第12讲 因式分解 培优讲义（知识梳理+典例+练习）2026-2027学年人教版八年级数学上册 v

第12讲·因式分解·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解因式分解的概念，能区分因式分解与整式乘法 · 掌握公因式的确定方法 · 掌握提公因式法分解因式的基本步骤 · 会利用提公因式法进行简便计算与化简求值 · 能综合运用提公因式法解决与因式分解相关的代数问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.因式分解的概念 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式 因式分解与整式乘法互为逆运算 判断因式分解：结果必须是整式的积的形式 因式分解要分解到不能再分解为止 概念辨析例题：下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）A．(a+b)(a-b)=a2-b2　B．(a+1)2=a2+2a+1　C．a2+2a=a(a+2)+1　D．x2-4=(x+2)(x-2) 答案：D 解析：因式分解是把多项式化成整式积的形式。A、B是整式乘法，C的右边含加法不是积的形式，只有D把x2-4化为(x+2)(x-2)的积的形式，属于因式分解，故选D。 ✅️ 2.公因式的确定 公因式：各项都含有的相同因式 确定方法：系数取各项系数的最大公因数，字母取各项都含有的相同字母，指数取最低次数 公因式可以是单项式，也可以是多项式 符号注意：首项为负时，通常把负号也提出作为公因式 概念辨析例题：多项式6a3b-9a2b2+3ab的公因式是（　　）A．3ab　B．3a2b　C．6a2b　D．3a2b2 答案：A 解析：系数6、9、3的最大公因数为3；都含a，最低次数1；都含b，最低次数1，所以公因式为3ab，故选A。 ✅️ 3.提公因式法 提公因式法：把多项式各项的公因式提出来，写成公因式与另一个多项式乘积的形式 步骤：找公因式→提公因式→确定另一个因式（用原多项式除以公因式） 提出公因式后，括号内各项注意符号变化 提取公因式后要检查结果是否正确（乘法验证） 概念辨析例题：把多项式8a3b2+12a2b3分解因式，结果是（　　）A．4a2b2(2a+3b)　B．4a2b2(2a-3b)　C．4ab(2a2b+3ab2)　D．2a2b2(4a+6b) 答案：A 解析：公因式为4a2b2，提公因式得8a3b2+12a2b3=4a2b2(2a+3b)，故选A。 ✅️ 4.提公因式法的综合应用 公因式是多项式时，把相同多项式整体提出 符号相反的多项式可先变形：b-a=-(a-b) 利用因式分解简化计算：先提公因式再求值 连续提公因式直到结果不能继续分解 概念辨析例题：计算20262-2026×2025的值，简便方法是（　　）A．2026×(2026-2025)　B．2026×(2026+2025)　C．2025×(2026-2025)　D．20262×(1-2025) 答案：A 解析：20262-2026×2025=2026×(2026-2025)=2026×1=2026，利用提公因式法简便计算，故选A。 🧀 知识总结表 核心概念 定义/方法 注意事项 因式分解 多项式化成整式积的形式 与乘法互为逆运算 公因式 各项都含有的相同因式 系数取最大公因数字母取最低次 提公因式法 提取公因式写成积的形式 提后注意括号内符号 多项式公因式 整体提出相同多项式 先变形符号再提取 验证 乘法展开检验 分解要彻底 📩 核心考点 【考点1】因式分解的概念与公因式（第1-21题） · 判断变形是否为因式分解 · 按系数字母指数确定公因式 · 首项为负提出负号 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）把多项式因式分解，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级下·贵州贵阳·期中）把多项式分解因式时，应提出的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东泰安·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 4．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）把分解因式得，则常数的值为（  ） A．4 B． C．5 D． 5．（25-26八年级上·四川眉山·期中）下列各式不是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（    ） A．3 B． C． D． 7．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 （    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）下列各式从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·重庆·期末）已知，则的值为（   ） A． B．12 C． D．24 11．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·四川广安·期中）已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 13．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段检测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（   ） A．－5 B．7 C．9 D．21 16．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式能因式分解的是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级下·江西景德镇·期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·广东深圳·期中）下列各式从左到右，是因式分解的是（      ） A． B． C． D． 21．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）在下列等式中，从左边到右边的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【考点2】提公因式法分解因式（第22-39题） · 找出公因式后整体提出 · 括号内用除法确定另一因式 · 提取后乘法验证 22．（2025·江苏宿迁·一模）因式分解：________ 23．（23-24八年级下·山东济南·期中）分解因式______________． 24．（23-24八年级下·重庆·阶段检测）因式分解：___________． 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）把提取公因式后，另一个因式为_______． 26．（2025·四川成都·二模）因式分解：________． 27．（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）多项式的公因式是_____． 28．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）与的公因式是_______________． 29．（23-24八年级上·山东烟台·期中）用提公因式法分解因式时，从多项式中提出的公因式为____． 30．（25-26八年级上·北京·期中）若，则的值是___________． 31．（25-26七年级下·全国·课后作业）请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里： (1)（   ）； (2)； (3)（   ）； (4)（   ）． 32．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）因式分解：________． 33．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）多项式的公因式是：_____． 34．（25-26八年级上·全国·课后作业）因式分解： （1）______． （2）______． 35．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）已知二次三项式因式分解的结果是，则___________． 36．（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解： （1）______； （2）______． 37．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）若多项式可以因式分解成，则的值是______． 38．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，长方形的长宽分别为，，且比大3，面积为10，则的值为_______． 39．（25-26八年级上·全国·阶段检测）若分解因式：，则的值为___________． 【考点3】提公因式法综合应用（第40-52题） · 多项式作公因式整体提取 · b-a变形成-(a-b) · 因式分解简化计算 40．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，那么___________． 41．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 42．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）若，则的值为______． 43．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 44．（23-24八年级下·全国·课后作业）分解因式＝________． 45．（26-27八年级上·全国·课后作业）若实数满足，则______． 46．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，且a、b、c互不相等，则________． 47．（24-25八年级下·四川成都·期中）多项式的一个因式为，则m的值为______． 48．（25-26八年级下·全国·周测）把多项式提取公因式后，另一个因式为_____． 49．（25-26七年级下·浙江台州·期末）已知，满足，，则_________． 50．（24-25八年级下·四川达州·阶段检测）分解因式： (1)； (2)； (3)． 51．（23-24八年级上·全国·课堂例题）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)， (4)． 52．（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解： (1)； (2)． 课后巩固 🍬 复习建议 · 因式分解结果是整式的积，不是和或差 · 确定公因式：系数取最大公因数，字母取最低次 · 提公因式后括号内符号逐项核对 · 互为相反数的多项式先变形再提取 · 用乘法展开验证分解结果是否正确 【作业 1】（2026七年级下·北京·专题练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【作业 2】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知多项式因式分解的结果为，求a，b的值． 【作业 3】（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)    ； (2)； (3)； (4)    ． 【作业 4】（24-25八年级上·广东中山·阶段检测）分解因式： (1)； (2)． 【作业 5】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【作业 6】（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【作业 7】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【作业 8】（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）因式分解：； 【作业 9】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【作业 10】（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知整式，整式，若可以分解为，求． 【作业 11】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． (1)； (2)； (3)． 【作业 12】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【作业 13】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列因式分解是否正确？为什么？ (1)； (2)． 【作业 14】（25-26八年级上·河南周口·期末）小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为． (1)_____，_______； (2)求这道除法计算的正确结果； (3)若，求（2）中代数式的值． 【作业 15】（24-25八年级下·辽宁阜新·阶段检测）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 【作业 16】（23-24八年级下·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【作业 17】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【作业 18】（25-26八年级下·全国·周测）（1）多项式可以因式分解成，，为整数．求的值． （2）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲·因式分解·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解因式分解的概念，能区分因式分解与整式乘法 · 掌握公因式的确定方法 · 掌握提公因式法分解因式的基本步骤 · 会利用提公因式法进行简便计算与化简求值 · 能综合运用提公因式法解决与因式分解相关的代数问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.因式分解的概念 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式 因式分解与整式乘法互为逆运算 判断因式分解：结果必须是整式的积的形式 因式分解要分解到不能再分解为止 概念辨析例题：下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）A．(a+b)(a-b)=a2-b2　B．(a+1)2=a2+2a+1　C．a2+2a=a(a+2)+1　D．x2-4=(x+2)(x-2) 答案：D 解析：因式分解是把多项式化成整式积的形式。A、B是整式乘法，C的右边含加法不是积的形式，只有D把x2-4化为(x+2)(x-2)的积的形式，属于因式分解，故选D。 ✅️ 2.公因式的确定 公因式：各项都含有的相同因式 确定方法：系数取各项系数的最大公因数，字母取各项都含有的相同字母，指数取最低次数 公因式可以是单项式，也可以是多项式 符号注意：首项为负时，通常把负号也提出作为公因式 概念辨析例题：多项式6a3b-9a2b2+3ab的公因式是（　　）A．3ab　B．3a2b　C．6a2b　D．3a2b2 答案：A 解析：系数6、9、3的最大公因数为3；都含a，最低次数1；都含b，最低次数1，所以公因式为3ab，故选A。 ✅️ 3.提公因式法 提公因式法：把多项式各项的公因式提出来，写成公因式与另一个多项式乘积的形式 步骤：找公因式→提公因式→确定另一个因式（用原多项式除以公因式） 提出公因式后，括号内各项注意符号变化 提取公因式后要检查结果是否正确（乘法验证） 概念辨析例题：把多项式8a3b2+12a2b3分解因式，结果是（　　）A．4a2b2(2a+3b)　B．4a2b2(2a-3b)　C．4ab(2a2b+3ab2)　D．2a2b2(4a+6b) 答案：A 解析：公因式为4a2b2，提公因式得8a3b2+12a2b3=4a2b2(2a+3b)，故选A。 ✅️ 4.提公因式法的综合应用 公因式是多项式时，把相同多项式整体提出 符号相反的多项式可先变形：b-a=-(a-b) 利用因式分解简化计算：先提公因式再求值 连续提公因式直到结果不能继续分解 概念辨析例题：计算20262-2026×2025的值，简便方法是（　　）A．2026×(2026-2025)　B．2026×(2026+2025)　C．2025×(2026-2025)　D．20262×(1-2025) 答案：A 解析：20262-2026×2025=2026×(2026-2025)=2026×1=2026，利用提公因式法简便计算，故选A。 🧀 知识总结表 核心概念 定义/方法 注意事项 因式分解 多项式化成整式积的形式 与乘法互为逆运算 公因式 各项都含有的相同因式 系数取最大公因数字母取最低次 提公因式法 提取公因式写成积的形式 提后注意括号内符号 多项式公因式 整体提出相同多项式 先变形符号再提取 验证 乘法展开检验 分解要彻底 📩 核心考点 【考点1】因式分解的概念与公因式（第1-21题） · 判断变形是否为因式分解 · 按系数字母指数确定公因式 · 首项为负提出负号 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）把多项式因式分解，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用提公因式法进行分解，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴ 结果为 ， 故选：B． 2．（20-21八年级下·贵州贵阳·期中）把多项式分解因式时，应提出的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查提公因式法分解因式． 各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的相乘即可． 【详解】解：∵多项式中，各项系数的最大公约数为，相同字母的最低次幂为， ∴把多项式分解因式时，应提出的公因式是． 故选：B． 3．（25-26八年级上·山东泰安·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算． 【详解】解：由题意得， ∴， 比较系数，得：，且 ， 解得：，， ∴； 故选：A． 4．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）把分解因式得，则常数的值为（  ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查多项式乘以多项式；根据多项式乘以多项式法则计算，再对比原多项式即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：D． 5．（25-26八年级上·四川眉山·期中）下列各式不是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解．因式分解要求将多项式表示为几个整式的乘积，且等号两边必须恒等，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是因式分解，故该选项不符合题意； B、不是因式分解，故该选项符合题意； C、是因式分解，故该选项不符合题意； D、是因式分解，故该选项不符合题意； 故选：B． 6．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】提公因式法分解因式、公因式 【分析】本题考查提取公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键． 先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂． 【详解】∵多项式中，系数3和9的最大公因数是3，字母部分和的最低次幂是x． ∴该多项式的公因式为． 故选：C 7．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】依据因式分解的结果为几个整式乘积的特征判断． 【详解】解：A．是整式乘法，不符合题意． B．符合因式分解要求，是因式分解，符合题意． C．仅为符号变形，左右均为乘积形式，不是因式分解，不符合题意． D．右边为和的形式，不是因式分解，不符合题意． 8．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义，需满足将多项式转化为几个整式的积的形式，且每个因式均为整式，根据因式分解的定义逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A选项：右边为，是乘积与常数相加的形式，未完全分解为积的形式，不符合． B选项：左边为，右边为展开后的多项式，属于整式乘法而非因式分解． C选项：右边含分式，导致因式不是整式，不符合要求． D选项：左边利用平方差公式分解为，均为整式的乘积，符合因式分解定义． 故选：D． 9．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）下列各式从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将一个多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A：右边为，包含加法运算“”，不是积的形式，不符合因式分解的定义． B：左边为，右边为，即两个相同因式的乘积，符合因式分解的定义． C：左边为，右边为，属于整式乘法，不是因式分解． D：左边为，右边为，属于乘法分配律的展开，不是因式分解． 故选：B． 10．（25-26八年级上·重庆·期末）已知，则的值为（   ） A． B．12 C． D．24 【答案】B 【知识点】提公因式法分解因式、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，积的乘方的逆运算，先求出的值，再将原式因式分解为，再代入已知条件计算． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴ ， 故选：B． 11．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公因式 【分析】本题主要考查了用提公因式法分解因式，找出多项式各项系数的最大公因数和变量的公共部分，组合即为公因式． 【详解】解：∵多项式为中系数2和4的最大公因数为2，变量部分和的公共因子为， ∴应提取的公因式为． 故选：C． 12．（25-26八年级上·四川广安·期中）已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 【答案】A 【知识点】提公因式法分解因式、等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、因式分解的应用和三角形三边关系的应用，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键． 通过因式分解给定方程，得出只有符合三角形三边关系，进而即可判断． 【详解】解：由题意得， ∴或， ∴或． ∵是的三边长， ∴由三角形三边关系，（两边之和大于第三边）， ∴不成立， ∴只有成立， ∴是等腰三角形． 故选：A． 13．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】提公因式法分解因式、公因式 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键． 【详解】， 则余下的部分是x． 故选：C． 14．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段检测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可解答． 【详解】解： ． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（   ） A．－5 B．7 C．9 D．21 【答案】A 【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数、因式分解的应用 【分析】此题主要考查了因式分解和多项式乘以多项式，解题的关键是掌握计算法则，正确确定原多项式． 小刚看错常数项但一次项系数正确，从小刚分解可得；小明看错一次项系数但常数项正确，从小明分解可得，再求. 【详解】解：∵ 小刚分解为，且看错常数项但一次项系数正确， ∴ . ∵ 小明分解为，且看错一次项系数但常数项正确， ∴ . ∴ . 故选：A． 16．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此判定即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、该式从左边到右边的变形是整式乘法，不是因式分解，不合题意； 、该式左边和右边不相等，左边不能因式分解，变形错误，不合题意； 、该式从左边到右边是因式分解，符合题意； 、该式左边不能因式分解，不合题意； 故选：． 17．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 由因式分解形式可得a和b是整数且，列出所有整数因子对，计算每对的值，得到不同的m值个数． 【详解】解：， 则，， 由于a、b为整数， 则所有整数因子对满足有：、、、、、、、， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 则不同的m值为5、7、、，共4个， 故选：B． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式能因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义判断即可，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项符合题意； B、，没有公因式，不能因式分解，故选项不符合题意； C、，没有公因式，不能因式分解，故选项不符合题意； D、，没有公因式，不能因式分解，故选项不符合题意； 故选：A． 19．（25-26八年级下·江西景德镇·期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【详解】解： 选项A中，左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解定义，错误； 选项B中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解定义，正确； 选项C中，右边是差的形式，不是整式乘积，不符合定义，C错误； 选项D中，变形是整式乘法，将乘积化为多项式，与因式分解变形方向相反，不符合定义，D错误. 20．（23-24八年级下·广东深圳·期中）下列各式从左到右，是因式分解的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，不属于因式分解，不符合题意； 、，不属于因式分解，不符合题意； 、，属于因式分解，符合题意； 、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； 故选：． 21．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）在下列等式中，从左边到右边的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】因式分解是把多项式化为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断即可. 【详解】解：∵因式分解要求等式左边为多项式，右边为几个整式乘积的形式； ∴选项A，左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； 选项B，左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； 选项C，右边是多项式和的形式，不是整式乘积，不是因式分解，不符合要求； 选项D，左边是多项式，右边是整式乘积，等式成立，属于因式分解，符合要求. 【考点2】提公因式法分解因式（第22-39题） · 找出公因式后整体提出 · 括号内用除法确定另一因式 · 提取后乘法验证 22．（2025·江苏宿迁·一模）因式分解：________ 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】找出多项式的公因式，用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：． 23．（23-24八年级下·山东济南·期中）分解因式______________． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了用提取公因式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式．提取公因式，即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 24．（23-24八年级下·重庆·阶段检测）因式分解：___________． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查利用提公因式法因式分解，掌握相关方法即可．直接利用提公因式法因式分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）把提取公因式后，另一个因式为_______． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法：提公因式法是解题的关键． 用提公因式法分解即可得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 26．（2025·四川成都·二模）因式分解：________． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查利用提公因式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．提公因式即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 27．（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）多项式的公因式是_____． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式的确定方法．解题的关键是找到系数的最大公因数以及相同的字母． 先找出各项系数的最大公因数，再找出各项都含有的相同字母，最后确定相同字母的最低次幂，将这几部分组合起来就是公因式． 【详解】解：多项式中，各项系数分别为． 最大公因数是3． 多项式的每一项都含有字母y，y在各项中的次数都是1次， 综合系数的最大公因数3和相同字母y的最低次幂y， 所以该多项式的公因式是． 故答案为：． 28．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）与的公因式是_______________． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题考查的知识点是提公因式，解题关键是熟练掌握提公因式法．对和进行因式分解，完全找到公共因式后即可得到答案． 【详解】解：， ， 与的公因式是． 故答案为：． 29．（23-24八年级上·山东烟台·期中）用提公因式法分解因式时，从多项式中提出的公因式为____． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、公因式 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，可归纳为“五看”：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项的符号为“－”，则公因式的符号一般为负．正确找出公因式是解题的关键． 【详解】解：， 从多项式中提出的公因式为， 故答案为：． 30．（25-26八年级上·北京·期中）若，则的值是___________． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查因式分解，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．原式变形为，提公因式合并同类项后得，再提公因式2得，将已知条件代入计算即可． 【详解】解： ， ∵ ， 代入得： 原式， 故答案为：． 31．（25-26七年级下·全国·课后作业）请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里： (1)（   ）； (2)； (3)（   ）； (4)（   ）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法是解题的关键． （1）提取公因式2即可求解； （2）提取公因式即可求解； （3）提取公因式即可求解； （4）提取公因式即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： 故答案为：； （3）解：， 故答案为：； （4）解： 故答案为：． 32．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）因式分解：________． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法进行因式分解，先将式子中互为相反数的因式转化为相同形式，确定公因式，再利用提公因式法进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 33．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）多项式的公因式是：_____． 【答案】/ 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式，解题的关键是正确理解公因式的定义，本题属于基础题型．根据公因式的定义即可找出该多项式的公因式． 【详解】解：原式； 故答案为：． 34．（25-26八年级上·全国·课后作业）因式分解： （1）______． （2）______． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法：提公因式法是解题的关键． （1）用提公因式法分解即可； （2）用提公因式法分解即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：． （2） ． 故答案为：． 35．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）已知二次三项式因式分解的结果是，则___________． 【答案】1 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确运用多项式乘多项式运算法则是解题关键．直接利用多项式乘多项式运算法则得出p，q的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故，， 则． 故答案为：1． 36．（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解： （1）______； （2）______． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】根据多项式的结构特征，运用提公因式法进行因式分解． 【详解】解：(1) ； (2) 37．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）若多项式可以因式分解成，则的值是______． 【答案】3或 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接利用提取公因式法分解因式进而得出答案． 【详解】解：∵可以因式分解成， ∴ ， 故，或，， 则或． 故答案为：3或． 38．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，长方形的长宽分别为，，且比大3，面积为10，则的值为_______． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了因式分解，长方形的面积公式，由题意得，，再将要求的式子变形为，代入求解即可，掌握提公因式法是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 故答案为：． 39．（25-26八年级上·全国·阶段检测）若分解因式：，则的值为___________． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解与整式的乘法，由可得结论． 【详解】解：， 而， ， 故答案为：． 【考点3】提公因式法综合应用（第40-52题） · 多项式作公因式整体提取 · b-a变形成-(a-b) · 因式分解简化计算 40．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，那么___________． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的求值，根据已知条件得到，再把代数式变形得到，然后利用整体代入的方法计算即可求解，利用整体代入是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：． 41．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【详解】解：原式， ，，， ∴． 42．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）若，则的值为______． 【答案】10 【知识点】提公因式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 43．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 【答案】/ 【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数 【分析】设出另一个因式，利用因式乘积展开后对应系数相等求解． 【详解】解：设多项式的另一个因式为，则， ， ， 解得：， 因此另一个因式为． 44．（23-24八年级下·全国·课后作业）分解因式＝________． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法分解因式．先将原式变形为，再提取公因式即可求解． 【详解】解： ． 45．（26-27八年级上·全国·课后作业）若实数满足，则______． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了整式乘法的应用，由化为，代入计算可求解即可，掌握知识点的应用及整体代入是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 46．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，且a、b、c互不相等，则________． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值以及因式分解等知识，利用已知条件找到是解题关键． 通过已知条件，找到的关系：，，，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 47．（24-25八年级下·四川成都·期中）多项式的一个因式为，则m的值为______． 【答案】11 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．设分解后的另一个因式为，利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可． 【详解】解：设分解后的另一个因式为， 根据题意得：， 可得，， 解得：，， 故答案为：． 48．（25-26八年级下·全国·周测）把多项式提取公因式后，另一个因式为_____． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】先将多项式中的变形为，使两项都含有公因式，再提取公因式，即可得到另一个因式． 【详解】解： 提取公因式后，另一个因式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题关键是通过符号变形统一公因式，再完成提取，从而确定另一个因式． 49．（25-26七年级下·浙江台州·期末）已知，满足，，则_________． 【答案】2 【知识点】利用平方根解方程、提公因式法分解因式 【分析】根据题意可得，，则可得到，据此得到，，求出y的值，进而求出x的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 50．（24-25八年级下·四川达州·阶段检测）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟记利用提公因式法分解因式的方法是解决问题的关键． （1）利用提公因式法分解因式即可得到答案； （2）利用提公因式法分解因式即可得到答案； （3）利用提公因式法分解因式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 51．（23-24八年级上·全国·课堂例题）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)， (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解： （1）提出公因式6，即可求解； （2）提出公因式，即可求解； （3）提出公因式，即可求解； （4）提出公因式，即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． （4）解： ． 52．（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】（1）原式直接提取公因式即可； （2）原式直接提取公因式即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 课后巩固 🍬 复习建议 · 因式分解结果是整式的积，不是和或差 · 确定公因式：系数取最大公因数，字母取最低次 · 提公因式后括号内符号逐项核对 · 互为相反数的多项式先变形再提取 · 用乘法展开验证分解结果是否正确 【作业 1】（2026七年级下·北京·专题练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式直接提公因式即可得到结果； （2）原式直接提公因式即可得到结果； （3）原式直接提公因式即可得到结果； （4）原式直接提公因式即可得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解∶ ． 【作业 2】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知多项式因式分解的结果为，求a，b的值． 【答案】， 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查因式分解的定义以及多项式乘多项式； 把展开后的多项式各项系数与的各项系数进行对比，即可得到答案． 【详解】解：因为，多项式因式分解的结果为， 所以， 所以，． 【作业 3】（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)    ； (2)； (3)； (4)    ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意（4）式要先对后两项提取负号，出现公因式之后，在进行分解因式． （1）利用提公因式法解答，即可求解； （2）利用提公因式法解答，即可求解； （3）利用提公因式法解答，即可求解； （4）利用提公因式法解答，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【作业 4】（24-25八年级上·广东中山·阶段检测）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式直接提取公因式即可； （2）原式直接提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【作业 5】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查提公因式法分解因式，准确确定公因式是解题的关键； （1）利用提公因式法分解因式； （2）利用提公因式法分解因式． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【作业 6】（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【作业 7】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．直接利用提公因式法分解因式即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【作业 8】（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）因式分解：； 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式，即可求解． 【详解】解： ． 【作业 9】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 【作业 10】（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知整式，整式，若可以分解为，求． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了多项式的乘法，整式的加减，因式分解． 分别计算和的值，进而作答即可． 【详解】解： ， ， ∵可以分解为， ∴， 解得：． 【作业 11】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是因式分解，理由：从左到右的变形不是化成整式积的形式， (2)是 (3)不是因式分解，理由：等式右边不是整式的形式， 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】（1）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可； （2）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可； （3）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【作业 12】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】运用提公因式法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【作业 13】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列因式分解是否正确？为什么？ (1)； (2)． 【答案】(1) 不正确，因为结果不是乘积的形式 (2) 正确，因为等式成立，且结果是整式乘积的形式 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据因式分解的定义：因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积的形式．据此判断因式分解是否正确即可． （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义和展开右边的式子验证是否等于左边即可判断． 【详解】（1）解：因为因式分解要求结果必须是整式的乘积，而右边 是和的形式． 故该因式分解不正确，因为结果不是乘积的形式； （2）解：因为等式的右边是整式的乘积， 且等式左边， 等式右边， 即等式左边右边， 故该因式分解正确． 【作业 14】（25-26八年级上·河南周口·期末）小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为． (1)_____，_______； (2)求这道除法计算的正确结果； (3)若，求（2）中代数式的值． 【答案】(1)6， (2) (3) 【知识点】多项式除以单项式、单项式乘多项式的应用、提公因式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的运算，多项式除以单项式的运算，代数式求值，分解因式，正确计算是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的运算法则求出的结果，再根据题意可得，据此可得a、b的值； （2）根据多项式除以单项式的运算法则求解即可； （3）利用提公因式法分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 由题意得，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴ ； （3）解：∵， ∴ 【作业 15】（24-25八年级下·辽宁阜新·阶段检测）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 【答案】(1) (2)的值为，的值为 (3) 【知识点】加减消元法、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查因式分解的创新应用、解一元一次方程、解二元一次方程组等知识，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键． （1）将代入多项式并使多项式等于0，求解即可得答案； （2）将和分别代入多项式并使多项式等于0，解二元一次方程组，即可获得答案； （3）将（2）中解得的的值代入多项式，然后设，利用待定系数法求出k即可． 【详解】（1）解：∵是多项式的一个因式， ∴当时，得， 解得：； （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴可有，整理可得， 解得， 即的值为，的值为； （3）解：由（2）可知，的值为，的值为， ∴多项式为， ∵和是多项式的两个因式，的次数最高项的次数为3，次数最高项的系数为1， ∴设， 右边展开式的常数项为，左边的常数项为， ∴， 解得：， ∴． 【作业 16】（23-24八年级下·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法因式分解． （1）先确定公因式，再进行因式分解即可求解； （2）先将原式变形为，即可提公因式法分解因式； （3）先确定公因式，即可提公因式法分解因式． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【作业 17】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【详解】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 【作业 18】（25-26八年级下·全国·周测）（1）多项式可以因式分解成，，为整数．求的值． （2）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】（1）先提取公因式，将多项式整理成的形式，对比系数求出、，再计算； （2）先变形多项式，提取公因式，再合并同类项整理成的形式，对比系数求出、、，最后计算． 【详解】解：（1）原式 对比，得：，． ∴． （2）原式 对比，得：，， ∴． 【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题关键是通过观察多项式结构，准确提取公因式，再通过系数对比求出未知参数． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $