精品解析：甘肃省天水市麦积区2025-2026学年上学期九年级数学期中考试试卷

麦积区2025—2026学年度第一学期教育教学质量监测试卷九年级数学 一、选择题：本大题共10题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列二次根式中，可以与合并的是（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 8. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车月份的销售量为辆，月份的销售量为辆．若月份、月份该新能源汽车销售量的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 在中，，，．动点、分别从点、同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．多长时间后，能使的面积为？（ ） A. 3秒或5秒 B. 5秒 C. 3秒 D. 8秒 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知，则的值为_____． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 13. 已知一元二次方程的两根为，则______． 14. 已知，则 ______． 15. 实数、在数轴上对应点的位置如图，则的结果是______． 16. 对于有理数，，定义：当时，；当时，．若，则的值为______． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算下列各题： （1）； （2）． 18. 解下列一元二次方程： （1）； （2） 19. 如图，四边形∽四边形，求的值和的大小． 20. 已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．为了方便居民充电，某小区将一块长为米、宽为米的长方形停车场进行改造．如图所示，在停车场内部沿着两条相邻边各划出相同宽度的区域安装充电桩，剩余停车场的面积为平方米．请问边和各减少了多少米？ 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 下面是数学活动课上老师演示的内容，请仔细阅读，并完成相应的任务． 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． ∵， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请根据老师演示的方法解决下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分为_______． （2）记的整数部分为，小数部分为，求的值． 24. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为4，求的值． 25. 2025年第十届中国（太原）国际茶产业博览会于7月4日-7日在晋阳湖国际会展中心举办．养生茶是以食材或药材制作的茶饮品，让人们通过饮茶的方式达到养生保健的目的，陈皮茶具有祛痰止咳，促进消化的功效，某电商主播以每罐20元的价格购进了一批陈皮茶，根据以往的销售经验，当售价定为每罐24元时，每天可售出160罐．经市场调研发现，若每罐陈皮茶的售价每上涨1元，则平均每天少售出10罐．电商平台规定：在该电商平台销售的商品利润率不能高于，若该主播希望通过销售陈皮茶平均每天获得960元的利润，求每罐陈皮茶的售价． 26. 在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∴， ∴ ∴即 ∴ ∴ 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）　　　； （2）化简：； （3）若， ①求的值； ②求的值． 27. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ． 当时，的最小值是4． （1）求代数式的最小值； （2）若代数式；当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________ （3）如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 麦积区2025—2026学年度第一学期教育教学质量监测试卷九年级数学 一、选择题：本大题共10题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式． 根据最简二次根式的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解： A. 被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B. 被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C. 是最简二次根式，符合题意； D. ，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 2. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选B． 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、中，未知数的最高次为1，不是一元二次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次根式的性质、二次根式的乘除法运算，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的乘除法运算，以及合并同类二次根式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 5. 下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似图形，根据相似图形的概念即可作出判断．判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关． 【详解】解：由相似图形的概念知，选项中D的两个图形不相似； 故选：D． 6. 下列二次根式中，可以与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，先对各选项的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，与不能合并，不符合题意； B、，与不能合并，不符合题意； C、，与能合并，符合题意； D、与不能合并，不符合题意， 故选：C． 7. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式即可完成配方，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 即， 故选：D． 8. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车月份的销售量为辆，月份的销售量为辆．若月份、月份该新能源汽车销售量的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题的方程建立．题目中销售量从月到月共增长两个月，需要理解月平均增长率的含义，即月平均增长率连续作用两次，解题的关键是理解两个月的累计增长应表示为，而非简单相加． 【详解】设月平均增长率为， 则月份销售量：， 月份销售量：， 根据题意，月份的销售量为辆， 可列方程为：， 故选：． 9. 如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 10. 在中，，，．动点、分别从点、同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．多长时间后，能使的面积为？（ ） A. 3秒或5秒 B. 5秒 C. 3秒 D. 8秒 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t秒，则，，由三角形的面积公式结合的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之取合适的值即可． 【详解】解：设运动时间为t秒，则，， 依题意得：， 解得：， ， ， ． 故答案为：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解此题的关键． 根据比例的性质代入，即可求出答案． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，注意一元二次方程（a、b、c是常数）的二次项系数不为零． 根据一元二次方程的解得定义把代入一元二次方程，即可求出待定系数a的值，注意：一元二次方程的二次系数不为零． 【详解】解：将代入得， 故 故答案为： 13. 已知一元二次方程的两根为，则______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系，得 ，， 则 ， 故答案为：14． 14. 已知，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，有理数的乘方，解题的关键是根据利用二次根式有意义的条件求出，进一步求出即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 15. 实数、在数轴上对应点的位置如图，则的结果是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握绝对值的性质和二次根式的性质． 由数轴得出，根据绝对值性质和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， ， ， 故答案为：． 16. 对于有理数，，定义：当时，；当时，．若，则的值为______． 【答案】36 【解析】 【分析】根据与40的大小，再根据，从而确定m，n的值即可得出的值． 【详解】解：∵， ∴40≤； ∴ ∴（m+6）2+（n-2）2≤0， ∵（m+6）2+（n-2）20， ∴m+6=0，n-2=0， ∴m=-6，n=2， ∴ 故答案为：36． 【点睛】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是正确解题的关键． （）先把利用平方差公式及完全平方公式展开，然后去括号、合并，后再进行加减法运算； （）先根据二次根式的性质化简各式，再利用二次根式的乘法则运算，然后化简后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列一元二次方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟知解法是正确解答此题的关键． （1）用因式分解法将方程变形成解方程即可． （2）用因式分解法将方程变形成解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得 ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得 ． 19. 如图，四边形∽四边形，求的值和的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质， 根据相似多边形的对应角相等，对应边成比例得出答案． 【详解】解：∵四边形∽四边形 ∴． 解得， ∴． 20. 已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先利用平方差公式进行因式分解，然后把，代入即可求解； （）先提取公因式进行分解，然后把，代入即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入求值，即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 22. 新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．为了方便居民充电，某小区将一块长为米、宽为米的长方形停车场进行改造．如图所示，在停车场内部沿着两条相邻边各划出相同宽度的区域安装充电桩，剩余停车场的面积为平方米．请问边和各减少了多少米？ 【答案】边和各减少了米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设边和各减少了米，由题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设边和各减少了米， 由题意得，， ， ， ，， ∵， ∴（舍去）， 答：边和各减少了米． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 下面是数学活动课上老师演示的内容，请仔细阅读，并完成相应的任务． 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． ∵， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请根据老师演示的方法解决下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分为_______． （2）记的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】（1）2， （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的整数和小数部分的估算，二次根式的乘法运算等知识，准确的估算出整数和小数部分是解决本题的关键． （1）估算出的整数和小数部分进而即可得解； （2）估算出的整数和小数部分进而得到a和b的值，代入计算即可得解； 【小问1详解】 解：∵， ∴的整数部分为2，小数部分为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． ∴ 24. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为4，求的值． 【答案】（1） 证明：∵a=1，b=-4m，c=， ∴Δ=， 则该方程总有两个实数根； （2）2 【解析】 【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于等于0即可得证； （2）设方程两个根分别为a，b，则有|a-b|=4，a+b=4m，，利用二次根式性质及完全平方公式变形，计算即可求出m的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设方程两个根分别为a，b， 则有|a-b|=4，a+b=4m，， ∴，即， 两边平方得：， 代入得：，即， ∵m＞0， ∴m=2． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 25. 2025年第十届中国（太原）国际茶产业博览会于7月4日-7日在晋阳湖国际会展中心举办．养生茶是以食材或药材制作的茶饮品，让人们通过饮茶的方式达到养生保健的目的，陈皮茶具有祛痰止咳，促进消化的功效，某电商主播以每罐20元的价格购进了一批陈皮茶，根据以往的销售经验，当售价定为每罐24元时，每天可售出160罐．经市场调研发现，若每罐陈皮茶的售价每上涨1元，则平均每天少售出10罐．电商平台规定：在该电商平台销售的商品利润率不能高于，若该主播希望通过销售陈皮茶平均每天获得960元的利润，求每罐陈皮茶的售价． 【答案】每罐陈皮茶的售价为28元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用—销售问题，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键，设每罐陈皮茶的售价为元，根据题意列出方程，求得每罐陈皮茶的售价，再根据利润率不能高于，得到，从而得到答案． 【详解】解：设每罐陈皮茶的售价为元，则单件利润为元，销量为罐． 根据题意，得：， ， 解得， 又因为， 即， 所以要将舍去， 故每罐陈皮茶的售价为28元． 26. 在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∴， ∴ ∴即 ∴ ∴ 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）　　　； （2）化简：； （3）若， ①求的值； ②求的值． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值的知识，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后再平方得到，再把原式化简变形为，接着利用整体代入法计算得到原式，再应用同样方法计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ． 27. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ． 当时，的最小值是4． （1）求代数式的最小值； （2）若代数式；当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________ （3）如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）当时，的最小值为3 （2）；大；1 （3）当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了配方法求代数式极值中的应用，不等式的性质，实际应用题中几何关系的建模．解题的关键是正确配方，识别完全平方项的非负性，根据不等式的性质求解． （1）将原式配方，，根据，再根据不等式的性质求解即可． （2）对代数式进行配方，，结合，再根据不等式的性质求解即可． （3）设，由，得到，根据栅栏总长度和面积建立方程，通过配方，利用不等式的性质求最大值． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴3， ∴当时，的最小值为3； 【小问2详解】 ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为1． 故答案为：；大；1； 【小问3详解】 设，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大，最大值为48， ∴当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $