精品解析：甘肃天水市麦积区2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026—2027学年度第一学期质量监测 九年级数学 一．选择题．（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简及运算，解题的关键是掌握二次根式的化简法则和运算法则． 利用二次根式的化简法则和运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D错误； 故选：B． 2. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．方程，只有在时满足题意，不一定是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．方程是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 如图1是一款热销花架，其侧面示意图如图2所示，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 4. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例． 【详解】解：A．∵，，， ∴不成比例． B．∵，，， ∴成比例． C．∵，，， ∴不成比例． D．∵，，， ∴不成比例． 5. 关于x的方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可判断． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等的实数根； 故选：A． 6. 一元二次方程，配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．使用配方法将一元二次方程变形为完全平方形式． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， 故选：A． 7. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系列出方程． 将阴影部分移到一起，拼成一个新矩形，用表示出新矩形的长与宽，再根据“种植面积为平方米”列出方程即可． 【详解】解：设小道的宽为米， 则将阴影部分移到一起，拼成一个新矩形的长为米，宽为米， 可列方程为， 故选：C． 8. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 9. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质，进行解答，即可． 【详解】解：， ， ， A、， ，故本选项不符合题意； B、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意． 10. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ） A. B. C. D. n-2m-5 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方公式和二次根式性质将原式化为，结合数轴判断、、m的正负，去绝对值合并同类项即可． 【详解】解：， 由数轴得， ，，， 原式． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式和二次根式和分式有意义的条件；根据分式和二次根式的定有意义的条件列出不等式，即可得到答案． 【详解】解：代数式有意义的的取值范围是， 解得：， 故答案为：． 12. 计算：﹣=__． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式化简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】原式=3-2 =． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 13. 若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 14. 如图，小树在路灯的照射下形成投影，若树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为____________m． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 根据题意得出相等角，判定出，得出对应边成比例，然后代数求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：9． 15. 黄金分割在生活中处处可见，如图，银杏叶的主脉可看作线段．若点是线段的黄金分割点（），银杏叶主脉的长度为，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的定义．根据题意可得，代入即可求出的长度． 【详解】解：是的黄金分割点， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，矩形中，点，，若，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是坐标系中的矩形问题，利用一线三垂直构造相似三角形．由矩形内角为推导角相等，证得；再由得到相似比，求出两条直角边长，最后转化为横、纵坐标． 【详解】解：如图所示：过点作于点， ∵点，点， ， ，又， ． 又， ． 相似比， 故． 代入、： ， ． 由图知在的右下方， 故横坐标为，纵坐标为． 【点睛】坐标系中出现直角顶点，优先构造一线三垂直模型；利用相似比求线段长，再转化成横纵坐标，是九年级这类题型标准解法． 三．解答题（解答时写出必要的文字说明、演算步骤，共86分） 17. 计算． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据乘方，零指数幂，二次根式的乘法，混合运算的法则，计算即可． （2）利用完全平方公式，平方差公式，混合运算的法则，解答即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 18. 解方程 （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， 解得，． 【小问2详解】 解：， ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． 19. 求不等式组的解集． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 20. 计算：先化简，然后从1、2、3这三个数中选出合适的数代入求值． 【答案】，当时，值为1 【解析】 【详解】解： 根据分式有意义的条件，可得，，即且， ∴代入，原式． 21. 已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个最简二次根式可以合并得到它们的被开方数相同，即可列出方程求出a的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式可以合并， ∴， 解得， ∴， ， ∴． 22. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）先计算，的值，进而根据平方差公式即可求解； （2）根据完全平方公式变形，结合平方差公式，即可求解； 【小问1详解】 由题意得： ∴ ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则以及乘法公式是解题的关键． 23. 已知：关于的方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若两实数根、满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用； （1）利用一元二次方程有两个实数根时，判别式，列不等式求解的取值范围 （2）根据一元二次方程根与系数的关系，用含的代数式表示两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解，再结合第一问中的取值范围舍去不符合题意的解． 【小问1详解】 解： 对于方程， 其中，，         ∵方程有两个实数根 ， ∴ ，即， 解得； 【小问2详解】 解： ∵、是方程的两个实数根 ∴，  ∵  ∴  整理得  因式分解得  解得或  又∵由（1）知  ∴不符合题意，舍去 ∴ 24. 如图，在中，，点D在上，于点E． （1）求证：； （2）且，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）由得到，于是得到； （2）利用相似三角形的性质求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 中秋节是我国的传统节日，自古便有赏月、吃月饼等习俗，某甜品店在今年中秋节前推出一种新口味的月饼进行零售，当以80元/盒的价格售出时，第一周销售50盒，第二、三周该口味月饼十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72盒． （1）求第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率； （2）但经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，后续销售量还会持续降低，现甜品店为了尽快售完剩余月饼，故采用降价促销，经过调查发现，当该口味月饼每盒每降价1元，周销售量就增加2盒．已知该口味月饼的成本价为50元/盒，当该口味月饼每盒降价多少元时，该店铺第五周销售这种口味月饼可获利2080元？ 【答案】（1） （2）降价4元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为x，根据第一周销售50盒，第三周的销售量达到72盒，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该口味月饼每盒降价y元，根据利润（售价成本）销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该口味月饼每盒降价y元，则每盒的销售利润为元，周销售量为盒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：当该口味月饼每盒降价4元时，该店铺第五周销售这种口味月饼可获利2080元． 26. 小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）计算：． （2）若．求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对每一项分母有理化，即形如的项，可以分母有理化为，再裂项相消求和即可； （2）先对分母有理化，构造的表达式，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． ． 27. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式的最小值． 解：， ，， ，即的最小值是． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知代数式，求它的最小值； （2）已知代数式，求它的最大值； （3）知识迁移：如图，在中，，，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值． 【答案】（1）4 （2） （3）20 【解析】 【分析】（1）参照题干利用配方法求解； （2）利用配方法将所求式子变形为，即可求解； （3）根据题意求出t的取值范围，由列方程，用配方法求最值即可． 【小问1详解】 解：， ，， ，即的最小值是4． 【小问2详解】 解：， ，，， ，即的最大值是． 【小问3详解】 解：，，点运动速度为，点运动速度为， 点从点移动到点所需时间为：， 点从点移动到点所需时间为：， ， ， 的最小值为20． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期质量监测 九年级数学 一．选择题．（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图1是一款热销花架，其侧面示意图如图2所示，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 5. 关于x的方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 6. 一元二次方程，配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 9. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A. B. C. D. 10. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ） A. B. C. D. n-2m-5 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是________． 12. 计算：﹣=__． 13. 若方程的两个根是，，则的值为________． 14. 如图，小树在路灯的照射下形成投影，若树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为____________m． 15. 黄金分割在生活中处处可见，如图，银杏叶的主脉可看作线段．若点是线段的黄金分割点（），银杏叶主脉的长度为，则的长为_____． 16. 如图，矩形中，点，，若，则点的坐标是________． 三．解答题（解答时写出必要的文字说明、演算步骤，共86分） 17. 计算． （1） （2） 18. 解方程 （1）（配方法） （2）（公式法） 19. 求不等式组的解集． 20. 计算：先化简，然后从1、2、3这三个数中选出合适的数代入求值． 21. 已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 22. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 23. 已知：关于的方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若两实数根、满足，求的值． 24. 如图，在中，，点D在上，于点E． （1）求证：； （2）且，求的长． 25. 中秋节是我国的传统节日，自古便有赏月、吃月饼等习俗，某甜品店在今年中秋节前推出一种新口味的月饼进行零售，当以80元/盒的价格售出时，第一周销售50盒，第二、三周该口味月饼十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72盒． （1）求第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率； （2）但经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，后续销售量还会持续降低，现甜品店为了尽快售完剩余月饼，故采用降价促销，经过调查发现，当该口味月饼每盒每降价1元，周销售量就增加2盒．已知该口味月饼的成本价为50元/盒，当该口味月饼每盒降价多少元时，该店铺第五周销售这种口味月饼可获利2080元？ 26. 小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）计算：． （2）若．求的值； 27. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式的最小值． 解：， ，， ，即的最小值是． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知代数式，求它的最小值； （2）已知代数式，求它的最大值； （3）知识迁移：如图，在中，，，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $