5.3 诱导公式（分层作业练题型）高一数学人教A版必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 5.3诱导公式 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 给角求值 1.B 2.B 3.B 4.B 5.A 6.0 75.5 2：2 83-1 2 9、3 颗型02 给值（式）求角 10.B 11.A 12.D 13.A 14.B15.B 16.B17.C 18.A 3 19.C 20.B 21.A 22. 23.6 题型03 三角函数式的化简、求值-一诱导公式 24.A 25.A 26.1 27.1 281 29.-c0sa 30.tana 颗型04 三角恒等式的证明-诱导公式 l【g1图为dmo-引m行+o sin a sin a =--cosa cosa.(-sina)=-cos2a, sin a 所以原等式成立 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型05 诱导公式在三角形中的应用 32.C 33.A 34.BCD 35.BCD 36.AD 颗型06 诱导公式的综合应用 13 37.B 38 39. 【答案】四2：2号 【详期1因为n(0:小-0-引n0:到}-n0-m0-m9=0,即2s如0：o0 若cos0=0,则sin0=0,不符合sin20+cos20=1, 所以cos0≠0：可得an9=2 4sin0+cos0 4tan0+1 (2)由题意可得：2sin8-cos02tan0-1 21 2 2 2 40.【答案】(1)5：2-3：(3)-3 【详解1a)n(写+a)=nr经（后-o明-cw(信a 3 2)ma径=nl--(后e训=-snr肾+ge=-osg-a=号 2 6 3 a)n受-a)=m经（店e训=-cas管a=号 2 1.【答案】(a)sina=2 2 13:2)-3 【详解】(1)因为角a的终边经过点P(3,2),且V32+2=√3， 22W13 所以sina= i315,osa=3=3 V1313 2112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin(π-a)cos 2 sina(-sina) (2)由题意可得： 3+a cos sin 2 2e (-cosa)(-sina） 12 42.【答案】(1)sin0= 13, cos0= 13,an0=-12 24 :2)-5 【详解】(1)由点P(-5,12)得x=-5,y=12,r=V-5)2+122=13. 则sin0=上、12 r13, cos0=5 F3,am0=上-2 x 5: (2)原式_←cos0(-an9)+sin6cos0.s加8 +sin0 cose 2sin =2tan 0. cos0 cos0 cosθ 将tan0= 号代入，可利原式2（号》告 1 2:36 3v 43.【答案】(1) 4 【详解】(1)由P(-2,25)得r=V-2)2+(23)2=4, 则sina= 233 4-2.tana=2 42,c0sa=-2-1 =-3 -2 又cosa-2=sina，an(-a)=--tand’ ca-引tm(红-a)-ma-ma=5-(-3 3π (2)cos(+)=sina, sin a-2) 3π -cosa tana cos2a (2 sin2a' 3π 3π cos a+ 2 sin a- 2 sinacosa sin'a 35 cos2a cosa 4· sin2a 2 4 1 44.【答案】(1)sina= 5,ama=3:2)-7 【详解】(1)由题意角α的终边过点P(3,4),则x=3,y=4,r=V32+42=5, 根据任在角三角函数的定义可符m“=一手m0=上-专 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin(2π+a)+sin 30 sina-cosa (2)由诱导公式得 os(3z-a)+cos+ -cosa-sina tana-1 1' -1-tana 7 45.【答案】(1)m=1,cosa= 25 【详解】(1)由题意可知：sina= V22+m25: 平方可得： +45化简得：m=1又因为血a=5 m2 1 >0, 5 2-2_2W5 所以l>0,故l=1.因此cosa= 2+m店 sina-cosa(-cos)cos4 (2)原式=cosa-(-tana） 5 411 7 46.【答案】()3：(2)7：(3)5 44 【详解】(a)因为角。终边过点(-3,4，所以ama=3-行 3+5× 3cosa+5sina 3+5tan a 、311 (2) sina-cosa tana-1 4 7 -1 (3)因为角α终边过点(-3,4)，所以r=V(-3}+42=5, 所以cosa=二3、3 4 5=-5,sina 5 因为0P10Q,结合图形可得B=a- 2, 所以3sinB-4cosB=3x2-4 47 55 47.【答案】(12：(2)0 【详解】(1)因为角终边上有一点P 4/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则sina='= 2,cosa-1 r 2’ ）（cosa)sina(-tana）-cosa= 1 tan(r+a)sin(π+a) tana(-sina) 2 (2)(2)sin900°+sin(-930°)+cos(-1500)+tan(-1125) nl80°+sin50°+cos-60)+am(-459)0+7+2 4根【容案1四o)-a:f():2旺a-月 sin(-a)-cos(x-a)-cosa -sina(-cosa）}'sina 【详解】(1)f(a) +a小sm(a-ma-】 cos 2 sina.sina.(-cosa) simna-cos'a-sina=cosa sina.sina.(-cosa) u-ow）wmx到=个到 cos- a由四如fa)sa:由a+到}可的oe+到号 mgem晋-jma别-oe引是 49. 【窃案1o4:a2:创- ￥解】1)由题f(a)=sna:cosa:(-cosa上(-tan)_sin a cosa tan=cos -sin a.(-sina) sina 1 √6 (2)~a是第二象限角，且sina= .cosa=-v1-sin'a=- 5, 则f(a+π)=cos(a+π)=-cosa= 2√6 5； (3)a=2026 π=675π+ 3 f(a)=cosa=cos675元+2 3=cos- 4π1 3=-2 5112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 6.D m-1 1.D 2.A 3.B 4.D 5.A 7.AC 8. m+1 9.7 10.-5 2 11-22 12-3+2 3 12 13. 【答案】(1)sina= 12 12 【详解】()因为角。的终边与单位圆交于点P5,),所以sina 13 由x+ 12 25 13 =1,得6=169 5 又角。的终边落在第二象限，所以x,<0,即。=- 13 J 所以cosa= sina=12 13, tana= cosa 5· 12 因此ana+T 4 1-tana 1427 5 （②由诱号会式得os(经-a小-numk+a)=ma:n(-o-ma 1-(sina-cosa)+2sin2a 所以原式化为 sinatana+sina 12 将sina= 13'cosa=- 5 12._12）+12--84 135十3-65 168.84)10 所以原式的值为16965 13 14.【答案】()f(a)=--sinacosa:( , 2 6112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)f(a)= -cosa.sin'a.(-tana) =-sinacosa· tan(-a-π)sin(-a-π) -tana.sina (2)因为f(a)=- 1 =-sinacosa,所以sinacosa 8 8, 13 因此(cosa-sina}=1-2 n=l-2x84 2.sina>cosa cosa-sin √5 因此cosa-sina= 21 15.【答案1)-V5+26 3:2- 2 【详解】(1)点P(2,-)到坐标原点的距离r=V(W2)}+(-1)2=√5， r3=-3,cosa== 根据任意角三角函数的定义：sina=y=-V5 r53 号-2x65+26 f代入得sina-2cosa=-V52 3 3 (2)利用诱导公式化简原式： 分子部分：sin(π-a)=sina,cos(a-2m)=cosa, eom5-a)=o3r+号a）=cag+ 2-）=-sina,tan(3r-)=tan(r-）=-tana, 因此分子=sinacosa:(-sina)(-tana)=sin2 a cosa tan a, 分母部分：cos)=cosa)=s血a,sin仁a=sna,coBz-=cosz-a=-cos 因此分母=sina(-sina)(-cosa)=sin2 acosa, 约分化简得原式= sin'a cosa tana=tana, sin2a cosa 根据定义tana=上=。-V2 x√22 16【带案1四心回25：创 2 【详解1a)）fa)-血-a）bos2r-a)cos(-）_simacca =-cosa cos(-a-π)sin(-π-a) -cosa·sina 7112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)因为a是第三象限角，且sin(a-5m)=sin(+a)=-sina= 5 -26 因此f(a)=-cosa=2v6 5 (3)当a=-1110e时，/(a)=-c0s-110）=-c0s1110=-c0s10-3×360）=-c0s30=- 2 17【案1a3:回9 7 【详解】(1)因为sin0+cos0= 所以(sin8+cos0Y=sin20+cos20+2sin0cos0=1+2sin0cos9= 25 所以sin0cos0=-12 5 因为0∈(0，π)，所以sin0>0,又sin0cos0<0,所以cos0<0, 所以sin0-cos0>0, sin0-cos=sin20+cos20-2sin0cos0= -2- cos5π+0sin(←元-0) (2)f(0)=(2 sin(3π-0) sin(2x-0)sin sin(5-0)+cos(-0) (2 om经+0jn(a-0y sin(m-θ) sin(-θ)cos0 sin(π-0)+cos0 -sinOsin sine -sin0cosθsin0+cos0 sin sine sin20 5sin20 cos0 sine+cos0 cos0(sin0+cosθ) c0s03 sin0+cos0= sin0=4 联立 7’解得 sin0-cos= 5 Cos0=-3, 5 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以f(o)=ssin0 5x16 2516 cosθ 3 18【答案】sina= 之aa=5,创- 3:3)-1 15 【详解】(1)因为A 2'2 为角终边与单位圆的交点， 5 根据三角函数的定义，可得 5,tama=子=5， ina= 2 2 15 (2)因为4 2’2 为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得sima= 1 2，cosa=2 因为将角。的终边绕点0按逆时针方向旋转2后得到角B,可得B=α+ 所以n6=sma+ cos-co-sina J-cosa-1 21 所以anB= inB_2V5 = Cos B33 (3)因为sin(π-P)=sinB,cos(4r-B)=cos(-P)=cosB, mg-小m任-omA,mr任+-snA, sin(π-B)+cos(4π-B) sin B+cosB=-1 所以sm}-P小or+A -cos B-sin B C组 思维拔高 1 1.A 2.ABD 3.BC 4.A 5.2 6.-5 7【容案1aesa=专ma-:风fa)=号：倒-号 4 9112 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)sina=-3 ,且a为第三象限角。 由 cosa=4 又·为第三象限角， .'.cos a = 4 5 .'tana sina3 cosa4· 2sin(π+a)+sin +a (2)利用诱导公式可得：f()= π cos a-2 +cos(2π+a) -2sina cosa sina+cosa -2tana+1 = tana+1' 2x3 +1 3代入，得f= 4 将 tana= 4 +1 4 即fa= 3)因为m+小=m[臣-{（居小=m后 owr+p-mx-后小-任小 以信小g+号 8. 【答案1：a/(0)=是 【详解】(1)因为f()= 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (-sin8)(-cos0)sinθ cosθsin0(-cos0) =-tan0, 由f(0)=2可知-tan0=2,所以tan0=-2, 1 1 cos20+sin20 cos20+sin20 又因为 cos20'cosesine cos20 cosOsine =1+tan20+1+ian205 tan Γ2 2因为2sn0f0+}sn0+引f@0)=1, 所以2sin0 如 2) +sm0+(-tm- 即2sina. cose +cos0.-sin0 -sin 0 cos0 =1,所以2cos0-sin0=1' 两边平方得4cos20-4sin0cos0+sin20=1, 4cos20-4sin0cos+sin=1 即 cos20+sin20 即4-4an9+tam20 3 1+tan20 =1,解得tan0= 49 故0)=是 9答案】：(242 【详解】(1)设点C到x轴的距离为a(a>0),则点C到y轴的距离为3a. 因为B∈ 所以an0=-a=_1 3a3 sin(π-O)+co (5-0 sin(π-0)+cos π 2 2 sin+sin0 所以 cos(3π-0)+sin 0 cos(π-θ)+sin 30 -cos0-cos0 2 1 =-tan0= (2)设∠B0C=a, 则弧长1=ar= 3,所以a=2π -3 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则扇形面积为S角形Boc= h=x2x1 2 23 3 又S.Boc 2OB-OC.sina- x1x1x55 24 π√3_4r-35 所以阴影部分的面积S=S偏彩-SBoc= 34 令 拓展 链接高考 1.C 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.②③ 282(答案不唯一)：6（答案不唯一） π 9.-3 12/12 分层作业 5.3 诱导公式 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 给角求值 题型02 给值（式）求角（重点） 题型03 三角函数式的化简、求值-----诱导公式 题型04 三角恒等式的证明----诱导公式 题型05 诱导公式在三角形中的应用 题型06 诱导公式的综合应用（常考点） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 给角求值题型01 1．的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·青海西宁·期末）等于（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·山东日照·期末）（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·贵州遵义·期中）（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·黑龙江牡丹江·阶段检测） __________． 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算＝　______　，＝　______　． 8．的值为________． 9．（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）的值为______． 给值（式）求角题型02 10．（25-26高一下·四川南充·期末）已知为第一象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·上海·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高一下·河北承德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一下·北京·期末）已知，且为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·四川泸州·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 18．（25-26高一下·广东广州·期末）已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 19．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．-1 20．（25-26高一下·全国·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 21．（26-27高三上·广西河池·阶段检测）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高一下·江西上饶·期中）已知，则__________. 23．（25-26高一下·上海·期中）已知，则___________． 三角函数式的化简、求值---诱导公式题型03 24．（25-26高一下·北京·期末）若为第三象限角，则下列各式的值为负数的是（     ） A． B． C． D． 25．（25-26高一下·四川南充·期中）化简表达式，结果为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）化简：____________. 27．（25-26高一下·江西九江·期末）已知，则_____ 28．（25-26高一下·上海静安·期末）化简：______． 29．（26-27高一上·全国·课堂例题）化简：． 30．（25-26高一下·黑龙江伊春·期中）化简 三角恒等式的证明---诱导公式题型04 31．（2026高一·全国·专题练习）若，求证： . 诱导公式在三角形中的应用题型05 32．（25-26高一下·北京·期中）已知在三角形中，，则（    ） A． B． C．0 D．1 33．（25-26高一下·四川成都·期末）在中，设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 34．（多选）（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知中，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 35．（多选）（25-26高一上·福建漳州·期末）在中，下列等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 36．（多选）（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）若角A，B，C是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 诱导公式的综合应用题型06 37．已知，则＝（    ） A．－ B．－ C． D． 38．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知角的终边在直线上，则________． 39．（26-27高一上·内蒙古锡林郭勒·阶段检测）已知. (1)求的值； (2)求的值． 40．已知，求下列各式的值： (1)；(2)；(3). 41．（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知角α的终边经过点. (1)求和的值； (2)求的值. 42．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值． 43．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边经过点，求下列各式的值： (1)； (2) 44．（25-26高一下·四川南充·期中）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 45．（25-26高一下·北京·期中）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，且． (1)求m及的值； (2)化简：，并求值． 46．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，以为始边作角与，角终边过点. (1)求值； (2)求的值； (3)若角与的终边分别与单位圆相交于点，，且.求的值.] 47．（25-26高一下·江西赣州·期中）(1)已知角终边上有一点，求的值． (2)计算的值． 48．（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）已知. (1)化简并求的值； (2)若，求. 49．（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）已知． (1)化简； (2)若是第二象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 1．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，若角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．α是第一象限角 B．角与α的终边相同 C． D． 2．（25-26高一下·广东广州·期末）若，则（    ） A． B． C．3 D． 3．（25-26高一下·河北·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知，且为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·贵州遵义·期中）设，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知，则（   ） A．-6 B． C．8 D．-8 7．（多选）（25-26高一上·重庆·期末）若角是的三个内角，则下列结论中一定成立的有（     ） A． B． C． D． 8．（2026高一上·陕西咸阳·竞赛）设，则__________(结果用含的式子表示). 9．（25-26高一下·贵州遵义·期末）已知为第二象限角，若，则_______________． 10．已知，且，则的值为______　. 11．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知（）的终边与单位圆交于点，点关于直线对称后的点为，点关于轴对称后的点为，设角的终边为射线．若，则__________． 12．已知，则的值为_____. 13．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）以轴为始边作终边落在第二象限的角，且与单位圆交于点． (1)求、的值，并求的值； (2)化简求值：． 14．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）已知 (1)化简； (2)若，，求的值． 15．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 16．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知 (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 17．（25-26高一上·重庆·期末）已知，． (1)求的值； (2)已知，先化简再求值． 18．（25-26高一上·上海·期末）如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. (1)求的值； (2)求的值 (3)求的值. 1．【知识融合】（25-26高一下·江西抚州·期中）已知函数是定义在R上的偶函数，在上单调递减，若，，，则a，b，c大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．【数学运算】（多选）（2026高一下·全国·专题练习）下列各式不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．【逻辑推理】（多选）（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知角的终边经过点，将角的终边绕坐标原点逆时针旋转得到角的终边，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．对任意 4．【知识融合】（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D．1 5．【数学运算】（26-27高一上·全国·课后作业）计算：______. 6．【逻辑推理】（26-27高一上·全国·课后作业）设，其中，且.若，则等于________. 7．【数学运算】（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知，且为第三象限角. (1)求和的值； (2)已知，求的值. (3)若，求的值. 8．【数学运算】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知函数，其中，. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 9．【数学运算】（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点，在圆上，且点在第一象限，点在第二象限． (1)设，，点到轴的距离与到轴的距离之比是，求的值． (2)当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2017·全国III卷·高考真题）函数的最大值为 A． B．1 C． D． 3．（2015·重庆·高考真题）若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2013·广东·高考真题）已知，那么 A． B． C． D． 5．（2010·全国·高考真题）记，那么 A． B． C． D． 6．（2010·全国·高考真题） A． B．- C． D． 7．（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是________． 8．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 9．（2016·全国I卷·高考真题）已知是第四象限角，且，则___________. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.3 诱导公式 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 给角求值 题型02 给值（式）求角（重点） 题型03 三角函数式的化简、求值-----诱导公式 题型04 三角恒等式的证明----诱导公式 题型05 诱导公式在三角形中的应用 题型06 诱导公式的综合应用（常考点） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 给角求值题型01 1．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据诱导公式，，故B正确. 2．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得. 3．（25-26高一下·青海西宁·期末）等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由三角函数的诱导公式，可得. 4．（25-26高一下·山东日照·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 5．（25-26高一下·贵州遵义·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 6．（26-27高三上·黑龙江牡丹江·阶段检测） __________． 【答案】0 【详解】 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算＝　______　，＝　______　． 【答案】 ； 【详解】①计算： 正弦函数的最小正周期为，即对任意，. 取，可得： . 由诱导公式，得： . ②计算： 余弦函数为偶函数，即对任意角，， 因此： .余弦函数的最小正周期为，即对任意，. 取，可得： . 8．的值为________． 【答案】 【详解】 ＝ 9．（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）的值为______． 【答案】 【详解】由题意得 给值（式）求角题型02 10．（25-26高一下·四川南充·期末）已知为第一象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】且为第一象限角， ， . 11．（25-26高一下·上海·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴. ∴. 12．（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，即， 则. 13．（25-26高一下·河北承德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，得到， 所以. 14．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，则，故B正确. 15．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由诱导公式，. 16．（25-26高一下·北京·期末）已知，且为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为为第二象限角，所以. 17．（24-25高一上·四川泸州·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得， 即， 故. 18．（25-26高一下·广东广州·期末）已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 19．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】C 【详解】由角的终边上一点， 可得， 所以 . 20．（25-26高一下·全国·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且， 所以. 21．（26-27高三上·广西河池·阶段检测）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 则， 因为，所以， 所以， 又因为，所以. 22．（25-26高一下·江西上饶·期中）已知，则__________. 【答案】 【详解】. 23．（25-26高一下·上海·期中）已知，则___________． 【答案】 【详解】由诱导公式可得：，， ，， 原式可化简为：， 分子分母同除以得：，代入， 得： 三角函数式的化简、求值---诱导公式题型03 24．（25-26高一下·北京·期末）若为第三象限角，则下列各式的值为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为第三象限角，所以. 对于选项A，，故A正确； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C错误； 对于选项D，，故D错误. 25．（25-26高一下·四川南充·期中）化简表达式，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由诱导公式， 所以原式. 26．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）化简：____________. 【答案】1 【详解】 27．（25-26高一下·江西九江·期末）已知，则_____ 【答案】 【详解】由，代入原式得： 因为，且，将分子分母同除以， 得：，即 解得. 28．（25-26高一下·上海静安·期末）化简：______． 【答案】1 【详解】 29．（26-27高一上·全国·课堂例题）化简：． 【答案】 【详解】根据诱导公式即可求解. 原式 ． 30．（25-26高一下·黑龙江伊春·期中）化简 【答案】 【详解】． 三角恒等式的证明---诱导公式题型04 31．（2026高一·全国·专题练习）若，求证： . 【答案】因为 ， 所以原等式成立 诱导公式在三角形中的应用题型05 32．（25-26高一下·北京·期中）已知在三角形中，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】在中，，则， 而，因此，解得，所以. 33．（25-26高一下·四川成都·期末）在中，设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【详解】在中，若，可得，即， 所以，所以充分性成立； 反之：在中，若，可得， 所以或，可得或， 所以或，所以必要性不成立， 综上可得，甲是乙的充分条件但不是必要条件. 34．（多选）（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知中，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】解：，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确． 35．（多选）（25-26高一上·福建漳州·期末）在中，下列等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由，得. 因为，所以A错误； 因为，所以B正确； 因为，所以C正确； 因为，所以D正确. 故选：BCD. 36．（多选）（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）若角A，B，C是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为，则， 所以， ，A正确，B错误； 由于， 则，C错误； 由于， 所以，D正确. 故选：AD 诱导公式的综合应用题型06 37．已知，则＝（    ） A．－ B．－ C． D． 【答案】B 【详解】因为，， ， 所以， 所以. 38．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知角的终边在直线上，则________． 【答案】 【详解】因为角的终边在直线上， 所以可取角终边上的点，所以. 所以． 39．（26-27高一上·内蒙古锡林郭勒·阶段检测）已知. (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，即， 若，则，不符合， 所以，可得. （2）由题意可得： 40．已知，求下列各式的值： (1)；(2)；(3). 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）. （2）. （3）. 41．（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知角α的终边经过点. (1)求和的值； (2)求的值. 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）因为角α的终边经过点，且， 所以，. （2）由题意可得：. 42．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)，，；(2) 【详解】（1）由点得，，. 则，，； （2）原式. 将代入，可得原式=. 43．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边经过点，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由得， 则，，. 又， ， . （2）， ，， . 44．（25-26高一下·四川南充·期中）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）由题意角的终边过点，则， 根据任意角三角函数的定义可得，． （2）由诱导公式得． 45．（25-26高一下·北京·期中）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，且． (1)求m及的值； (2)化简：，并求值． 【答案】(1)m＝1，；(2) 【详解】（1）由题意可知：， 平方可得：，化简得：，又因为， 所以m＞0，故m＝1．因此． （2）原式 46．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，以为始边作角与，角终边过点. (1)求值； (2)求的值； (3)若角与的终边分别与单位圆相交于点，，且.求的值.] 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）因为角终边过点，所以. （2）； （3）因为角终边过点，所以， 所以， 因为，结合图形可得， 所以，， 所以. 47．（25-26高一下·江西赣州·期中）(1)已知角终边上有一点，求的值． (2)计算的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为角终边上有一点，则，且， 则，， 所以； （2）（2）． 48．（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）已知. (1)化简并求的值； (2)若，求. 【答案】(1)；；(2) 【详解】（1） ，； 所以 ； （2）由（1）知，由，可得， 所以. 49．（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）已知． (1)化简； (2)若是第二象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由题； （2）是第二象限角，且，， 则； （3）， ． 1．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，若角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．α是第一象限角 B．角与α的终边相同 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，则点在第二象限，α是第二象限角，A选项错误； 因为，即， 所以，B选项错误,C选项错误； ，D选项正确. 2．（25-26高一下·广东广州·期末）若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】由,得; 同除以,得 由得, 代入化简得, 即, 解得， 则. 3．（25-26高一下·河北·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 因为，所以， 又因为，所以，所以. 所以， 故. 4．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知，且为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为第三象限角，且， 所以是第四象限角，所以. 所以. 5．（25-26高一下·贵州遵义·期中）设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ． 6．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知，则（   ） A．-6 B． C．8 D．-8 【答案】D 【详解】由得， 故 . 故选：D 7．（多选）（25-26高一上·重庆·期末）若角是的三个内角，则下列结论中一定成立的有（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由题意可得，则，故A正确； 对于B，由题意可得，则，故B错误； 对于C，由题意可得，则,即，故C正确； 对于D，由题意可得，则， 该式不一定等于，故D错误. 故选：AC. 8．（2026高一上·陕西咸阳·竞赛）设，则__________(结果用含的式子表示). 【答案】 【详解】 . 9．（25-26高一下·贵州遵义·期末）已知为第二象限角，若，则_______________． 【答案】 【详解】因为为第二象限角，， 所以，则. 所以. 10．已知，且，则的值为______　. 【答案】 【详解】因为，所以，又，所以， 所以， 所以. 11．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知（）的终边与单位圆交于点，点关于直线对称后的点为，点关于轴对称后的点为，设角的终边为射线．若，则__________． 【答案】 【详解】因为，，所以. 由题意可得，所以. 12．已知，则的值为_____. 【答案】 【详解】因为， 所以， 可得 . 13．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）以轴为始边作终边落在第二象限的角，且与单位圆交于点． (1)求、的值，并求的值； (2)化简求值：． 【答案】(1)，，；(2) 【详解】（1）因为角的终边与单位圆交于点，所以． 由，得． 又角的终边落在第二象限，所以，即． 所以，． 因此． （2）由诱导公式得，，． 所以原式化为． 将，，代入，得分子为，分母为． 所以原式的值为． 14．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）已知 (1)化简； (2)若，，求的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1） . （2）因为 ，所以， 因此. 又，，即， 因此. 15．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）点到坐标原点的距离， 根据任意角三角函数的定义： ，， 代入得； （2）利用诱导公式化简原式： 分子部分：，， ，， 因此分子， 分母部分：，，， 因此分母， 约分化简得原式， 根据定义. 16．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知 (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1） （2）因为是第三象限角，且， 所以，故， 因此. （3）当时，. 17．（25-26高一上·重庆·期末）已知，． (1)求的值； (2)已知，先化简再求值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 因为，所以，又，所以， 所以， 则. （2） ， 联立，解得， 所以. 18．（25-26高一上·上海·期末）如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. (1)求的值； (2)求的值 (3)求的值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义，可得，. （2）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得，， 因为将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，可得， 所以，， 所以. （3）因为，， ，， 所以. 1．【知识融合】（25-26高一下·江西抚州·期中）已知函数是定义在R上的偶函数，在上单调递减，若，，，则a，b，c大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是上的偶函数，故，又在单调递减， ，得. ，得. ，得. 由，在单调递减， 可得：， 即. 2．【数学运算】（多选）（2026高一下·全国·专题练习）下列各式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，而， 为减函数， 所以，故A不正确； ，，而，为减函数， 所以，选项B不正确； ，，，为减函数， 所以，故C正确； 因为，，所以选项D不正确． 故选：ABD. 3．【逻辑推理】（多选）（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知角的终边经过点，将角的终边绕坐标原点逆时针旋转得到角的终边，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．对任意 【答案】BC 【详解】对于A：或，故A错误； 对于B：因为角是由角的终边绕坐标原点逆时针旋转得到， 所以，，故B正确； 对于C：若，则点在第一象限且，所以， 又因为， 所以，故C正确； 对于D；由C可知，当时，， 当时，点在第三象限，， 则，此时， 所以对于任意，或，故D错误. 故选：BC 4．【知识融合】（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】， ， ， ， ，，，， . 故选：A 5．【数学运算】（26-27高一上·全国·课后作业）计算：______. 【答案】 【详解】因为， ， 所以原式. 6．【逻辑推理】（26-27高一上·全国·课后作业）设，其中，且.若，则等于________. 【答案】 【详解】因为， 所以. . 7．【数学运算】（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知，且为第三象限角. (1)求和的值； (2)已知，求的值. (3)若，求的值. 【答案】(1)，；(2)；(3) 【详解】（1），且为第三象限角， 由可得， ， . 又为第三象限角， ， ． （2）利用诱导公式可得： ， 将代入，得， 即. （3）因为， ， 所以. 8．【数学运算】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知函数，其中，. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为 ， 由可知，所以， 又因为 . （2）因为， 所以， 即，所以， 两边平方得， 即 即，解得， 故. 9．【数学运算】（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点，在圆上，且点在第一象限，点在第二象限． (1)设，，点到轴的距离与到轴的距离之比是，求的值． (2)当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设点到轴的距离为，则点到轴的距离为. 因为，所以. 所以 . （2）设，则弧长，所以. 则扇形面积为. 又， 所以阴影部分的面积. 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 2．（2017·全国III卷·高考真题）函数的最大值为 A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由诱导公式可得， 则, 函数的最大值为. 3．（2015·重庆·高考真题）若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 , 所以 原式 ， 故选C. 4．（2013·广东·高考真题）已知，那么 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得 .故选C． 5．（2010·全国·高考真题）记，那么 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】, ,从而， ， 那么， 故选B． 6．（2010·全国·高考真题） A． B．- C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：，答案选C． 7．（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是________． 【答案】②③ 【详解】对于①，若存在在上的增函数，满足， 则，即， 故时，，故， 故即，矛盾，故①错误； 对于②，取，该函数为上的减函数且， 故该函数符合，故②正确； 对于③，取， 此时，由可得有无穷多个， 故③正确； 对于④，若存在，使得， 令，则，但，矛盾， 故满足的函数不存在，故④错误. 故答案为：②③ 8．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【详解】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 9．（2016·全国I卷·高考真题）已知是第四象限角，且，则___________. 【答案】 【详解】解：是第四象限角， ，则， 又， ． ，． 则． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $