4.4数学归纳法（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第二册

分层作业 4.4数学归纳法 目录 知识点01 数学归纳法 知识点02 数学归纳法证明恒等式 知识点03 数学归纳法证明整除问题 知识点04 数学归纳法证明几何问题 知识点05 数学归纳法证明数列问题 知识点06 数学归纳法证明其他问题 知识点07 推理证明解决探究问题 知识点01 数学归纳法 1．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项是__________． 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 3．（5 数学归纳法课后作业（提升））某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立.现已知时命题不成立，那么可以推得（    ） A．当时命题不成立 B．当时命题不成立 C．当时命题成立 D．当时命题成立 知识点02 数学归纳法证明恒等式 4．（25-26高二下·四川资阳·期末）（多选）已知数列是首项和公比均为的等比数列，记数列的前项和为，则（    ） A． B．存在，且，使得 C． D．取得最大值时的值为4 5．（25-26高三下·北京·开学考试）已知数列的通项公式为的通项公式为．记数列的前项和为，则___________；满足的的最小值为___________． 6．（26-27高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 知识点03 数学归纳法证明整除问题 7．（第四章 数列（举一反三单元测试�培优卷）数学人教A版选择性必修第二册）用数学归纳法证明：能被整除． 8．（二、整除性问题的数学归纳证明）求证：对任意正偶数，二项式能被整除． 9．（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 知识点04 数学归纳法证明几何问题 10．（一、特殊到一般的通项探求）已知平面上有个圆，其中任意两圆都相交，任意三圆不共点，试推测个圆把平面分为几部分？用数学归纳法证明你的结论． 11．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋________. 12．（2024高二·全国·专题练习）平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 知识点05 数学归纳法证明数列问题 13．（2026高二·全国·专题练习）设数列满足.若数列是正项递增数列，则的取值范围是_______. 14．（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列满足，且，． (1)求，，； (2)猜想通项公式，并用数学归纳法证明． 15．（一、特殊到一般的通项探求）已知数列的通项公式是，记． (1)写出数列的前三项； (2)猜想数列通项公式，并用数学归纳法加以证明； (3)令，求的值． 知识点06 数学归纳法证明其他问题 16．（25-26高二下·上海·期中）已知，若数列有上界，即存在常数，使得对恒成立，则实数的最大值为_____． 17．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 18．（专题1数学归纳法及其变种微点2数学归纳法的变种）设是一个正数数列，对一切，都有证明：对一切，都有 知识点07 推理证明解决探究问题 19．（4.4 数学归纳法）1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2=·(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立？并说明你的结论. 20．（多选）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．给出四个等式： （1）写出第5，6个等式，并猜测第个等式； （2）用数学归纳法证明你猜测的等式. 一、单选题 1．已知对一切都成立，那么，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．欲用数学归纳法证明:对所有不小于的正整数，，的第一个取值应当是（   ） A．1 B．大于1小于10的某个整数 C．10 D．大于10的某个整数 3．已知数列的各项均为自然数，，且它的前项和为，若对所有的正整数，有成立，通过计算，，，然后归纳出等于（   ） A． B． C． D． 4．已知为首项为1，公比为的无穷等比数列（其中为非零实数），且知两个无穷等比级数与皆收敛且其乘积为1，试求出正确的值（    ） A． B． C． D． E． 5．斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．其指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…从第3项开始，每一项都等于前两项之和．删去0后，以第一个1作为该数列的第一项，其中第i项记为，如，，…，则=（    ） A． B． C． D． 6．一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房…以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如果一个人爬楼梯的方式有两种，一次上个台阶或个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知正项等比数列，等差数列满足：，，，记为前项和，为前项和，则下列正确的有（    ） A． B． C．