4.4数学归纳法（分层作业，8大题型）高二数学人教A版选择性必修第二册

分层作业 4.4数学归纳法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 对数学归纳法的理解 题型02 用数学归纳法证明恒等式 题型03 用数学归纳法证明数列问题 题型04 用数学归纳法证明其他问题 B组 能力进阶 题型01 数学归纳法中的增项问题 题型02 用数学归纳法证明不等式 题型03 用数学归纳法证明整除问题 C组 思维拔高 题型 新定义问题 对数学归纳法的理解题型01 1．用数学归纳法证明“”时，第二步应假设（    ） A．当时，成立 B．当时，成立 C．当时，成立 D．当时，成立 2．已知为正偶数，用数学归纳法证明：时，若已假设（且为偶数）时等式成立，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 3．用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高二下·四川·月考）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 5．一个关于自然数n的命题，已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当时命题成立，那么综上可知，该命题对于（    ） A．一切自然数成立 B．一切正整数成立 C．一切正奇数成立 D．一切正偶数成立 6．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下： ①当时，，不等式成立； ②假设当时，不等式成立，即， 则当时，. 故当时，不等式成立. 则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．的验证不正确 C．的归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 7．我们学习了数学归纳法的相关知识，知道数学归纳法可以用来证明与正整数n相关的命题.下列三个证明方法中，可以证明某个命题对一切正整数n都成立的是（    ） ①成立，且对任意正整数k，“当时，均成立”可以推出“成立” ②，均成立，且对任意正整数k，“成立”可以推出“成立” ③成立，且对任意正整数，“成立”可以推出“成立且成立” A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 8．（24-25高二上·湖南长沙·期末）用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是__________. 用数学归纳法证明恒等式题型02 1．用数学归纳法证明：． 2．用数学归纳法证明：对于任意正整数都有：. 3．用数学归纳法证明： 4．观察以下3个等式： , ， ， (1)照以上式子规律，猜想第个等式（）； (2)用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立（）． 5．（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 6．是否存在常数使得等式对一切自然数n都成立?并证明你的结论. 7．用数学归纳法证明等式：．对一切自然数n都成立． 8．求证：对任意正整数及任意实数，有． 用数学归纳法证明数列问题题型03 1．已知数列满足，，，（）．对于任意的正整数，不等式恒成立，则正整数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知数列满足（），且. (1)计算的值，并猜想的表达式； (2)请用数学归纳法证明你在（1）中的猜想. 3．设数列满足，， (1)求，的值，并猜想数列的通项公式； (2)利用数学归纳法证明上述猜想． 4．已知数列1，，，，…，（）的前项和为． (1)求，，； (2)猜想前项和，并证明． 5．已知数列的前项和为，满足，且． （Ⅰ）求，，； （Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 6．设数列满足． (1)证明：对一切正整数n成立； (2)令，判断与的大小并说明理由． 7．已知函数. (1)依次求，，的值； (2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 8．如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推. (1)写出点和的坐标； (2)猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明. 用数学归纳法证明其他问题题型04 1．设，，并且对于任意m，，成立．猜想的表达式____________ 2．（24-25高二下·上海·月考）设有穷数列为首项为1、公比为2、末项为的等比数列，则在数列中，首位是4的项的个数为________ 3．已知△ABC的三边长为有理数 （1）求证cosA是有理数 （2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数 数学归纳法中的增项问题题型01 1．用数学归纳法证明，则当时，等式的左边应在的基础上增加的项数是（    ） A． B． C． D． 2．用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时不等式左边（    ） A．增加了 B．增加了 C．增加了，但减少了 D．增加了，但减少了 3．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 4．用数学归纳法证明：时，由到等号左边需要添加的项是（    ） A． B． C． D． 5．用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（    ） A．1 B． C． D． 6．（25-26高二下·陕西·月考）已知，用数学归纳法证明时，比多了___________项． 7．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项是__________． 8．用数学归纳法证明：，从到时，不等式左边需增加的代数式为__________. 用数学归纳法证明不等式题型02 1．已知数列的通项公式为，的通项公式为．记数列的前项和为，则____；的最小值为____． 2．试用数学归纳法证明. 3．若为大于1的自然数，求证： 4．设，，． (1)当时，试比较与1的大小； (2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． 5．（25-26高二下·湖南衡阳·月考）记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 6．设数列各项均为正数，且满足， （1）求数列的通项公式； （2）已知，求； （3）试用数学归纳法证明：． 7．设个正数满足且. (1)当时，证明：； (2)当时，不等式也成立，请你将其推广到且个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明. 8．（25-26高二上·江苏盐城·期中）设数列的前n项和为，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，且满足. ①证明：是等比数列； ②设数列的前n项和为，证明：. 用数学归纳法证明整除问题题型03 1．用数学归纳法证明“能被13整除”的第二步中，当时为了使用归纳假设，对变形正确的是 A． B． C． D． 2．用数学归纳法证明：能被整除． 3．求证：（）能被64整除． 4．将①，，②，③，之一填入空格中（只填番号），并完成该题. 已知是数列前n项和，___________. (1)求的通项公式； (2)证明：对一切，能被3整除. 新定义问题题型 1．在含有个元素的集合中，若这个元素的一个排列（，，…，）满足，则称这个排列为集合的一个错位排列（例如：对于集合，排列是的一个错位排列；排列不是的一个错位排列）.记集合的所有错位排列的个数为. (1)直接写出，，，的值； (2)当时，试用，表示，并说明理由； (3)试用数学归纳法证明：为奇数. 2．（25-26高二上·北京·期中）设集合．若的子集不含两个相邻的正整数，则称该子集为的“孤立子集”． (1)写出的所有“孤立子集”； (2)求的“孤立子集”个数； (3)设集合的“孤立子集”个数为，求证：当时，. 3．已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合．若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质． (1)若数列的通项公式为写出集合A与集合B； (2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当时，证明：； (3)若满足，证明：． 4．设为正整数，如果表达式同时满足下列性质，则称之为“交错和”.①，；②；③当时，（）；④规定：当时，也是“交错和”. (1)请将7和10表示为“交错和”； (2)若正整数可以表示为“交错和”，求证：； (3)对于任意正整数，判断一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论. 5．记集合，为集合（）的两个子集，且满足，.定义：（，分别表示集合，中所有元素的和）. (1)当时，求的所有可能的值； (2)求的最小值； (3)设为不超过的自然数，且与的奇偶性相同，证明：存在，，使得. 6．已知集合，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”． (1)试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质； (3)若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值． 7．给定一个n项的实数列，任意选取一个实数c，变换T（c）将数列a1，a2，…，an变换为数列|a1﹣c|，|a2﹣c|，…，|an﹣c|，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c可以不相同，第k（k∈N*）次变换记为Tk（ck），其中ck为第k次变换时选择的实数．如果通过k次变换后，数列中的各项均为0，则称T1（c1），T2（c2），…，Tk（ck）为“k次归零变换”． （1）对数列：1，3，5，7，给出一个“k次归零变换”，其中k≤4； （2）证明：对任意n项数列，都存在“n次归零变换”； （3）对于数列1，22，33，…，nn，是否存在“n﹣1次归零变换”？请说明理由． 8．将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，此时数列中剩下的项构成数列；再将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列；…．如此操作下去，将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列． (1)分别写出数列的前2项； (2)记数列的第项为．求证：当时，； (3)若，求的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.4数学归纳法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 对数学归纳法的理解 题型02 用数学归纳法证明恒等式 题型03 用数学归纳法证明数列问题 题型04 用数学归纳法证明其他问题 B组 能力进阶 题型01 数学归纳法中的增项问题 题型02 用数学归纳法证明不等式 题型03 用数学归纳法证明整除问题 C组 思维拔高 题型 新定义问题 对数学归纳法的理解题型01 1．用数学归纳法证明“”时，第二步应假设（    ） A．当时，成立 B．当时，成立 C．当时，成立 D．当时，成立 【答案】C 【分析】根据，结合数学归纳法的证明步骤，即可求解. 【详解】根据题意，证明的结论为“”， 所以第二步的假设应写出：假设时命题成立，即成立. 故选：C. 2．已知为正偶数，用数学归纳法证明：时，若已假设（且为偶数）时等式成立，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 【答案】B 【分析】根据为正偶数可判断出结果. 【详解】为正偶数，（且为偶数）之后的下一个正偶数为， 还需要再证时等式成立. 故选：B. 3．用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用数学归纳法的定义逐项分析、计算判断作答. 【详解】显然当时，，而当时，，A不是； 当时，，B不是；当时，，C不是； 当时，，符合要求，D是． 故选：D 4．（24-25高二下·四川·月考）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数学归纳法的定义可得结论. 【详解】由数学归纳法证明时，结论成立， 即需证明成立， 即必须证得右边为. 故选C. 5．一个关于自然数n的命题，已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当时命题成立，那么综上可知，该命题对于（    ） A．一切自然数成立 B．一切正整数成立 C．一切正奇数成立 D．一切正偶数成立 【答案】C 【分析】依据数学归纳法的规则去判断即可解决 【详解】已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成立的基础上， 证明了当时命题成立，那么综上可知，命题对成立 即该命题对于一切正奇数成立 故选：C 6．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下： ①当时，，不等式成立； ②假设当时，不等式成立，即， 则当时，. 故当时，不等式成立. 则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．的验证不正确 C．的归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 【答案】D 【分析】根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论. 【详解】在时，没有应用时的假设，即从到的推理不正确. 故选：D. 【点睛】本题考查数学归纳法，考查对数学归纳法证明过程的理解，属于基础题. 7．我们学习了数学归纳法的相关知识，知道数学归纳法可以用来证明与正整数n相关的命题.下列三个证明方法中，可以证明某个命题对一切正整数n都成立的是（    ） ①成立，且对任意正整数k，“当时，均成立”可以推出“成立” ②，均成立，且对任意正整数k，“成立”可以推出“成立” ③成立，且对任意正整数，“成立”可以推出“成立且成立” A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】D 【分析】根据数学归纳法的定义逐一分析即可得出答案. 【详解】解：对于①，对任意正整数k，“当时，均成立， 则当时，成立， 故①可证明某个命题对一切正整数n都成立； 对于②，因为，均成立，成立， 则当为奇数时，成立， 当为偶数数时，成立， 所以②可以证明某个命题对一切正整数n都成立； 对于③，因为成立，对任意正整数，成立，所以也成立， 又成立，成立，则也成立， 所以③可以证明某个命题对一切正整数n都成立. 故选：D. 8．（24-25高二上·湖南长沙·期末）用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是__________. 【答案】 【分析】由题意时，，即可得到第一步需要验证的不等式． 【详解】因为，且可知：的第一个取值为， 由题意可知，当时，， 所以第一步需验证的不等式为． 故答案为：. 用数学归纳法证明恒等式题型02 1．用数学归纳法证明：． 【答案】 当时， 左边右边，结论成立； 当时， 左边右边，结论成立； 假设时结论成立，即； 当时， 左边 右边， 所以，原命题结论成立． 【分析】直接按照数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】略 【点睛】用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设时结论正确，证明时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论. 2．用数学归纳法证明：对于任意正整数都有：. 【答案】证明：当时，，结论成立； 假设①当时，， ②则当时， ，结论成立； 综合由①②知，对于任意正整数都有：. 【分析】先验证时成立，再假设时成立，最后计算时成立即可. 【详解】略 3．用数学归纳法证明： 【答案】证明:（1）当时，左边=-1，右边=-1，等式成立； （2）假设当时等式成立， 即， 则当时， 左边 =右边. 所以，当时，等式成立； 由（1）（2）可知，对. 【分析】按照数学归纳法的步骤严格证明即可. 【详解】略. 【点睛】本题主要考查利用数学归纳法证明等式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4．观察以下3个等式： , ， ， (1)照以上式子规律，猜想第个等式（）； (2)用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立（）． 【答案】(1)； (2)详见解析. 【分析】（1）由前三项归纳猜想第个等式()； （2）利用数学归纳法证明等式，即得. 【详解】（1）根据3个等式可得第个等式为： 对任意的，； （2）①当n＝1时，左边，右边， 左边＝右边，所以等式成立； ②假设当且时等式成立， 即有， 则当时， ， 所以当时，等式也成立； 由①②可知，对一切等式都成立． 5．（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【答案】证明：等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项，前项和为，再利用数学归纳法证明. 【详解】略 6．是否存在常数使得等式对一切自然数n都成立?并证明你的结论. 【答案】，证明如下： 对于都有.④ 下面用数学归纳法证明：对于一切正整数,④式都成立. （1）当时，由上述知④成立； （2）假设当时，④成立， 即， 那么当时， . 由此可知，当时，④式也成立. 综上所述，存在常数，使得等式对一切自然数n都成立. 【分析】先假设存在符合题意的常数，再令，，构造三个方程求出，再用数学归纳法证明. 【详解】，证明略. 【点睛】数学归纳法点睛： 1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算的不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法. 7．用数学归纳法证明等式：．对一切自然数n都成立． 【答案】 证明：（1）当时，左边，而右边 所以当时等式成立. （2）假设当时等式成立，即， 两边同时乘以，得 即当时等式也成立， 由(1)和(2)，对一切自然数n，等式成立. 【分析】根据数学归纳法证明，先验证当时成立，再假设时等式成立，等式两边同时乘以，化简即可证明时等式也成立. 【详解】略 8．求证：对任意正整数及任意实数，有． 【答案】 当时，左边，右边， 根据二倍角公式，，， 所以右边 左边， 所以时，等式成立. 假设当时，等式成立， 当时，则， 又， 所以， 因为，， 则， 所以， 所以当时，等式也成立. 综上，由数学归纳法可知，对任意正整数及任意实数，等式成立． 【分析】根据数学归纳法，结合三角函数相关公式，当时，可得等式成立；假设当时，等式依然成立；经过计算，可得当时，等式成立.即可证明. 【详解】略 用数学归纳法证明数列问题题型03 1．已知数列满足，，，（）．对于任意的正整数，不等式恒成立，则正整数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先用数学归纳法证明，由可得对于任意的正整数，由得，结合证得此范围成立 【详解】先用数学归纳法证明， 当时，， 假设时，， 则当时，，即， 又知，所以，所以. ，为正整数， 所以，对于任意的正整数恒成立. 由，可得，解得. 所以必有，为正整数，则，又，也满足， 所以正整数的最小值4. 故选：B. 【点睛】本题的关键有两个，一个是利用数学归纳法得，另一个是因式分解得，对于任意的正整数恒成立.本题属于难题. 2．已知数列满足（），且. (1)计算的值，并猜想的表达式； (2)请用数学归纳法证明你在（1）中的猜想. 【答案】(1)；猜想（）； (2)①当时，，结论成立； ②假设（，且）时结论成立，即， 当时，， ∴当时结论成立， 由①②知：对于任意的，恒成立. 【分析】（1）根据递推关系可得的值，由此可猜想数列的通项公式； （2）利用数学归纳证明即可. 【详解】（1）因为， 所以， 由此猜想（）； （2）略 3．设数列满足，， (1)求，的值，并猜想数列的通项公式； (2)利用数学归纳法证明上述猜想． 【答案】(1)，； (2) 证明：用数学归纳法证明如下： ①当时，，成立； ②假设当时，成立，即， 则当时， ，成立， 由①②，得：． 【分析】（1）根据题意将和代入即可得到，的值，再根据规律即可猜想数列的通项公式. （2）根据数学归纳法先证明当时成立，再假设当时成立，由此证明当时成立即可. 【详解】（1）因为数列满足，，， 所以当时，，      当时，．         由此猜想数列的通项公式为． （2）略 4．已知数列1，，，，…，（）的前项和为． (1)求，，； (2)猜想前项和，并证明． 【答案】(1)，， (2)； 证明：当时，,成立， 当时，假设命题成立，即， 那么当时，， ， 即当时，命题成立， 综上可知当时，命题成立，即. 【分析】（1）根据数列，分别计算，，的值；（2）首先猜想，再利用数学归纳法证明. 【详解】（1），，； （2）略 5．已知数列的前项和为，满足，且． （Ⅰ）求，，； （Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【答案】（Ⅰ）；；．（Ⅱ）见证明 【分析】（Ⅰ）分别令直接求解出，，的值． （Ⅱ）根据，，的值，猜想出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【详解】（Ⅰ）当n＝2时， 同理，可以求出；． （Ⅱ）猜想数列的通项公式为． 下面用数学归纳法进行证明： 1.当时，，猜想成立． 2.假设当时，成立， 则当时，由，得 由，得 两式作差得： 即 ，所以猜想成立． 综上所述，对一切正的自然数都有 【点睛】用数学归纳法证明数列有关问题是很常见的题型．关键是假设当时，命题成立，来证明当命题也成立，对于本题来说，已知求，是本题的关键． 6．设数列满足． (1)证明：对一切正整数n成立； (2)令，判断与的大小并说明理由． 【答案】(1)当时，， 假设时，成立， 则当时有， 所以成立， 综上，由数学归纳法知对一切正整数n成立； (2)，理由如下： 由， 所以. 【分析】（1）应用数学归纳法证明结论即可； （2）利用作商，比较与1的大小关系，即可得结果. 【详解】（1）略 （2）略 7．已知函数. (1)依次求，，的值； (2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1)，，； (2) ，，， 所以猜想， 当时，，成立， 假设当时，命题成立，即， 即 那么当时，， ， ， ， 所以当时，猜想成立， 综合以上可知，当时，成立. 【详解】（1），，，， ，，， 所以，，； （2）略 8．如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推. (1)写出点和的坐标； (2)猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明. 【答案】（1），，；，，； （2），证明如下： 由（1）猜想的坐标为， 设，，则直线的方程为：， 令，解得：，， 直线的斜率为，即，即， ， 用数学归纳法证明的坐标如下： ①当时，满足； ②假设当时，成立， 那么当时，由得： ，解得：， 即当时，成立； 综上所述：. 【分析】（1）将直线，曲线方程联立，由即可求得，由垂直关系可得直线方程，令即可求得坐标，依次类推即可求得结果； （2）由（1）可归纳出；设，，由直线方程可求得坐标，由直线斜率为可推导得到递推关系式；根据递推关系式，利用数学归纳法即可证得结论. 【详解】（1）由得：，即； 直线方程为：，即， 令，解得：，； 直线方程为：，由得：，即； 直线方程为：，即， 令，解得：，； 直线方程为：， 由得：，即； 直线方程为，即， 令，解得：，； （2），证明略. 【点睛】方法点睛：数学归纳法证明与有关的式子的基本步骤如下： ①当时，验证所证式子成立； ②假设当时，所证式子成立； ③利用②中假设成立的式子，证明当时，所证式子成立； ④综合上述结果即可得到结论. 用数学归纳法证明其他问题题型04 1．设，，并且对于任意m，，成立．猜想的表达式____________ 【答案】 【分析】根据递推公式，列出前几项，即可得出猜想，再利用数学归纳法即可得证. 【详解】解：因为，，对于任意m，，成立， 所以， 所以， ，， 故可猜想， 当时，，等式成立， 设当时，等式也成立， 即， 当时， ， 所以当时，等式也成立， 综上所述，. 故答案为：. 2．（24-25高二下·上海·月考）设有穷数列为首项为1、公比为2、末项为的等比数列，则在数列中，首位是4的项的个数为________ 【答案】 【分析】先分析出是一个首位为3的位数．再根据数列之间后一项与前一项之间的递推关系分析相关首位数的变化规律，得到以“的首位为1”等价于“的首位为”，也等价于“的首位为”．然后分析首位为1的项的个数，进而计算得到答案. 【详解】因为, , 由于,， 于是是一个首位为3的位数． 在该数列中，， 当的首位数为1时，的首位数为或， 当的首位数为2时，的首位数为4或5， 当的首位数为3时，的首位数为6或7， 当的首位数为4时，的首位数为8或9， 当的首位数为5时，的首位数为1， 当的首位数为6时，的首位数为1， 当的首位数为7时，的首位数为1， 当的首位数为8时，的首位数为1， 当的首位数为9时，的首位数为1， 所以“的首位为1”等价于“的首位为”,也等价于“的首位为”． 对于,有穷数列的位数中首位为1的数乘以2,4必然还是位数但首位不可能再是1；乘以8可能还是位数，也可能是位数，当是位数时首位不是1了；乘以就必然不是位数（事实上变成位数），所以首位为1的数不可能超过1个. 下面证明至少有1个，从而得到有且只有一个. 显然,即当为1位数时有首位为1的数. 设若为位数，首位是1，则. 其中必然是位数，且首位为2或3，是位数，首位是4或5或6或7， 若是首位为4，则必然仍是位数，且首位为8或9，则必是一个位数，且首位是1， 当的首位为5或6或7时，就是一个位数，且首位是1， 这就说明若位数中有首位为1的数，则必然由此能得到一个位数中首位为1的数， 根据数学归纳法原理，可以得到对于,为位数且首位是1的是必然存在的 综上所述，数列中的位数中有且只有1个是首位为1的数， 由于是一个首位为3的位数，所以，该有穷数列数列中首位是1的项的个数是610个， 所以这说明首位为或的项有个，首位为的数有个． 于是首位为4的项有个． 故答案为：. 3．已知△ABC的三边长为有理数 （1）求证cosA是有理数 （2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数 【答案】（1）见解析（2）见解析 【详解】（1）设三边长分别为，，∵是有理数，均可表示为（为互质的整数）形式∴必能表示为（为互质的整数）形式，∴cosA是有理数 （2）∵，∴也是有理数， 当时，∵ ∴， ∵cosA，是有理数，∴是有理数，∴是有理数，……，依次类推，当为有理数时，必为有理数． 数学归纳法中的增项问题题型01 1．用数学归纳法证明，则当时，等式的左边应在的基础上增加的项数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析、时等式的左边的代数式，可得结果. 