4.4 数学归纳法（7大题型）（分层作业）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章 数列 4．4 数学归纳法（7大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：对数学归纳法的理解 2 题型二：数学归纳法中的增项问题 3 题型三：证明恒等式 4 题型四：证明不等式 5 题型五：归纳—猜想—证明 6 题型六：用数学归纳法证明整除性问题 8 题型七：用数学归纳法证明几何问题 9 拓展培优练 10 题型一：对数学归纳法的理解 1．（2024·高二·全国·课堂例题）用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（    ） A．1 B． C． D． 2．（2024·高二·全国·课前预习）对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 3．（2024·高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（    ） A．1 B． C． D． 4．（2024·高二·河南·期中）已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 5．（2024·高二·上海·期末）现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 6．（2024·高二·辽宁沈阳·期中）平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 题型二：数学归纳法中的增项问题 7．（2024·高二·辽宁·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 8．（2024·高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·高二·上海青浦·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 10．（2024·高二·辽宁大连·期中）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 11．（2024·高二·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 12．（2024·高二·河南驻马店·期中）用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（    ） A． B． C． D． 题型三：证明恒等式 13．（2024·高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 14．（2024·高二·江苏·专题练习）有下列命题：；使用数学归纳法证明 15．（2024·高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：． 16．（2024·高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 17．（2024·高二·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）． 18．（2024·高二·上海·课后作业）是否存在常数、、，使等式对任何正整数都成立？ 题型四：证明不等式 19．（2024·高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 20．（2024·高二·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 21．（2024·高三·全国·专题练习）证明∶不等式成立. 22．（2024·高二·四川成都·期中）已知函数. (1)求函数的最小值； (2)证明不等式. 23．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算的不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法. 24．（2024·高二·广西玉林·期中）（1）请用分析法证明：； （2） 用数学归纳法证明不等式：． 题型五：归纳—猜想—证明 25．（2024·高二·陕西渭南·期中）在数列中，， (1)求，，； (2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. 26．（2024·高二·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 27．（2024·高二·上海·随堂练习）设数列满足，且（n为正整数）． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 28．（2024·高二·上海·随堂练习）设数列的前n项和为，，对任意，都有成立． (1)求，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 29．（2024·高二·北京房山·期中）已知数列中，且. (1)求数列的第2，3，4项； (2)根据（1）的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 30．（2024·高二·北京西城·期中）已知数列满足:，且对任意，都有． (1)直接写出的值; (2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 题型六：用数学归纳法证明整除性问题 31．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除． 32．（2024·四川眉山·三模）将①，，②，③，之一填入空格中（只填番号），并完成该题. 已知是数列前n项和，___________. (1)求的通项公式； (2)证明：对一切，能被3整除. 33．（2024·高二·全国·课后作业）求证：对任意正整数，都能被整除． 34．（2024·高二·陕西西安·阶段练习）用数学归纳法证明：能被整除． 35．（2024·高二·河南·阶段练习）用两种方法证明：能被49整除． 36．（2024·高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除. 题型七：用数学归纳法证明几何问题 37．（2024·高二·全国·课后作业）平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这个圆把平面分成了个区域． 38．（2024·高二·江苏南京·期末）把圆分成个扇形，设用4种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有种方法. (1)写出，的值； (2)猜想，并用数学归纳法证明． 1．（2024·高三·北京·阶段练习）数列满足，下列说法正确的是（    ） A．若，则是递减数列，，使得时， B．若，则是递增数列，，使得时， C．若，则是递减数列，，使得时， D．若，则是递增数列，，使得时， 2．（2024·高二·上海黄浦·阶段练习）用数学归纳法证明“能被9整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（    ）能被9整除. A． B． C． D． 3．（2024·高二·河南·竞赛）已知，对一切都成立.那么，、、的值为（    ）. A．， B． C．， D．不存在这样的、、 4．（2024·高二·北京房山·期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增加的因式是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·四川成都·阶段练习）用数学归纳法证明（，为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边需添加的项为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·北京丰台·期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·北京丰台·期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高二·陕西商洛·期中）用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（    ） A．增加了 B．增加了 C．增加了 D．增加了 9．（多选题）（2024·高二·吉林延边·阶段练习）如图，点均在轴的正半轴上，，，…，分别是以为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上．为数列前项和，为数列的前n项和，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2024·高二·山东潍坊·期中）已知数列满足，则（    ） A．若，则数列为常数列 B．若，则对任意，有 C．若，则对任意，有 D．若，则对任意 11．（多选题）（2024·高二·山西太原·阶段练习）斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列满足：，，则下列结论正确的是（    ） A．是偶数 B． C． D． 12．（2024·高二·全国·课后作业）在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ． 13．（2024·江苏南通·模拟预测）设数列，…，即当时，记为数列前项和.对于，定义集合是的整数倍，，且.则集合中元素的个数为 ；集合中元素的个数为 . 14．（2024·高二·全国·随堂练习）以下是一个证明的全部过程：假设当时等式成立，即，则当时，，即当时，等式也成立．因此等式对于任何都成立．则用数学归纳法证明“”的过程中的错误为 ． 15．（2024·高二·上海·阶段练习）已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 16．（2024·高一·北京·期末）一个与自然数有关的命题，如果： ①当时，命题成立； ②在假设“当时，命题成立”的前提下，能够推出“当时，合题成立”． 那么，命题对于任何不小于的自然数成立． 上述方法，称为“数学归纳法”． 例如，利用“数学归纳法”证明：平面内的个圆将平面至多分为个区域，其中． 注意1个圆将平面分为2个区域．当时，． 所以，当时，命题成立． 假设当时，命题成立，即平面内的个圆将平面至多分为个区域． 在此基础上，增加1个圆． 为使区域最多，应使增加的圆与前个圆均相交，于是增加了个交点，个交点将增加的圆分为段弧，段弧分别将其经过的区域分为2个区域，于是增加了个区域． 从而，平面内的个圆将平面至多分为个区域． 当时，． 所以，当时，合题成立． 综上，命题对于任何成立． 利用“数学归纳法”证明： (1)，其中． (2)，其中，． 17．（2024·高二·上海·课后作业）已知在上有定义，且满足x、时，有． (1)证明：在上为奇函数； (2)证明：等式，n为正整数． 18．（2024·高二·上海·随堂练习）在数列中，，（n为正整数）． (1)求，的值； (2)证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 数列 4．4 数学归纳法（7大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：对数学归纳法的理解 2 题型二：数学归纳法中的增项问题 4 题型三：证明恒等式 6 题型四：证明不等式 9 题型五：归纳—猜想—证明 13 题型六：用数学归纳法证明整除性问题 17 题型七：用数学归纳法证明几何问题 21 拓展培优练 22 题型一：对数学归纳法的理解 1．（2024·高二·全国·课堂例题）用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，所以左边为. 故选：C. 2．（2024·高二·全国·课前预习）对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 【答案】D 【解析】在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法. 故选：D. 3．（2024·高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由数学归纳法的证明步骤可知： 当时，等式的左边是. 故选：D． 4．（2024·高二·河南·期中）已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 【答案】B 【解析】由数学归纳法的证明步骤可知，假设（，k为偶数）时命题为真， 还需要再证明下一个偶数，即时等式成立. 故选：B 5．（2024·高二·上海·期末）现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 【答案】B 【解析】①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立； ②假设时，等式成立， 即，则当时， ， 即当时，等式成立． 综上，对任意， 等式恒成立， 所以ACD错误. 故选：B． 6．（2024·高二·辽宁沈阳·期中）平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】1个圆分把平面分成个区域，个圆把平面最多分成个区域，个圆把平面最多分成个区域， 依此类推，可得个圆最多把平面分成个区域， 归纳得， 假设当时，即， 则当时，. 故选：D. 题型二：数学归纳法中的增项问题 7．（2024·高二·辽宁·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【解析】由题意，不等式的左边中分子都为1，分母是从1开始到，故共有项， 又由变到时，左边由项增加到项， 从而左边增加了项. 故选：D. 8．（2024·高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从到成立时，左边增加的项为，，…，， 因此增加的项数是. 故选：A． 9．（2024·高二·上海青浦·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【解析】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 10．（2024·高二·辽宁大连·期中）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】时，可得： 时，可得：， 故增加了项. 故选：A 11．（2024·高二·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【解析】因为， 所以，共项， 则共项， 所以比共增加了项， 故选：D 12．（2024·高二·河南驻马店·期中）用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据数学归纳法可知： 当时， 当时， 相比从到，可知多增加的项为 故选：D 题型三：证明恒等式 13．（2024·高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【解析】当时，左边右边； 假设时，原等式成立，则时， 等式左边，因此时原等式也成立． 综上，都有． 14．（2024·高二·江苏·专题练习）有下列命题：；使用数学归纳法证明 【解析】当时，左边，右边，则原等式成立； 假设当时，原不等式成立，即成立， 则当时，，即当时原等式成立， 所以对于任意成立. 15．（2024·高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：． 【解析】证明：当时，等式显然成立， 假设当时，等式成立，， 则当时， ， 这说明当时，等式成立， 因此，对任意的，. 16．（2024·高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【解析】（1）证明：记， 当时，则有，等式成立， 假设当，等式成立，即， 则， 这说明当时，等式成立， 故对任意的，. （2）证明：设， 当时，，等式成立， 假设当时，等式成立， 即， 所以， ， 这说明当时，等式成立， 所以，对任意的，. 17．（2024·高二·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）． 【解析】设． ①当时，左边，右边，等式成立； ②设当时等式成立，即， 则当时， ． 由①②可知当时等式都成立． 18．（2024·高二·上海·课后作业）是否存在常数、、，使等式对任何正整数都成立？ 【解析】若存在常数、、，使上述等式对任何正整数都成立，则当时，由等式成立，有，即；① 当时，等式也成立，有，即；② 当时，等式也成立，有，即；③ 联立①②③，解关于、、的三元一次方程组得，，． 故猜想等式对一切正整数都成立. 下面用数学归纳法证明： 1）当时，由上面的探求可知等式成立． 2）假设时猜想成立， 即． 当时， ． 所以当时，等式也成立． 由1）2）知猜想成立，即存在，，使命题成立． 题型四：证明不等式 19．（2024·高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【解析】当时，不等式成立， 假设时原不等式成立，即， 则时，左边， 当时，， 即， 因此时原不等式也成立． 综上，对任意的正整数． 20．（2024·高二·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 【解析】（1）当时 所以 当时； （2）①当时，，即时，结论成立； ②假设当时，结论成立，即 当时， 因为 即当时，结论成立； 由①②得， 21．（2024·高三·全国·专题练习）证明∶不等式成立. 【解析】①当时，左边右边，∴不等式成立. ②假设当时不等式成立，即. ③当时， 左边 ， ∴当时，不等式也成立. 综上可得，原不等式恒成立. 22．（2024·高二·四川成都·期中）已知函数. (1)求函数的最小值； (2)证明不等式. 【解析】（1）对函数求导可得， 令函数，则， 所以函数在区间上单调递增， 又∵， 当时，，即， 当时，，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ∴， （2）由（1）问知，即， 所以当时，成立， 现用数学归纳法证明： 当时，成立， 假设当时，不等式成立， 则当时，， 要证明， ， ， ，令，则 ，∵ ，，， ∵，∴，成立， ∴成立， 综上，对，均有不等式成立. 23．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算的不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法. 24．（2024·高二·广西玉林·期中）（1）请用分析法证明：； （2） 用数学归纳法证明不等式：． 【解析】证明：（1）要证：， 只需证：， 只需证：， 即证：， 即证：，也就是证：42>40， 而42>40显然成立， 故原不等式得证． （2）证明：①当时，左边，时成立 ②假设当时成立，即 那么当时，左边 ∴时也成立 根据①②可得不等式对所有的n>1都成立． 题型五：归纳—猜想—证明 25．（2024·高二·陕西渭南·期中）在数列中，， (1)求，，； (2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. 【解析】（1），， ； （2）猜想数列的通项公式为， 下面用数学归纳法证明此结论正确． 证明：①当时，左边，右边，结论成立， ②假设当时，结论成立，即， 那么， 也就是说，当时结论成立， 根据①和②可知，结论对任意正整数都成立，即. 26．（2024·高二·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 【解析】（1）当时，由已知条件可得，即， 解得； 当时，由已知条件可得，将代入得， 解得； 当时，由已知条件可得，同理解得． （2）由（1）可以猜想，时，等式成立； 假设当时，等式也成立，即， 又因为， 将代入上式解得， 所以时命题成立． 综合可得，当时，． 27．（2024·高二·上海·随堂练习）设数列满足，且（n为正整数）． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 【解析】（1）由，得， 由，得， 由，得， 由此猜想的一个通项公式：（n为正整数）； （2）用数学归纳法证明：①当，满足，命题成立； 假设当（k为正整数）时命题成立， 即，则当时，， 命题仍然成立，由①和②可知：（n为正整数）． 28．（2024·高二·上海·随堂练习）设数列的前n项和为，，对任意，都有成立． (1)求，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 【解析】（1），，令，则； 令，； 令，； （2）猜想， ①当时，满足上式； ②假设时，上式成立，即， 则当时，， 显然，猜想成立，所以． 29．（2024·高二·北京房山·期中）已知数列中，且. (1)求数列的第2，3，4项； (2)根据（1）的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【解析】（1）由且，则， ，； （2）由（1）的计算结果可猜想，证明如下： 当时，，等式成立； 假设当时等式成立，即有， 则当时，有， 即当时，等式成立； 故猜想成立. 30．（2024·高二·北京西城·期中）已知数列满足:，且对任意，都有． (1)直接写出的值; (2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 【解析】（1）数列中，，则，而， 所以. （2）猜想：． 下用数学归纳法证明: ①当时，猜想显然成立； ②假设时猜想成立，即：， 则当时，， 因此猜想对也成立， 综合①②，对任意，猜想成立，即. 题型六：用数学归纳法证明整除性问题 31．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除． 【解析】用数学归纳法证明： ①当时， ，能被3整除． ②假设当时，能被3整除． 当时， , 由于假设了能被3整除，又能被3整除，故能被3整除, 因此，当时，也能被3整除． 综上可知：对一切，数列中的第项都能被3整除． 32．（2024·四川眉山·三模）将①，，②，③，之一填入空格中（只填番号），并完成该题. 已知是数列前n项和，___________. (1)求的通项公式； (2)证明：对一切，能被3整除. 【解析】（1）若选①： 因为 所以， 两式相减得， 所以是隔项等差数列， 且， 所以为奇数， 为偶数， 所以. 若选②：， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 若选③： 因为①， 所以②， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 又， 所以， 所以， 所以， 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以， 所以的通项公式. （2）当时，，能够被3整除； 假设当时，能被3整除，则有,所以， 则当时，，所以当时能被3整除. 综上所述，对一切，能被3整除. 33．（2024·高二·全国·课后作业）求证：对任意正整数，都能被整除． 【解析】证明：当时，，则能被整除， 假设当时，能被整除， 则当时，即 , 因为、都能被整除，故能被整除， 即能被整除， 所以，当时，命题也成立， 因此，对任意正整数，都能被整除. 34．（2024·高二·陕西西安·阶段练习）用数学归纳法证明：能被整除． 【解析】当时，，又，能被整除； 假设当时，能被整除，即， 那么当时，能被整除； 综上所述：能被整除. 35．（2024·高二·河南·阶段练习）用两种方法证明：能被49整除． 【解析】证明：方法一： 因为为整数， 所以能被49整除． 方法二：（1）当时，，能被49整除． （2）假设当，能被49整除， 那么，当，． 因为能被49整除，也能被49整除， 所以能被49整除，即当时命题成立， 由（1）（2）知，能被49整除． 36．（2024·高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除. 【解析】证明：（1）当时，能被整除，所以结论成立； （2）假设当时结论成立，即能被整除． 则当时， ， 因为能被整除，能被整除， 所以，能被整除，即即时结论也成立． 由（1）（2）知命题对一切都成立． 题型七：用数学归纳法证明几何问题 37．（2024·高二·全国·课后作业）平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这个圆把平面分成了个区域． 【解析】当时，1个圆将平面分为2个区域，，显然命题成立， 假设当时，个圆将平面分为个区域， 当时，第个圆与前k个圆交于2k个点，这2k个点把这个圆分为2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成两部分， 因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k个部分， 即， 即当时，命题成立 根据数学归纳法可得：平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，这个圆把平面分成了个区域. 38．（2024·高二·江苏南京·期末）把圆分成个扇形，设用4种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有种方法. (1)写出，的值； (2)猜想，并用数学归纳法证明． 【解析】分析：（1）根据题意，得； （2）分析可得 ，用用数学归纳法证明即可 （1） （2）．当时，首先，对于第1个扇形，有4种不同的染法，由于第2个扇形的颜色与的颜色不同，所以，对于有3种不同的染法，类似地，对扇形，…，均有3种染法．对于扇形，用与不同的3种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形颜色相同的情况，而扇形与扇形颜色相同的不同染色方法数就是，于是可得 猜想 当时，左边，右边，所以等式成立 假设时，， 则时， 即时，等式也成立 综上 1．（2024·高三·北京·阶段练习）数列满足，下列说法正确的是（    ） A．若，则是递减数列，，使得时， B．若，则是递增数列，，使得时， C．若，则是递减数列，，使得时， D．若，则是递增数列，，使得时， 【答案】B 【解析】因为，所以， 当时，则，，设，则，所以是递减数列，当，，故A错误； 当时，，，又，所以，设，则，即，又因为，所以，所以，，故B正确； 当时，，，所以是递减数列，当时，，故不存在，使得时，恒成立，故C错误； 当时，则，，设，则，所以是递增数列，当，，故D错误； 故选：B 2．（2024·高二·上海黄浦·阶段练习）用数学归纳法证明“能被9整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（    ）能被9整除. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】假设时命题成立，即能被9整除， 当时， 能被9整除 要证上式能被9整除，还需证明也能被9整除 故选： 3．（2024·高二·河南·竞赛）已知，对一切都成立.那么，、、的值为（    ）. A．， B． C．， D．不存在这样的、、 【答案】C 【解析】易知.又，故. 4．（2024·高二·北京房山·期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增加的因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，左边， 当时，左边， 所以左边应添加因式为 故选：B. 5．（2024·高二·四川成都·阶段练习）用数学归纳法证明（，为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边需添加的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意当时左边， 当时左边， 所以 ， 故从递推到时，不等式左边需添加的项为. 故选：C 6．（2024·高二·北京丰台·期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，当时，等式左边等于，共项求和； 当时，等式左边等于，共项求和； 所以由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是. 故选：B. 7．（2024·高二·北京丰台·期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因，则第一步应验证当时，是否成立. 故选：B 8．（2024·高二·陕西商洛·期中）用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（    ） A．增加了 B．增加了 C．增加了 D．增加了 【答案】C 【解析】当时，， 当时，， 故增加了，但减少了. 故选：C. 9．（多选题）（2024·高二·吉林延边·阶段练习）如图，点均在轴的正半轴上，，，…，分别是以为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上．为数列前项和，为数列的前n项和，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对A，第一个等边三角形顶点坐标代入得，故A正确； 将点坐标代入， 将点坐标代入得， 对BC，法一：由此可猜测：．接下来用数学归纳法证明， 当，显然成立， 假设，成立，则时，， ，即，故B错误； 故在，所以， 由于，解得成立，故也成立， 综上可得，故C错误； 法二：数列前项和为，则顶点坐标为，，故B错误； 因为点在函数上， 所以，， 则，， 两式相减得，， 因为，所以，， 第一个等边三角形顶点代入得， 代入得，所以， 故是以为首项为公差的等差数列， 所以，故C错误； 对D，， 所以 ， 故AD正确，BC错误， 故选：AD 10．（多选题）（2024·高二·山东潍坊·期中）已知数列满足，则（    ） A．若，则数列为常数列 B．若，则对任意，有 C．若，则对任意，有 D．若，则对任意 【答案】ABD 【解析】对于A，若，则，， 以此类推可知：，所以数列为常数列，故A正确； 对于B，若，，， 以此类推可知：， ， 则，即，故B正确； 对于C，由结合选项B得出， ，所以，故C错误； 对于D，若，； ， 假设， 构造函数，易知在上单调递增， 所以， 由以上归纳得出，故D正确. 故选：ABD. 11．（多选题）（2024·高二·山西太原·阶段练习）斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列满足：，，则下列结论正确的是（    ） A．是偶数 B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，由于斐波那契数列满足：为奇数，， 则为偶数，为奇数，为奇数，为偶数， 依次类推，即数列的项按“奇数奇数偶数”的规律循环出现， 即所有序号为3的倍数的项为偶数，其余项为奇数， 而，故为奇数，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，取，此时，C错误； 对于D，首先用数学归纳法证明一个结论：当n为奇数时，； 当时，，结论成立； 假设当（k为奇数）时，， 则时， ， 即时，结论也成立， 故当n为奇数时，，故，D正确， 故选：BD 12．（2024·高二·全国·课后作业）在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ． 【答案】 【解析】设当时，能被整除， 所以时， ， 因此必须有代数式． 故答案为： 13．（2024·江苏南通·模拟预测）设数列，…，即当时，记为数列前项和.对于，定义集合是的整数倍，，且.则集合中元素的个数为 ；集合中元素的个数为 . 【答案】 5 1008 【解析】由数列的定义，得， ∴， ∴， ∴集合中元素的个数为5. 先证：， 事实上， ①当时，，，原等式成立； ②当时成立，即， 则时， ， 综合①②可得，于是， 由上式可知是的倍数，而， ∴是的倍数， 又不是的倍数， 而， ∴不是的倍数， 故当时，集合中元素的个数为， 于是，当时，集合中元素的个数为， 又，故集合中元素的个数为. 故答案为：5；1008 14．（2024·高二·全国·随堂练习）以下是一个证明的全部过程：假设当时等式成立，即，则当时，，即当时，等式也成立．因此等式对于任何都成立．则用数学归纳法证明“”的过程中的错误为 ． 【答案】缺少当时命题成立的证明 【解析】根据数学归纳法的一般步骤，知其缺少时命题成立的说明. 故答案为：缺少当时命题成立的证明 15．（2024·高二·上海·阶段练习）已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【解析】因，当时，由可得，因，故； 当时，，即，即，故； 当时，即，即，故； 当时，，即， 即，故. 由，，，，可猜测. 证明如下： 当时，猜想成立； 设当（）时，猜想成立，即； 则当时，依题意，①，② 由①-②，可得，，即， 即，因，故得，即猜想也成立. 综上，由数学归纳法就可以断定对任何正整数都成立，这就是该数列的通项公式． 16．（2024·高一·北京·期末）一个与自然数有关的命题，如果： ①当时，命题成立； ②在假设“当时，命题成立”的前提下，能够推出“当时，合题成立”． 那么，命题对于任何不小于的自然数成立． 上述方法，称为“数学归纳法”． 例如，利用“数学归纳法”证明：平面内的个圆将平面至多分为个区域，其中． 注意1个圆将平面分为2个区域．当时，． 所以，当时，命题成立． 假设当时，命题成立，即平面内的个圆将平面至多分为个区域． 在此基础上，增加1个圆． 为使区域最多，应使增加的圆与前个圆均相交，于是增加了个交点，个交点将增加的圆分为段弧，段弧分别将其经过的区域分为2个区域，于是增加了个区域． 从而，平面内的个圆将平面至多分为个区域． 当时，． 所以，当时，合题成立． 综上，命题对于任何成立． 利用“数学归纳法”证明： (1)，其中． (2)，其中，． 【解析】（1）①当时，左边，右边，等式成立； ②假 设 当 时等式成立， 即. 那么， 即当时等式也成立. 由①②知，等式对任何都成立. （2）①当时，左边，右边，不等式成立； ②假 设 当 时不等式成立， 即， 由于， 当时，单调递增，则，所以， 那么，， 即当时不等式也成立. 由①②知，不等式对任何都成立. 17．（2024·高二·上海·课后作业）已知在上有定义，且满足x、时，有． (1)证明：在上为奇函数； (2)证明：等式，n为正整数． 【解析】（1）由已知在上有定义， 令，有，故. 令，有，得. 故在上为奇函数. （2）①时，左边右边. ②假设当时，有， 则当时， 左边 . 所以当时等式也成立. 由①②，对一切正整数等式成立. 18．（2024·高二·上海·随堂练习）在数列中，，（n为正整数）． (1)求，的值； (2)证明：． 【解析】（1）在数列中，，， ，． （2）证明：设，则， ①当时，命题成立． ②假设时，命题成立，即． 当时，易知在上为减函数， 从而，即， 所以当时结论成立， 由①②可知命题成立，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$