存在，使得 D．对任意，都有 9．已知数列是首项和公比均为的等比数列，记数列的前项和为，则（    ） A． B．存在，且，使得 C． D．取得最大值时的值为4 三、填空题 10．已知，用数学归纳法证明时，比多了___________项． 11．已知数列的通项公式为的通项公式为．记数列的前项和为，则___________；满足的的最小值为___________． 12．现有一种构造新数列的方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的等差中项，按照原来的顺序得到一个新的数列；再将新得到的数列按照上述方法构造，又得到一个新的数列；重复以上操作．现将数列按照上述方法进行构造，第一次得到的新数列为；第二次得到的新数列为；第三次得到的新数列为；；记第n次得到的新数列为，且．当时，______；使的最小正整数n的值为______． 四、解答题 13．用数学归纳法证明： (1)； (2)． 14．已知数列的前n项积． (1)求的通项公式； (2)若对任意正整数n，，求的最小值． 15．数列中，是数列的前项和，已知，． (1)求证：是等差数列； (2)已知， （Ⅰ）若，求数列的前n项和； （Ⅱ）若在和之间插入的前项，得到新数列，且的前项和为，求时，的最小值． 1．数列中，，，记，，给出以下命题：命题；命题．下列选项中正确的是（    ） A．真真 B．真假 C．假真 D．假假 2．已知数列 满足 ， ，则下列命题正确的有 _________. ① 是递减数列； ② ； ③ ； ④ . 3．（多选）已知数列的前项和为，若，，则（    ） A． B．数列为递减数列 C．数列的最大项是2，最小项是0 D．对任意， 4．已知数列满足，且对任意正整数n，． (1)令． （i）求证：数列是等比数列，并求的通项公式； （ii）令，求证：； (2)求证：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.4数学归纳法 知识点01 数学归纳法 1． 【答案】 2． 【答案】C 3． 【答案】A 知识点02 数学归纳法证明恒等式 4． 【答案】ABC 5． 【答案】 6． 【答案】(1)①当时，左边，右边，等式成立； ②假设当时，等式也成立，即， 则当时， ， 所以当时，等式也成立．由①②可知，等式对任何都成立． (2)①当时，左边右边，等式成立；②假设当（）时，等式成立， 即．则当时， 左边 右边， 所以当时，等式也成立，由①②可知，等式对所有正整数都成立． 【详解】（1）略. （2）略. 知识点03 数学归纳法证明整除问题 7． 【答案】 ①当时，能被133整除，所以当时结论成立； ②假设当时，能被133整除， 那么当时， ， 由假设可知能被133整除，即能被133整除， 所以当时结论也成立； 综上，能被133整除． 【分析】利用数学归纳法证明整除问题，首先证明时结论成立，再假设时结论成立，利用假设证明时结论也成立即可得出结论成立． 【详解】略 8． 【答案】证明： （i）当时，能被整除，命题成立； （ii）假设当（为正偶数）时命题成立，即能被整除， 当时，． 由可被整除，能被整除，则能被整除， 故当时，命题成立． 由（i）和（ii）知对任意正偶数，命题成立． 【分析】按照数学归纳法的步骤证明即可，注意对任意正偶数进行证明则归纳步骤的跨度为2． 【详解】略 9． 【答案】证明: （1）时，，能被整除， （2）假设时，能被36整除， 当时，， ， 因为是偶数，所以能被整除， 又因为能被整除，所以能被整除， 由（1）（2）知，对一切，能被整除． 【分析】利用数学归纳法的证明步骤，结合条件，即可求解. 【详解】略. 知识点04 数学归纳法证明几何问题 10． 【答案】，证明如下： 设这些圆将平面分成的区域数为， ，，，， 猜想. 数学归纳法证明如下： （1）当 时，一个圆将平面分为内部和外部两部分，即 ，结论成立； （2）假设当 （）时，结论成立， 即 个圆将平面分为的区域数为：. 考虑 个圆，添加第 个圆，该圆与已有的 个圆都相交， 由于任意两圆相交于两点，且任意三圆不共点，第 个圆与每个已有圆相交于两点，且这些交点互异. 因此，第 个圆上共有 个交点， 【分析】用不完全归纳法猜想出结论，然后利用数学归纳法证明. 【详解】，证明略. 11． 【答案】k＋1 12． 【答案】 n＝2时，f（2）＝2＝1×2， n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3， n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4， n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5， 猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)． 下面用数学归纳法给出证明： ①当n＝2时，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)， 则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k)个交点， 所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]， 即n＝k＋1时猜想也成立． 由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)． 【分析】当n＝2时，f（2）＝2＝1×2，n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，……，由此归纳出f(n)＝n(n－1)(n≥2)，然后利用数学归纳法证明即可 【详解】略 知识点05 数学归纳法证明数列问题 13． 【答案】 14． 【答案】(1)，，． (2)猜想， 证明：（i）当时，，命题成立； （ii）假设当，命题成立，即， 那么， 即时命题成立． 由（i）（ii）可知对一切自然数命题都成立． 【分析】(1)利用题干的迭代条件即可得到，，; (2)利用第一问的结果即可猜想，再用数学归纳法证明 【详解】（1）将已知等式展开整理得 ， 解得． 由，知． 故，，. （2）略 15． 【答案】(1) ，，； (2) 由，，，猜想，证明如下， 当时，显然成立， 假设当时，， 当时， ，显然成立， 综上所述：； (3) 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据数列的前三项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法进行证明即可； （3）根据数列极限的运算法则进行求解即可. 【详解】（1）由，可得：， 由，可得： ，，； （2）略 （3）由 ， 得． 知识点06 数学归纳法证明其他问题 16． 【答案】/0.125 17． 【答案】当时，不等式成立， 假设时原不等式成立，即， 则时，左边， 当时，， 即， 因此时原不等式也成立． 综上，对任意的正整数． 【分析】运用数学归纳法的步骤进行证明即可. 【详解】略 18． 【答案】 由不等式得知，知当n=1时，所得的不等式成立． 假设n=k时，不等式成立，即有，要证n=k+1时，不等式也成立． 分两种情况考虑： 在情况（1）之下，我们有， 在情况（2）之下，由于显然有，我们有， 所以无论何种情况，所证不等式都对n=k+1成立． 故知对一切正整数n，不等式都成立． 【分析】利用数学归纳法的步骤进行证明，要证n=k+1时，需要分和两种情况考虑 【详解】略 知识点07 推理证明解决探究问题 19． 【答案】存在a=3，b=11，c=10使等式对一切正整数n都成立，证明见解析. 【分析】取n=1，2，3得到方程组求解得到的值，然后利用数学归纳法证明. 【详解】假设存在常数a，b，c，使等式对于一切正整数n成立， 令n=1，2，3得 整理得解得 令Sn=1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2. 于是对于n=1，2，3，等式Sn=(3n2+11n+10)成立. 用数学归纳法证明等式对于一切都成立，过程如下： 当n=1时，已得等式成立. 假设)时，等式成立， 即Sk=(3k2+11k+10)， 则n=k+1时，Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2 =(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2 =(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 =[k(3k+5)+12(k+2)] =[3(k+1)2+11(k+1)+10]， 当n=k+1时，等式也成立. 根据可以断定，对于一切等式都成立. 所以存在a=3，b=11，c=10使等式对一切正整数n都成立. 【点睛】本题考查与数列求和有关的探索性问题和数学归纳法证明，关键是数学归纳法证明中的递推步骤，Sn=1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2，利用的关系及归纳假设，将的表达式整理变形为[3(k+1)2+11(k+1)+10]的形式.注意的是严格按照数学归纳法的证明步骤证明和书写，不要缺失步骤. 20． 【答案】CD 21． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）本题考查归纳推理，解题时要认真分析题意中的等式，发现其变化的规律，注意验证即可； （2）根据数学归纳法证明步骤即可证明． 【详解】 解：（1）第5行   第6行   第行等式为： ． （2）证明：①当时，左边， 右边，左边右边，等式成立． ②假设时，等式成立，即． 则当时， ． 当时，等式也成立 根据①②可知，对于任何等式均成立． 1． 【答案】A 2． 【答案】B 3． 【答案】A 4． 【答案】D 5． 【答案】B 6． 【答案】B 7． 【答案】AD 8． 【答案】ACD 9． 【答案】ABC 10． 【答案】 11． 【答案】 12． 【答案】 13． 【答案】(1)①当时，左边，右边，等式成立； ②假设当时，等式也成立，即， 则当时， ， 所以当时，等式也成立．由①②可知，等式对任何都成立． (2)①当时，左边右边，等式成立；②假设当（）时，等式成立， 即．则当时， 左边 右边， 所以当时，等式也成立，由①②可知，等式对所有正整数都成立． 【详解】（1）略. （2）略. 14． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 且也满足此式， 所以的通项公式为； （2）记， 则， 所以， 即对成立， 易知递增， 故，故，所以的最小值为． 15． 【答案】(1)法一：当时， ，，， ， ， ， ， 是常数列，设该常数为k，则，， ，也符合上式，因此是等差数列． 法二： ， ， ， ①， 又， ②， ②-①， 则数列是等差数列. 法三： 当时，解得， 当时，， 即， ，，，成等差数列， 猜想，. （ⅰ）时，，，成等差数列，猜想显然正确. （ⅱ）假设时猜想正确， 即，， 则当时，， ， ， ， ，， ， 时，猜想也正确； 综上所述，，对都成立. 是等差数列. (2)（Ⅰ）（Ⅱ）54 【分析】（1）法一：利用的关系可证是常数列，进而可证结论；法二：利用的关系可得，可证结论；法三：利用数学归纳法可证结论； （2）（Ⅰ）利用已知结合（1）求得，进而得，利用错位相减法可求得数列的前n项和； （Ⅱ）求得与之间插入的k项之和，可得前k组之和，判断的单调性，进而计算可求得的最小值． 【详解】（1）略. （2）（Ⅰ），，， 设数列的前n项和为， ③， ④， 所以③-④得， ， 所以. （Ⅱ）新数列为：，，，，，，…，，，，…，，…， 将此数列分成若干组，，为第一组；，，为第二组；……，，，…，为第k组， 与之间的k项数列的和为：， 可得数列取到后的第k项时：. 前k组之和为： ， 显然随k的增大而增大， 当时，，， ，第44项再往后取m项，使m项的和大于978， 即：， ，当时，，时，， ，有最小值为54． 1． 【答案】C 2． 【答案】②④ 3． 【答案】ABD 4． 【答案】(1)（i）证明：，且． ∴是首项为，公比为的等比数列，∴． （ii）方法一：． 要证：证：证：，又显然成立，故成立； 方法二：因为， 所以， ∴． (2)因为，所以，所以，故，， 所以，则． 先用数学归纳法证明． 时，两边均为，命题成立． 设n时命题成立．记，．∵， ∴． ∴命题对任意正整数n成立． 于是．∴． 【分析】（1）（i）构造法求证是等比数列，并根据等比数列的定义求解通项公式. （ii）对数列的通项公式分离常数后分组求和，结合放缩思想证明不等式. （2）用数学归纳法结合放缩法证明数列不等式. 【详解】（1）略 （2）略 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.4数学归纳法 目录 知识点01 数学归纳法 知识点02 数学归纳法证明恒等式 知识点03 数学归纳法证明整除问题 知识点04 数学归纳法证明几何问题 知识点05 数学归纳法证明数列问题 知识点06 数学归纳法证明其他问题 知识点07 推理证明解决探究问题 知识点01 数学归纳法 1．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项是__________． 【答案】 【详解】在数学归纳法的递推性证明中，由到时，增加的项是从到的所有项，即. 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】找出使成立的最小正整数即可. 【详解】当时，，不成立. 当时，，不成立. 当时，，成立，故使不等式成立的最小正整数为，. 3．（5 数学归纳法课后作业（提升））某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立.现已知时命题不成立，那么可以推得（    ） A．当时命题不成立 B．当时命题不成立 C．当时命题成立 D．当时命题成立 【答案】A 【详解】因为当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立， 所以假设当时命题成立，那么时命题也成立，这与已知矛盾， 所以当时命题不成立. 知识点02 数学归纳法证明恒等式 4．（25-26高二下·四川资阳·期末）（多选）已知数列是首项和公比均为的等比数列，记数列的前项和为，则（    ） A． B．存在，且，使得 C． D．取得最大值时的值为4 【答案】ABC 【分析】A利用等比数列的通项公式求解；B举反例；D根据增减性判断；C利用数学归纳法求证. 【详解】由题意得，，则，故A正确； 因为，所以B正确； 因为，所以， 若，则，则，则， 故取得最大值时的值为3，故D错误； 因为， ， ，，均满足； 假设当时成立，即， 则当时， 综上，成立，故C正确. 5．（25-26高三下·北京·开学考试）已知数列的通项公式为的通项公式为．记数列的前项和为，则___________；满足的的最小值为___________． 【答案】 【分析】令，利用数列求和公式可得，计算可得时，利用数学归纳法可得时，进而可得的条件. 【详解】，，则， 所以； 令，则数列的前项和为， 有， 当时，，即，下面用数学归纳法证明： ①当时，成立， ②假设时，成立， 当时，，即时也成立， 由①②可知，当时，，即， 所以时，，时，当时，有最小值， 满足的的最小值为3. 6．（26-27高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【答案】(1)①当时，左边，右边，等式成立； ②假设当时，等式也成立，即， 则当时， ， 所以当时，等式也成立．由①②可知，等式对任何都成立． (2)①当时，左边右边，等式成立；②假设当（）时，等式成立， 即．则当时， 左边 右边， 所以当时，等式也成立，由①②可知，等式对所有正整数都成立． 【详解】（1）略. （2）略. 知识点03 数学归纳法证明整除问题 7．（第四章 数列（举一反三单元测试�培优卷）数学人教A版选择性必修第二册）用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】 ①当时，能被133整除，所以当时结论成立； ②假设当时，能被133整除， 那么当时， ， 由假设可知能被133整除，即能被133整除， 所以当时结论也成立； 综上，能被133整除． 【分析】利用数学归纳法证明整除问题，首先证明时结论成立，再假设时结论成立，利用假设证明时结论也成立即可得出结论成立． 【详解】略 8．（二、整除性问题的数学归纳证明）求证：对任意正偶数，二项式能被整除． 【答案】证明： （i）当时，能被整除，命题成立； （ii）假设当（为正偶数）时命题成立，即能被整除， 当时，． 由可被整除，能被整除，则能被整除， 故当时，命题成立． 由（i）和（ii）知对任意正偶数，命题成立． 【分析】按照数学归纳法的步骤证明即可，注意对任意正偶数进行证明则归纳步骤的跨度为2． 【详解】略 9．（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明: （1）时，，能被整除， （2）假设时，能被36整除， 当时，， ， 因为是偶数，所以能被整除， 又因为能被整除，所以能被整除， 由（1）（2）知，对一切，能被整除． 【分析】利用数学归纳法的证明步骤，结合条件，即可求解. 【详解】略. 知识点04 数学归纳法证明几何问题 10．（一、特殊到一般的通项探求）已知平面上有个圆，其中任意两圆都相交，任意三圆不共点，试推测个圆把平面分为几部分？用数学归纳法证明你的结论． 【答案】，证明如下： 设这些圆将平面分成的区域数为， ，，，， 猜想. 数学归纳法证明如下： （1）当 时，一个圆将平面分为内部和外部两部分，即 ，结论成立； （2）假设当 （）时，结论成立， 即 个圆将平面分为的区域数为：. 考虑 个圆，添加第 个圆，该圆与已有的 个圆都相交， 由于任意两圆相交于两点，且任意三圆不共点，第 个圆与每个已有圆相交于两点，且这些交点互异. 因此，第 个圆上共有 个交点， 【分析】用不完全归纳法猜想出结论，然后利用数学归纳法证明. 【详解】，证明略. 11．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋________. 【答案】k＋1 【分析】从目标f(n)＝1＋分析，的结果，便可知第二步归纳递推时需要要证明的结论. 【详解】f(k)＝1＋， f(k＋1)＝1＋， ∴f(k＋1)－f(k) ＝ ＝k＋1， ∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)． 故答案为：k＋1. 12．（2024高二·全国·专题练习）平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 【答案】 n＝2时，f（2）＝2＝1×2， n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3， n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4， n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5， 猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)． 下面用数学归纳法给出证明： ①当n＝2时，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)， 则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k)个交点， 所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]， 即n＝k＋1时猜想也成立． 由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)． 【分析】当n＝2时，f（2）＝2＝1×2，n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，……，由此归纳出f(n)＝n(n－1)(n≥2)，然后利用数学归纳法证明即可 【详解】略 知识点05 数学归纳法证明数列问题 13．（2026高二·全国·专题练习）设数列满足.若数列是正项递增数列，则的取值范围是_______. 【答案】 【分析】先通过特例得到，再证明此时,最后利用数学归纳法可证此时数列为增数列. 【详解】若数列是正项递增数列，为递增数列，故可得的范围. 则对于任意，且， 又，所以，即，可得或（舍去）. 故的取值范围是. 当时，下证， 当，已有成立， 设当时，成立，则当时，有， 由数学归纳法可知：成立. 故， 故当时，有为递增数列， 故答案为：. 14．（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列满足，且，． (1)求，，； (2)猜想通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，，． (2)猜想， 证明：（i）当时，，命题成立； （ii）假设当，命题成立，即， 那么， 即时命题成立． 由（i）（ii）可知对一切自然数命题都成立． 【分析】(1)利用题干的迭代条件即可得到，，; (2)利用第一问的结果即可猜想，再用数学归纳法证明 【详解】（1）将已知等式展开整理得 ， 解得． 由，知． 故，，. （2）略 15．（一、特殊到一般的通项探求）已知数列的通项公式是，记． (1)写出数列的前三项； (2)猜想数列通项公式，并用数学归纳法加以证明； (3)令，求的值． 【答案】(1) ，，； (2) 由，，，猜想，证明如下， 当时，显然成立， 假设当时，， 当时， ，显然成立， 综上所述：； (3) 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据数列的前三项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法进行证明即可； （3）根据数列极限的运算法则进行求解即可. 【详解】（1）由，可得：， 由，可得： ，，； （2）略 （3）由 ， 得． 知识点06 数学归纳法证明其他问题 16．（25-26高二下·上海·期中）已知，若数列有上界，即存在常数，使得对恒成立，则实数的最大值为_____． 【答案】/0.125 【分析】分和两种情况讨论，然后通过数学归纳法证明即可. 【详解】当时，数列显然有上界，故只讨论的情况， 由于， 则当时，数列单调递增，无上界； 当时，下证时，， 时，结论成立； 假设时结论成立，即 时，， 则时结论也成立． 由归纳法原理，对任意时，． 所以实数的最大值为． 故答案为：. 17．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【答案】当时，不等式成立， 假设时原不等式成立，即， 则时，左边， 当时，， 即， 因此时原不等式也成立． 综上，对任意的正整数． 【分析】运用数学归纳法的步骤进行证明即可. 【详解】略 18．（专题1数学归纳法及其变种微点2数学归纳法的变种）设是一个正数数列，对一切，都有证明：对一切，都有 【答案】 由不等式得知，知当n=1时，所得的不等式成立． 假设n=k时，不等式成立，即有，要证n=k+1时，不等式也成立． 分两种情况考虑： 在情况（1）之下，我们有， 在情况（2）之下，由于显然有，我们有， 所以无论何种情况，所证不等式都对n=k+1成立． 故知对一切正整数n，不等式都成立． 【分析】利用数学归纳法的步骤进行证明，要证n=k+1时，需要分和两种情况考虑 【详解】略 知识点07 推理证明解决探究问题 19．（4.4 数学归纳法）1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2=·(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立？并说明你的结论. 【答案】存在a=3，b=11，c=10使等式对一切正整数n都成立，证明见解析. 【分析】取n=1，2，3得到方程组求解得到的值，然后利用数学归纳法证明. 【详解】假设存在常数a，b，c，使等式对于一切正整数n成立， 令n=1，2，3得 整理得解得 令Sn=1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2. 于是对于n=1，2，3，等式Sn=(3n2+11n+10)成立. 用数学归纳法证明等式对于一切都成立，过程如下： 当n=1时，已得等式成立. 假设)时，等式成立， 即Sk=(3k2+11k+10)， 则n=k+1时，Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2 =(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2 =(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 =[k(3k+5)+12(k+2)] =[3(k+1)2+11(k+1)+10]， 当n=k+1时，等式也成立. 根据可以断定，对于一切等式都成立. 所以存在a=3，b=11，c=10使等式对一切正整数n都成立. 【点睛】本题考查与数列求和有关的探索性问题和数学归纳法证明，关键是数学归纳法证明中的递推步骤，Sn=1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2，利用的关系及归纳假设，将的表达式整理变形为[3(k+1)2+11(k+1)+10]的形式.注意的是严格按照数学归纳法的证明步骤证明和书写，不要缺失步骤. 20．（多选）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】CD 【分析】先验证四个选项中符合要求的的值，再用数学归纳法进行充分性证明. 【详解】当时，，不合要求，舍去 当时，，不合要求，舍去； 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 下证：当时，成立， 当时，成立， 假设当时，均有，解得： 当时，有， 因为， 所以成立， 由数学归纳法可知：对任意的自然数都成立， 故选：CD 21．给出四个等式： （1）写出第5，6个等式，并猜测第个等式； （2）用数学归纳法证明你猜测的等式. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）本题考查归纳推理，解题时要认真分析题意中的等式，发现其变化的规律，注意验证即可； （2）根据数学归纳法证明步骤即可证明． 【详解】 解：（1）第5行   第6行   第行等式为： ． （2）证明：①当时，左边， 右边，左边右边，等式成立． ②假设时，等式成立，即． 则当时， ． 当时，等式也成立 根据①②可知，对于任何等式均成立． 一、单选题 1．已知对一切都成立，那么，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为对一切都成立， 所以当，时有，即，解得. 经检验，符合题意. 故，的值为，. 2．欲用数学归纳法证明:对所有不小于的正整数，，的第一个取值应当是（   ） A．1 B．大于1小于10的某个整数 C．10 D．大于10的某个整数 【答案】B 【详解】当时，,当时，,当时，, 当时，,当时，,当时，, 因为指数函数比幂函数增长快，所以当时，， 所以的第一个取值应当是5，即大于1小于10的某个整数. 3．已知数列的各项均为自然数，，且它的前项和为，若对所有的正整数，有成立，通过计算，，，然后归纳出等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得 可化为，且 ， 令 ，，又 ， 所以， 解得 （ 舍去），， 令 ， ， 解得 （负根舍去），， 令 ，，得到， 解得 （负根舍去），， 由，归纳得. 4．已知为首项为1，公比为的无穷等比数列（其中为非零实数），且知两个无穷等比级数与皆收敛且其乘积为1，试求出正确的值（    ） A． B． C． D． E． 【答案】D 【分析】首先由两个无穷等比级数均收敛得出，并分别利用无穷等比数列求和公式表示出这两个级数的和，再根据两和的乘积为建立关于 的方程，解方程并结合排除不合题意的根即可. 【详解】为首项为1，公比为的无穷等比数列（其中为非零实数），无穷等比级数收敛的充要条件为，，， 奇数项组成首项为1，公比为的新等比数列，对应的级数收敛条件， ，因为两个无穷等比级数与皆收敛且其乘积为1， 所以， 所以，整理得，因为，所以， 解得 ，舍去，，满足，所以. 5．斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．其指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…从第3项开始，每一项都等于前两项之和．删去0后，以第一个1作为该数列的第一项，其中第i项记为，如，，…，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法1：根据题意，得到，分别求得的表示，结合累加法，即可求解； 法2：根据题意，分别求得，猜想得到，结合数学归纳法，作出证明，即可求解. 【详解】法1：由题意得，数列的递推公式，可得 所以， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 上式累加，可得 又因为，可得，所以． 法2：由，且满足从第3项开始，每一项都等于前两项之和， 可得， 猜想：， 用数学归纳法证明： 设命题， ①当时，可得，即成立； ②假设当时，命题成立，即， 当时，， 在斐波那契数列中，可得，所以， 所以， 即当时，成立． 由①②知，对于任意的，命题都成立， 所以． 6．一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房…以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据蜜蜂爬行规则推导得出方法数的递推公式，再通过枚举前几项归纳出恒等式，最后用数学归纳法证明恒等式成立并代入计算得出结果. 【详解】要到达第号蜂房，蜜蜂只能从相邻的左侧两个蜂房过来：即要么从号蜂房直接爬到， 要么从号蜂房直接爬到，因此方法数满足递推式： . 从出发，到的方法数记为； 枚举得：，，，…… 由，，，， 可归纳得到恒等式： ，可用数学归纳法证明： （1）当时，成立， （2）假设时，成立， 则当时， ， 即当时等式成立. 综上，对，成立. 令，代入得： . 二、多选题 7．如果一个人爬楼梯的方式有两种，一次上个台阶或个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据爬楼梯的规则可计算出，并推出，用上述递推关系计算，最后可用数学归纳法证明选项D 【详解】对于选项A，爬上第个台阶的方法有： 走次个台阶，共个方法； 走次个台阶，走次个台阶，共个方法. 所以； 对于选项C，爬上第个台阶的方法有两类： 先爬上第个台阶，再爬次个台阶，共个方法； 先爬上第个台阶，再爬次个台阶，共个方法； 所以； 对于选项B，； 对于选项D，当时，，，所以成立， 假设当时，成立， 则当时，有， 所以成立，其中 8．已知正项等比数列，等差数列满足：，，，记为前项和，为前项和，则下列正确的有（    ） A． B． C．存在，使得 D．对任意，都有 【答案】ACD 【分析】利用等比数列和等差数列的通项公式以及前n项和公式可将，，，表示成关于n的式子，根据解析式判断选项即可． 【详解】因为是正项等比数列，设公比为；为等差数列，设公差为； 因为，，； 则，， 即，；解得：，； 故；；故A正确，B错误； 因为；； 设存在，使得，则，可得；故存在；C正确； 由数学归纳法可证： 当时，，；满足； 当时，，；满足； 假设当时，不等式成立，即； 当时，左边， 因为假设，故； 因为，故； 故 故对任意，都有恒成立，故D正确． 9．已知数列是首项和公比均为的等比数列，记数列的前项和为，则（    ） A． B．存在，且，使得 C． D．取得最大值时的值为4 【答案】ABC 【分析】A利用等比数列的通项公式求解；B举反例；D根据增减性判断；C利用数学归纳法求证. 【详解】由题意得，，则，故A正确； 因为，所以B正确； 因为，所以， 若，则，则，则， 故取得最大值时的值为3，故D错误； 因为， ， ，，均满足； 假设当时成立，即， 则当时， 综上，成立，故C正确. 三、填空题 10．已知，用数学归纳法证明时，比多了___________项． 【答案】 【详解】， ， ， 则比多了项． 11．已知数列的通项公式为的通项公式为．记数列的前项和为，则___________；满足的的最小值为___________． 【答案】 【分析】令，利用数列求和公式可得，计算可得时，利用数学归纳法可得时，进而可得的条件. 【详解】，，则， 所以； 令，则数列的前项和为， 有， 当时，，即，下面用数学归纳法证明： ①当时，成立， ②假设时，成立， 当时，，即时也成立， 由①②可知，当时，，即， 所以时，，时，当时，有最小值， 满足的的最小值为3. 12．现有一种构造新数列的方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的等差中项，按照原来的顺序得到一个新的数列；再将新得到的数列按照上述方法构造，又得到一个新的数列；重复以上操作．现将数列按照上述方法进行构造，第一次得到的新数列为；第二次得到的新数列为；第三次得到的新数列为；；记第n次得到的新数列为，且．当时，______；使的最小正整数n的值为______． 【答案】 【分析】本题先通过归纳得出第次构造后数列的项数规律，直接求出时的；再利用等差数列性质，求出的通项，最后解不等式得到满足条件的最小值． 【详解】设第n次构造后，数列所有项和为， 初始，，项数为，， 第次，，项数为，， 第次，，项数为，， 第次，，项数为，， 归纳得，第n次构造后，项数为，， 新数列为，故中间项数， 当时，，根据题意得， 由，得 ，解得， 因为， 所以最小正整数n的值为． 四、解答题 13．用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【答案】(1)①当时，左边，右边，等式成立； ②假设当时，等式也成立，即， 则当时， ， 所以当时，等式也成立．由①②可知，等式对任何都成立． (2)①当时，左边右边，等式成立；②假设当（）时，等式成立， 即．则当时， 左边 右边， 所以当时，等式也成立，由①②可知，等式对所有正整数都成立． 【详解】（1）略. （2）略. 14．已知数列的前n项积． (1)求的通项公式； (2)若对任意正整数n，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 且也满足此式， 所以的通项公式为； （2）记， 则， 所以， 即对成立， 易知递增， 故，故，所以的最小值为． 15．数列中，是数列的前项和，已知，． (1)求证：是等差数列； (2)已知， （Ⅰ）若，求数列的前n项和； （Ⅱ）若在和之间插入的前项，得到新数列，且的前项和为，求时，的最小值． 【答案】(1)法一：当时， ，，， ， ， ， ， 是常数列，设该常数为k，则，， ，也符合上式，因此是等差数列． 法二： ， ， ， ①， 又， ②， ②-①， 则数列是等差数列. 法三： 当时，解得， 当时，， 即， ，，，成等差数列， 猜想，. （ⅰ）时，，，成等差数列，猜想显然正确. （ⅱ）假设时猜想正确， 即，， 则当时，， ， ， ， ，， ， 时，猜想也正确； 综上所述，，对都成立. 是等差数列. (2)（Ⅰ）（Ⅱ）54 【分析】（1）法一：利用的关系可证是常数列，进而可证结论；法二：利用的关系可得，可证结论；法三：利用数学归纳法可证结论； （2）（Ⅰ）利用已知结合（1）求得，进而得，利用错位相减法可求得数列的前n项和； （Ⅱ）求得与之间插入的k项之和，可得前k组之和，判断的单调性，进而计算可求得的最小值． 【详解】（1）略. （2）（Ⅰ），，， 设数列的前n项和为， ③， ④， 所以③-④得， ， 所以. （Ⅱ）新数列为：，，，，，，…，，，，…，，…， 将此数列分成若干组，，为第一组；，，为第二组；……，，，…，为第k组， 与之间的k项数列的和为：， 可得数列取到后的第k项时：. 前k组之和为： ， 显然随k的增大而增大， 当时，，， ，第44项再往后取m项，使m项的和大于978， 即：， ，当时，，时，， ，有最小值为54． 1．数列中，，，记，，给出以下命题：命题；命题．下列选项中正确的是（    ） A．真真 B．真假 C．假真 D．假假 【答案】C 【分析】化简得到，利用裂项相消法得到，化简得到，利用累乘法得到,则，故为假命题；，由于数列为递增数列，利用放缩法即可证明，故为真命题. 【详解】由，可得， 两边取倒数得到， 整理得到， 则 ， 因为，所以， 由，可得， 则， 因为，所以, 则， 所以，故为假命题； ， 因为， 当时，，成立； 假设时，， 则， 由数学归纳法得到， 所以，所以数列为递增数列， 由递推关系得到，则， 当时，， 因为，所以， 所以，即，故为真命题. 2．已知数列 满足 ， ，则下列命题正确的有 _________. ① 是递减数列； ② ； ③ ； ④ . 【答案】②④ 【分析】①通过前后两项相减判断单调性.②通过函数单调性求解.③通过累乘法构造判断范围.④通过裂项相消法求解. 【详解】①因为，易知，故，所以是递增数列，错误. ②由于数列各项为正整数且是递增数列，由数学归纳法可证：, 假设，则， 故对所有的正整数成立，因此，正确. ③因为（当时取等），所以，错误. ④因为，所以，， ，正确. 3．（多选）已知数列的前项和为，若，，则（    ） A． B．数列为递减数列 C．数列的最大项是2，最小项是0 D．对任意， 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，求出判断A；利用二次函数性质及数学归纳法推理得并判断C； 利用递减数列定义判断B；求出的范围，再利用累加法推理判断D. 【详解】数列中，，， 对于A，，，A正确； 对于C，，，数列的最大项是2， 用数学归纳法证明：，即当时，不等式成立； 假设当时，不等式成立，即，而，则， 因此对一切成立，即，C错误； 对于B，由选项C知，，则，因此数列为递减数列，B正确； 对于D，由选项C知，，由，得，则， 由，两边同时除以得，即， 当时，上式累加得 ，解得， 而当时，，因此对任意，，D正确. 4．已知数列满足，且对任意正整数n，． (1)令． （i）求证：数列是等比数列，并求的通项公式； （ii）令，求证：； (2)求证：． 【答案】(1)（i）证明：，且． ∴是首项为，公比为的等比数列，∴． （ii）方法一：． 要证：证：证：，又显然成立，故成立； 方法二：因为， 所以， ∴． (2)因为，所以，所以，故，， 所以，则． 先用数学归纳法证明． 时，两边均为，命题成立． 设n时命题成立．记，．∵， ∴． ∴命题对任意正整数n成立． 于是．∴． 【分析】（1）（i）构造法求证是等比数列，并根据等比数列的定义求解通项公式. （ii）对数列的通项公式分离常数后分组求和，结合放缩思想证明不等式. （2）用数学归纳法结合放缩法证明数列不等式. 【详解】（1）略 （2）略 / 学科网（北京）股份有限公司 $