【详解】当时，等式的左边是，等式左边共项， 当时，等式的左边是，等式左边共项， 增加了、、，共项. 故选：C. 2．用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时不等式左边（    ） A．增加了 B．增加了 C．增加了，但减少了 D．增加了，但减少了 【答案】C 【分析】列出和的情况，比较得到答案. 【详解】当时，， 当时，， 故增加了，但减少了. 故选：. 3．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“n从到”左端需增乘的代数式． 【详解】解：当时，左端＝， 当时，左端＝， 故左边要增乘的代数式为. 故选：B． 4．用数学归纳法证明：时，由到等号左边需要添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出各自条件下等号左边的最后一项，即可得出结果. 【详解】解：时，等号左边最后一项为， 当时，等号左边最后一项为， 从到，等号左边需要添加的项是. 故选：D. 5．用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入不等式左边，比较两式即可求解. 【详解】当时，等式为， 当时，， 增加的项数为, 故选:B. 6．（25-26高二下·陕西·月考）已知，用数学归纳法证明时，比多了___________项． 【答案】 【详解】， ， ， 则比多了项． 7．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项是__________． 【答案】 【详解】在数学归纳法的递推性证明中，由到时，增加的项是从到的所有项，即. 8．用数学归纳法证明：，从到时，不等式左边需增加的代数式为__________. 【答案】 【分析】利用数学归纳法的概念、步骤求解即可. 【详解】当时，不等式为， 当时，不等式为. 故答案为：. 用数学归纳法证明不等式题型02 1．已知数列的通项公式为，的通项公式为．记数列的前项和为，则____；的最小值为____． 【答案】 【分析】（1）由题可得，根据等比数列及等差数列的求和公式可得，利用数学归纳法可得时，，时，，进而即得. 【详解】由题可知， 所以， ， 令，则， 当时，，即，下面用数学归纳法证明 当时，成立，假设时，成立， 当时，，即时也成立， 所以时，，即， 所以时，，时，， 由当时，有最小值，最小值为. 故答案为：；. 2．试用数学归纳法证明. 【答案】证明见解析 【分析】根据数学归纳法的步骤即可证明． 【详解】（1）当时，左边＝，右边＝，不等式成立； （2）假设当时，原不等式成立，即， 当时， ∵ ∴．即， 所以，当时，不等式也成立． 根据（1）和（2）可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立． 【点睛】本题主要考查利用数学归纳法证明和正整数有关的命题，属于基础题． 3．若为大于1的自然数，求证： 【答案】 当时，，不等式成立 假定时，不等式成立，即 当时， ，其中 由数学归纳法得命题成立 【详解】略 4．设，，． (1)当时，试比较与1的大小； (2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． 【答案】(1)；；；； (2)当，时，有，证明： ①当时，猜想成立． ②假设当（，）时猜想成立，． 当，． ∵， ∴，则， 即， ∴当时，猜想成立. 由①②知，当，时，有． 【分析】（1）求出的值即得； （2）利用数学归纳法证明即得. 【详解】（1）∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． （2）略 5．（25-26高二下·湖南衡阳·月考）记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 【答案】(1) (2)当时，，， 所以成立， 假设当时，不等式成立， 即， 则当时，， ， 又， 所以， 所以， 即当时，不等式也成立. 综上，. 【分析】（1）根据求解； （2）先证明当时，不等式成立，再假设当时，不等式成立，再证明当时，不等式也成立，即可得证． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以； （2）略 6．设数列各项均为正数，且满足， （1）求数列的通项公式； （2）已知，求； （3）试用数学归纳法证明：． 【答案】（1）； （2）48； （3）①当时, ，即时,结论成立； ②假设当时,结论成立，即 当时, 因为 即当时, 结论成立； 由①②得， 【分析】（1）先根据和项与通项关系求得，解得； （2）利用裂项相消法化简条件，解得结果； （3）先证明成立，再根据成立推导成立即可. 【详解】（1）当时 所以 当时； （2） 所以解得； （3）略 【点睛】本题考查根据和项求通项、裂项相消法求和、数学归纳法证明不等式，考查综合分析论证与求解能力，属中档题. 7．设个正数满足且. (1)当时，证明：； (2)当时，不等式也成立，请你将其推广到且个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明. 【答案】(1)证明：因为（且）均为正实数， 左—右= =0， 所以，原不等式成立． (2)归纳的不等式为： （且）． 5分 记， 当（）时，由（1）知，不等式成立； 假设当（且）时，不等式成立，即 ． 则当时， = 7分 = =， 因为，，， 所以， 所以当，不等式成立． 9分 综上所述，不等式（且）成立． 【分析】（1）由于与积为，所以利用基本不等式进行证明：，，，三式相加得，即；（2）本题结构对称，易于归纳出，用数学归纳法证明时的难点在于明确时式子与式子关系：其差为，问题转化为证明，这可利用作差，因式分解得证. 【详解】（1）略 （2）略 8．（25-26高二上·江苏盐城·期中）设数列的前n项和为，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，且满足. ①证明：是等比数列； ②设数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1) (2)①由， 当时，，即； 当时，， 则，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. ②由（1）知，， 则， 即， 由①知，，则， 下面利用数学归纳法证明：. 当时，，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 则时，需证明，即证， 由，只需证明， 即证，即证， 即证， 由于，则， 所以. 综上所述，，所以. 【分析】（1）先利用等差数列通项公式求出，再利用的关系求解即可； （2）①根据的关系结合题设可得，即可求证； ②先根据裂项相消法求出，结合①可求得，进而根据数学归纳法及分析法求证即可. 【详解】（1）由题意，，则， 当时，， 显然满足上式，则. （2）①略 ②略 用数学归纳法证明整除问题题型03 1．用数学归纳法证明“能被13整除”的第二步中，当时为了使用归纳假设，对变形正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：假设当，能被13整除， 当应化成形式，所以答案为A 考点：数学归纳法 2．用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】 证明：当时，，又，能被整除； 假设当时，能被整除，即， 那么当时， 能被整除； 综上所述：能被整除. 【分析】验证当时命题成立；假设当时命题成立，则当时，可整理得到，命题成立；综合可得结论. 【详解】略 3．求证：（）能被64整除． 【答案】 （1）当时，式子能被64整除，命题成立． （2）假设当时，能够被64整除． 当时， 因为能够被64整除， ∴能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由（1）（2）可知，（）能被64整除． 【分析】根据归纳法证明，先验证成立，再假设当时成立，证明成立即可． 【详解】略 【点睛】本题考查推理证明.此题也可根据二项式定理证明． 4．将①，，②，③，之一填入空格中（只填番号），并完成该题. 已知是数列前n项和，___________. (1)求的通项公式； (2)证明：对一切，能被3整除. 【答案】(1) (2)证明：当时，，能够被3整除； 假设当时，能被3整除，则有,所以， 则当时，，所以当时能被3整除. 综上所述，对一切，能被3整除. 【分析】（1）若选①，类比作差证明数列是隔项等差数列即可； 若选②，利用类比作差和阶差法可以求解； 若选③，利用公式作差后因式分解，找出与的关系，再根据等差数列的定义和通项公式即可求出. （2）利用数学归纳法证明结论即可. 【详解】（1）若选①： 因为 所以， 两式相减得， 所以是隔项等差数列， 且， 所以为奇数， 为偶数， 所以. 若选②：， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 若选③： 因为①， 所以②， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 又， 所以， 所以， 所以， 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以， 所以的通项公式. （2）略. 新定义问题题型 1．在含有个元素的集合中，若这个元素的一个排列（，，…，）满足，则称这个排列为集合的一个错位排列（例如：对于集合，排列是的一个错位排列；排列不是的一个错位排列）.记集合的所有错位排列的个数为. (1)直接写出，，，的值； (2)当时，试用，表示，并说明理由； (3)试用数学归纳法证明：为奇数. 【答案】（1），，，， （2）； （3）证明：根据（2）的递推关系及（1）的结论，均为自然数； 当，且为奇数时，为偶数，从而为偶数， 又也是偶数， 故对任意正奇数，有均为偶数. 下面用数学归纳法证明（其中）为奇数.当时，为奇数； 假设当时，结论成立，即是奇数，则当时，， 注意到为偶数，又是奇数，所以为奇数，又为奇数， 所以，即结论对也成立； 根据前面所述，对任意，都有为奇数. 【详解】试题分析：（1）根据定义列错位排列，根据错位排列的个数得，，，的值；（2）根据定义理解，，三者关系，需先确定两类，有两个数恰好错排与这两个数不错排，再降数处理，（3）先根据递推关系得对任意正奇数，有均为偶数，再利用以及归纳假设得结论. 试题解析：（1），，，， （2），理由如下： 对的元素的一个错位排列（，，…，），若，分以下两类： 若，这种排列是个元素的错位排列，共有个； 若，这种错位排列就是将，，…，，，…，排列到第到第个位置上，不在第个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于个元素的错位排列，共有个； 根据的不同的取值，由加法原理得到； （3）略. 2．（25-26高二上·北京·期中）设集合．若的子集不含两个相邻的正整数，则称该子集为的“孤立子集”． (1)写出的所有“孤立子集”； (2)求的“孤立子集”个数； (3)设集合的“孤立子集”个数为，求证：当时，. 【答案】(1)的孤立子集有，的孤立子集有 (2) (3) 由（2）可知，且， 猜想， 当时，左边，右边， 所以左边右边，即时，猜想成立； 设时，猜想成立，即， 当时，， 即时，猜想成立， 所以； 当时，左边， 右边， 左边右边，即当时，等式成立； 设时等式成立，即成立， 当时， 左边 因为，又因为， 所以， 由可知， 所以， 即左边， 右边，所以左边=右边； 即时，等式成立； 综上所述，当时，. 【分析】（1）根据题目所给“孤立子集”定义，写出结果即可； （2）根据“孤立子集”定义，判断之间的关系，求出递推公式，写出结果即可； （3）根据递推公式，求出数列的表达式，再根据数学归纳法，求出数列前项和的递推公式，再根据数学归纳法，对题干条件进行化简，证明结果即可. 【详解】（1）由题意可知， 则的孤立子集有， 的孤立子集有. （2）设集合的“孤立子集”个数为，对于的“孤立子集”可分为两类， 一类为不包含的孤立子集，等价于的孤立子集个数，另一类为包含，但不包含的孤立子集，等价于的孤立子集个数， 可得； 由（1）可知， 则， ， ， ， ， ； （3）略 3．已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合．若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质． (1)若数列的通项公式为写出集合A与集合B； (2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当时，证明：； (3)若满足，证明：． 【答案】(1)， (2) 因为，由题意可知：，且， 即， 因为，即存在不相同的项，使得 可知，所以. (3) 因为， 令，可得，则，即， 即集合在内均不存在元素，此时我们认为集合在内的元素相同； （i）若集合A是空集，则B是空集，满足； （ⅱ）若集合A不是空集，集合A中的最小元素为t，可知， 由（2）可知：集合B存在的最小元素为s，且， 设存在，使得， 可知集合在内的元素相同, 可知，则， 因为，即，则， 可知， 且， 即集合在内的元素相同，可知集合在内的元素相同， 现证对任意，集合在内的元素相同， 当，可知集合在内的元素相同，成立； 假设，集合在内的元素相同， 可知集合在内的元素相同； 对于，因为，则， 若，则，可知， 可以认为集合在内的元素相同； 若，则， 若存在元素不属于集合C， 则元素属于集合A，且，可知元素属于集合B， 即数列中存在不相同的项，使得， 则，可知， 可知， 即集合在内的元素相同； 综上所述：对任意，集合在内的元素相同， 所以集合在内的元素相同，结合n的任意性，可知； 综上所述：. 【分析】（1）定义，可知，结合题中通项公式分析求解； （2）根据题意可知，可得，即可分析证明； （3）由题意可知：，可知集合在均不在元素，分类讨论集合是否为空集，结合题意利用数学归纳法分析证明. 【详解】（1）定义，由题意可知， 若数列的通项公式为，可知， 所以， 因为2只能写成，不合题意，即； ，符合题意，即； ，符合题意，即； ，符合题意，即； ，符合题意，即； ，符合题意，即； 所以. （2）略 （3）略 【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把新定义问题转化为已经学过的知识，常常利用数学归纳法分析证明. 4．设为正整数，如果表达式同时满足下列性质，则称之为“交错和”.①，；②；③当时，（）；④规定：当时，也是“交错和”. (1)请将7和10表示为“交错和”； (2)若正整数可以表示为“交错和”，求证：； (3)对于任意正整数，判断一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论. 【答案】(1)或；或； (2)假设， 当时，，这与“n是正整数”矛盾！ 当时，因为， 所以 ， 这与“n是正整数”矛盾！ 故. (3)两种，证明： ①首先使， 若，必有，这是因为若，不论m为奇数或偶数，由正负交错，矛盾， 所以. ②时，仅有或两种交错和表示. (i)当n=1时，不难发现1=1， 均为交错和表示，且由①知， 所以1仅有1=1或两种交错和表示. (i)假设仅有或两种交错和表示， 又因为或为的两种交错和表示， 假设又不同于上述两种交错和的新表示， 因为为偶数，所以， 所以为的不同于或的交错和表示，与假设矛盾， 所以或为的唯二交错和表示. ③时，n均只有两种交错和表示. (i) 当n=3时，3=-1+4或3=1- 2+4为3的两种交错和表示， 又由①知，且均不成立，所以3的交错和仅上述两种. (ii) 假设对于，n均只有两种交错和表示，对于，因为，其中， 所以由归纳假设及②知仅两种交错和交错和表示，且的交错和表示中相应的 (由①可得)， 所以此时已有两种交错和表示，若l还有其他不同的交错和表示，此表示对应， 所以也有第三种交错和表示，与假设矛盾， 所以， l仅有两种交错和表示. 综上，有两种交错和表示. 【分析】（1）按照交错和定义列举出来即可； （2）假设，利用反证法证明； （3）首先证明，再证明仅有或两种交错和表示，最后证明时，n均只有两种交错和表示. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】关键点点睛：本题解题时要紧扣交错和的定义，理解交错和的表示，综合运用分类讨论，反证法，递推关系去证明，属于困难题. 5．记集合，为集合（）的两个子集，且满足，.定义：（，分别表示集合，中所有元素的和）. (1)当时，求的所有可能的值； (2)求的最小值； (3)设为不超过的自然数，且与的奇偶性相同，证明：存在，，使得. 【答案】(1)所有可能值为：，，，，，. (2)当或时，，或时，. (3) 首先证明与的奇偶性相同： 由题意知 所以，因为是偶数， 所以对于任意的，，与的奇偶性相同. 下面用数归法证明：当与奇偶性相同且时，存在，满足. 当或时，由（2）可知存在，满足， 假设时成立（为小于且与其奇偶性相同自然数）， 即此时存在，满足，由于， 不妨令，若此时，则可令，），那么， 即说明时命题成立， 若此时，必存在正整数满足且（否则有，， 此时有），令，， 此时，满足：，即时命题立，由归纳法可知命题成立. 当时，令，，，综上所述命题成立. 【分析】（1）由题意分类讨论写出集合，，求出相应的即可； （2）首先计算时，的最小值为0，然后依次讨论当，，时，相应的的最小值即可得出答案； （3）首先证明与的奇偶性相同，然后用数归法证明：当与奇偶性相同且时，存在，满足，即可得出证明. 【详解】（1）若，由于，的对称性，只需考虑以下情况： ，，； ，，；，，； ，，；，，； ，，；，，； ，，. 所以的所有可能值为：，，，，，. （2）首先计算时： 令，， 观察可知，，且集合，均有项，且这首尾相加为， 所以，所以，即此时的最小值为0. 对于其它情况： 当时，由为奇数， 由（1）知为奇数， 考虑的子集，中有项， 那么参照上面证明存在，满足，现令，， 可知，即此时最小值为1； 当时，为奇数，为奇数.考虑的子集，中有项， 那么参照上面证明存在，满足， 现令，，可知，即此时最小值为1； 当时，为偶数，为偶数， 考虑的子集，中有项， 那么参照上面证明存在，满足，现令，，可知，即此时最小值为0. 综上所述可知当或时，， 或时，. （3）略 6．已知集合，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”． (1)试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质； (3)若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值． 【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集” (2) 先证明必要性： 当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得， 不妨设，令，，，则，即条件中的①成立； 又，所以，即条件中的②成立； 因为， 所以为偶数，即条件中的③成立； 所以集合满足条件. 再证明充分性： 当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数， 记，，， 由③得，由①得，由②得， 所以， 因为，，，所以，，均属于， 即集合是集合的“期待子集”. (3) 【分析】（1）根据所给定义判断即可. （2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可； （3）首先利用反例说明当、时不成立，再利用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，即可得解. 【详解】（1）因为， 对于集合，令，解得，显然，， 所以是集合的“期待子集”； 对于集合，令，则， 因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”； （2）略 （3）的最小值为，理由如下： 一方面，当时，对于集合，其中任意三个元素之和均为奇数，由（2）知，不是的“期待子集”； 当时，对于集合， 从中任取三个不同的元素，若不含有，则不满足条件的③， 若含有，则另外两个数必都是奇数，因为任意两个奇数之差（大数减小数）都不小于， 故不满足条件中的②，所以不是的“期待子集”； 所以. 另一方面，我们用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”： （I）当时，对于集合的任意含有个元素的子集，记为， 当、、三个数中恰有个属于时，则，因为数组、、、、都满足条件， 当三个数都属于，因为数组满足条件， 所以此时集合必是集合的“期待子集”， 所以当时的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”. （II）假设当时结论成立，即集合的任意含有个元素的子集都是的“期待子集”，那么时，对于集合的任意含有个元素的子集， 分成两类，①若，至多有个属于，则中至少有个元素都在集合，由归纳假设知，结论成立； ②若，，则集合中恰含的个元素，此时，当中只有一个奇数时，则集合中包含中的所有偶数，此时数组，，符合条件，结论成立； 当集合中至少有两个奇数时，则必有一个奇数不小于，此时数组，，符合条件，结论成立，所以时结论成立， 根据（I）（II）知，集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，所以的最小值为 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 7．给定一个n项的实数列，任意选取一个实数c，变换T（c）将数列a1，a2，…，an变换为数列|a1﹣c|，|a2﹣c|，…，|an﹣c|，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c可以不相同，第k（k∈N*）次变换记为Tk（ck），其中ck为第k次变换时选择的实数．如果通过k次变换后，数列中的各项均为0，则称T1（c1），T2（c2），…，Tk（ck）为“k次归零变换”． （1）对数列：1，3，5，7，给出一个“k次归零变换”，其中k≤4； （2）证明：对任意n项数列，都存在“n次归零变换”； （3）对于数列1，22，33，…，nn，是否存在“n﹣1次归零变换”？请说明理由． 【答案】 （1）方法1：T1（4）：3，1，1，3；T2（2）：1，1，1，1；T3（1）：0，0，0，0． 方法2：T1（2）：1，1，3，5；T2（2）：1，1，1，3；T3（2）：1，1，1，1；T4（1）：0，0，0，0． （答案不唯一） （2）经过k次变换后，数列记为，k＝1，2，…． 取，则，即经T1（c1）后，前两项相等； 取，则，即经T2（c2）后，前3项相等； 设进行变换Tk（ck）时，其中，变换后数列变为，则； 那么，进行第k+1次变换时，取， 则变换后数列变为， 显然有； 经过n﹣1次变换后，显然有； 最后，取，经过变换Tn（cn）后，数列各项均为0． 所以对任意数列，都存在“n次归零变换”． （3）不存在“n﹣1次归零变换”． 证明： 首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换Tj（cj）时，cj＜min{a1，a2，…，an}，那么此变换次数便不是最少．这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行Tj（cj）后，再进行Tj+1（cj+1），由||ai﹣cj|﹣cj+1|＝|ai﹣（cj+cj+1）|，即等价于一次变换Tj（cj+cj+1），同理，进行某一步Tj（cj）时，cj＞max{a1，a2，…，an}；此变换步数也不是最小． 由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的ci满足min{a1，a2，…，an}≤ci≤max{a1，a2，…，an}． 以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“n﹣1次归零变换”． （i）当n＝2时，对于1，4，显然不存在“一次归零变换”，结论成立． （由（2）可知，存在“两次归零变换”变换：） （ii）假设n＝k时成立，即1，22，33，…，kk不存在“k﹣1次归零变换”． 当n＝k+1时，假设1，22，33，…，kk，（k+1）k+1存在“k次归零变换”． 此时，对1，22，33，…，kk也显然是“k次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知1，22，33，…，kk不存在“k﹣1次归零变换”，则k是最少的变换次数，每一次变换ci一定满足，i＝1，2，…，k． 因为（k+1）k+1﹣k•kk＞0， 所以，（k+1）k+1绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾． 所以，当n＝k+1时不存在“k次归零变换”． 由（i）（ii）命题得证． 【分析】（1）根据定义取恰当的值进行变换得解； （2）结合（1）进行归零变换的过程，可以考虑构造数列，经过k次变换后，数列记为，k＝1，2，…，进行变换Tk（ck）时，，依次变换即可得证； （3）利用数学归纳法证明该数列不存在“n﹣1次归零变换”. 【详解】（1）略． （2）略． （3）略． 【点睛】此题考查数列新定义问题，关键在于读懂题目所给新定义，根据定义进行构造，分析证明，涉及与正整数有关的命题可以考虑利用数学归纳法进行证明. 8．将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，此时数列中剩下的项构成数列；再将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列；…．如此操作下去，将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列． (1)分别写出数列的前2项； (2)记数列的第项为．求证：当时，； (3)若，求的值． 【答案】(1)的前2项为3，8； 的前2项为5，11； (2)证明：首先，当时，结论成立； 当时，对于相邻的两个数列： 1 4 9 16 25 36 49 64 2 6 12 20 30 42 56 72 3 8 15 24 35 48 63 80 5 11 19 29 41 55 71 89 7 14 23 34 47 62 79 98 10 18 28 40 54 70 88 108 13 22 33 46 61 78 97 118 17 27 39 53 69 87 107 129 因为都在数列中，且在之前， 所以在数列中，必有， 所以， 所以      所以构成首项为，公差为1的等差数列， 所以 (3) 【分析】（1）直接利用数列定义求解； （2）证明为等差数列即可求解； （3）先利用数学归纳法证明进而求得的表达式，利用累加法再解方程求解 【详解】（1）数列的前2项为3，8；数列的前2项为5，11； （2）略 （3）由各个数列生成的规则知，中不可能有两个元素是同一数列的项． 从上面的表格，我们猜想：集合中的每个元素，且仅是数列中某个数列的项. 具体地可概括成结论P：对任意，有 下面用数学归纳法证明： (i)当时， 由题意数列的首项分别是2, 3，结论成立； (ii)假设当时，结论成立，即对， 那么由第（2）问的结论知：当时， , , 上式表明，集合中除了的每一个元素都是数列中的某个数列的项， 还剩下两个元素：，它们必是数列的首项， 结果只有. 根据(1)(2)知，结论P成立. 由结论P可得，数列的首项为，的首项为， 即 另一方面，由第（2）问的结论：得： ， ， … ， 相加得：， 当时，上式也成立． 所以 令，则 所以． 由得，所以，所以， 所以.所以，此时，所以； 令，有， ．由得，所以． 所以，所以 无解. 综上，当时， 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，关键是利用数学归纳法得，进而得到的表达式. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $