算说明小丽是在哪一站结束当日志愿活动？ (2)若相邻两站之间的距离相等，那么在志愿活动当天，小丽距离“地铁大厦”站最远时到达了哪一站？ (3)若相邻两站之间的平均距离约为千米，求小丽这次志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程是多少千米？ 20．（8分）【教材呈现】课本页提到“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到． 【例】合并同类项：，类似地，我们也可以把看成一个整体，则． 尝试应用： (1)把看成一个整体，则_______； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 21．（10分）某综合与实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你通过动手操作完成以下任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） (1)动手操作一：根据图1所示方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个边长为的小正方形，再沿虚线折起来． 若，则该长方体纸盒的底面是________形，其边长为________；该长方体纸盒的容积为________； 拓展延伸： (2)动手操作二：根据图2所示方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角分别剪去两个边长为的小正方形和两个宽为的小长方形，再沿虚线折起． 若，该长方体纸盒的表面积是多少？容积是多少？ 22．（10分）如图，是由多个边长为的小正方体组合成的立体图形． (1)分别画出从正面、左面、上面观察到的图形． (2)如果将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），则需要涂上红色的面积为______． 23．（10分）如图1是某月的月历，如图2所示的是三种方格框（方格框①、方格框②、方格框③），可以框住日历中的三个数，设被这三种方格框框住的三个数中最大的数都为． (1)例如，第①个方格框住的三个数从小到大依次是，，； 请用含的式子表示： 第②个方格框住的三个数从小到大依次是________，________，； 第③个方格框住的三个数从小到大依次是________，________，； (2)设第①个方格框中三数之和为，第②个方格框中三数之和为，第③个方格框中三数之和为，是否对任意都成立？请说明理由． 24．（10分）如图，在数轴上点表示数，点表示数． (1)，两点之间的距离等于 ； (2)在数轴上有一个动点，它表示的数是，则的最小值是 ； (3)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点表示的数是 ； (4)若在原点的左边个单位长度处放一挡板，一小球从点处以个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一小球从点处以个单位长度/秒的速度向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）两球分别以原来的速度向相反的方向运动；设运动时间为秒，求为何值时的长为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版七年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第1章丰富的图形世界整式及其加减 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，不符合题意． B．，不符合题意． C．，不符合题意． D．，符合题意． 2．在，，，，，中，负数的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先化简含绝对值、多重符号的数，再统计负数的个数． 【详解】解：∵，，，， ∴，均为负数，即负数共有3个． 3．某快递公司的同城互寄服务按如下规则计费：当包裹重量不超过1千克时，只收取首重费用15元；当包裹重量超过1千克时，除首重费用外，超过部分按每千克3元收取续重费用．设包裹重量为x千克，其中x为大于1的整数，则应付快递费为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】解：∵为大于1的整数， ∴超过1千克的部分重量为千克，续重费用为元． ∴应付快递费为元． 4．观察下图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后，可能形成的立体图形是（     ） A． B． C．D． 【答案】C 【详解】解：由图形可以看出，图中长方形的竖直两个边与已知的直线平行，则这两条边旋转形成两个柱形表面，因而旋转一周后可能形成的立体图形是一个管状的物体，即从大圆柱体中挖去一个小圆柱体，故C选项符合题意． 5．如图，数轴上有三个点、、，它们所表示的数分别为、、．若点、表示的数互为相反数，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知 点、表示的数互为相反数 原点位于、中点， 即，且， ，且 对于A，，，， ，故A错误 对于B，， ， 又， ，故B正确 对于C，， ， ，故C错误 对于D，，，， ，故D错误 6．若多项式与的差是一个单项式，则与的关系一定满足（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】先计算两多项式的差，结合单项式的定义推导a与b的数量关系． 【详解】解：， ∵ 差为单项式，且与不是同类项， ∴ 两项中必有一项系数为0， 又∵ 项的系数， ∴ ，即． 7．用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是三棱锥，则剩下的几何体的顶点最少有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】要使剩下的几何体顶点最少，需减少新增顶点数量，同时尽量多去掉原正方体顶点． 【详解】解：正方体原有8个顶点． ∵截去的几何体是三棱锥，截面为三角形， ∴三棱锥的4个顶点中3个在截面上，仅1个在截去侧.要使剩下的顶点最少，需新增顶点最少且去掉的原顶点最多． ∵当截面经过正方体的3个顶点时，新增顶点数为0，且截去侧的顶点为原正方体顶点， ∴仅去掉1个原顶点，剩下的顶点数为个． 8．如图，圆柱的高为，底面周长为，在外侧距离下底的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、且在圆柱外侧离上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（     ） A． B．C．D． 【答案】A 【分析】根据圆柱的侧面展开图为矩形，可知蚂蚁需爬行的最短距离为线段，根据两点之间，线段最短可得解． 【详解】解：如图所示，蚂蚁需爬行的最短距离为线段， 故选：A． 9．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取，则： 若，则第2026次“F运算”的结果是（     ） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】B 【分析】根据定义，分类计算，先求得前几次的结果，找到规律，结合，得第2026次“”运算后的结果与第4次运算结果相同，即可求解． 【详解】解：根据定义，当时，是奇数， 故第一次结果为；第二次结果为；第三次结果为；第四次结果为；第五次结果为；第六次结果为；第七次结果为；第八次结果为， 发现规律，次一循环， 由， 故第2026次“”运算后的结果与第4次运算结果相同，是． 10．如图在下列表格中，每行、每列以及每条对角线上的三位数字之和都相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了九宫格与有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则． 根据九宫格的特征，逐个求出字母的值，然后代数求值即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得； ， 解得； ， 解得； ∴， ∴每行、每列以及每条对角线上的三位数字之和都为， ∴， ， ， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．如图，小明做了四个不同的模型，每个模型都由五个棱长为1的正方体组成，则能从墙面的空隙中钻过去的模型有___________个． 【答案】 【详解】解：图①和④从左边看到的图形为：，能从墙面的空隙中钻过去； 图②从左边和正面看到的图形均为：，从上面看到的图形为：，不能从墙面的空隙中钻过去； 图③从左边看到的图形为：，能从墙面的空隙中钻过去； ∴能从墙面的空隙中钻过去的模型有个． 12．定义关于a、b的新运算：，其中a、b为整数，且为a与b的乘积，例如，若，则________． 【答案】 【分析】根据新运算规则，先由的值求出，再通过递推计算低次幂的函数值，归纳得到的取值规律，最终求出． 【详解】解：根据新运算规则， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 以此类推，对任意正整数，， ∵ ， ∴ ． 13．数，在数轴上表示的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来___________． 【答案】 【分析】由数轴可得，且，从而得出，，由此即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得，且， ∴，， ∴． 14．在正方体展开图上标有，B，C，D，E，F，G，H，M，N，P的字样，如图当将它折叠成正方体时，点与点_____重合，点与点_____重合． 【答案】 【详解】解：根据正方体的展开图可知，点A与点C、E重合，点H与点P、F重合． 15．下列说法：①两个数互为倒数，则它们的乘积为 1；②若，则a，b互为相反数；③ 几个有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负；④若，且，则；⑤若 ， ，则．其中正确的结论是_______．（填正确结论的序号） 【答案】①②⑤ 【分析】结合倒数定义、相反数定义、有理数乘法法则、绝对值的性质，逐一判断每个说法的正误即可． 【详解】解：①根据倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为1，①正确． ②若，则分母，两边同乘得，即，故，互为相反数，②正确． ③几个有理数相乘，若其中有一个因数为0，则积为0，不是负数，与负因数的个数无关，③错误． ④举反例：取，，满足，且，但，不满足，④错误． ⑤∵，绝对值为非负数 ∴，即 又∵，绝对值等于本身的数是非负数 ∴ ∴ 将代入得 ∴ ∴，⑤正确． 16．若与是同类项，则________． 【答案】 【分析】根据同类项定义列出等式、，求出，，再代入式子计算得到结果 25． 【详解】解：与是同类项， 相同字母的指数相等． ， ． 解得 ． ． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（8分）如图1、图2、图3，这些是将正方体截取一部分后得到的几何体． (1)指出它们的截面形状分别是__________；__________；__________． (2)根据要求填写表格： 面数 顶点数 棱数 图1 图2 图3 【答案】(1)三角形，四边形，六边形 (2) 面数 顶点数 棱数 图1 7 9 14 图2 6 8 12 图3 7 10 15 【分析】（1）截面的边数等于平面与几何体相交的面的个数，数出截面边数判断多边形类型． （2）仔细逐个清点多面体的面、顶点、棱即可得出结果． 【详解】（1）解：观察图1，平面截取正方体，截面有3条边，截面为三角形． 观察图2，平面截取正方体，截面有4条边，截面为四边形． 观察图3，平面截取正方体，截面有6条边，截面为六边形． （2）略 19．（8分）如图是南昌地铁2号线部分站点的线路示意图．周末，某校开展“文明出行，暖心南昌”的志愿者活动，志愿者小丽从“地铁大厦”站上车，在车厢内流动，专门为外地游客提供路线咨询、换乘引导等帮助．活动当天，她一直随车往返于客流密集的车站之间．规定从南路开往南昌东站的方向记为正方向．当天小丽随车行进的站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：，，，，，． (1)请通过计算说明小丽是在哪一站结束当日志愿活动？ (2)若相邻两站之间的距离相等，那么在志愿活动当天，小丽距离“地铁大厦”站最远时到达了哪一站？ (3)若相邻两站之间的平均距离约为千米，求小丽这次志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程是多少千米？ 【答案】(1)小丽是在翠苑路站结束当日志愿活动，说明如下： 由题意得，以“地铁大厦”站为原点，正方向为往南昌东站方向， ∴ ， ∴此时对应站点为翠苑路站； (2)小丽距离“地铁大厦”站最远时到达了永叔路站 (3)小丽乘坐地铁行进的总路程是30千米 【分析】（1）以“地铁大厦”站为原点，往南昌东站方向为正方向，将所有行进站数求和，得到结果再结合图片信息求解即可； （2）依次计算各次停靠后的位置，进而即可求解； （3）先计算所有行进站数的绝对值之和，再乘以单站平均距离千米，即可得到总路程． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，第1次下站后：，距离“地铁大厦”3站； 第2次下站后：，距离“地铁大厦”7站； 第3次下站后：，距离“地铁大厦”1站； 第4次下站后：，距离“地铁大厦”4站； 第5次下站后：，距离“地铁大厦”1站； 第6次下站后：，距离“地铁大厦”1站， ∴最大距离为7站，对应地铁大厦站正方向第7站，即永叔路站； （3）解：由题意得，经过的总站数为 ， ∵相邻两站平均距离为千米， ∴总路程为（千米）． 20．（8分）【教材呈现】课本页提到“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到． 【例】合并同类项：，类似地，我们也可以把看成一个整体，则． 尝试应用： (1)把看成一个整体，则_______； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将视为整体，合并同类项计算系数； （2）对所求式子变形，构造出已知的整体，代入求值； （3）先去括号，再分组凑出已知的与两个整体，代入求值． 【详解】（1）解：将视为整体，则． （2）解：， ． （3）解：去括号，得， 重新分组，得． ，， 原式． 21．（10分）某综合与实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你通过动手操作完成以下任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） (1)动手操作一：根据图1所示方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个边长为的小正方形，再沿虚线折起来． 若，则该长方体纸盒的底面是________形，其边长为________；该长方体纸盒的容积为________； 拓展延伸： (2)动手操作二：根据图2所示方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角分别剪去两个边长为的小正方形和两个宽为的小长方形，再沿虚线折起． 若，该长方体纸盒的表面积是多少？容积是多少？ 【答案】(1)正方，12，864 (2)长方体纸盒的表面积是，容积是 【分析】（1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长；根据图形求出长方体纸盒的长宽高即可求出容积； （2）根据图2的裁剪，折合后是一个有盖的长方体，表示出长，宽，高，则可求出表面积和容积． 【详解】（1）解：由题意，该长方体纸盒的底面是正方形，底面边长为：， 该长方体纸盒的容积为：； （2）解：裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为： ； ∴长方体纸盒的表面积为，容积为． 22．（10分）如图，是由多个边长为的小正方体组合成的立体图形． (1)分别画出从正面、左面、上面观察到的图形． (2)如果将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），则需要涂上红色的面积为______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据从不同方向看到的图形即可得； （2）找出这个立体图形的露在外面的面的总个数即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴需要涂上红色的面积为． 23．（10分）如图1是某月的月历，如图2所示的是三种方格框（方格框①、方格框②、方格框③），可以框住日历中的三个数，设被这三种方格框框住的三个数中最大的数都为． (1)例如，第①个方格框住的三个数从小到大依次是，，； 请用含的式子表示： 第②个方格框住的三个数从小到大依次是________，________，； 第③个方格框住的三个数从小到大依次是________，________，； (2)设第①个方格框中三数之和为，第②个方格框中三数之和为，第③个方格框中三数之和为，是否对任意都成立？请说明理由． 【答案】(1)②，③， (2)对任意都成立． 【分析】（1）根据三种方格框框住日历中的三个数间的关系，可用含的代数式表示出三种方格框中的数，即可作答． （2）分别用表示，然后将其代入，即可判断是否存在任意满足． 【详解】（1）解：②观察日历图，以22，29，30为例符合②的形式， 最大是， 第二大的数是， 最小的数是， 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，. ③观察日历图，以22，23，30为例符合③的形式， 最大是， 第二大的数是， 最小的数是， 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，. （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ， 可以取任意数． 对任意都成立． 24．（10分）如图，在数轴上点表示数，点表示数． (1)，两点之间的距离等于 ； (2)在数轴上有一个动点，它表示的数是，则的最小值是 ； (3)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点表示的数是 ； (4)若在原点的左边个单位长度处放一挡板，一小球从点处以个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一小球从点处以个单位长度/秒的速度向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）两球分别以原来的速度向相反的方向运动；设运动时间为秒，求为何值时的长为． 【答案】(1) (2)8 (3)2或14 (4)1或 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可求解． （2）根据在数轴上两点之间的距离即可判断当时，的值是最小的，由此计算即可求解． （3）由题意可知，点C距离点B较近，设点C所表示的数为x，根据数轴上两点之间的距离公式可得，再根据等式，去绝对值即可求解． （4）根据题意分类讨论：当时；当时；当时，分别求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵在数轴上点表示数，点表示数，且 ∴，两点之间的距离等于16， （2）∵的意义是数轴上表示的点到表示的点、表示的点、表示5的点的距离之和， 只有当表示的点与表示的点重合时，距离之和才能最小， 即时，距离之和最小， 当时，， 即的最小值为8． （3）设点表示的数是， ∵在数轴上点表示数，点表示数， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或， ∴点表示的数是2或14． （4）分三种情况讨论： ①当时，如图， 点表示的数是，点表示的数是， ∴， 若，则， 解得； ②当时，如图， 点表示的数是，点表示的数是， ∴， 若，则， 解得，不合题意，舍去； ③当时，如图， 点表示的数是，点表示的数是， ∴， 若，则， 解得 综上，为1或时，的长为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $