精品解析：甘肃酒泉市玉门市第三中学2026—2027学年九年级上学期学业质量监测数学试卷

2026-2027学年第一学期期中学业质量监测试卷九年级数学 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题：每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分 1. 若线段，，，是比例线段，其中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据成比例线段的性质建立等式，代入已知线段长度计算的值． 【详解】解：∵线段，，，是比例线段， ∴， 将，，代入得：， 解得． 2. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定的值，下列叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：原方程可化为，此时； 也可化为，此时； 故只有选项D符合题意. 3. 已知菱形的周长为40，则边长的长为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的周长为40， ∴， ∴． 4. 如图，，直线与分别相交于点和点，若，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由推导出的值，即可求得． 【详解】解：        ． 5. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个平行四边形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； B、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意； C、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； D、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； 故选：B． 6. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：分别计算各选项方程的根的判别式： A．中，，，， ，无实数根，不符合题意； B．中，，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； C．中，，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； D．中，，，， ，无实数根，不符合题意． 7. 如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 先变小再变大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 不变，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：，为的中点， ． 同理． ， 的长度不变． 故选：B． 8. 如图，在正方形中，以对角线为边作菱形，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得，再根据菱形的四条边都相等可得，根据等边对等角可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【详解】解：在正方形中， ， 在菱形中，， ∴， 在中， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． 9. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到132个红包，则该群一共有（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该群一共有x人，则每人收到个红包，根据群内所有人共收到132个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设该群一共有x人，则每人收到个红包， 依题意，得：， 解得：，（舍去）． 则该群一共有12人， 故选：D． 10. 如图，在四边形中，为边的中点，连接，若．则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形外角的性质结合得到，即可判断A正确；根据题意无法证明，故B错误；证明出，得到，等量代换得到，证明出，得到，，即可判断C，D正确． 【详解】解：∵， ∴，故A正确； 根据题意无法证明，故B错误； ∵ ∴ ∴ ∵为边的中点， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，，故C正确． ∴，故D正确． 二．填空题：每题3分，共18分． 11. 如果，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12. 若方程的两个根分别为和，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到方程两根之和与两根之积，将所求代数式提取公因式变形为含两根和、积的形式，通过整体代入完成计算． 【详解】解：∵方程的两个根分别为和， ∴ ，， ∴ ． 13. 如图，，，请你添加一个条件，使，这个条件是___________（写一个即可）． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】已知，，可得，要使，根据相似三角形的判定方法，只需再添加一组对应角相等或夹直角的两边对应成比例即可． 【详解】解：，， ， 若添加， ，， ； 若添加， ，， ； 若添加， ，， ． 14. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将学具变为如图（1）所示的菱形，并测得,,两点间的距离为，接着将学具变为如图（2）所示的正方形，则图（2）中两点间的距离为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】图（1）中根据菱形性质和  判定  为等边三角形，求出木条长度；图（2）中根据正方形性质和勾股定理计算对角线  的长． 【详解】解：连接， 在图（1）中， ∵四边形  是菱形， ∴  ， ∵  ， ∴  是等边三角形， ∴   在图（2）中， ∵四边形  是正方形， ∴ ， ， 在  中，由勾股定理得  ． 15. 下面是小明和豆包的对话： 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果和这个数相同． 深度思考中…… 豆包在深度思考后，给出的正确答案是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干描述的运算关系设未知数，建立一元二次方程并求解，验证结果是否匹配运算规则． 【详解】解：设所求的数为， 根据题意列方程， 移项整理得， 由完全平方公式因式分解得， 解得， 代入验证：，运算结果与原数相等，符合题意． 16. 如图，在菱形中，相交于点O，点E在上，且，连接交于点，若，则菱形的边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】证明得到，据此求出的长，则可求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在菱形中，相交于点O， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的边长为． 三．解答题：本大题6个小题，共32分 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解： 或 ∴，； 【点睛】本题考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 18. 如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，求的长（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的性质得出，然后结合图形求解即可． 【详解】解：∵，两个端点固定在板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点， ∴， ∴． ． 19. 如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点E作EF⊥AD于点F，求证：四边形ABEF是正方形． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】由矩形的性质得出，，证出四边形是矩形，再证明，即可得出四边形是正方形； 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， 平分，， ， ， 四边形是正方形． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、正方形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是正方形是解决问题的关键． 20. 如图，四边形四边形，，，，，．求，的大小和的长． 【答案】，， 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形，，，，，， ∴，，，即， 解得． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）根据题意可知，再解不等式可得出结论； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系得，，再将原式整理为，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， 故的取值范围为； 【小问2详解】 解：方程的两个根分别为， ，， ， ， 解得， 故的值为． 22. 如图，点是矩形中边上一点，将沿折叠得到，点A的对应点落在上． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得到，证明得到，即； （2）根据相似三角形的性质可得，据此求出的长，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 四．解答题：本大题5个小题，共40分 23. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，和的顶点都在格点上，则与相似吗？请说明理由． 【答案】 解：与相似，理由如下： 由勾股定理可得： ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】略 24. 在一个直角三角形中，已知斜边长比最短的直角边长大6，比另外一条直角边长大3，求这个直角三角形的面积． 【答案】这个直角三角形的面积为54 【解析】 【分析】设斜边长为x，则两条直角边长分别为，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设斜边长为x，则两条直角边长分别为， 由勾股定理得， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴这个直角三角形的面积为． 25. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 是的垂直平分线， ，， 在和中： ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2）25 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质． （1）根据矩形性质和线段垂直平分线的性质证明，可得，所以四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论； （2）根据勾股定理可得，进而可以求菱形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， 四边形是矩形，， 在中，根据勾股定理得 ，  ， ，​ 菱形的周长为． 26. 某校综合与实践活动小组针对商品的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价x（元/个）和日销售量y（个）的情况，记录如表： 玩具店 A B C D E 销售单价x（元/个） 61 60 59 58 57 日销售量y（个） 38 40 42 44 46 任务二：模型建立 （1）求该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为400元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少？ 【答案】（1） （2） 该益智玩具的销售单价应定为50元/个 【解析】 【分析】（1）判断y与x为一次函数关系，设解析式代入两点求解并验证； （2）根据利润等量关系列方程，结合尽快减少库存的要求选取对应解． 【小问1详解】 解：由表格数据可知，销售单价每增加1元，日销售量减少2个，故y是x的一次函数， 设（），将，代入得 ， 解得， 验证表格其余各组数据，均满足该解析式， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设该益智玩具的销售单价为元/个， ∵单个玩具利润为元，日销售量为个，每日固定支出400元，目标日利润200元， ∴， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴需日销售量尽可能大，即销售单价尽可能低， ∴取． 答：该益智玩具的销售单价应定为50元/个． 27. 综合与实践： 纸张中藏着丰富的数学奥秘．某数学学习小组围绕“神奇的A4纸”开展主题学习． 【阅读资料】 纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿它的一条对称轴折叠（如图（1）），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸……纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． 【初探结论】 （1）如图（1），设，求纸的长与宽的比值； 【作图再探】 （2）如图（2），在（1）的条件下，连接，过点作交于点．求证：G为边的中点． 【拓展应用】 （3）如图（3），在（1）的条件下，再次折叠纸片，使点B落在上的点E处，折痕为，连接，直接写出的值． 【答案】（1） （2）证明:∵四边形是矩形, ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， G为边的中点； （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意得：，矩形矩形，然后利用相似多边形的性质得出，即可求解； （2）根据矩形的性质得出，再由各角之间的关系得出，利用相似三角形的判定和性质得出，，然后结合矩形的性质即可证明； （3）如图所示，连接交于点O，由翻折变换的性质可知，设，利用勾股定理得出，再由相似三角形的判定和性质得出，，确定，再由相似三角形的判定和性质即可求解． 【小问1详解】 解：设， 根据题意得：，矩形矩形， ， ， ， ∵， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 结论， 理由：如图所示，连接交于点O， 由翻折变换的性质可知， 设， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中学业质量监测试卷九年级数学 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题：每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分 1. 若线段，，，是比例线段，其中，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定的值，下列叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知菱形的周长为40，则边长的长为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4. 如图，，直线与分别相交于点和点，若，则( ) A. B. C. D. 5. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个平行四边形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 6. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是( ) A. B. C. D. 7. 如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 先变小再变大 8. 如图，在正方形中，以对角线为边作菱形，连接，则（ ） A. B. C. D. 9. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到132个红包，则该群一共有（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 10. 如图，在四边形中，为边的中点，连接，若．则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题：每题3分，共18分． 11. 如果，则___________． 12. 若方程的两个根分别为和，则的值为___________． 13. 如图，，，请你添加一个条件，使，这个条件是___________（写一个即可）． 14. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将学具变为如图（1）所示的菱形，并测得,,两点间的距离为，接着将学具变为如图（2）所示的正方形，则图（2）中两点间的距离为_______________． 15. 下面是小明和豆包的对话： 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果和这个数相同． 深度思考中…… 豆包在深度思考后，给出的正确答案是___________． 16. 如图，在菱形中，相交于点O，点E在上，且，连接交于点，若，则菱形的边长为___________． 三．解答题：本大题6个小题，共32分 17. 解方程： 18. 如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，求的长（结果保留根号）． 19. 如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点E作EF⊥AD于点F，求证：四边形ABEF是正方形． 20. 如图，四边形四边形，，，，，．求，的大小和的长． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，是这个方程的两个根，且，求的值． 22. 如图，点是矩形中边上一点，将沿折叠得到，点A的对应点落在上． （1）求证：； （2）若，，求的长． 四．解答题：本大题5个小题，共40分 23. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，和的顶点都在格点上，则与相似吗？请说明理由． 24. 在一个直角三角形中，已知斜边长比最短的直角边长大6，比另外一条直角边长大3，求这个直角三角形的面积． 25. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的周长． 26. 某校综合与实践活动小组针对商品的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价x（元/个）和日销售量y（个）的情况，记录如表： 玩具店 A B C D E 销售单价x（元/个） 61 60 59 58 57 日销售量y（个） 38 40 42 44 46 任务二：模型建立 （1）求该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为400元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少？ 27. 综合与实践： 纸张中藏着丰富的数学奥秘．某数学学习小组围绕“神奇的A4纸”开展主题学习． 【阅读资料】 纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿它的一条对称轴折叠（如图（1）），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸……纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． 【初探结论】 （1）如图（1），设，求纸的长与宽的比值； 【作图再探】 （2）如图（2），在（1）的条件下，连接，过点作交于点．求证：G为边的中点． 【拓展应用】 （3）如图（3），在（1）的条件下，再次折叠纸片，使点B落在上的点E处，折痕为，连接，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $