精品解析：江西南昌市南昌中学教育集团2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

南昌中学教育集团2026—2027学年度第一学期期中测试卷 八年级（初二）数学 一．单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 长治古城墙修缮时，工匠有两根木料分别长5米和8米．若要用第三根木料与之构成三角形支架，第三根木料的长度可能是（ ） A. 2米 B. 4米 C. 13米 D. 15米 2. 如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 四边形更稳定 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 3. 下列与运动相关的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点与关于轴对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2026 D. 5. 如图，点在的平分线上，于点，，点在边上，且，则的长度为 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则的周长是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，中边上的高为___________． 8. 如图，已知两个三角形全等，则的度数是__________． 9. 已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是______． 10. 一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是___． 11. 如图，直线表示铁路，，两点表示某工厂两个生产区，若要在铁路旁修建一个货仓，使货仓到两个生产区，的距离之和最短，则这样的点的位置有________处． 12. 如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是等腰三角形，则的度数可以是______________． 三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 如图，已知点，在直线上，点，在直线上．以点，，，中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形． 14. 如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 15. 在等腰中，．求另外两个内角的度数． 16. 如图，两根长度为的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由． 17. 如图，在的正方形网格中，的顶点，，均落在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图中，作平分面积的射线； （2）在图中，作边上的高． 四．解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，于点D，平分交于点E． （1）若，，求的度数； （2）若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 19. 如图，在中，点在上，点在外，连结，，，交于点，，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 20. 如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 22. 小明运用含的三角板（其中，），探究等边三角形相关线段的关系． （1）如图1，为等边三角形，小明把三角板的顶点放在边上，点在边延长线上，三角板的斜边与射线交于点．请判断与之间的数量关系并直接写出结论． （2）小明在图1的基础上，沿的方向平移三角板，当顶点落在边的延长线上时，得到图2，此时点即为点．请判断（1）中的结论是否改变？并说明理由． 五．解答题（本大题共12分） 23. 综合与探索 在四边形中，分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． （1）【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是______． （2）【探索延伸】 在四边形中如图2，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． （3）【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌中学教育集团2026—2027学年度第一学期期中测试卷 八年级（初二）数学 一．单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 长治古城墙修缮时，工匠有两根木料分别长5米和8米．若要用第三根木料与之构成三角形支架，第三根木料的长度可能是（ ） A. 2米 B. 4米 C. 13米 D. 15米 【答案】B 【解析】 【分析】根据定理求出第三边的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：设第三根木料的长度为米， ∵两根木料长分别为5米和8米， ∴， 即， 观察选项，只有4米符合该范围． 2. 如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 四边形更稳定 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形的稳定性． 3. 下列与运动相关的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行判断即可，熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选B． 4. 已知点与关于轴对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2026 D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查关于x轴对称的点的坐标性质、有理数的乘方运算．解题关键是掌握“关于x轴对称的点，横坐标相等、纵坐标互为相反数”的规律；易错点是混淆x轴y轴对称的坐标变化规律，或误算的幂次（偶数次幂为1，奇数次幂为）． 首先根据“关于x轴对称的点，横坐标相等、纵坐标互为相反数”，列等式：（横坐标相等）、（纵坐标互为相反数）；其次分别求解得、；最后计算，再根据“的偶数次幂为1”，求出． 【详解】∵点与点关于x轴对称， ∴，且． 由，得； 由，得． ∴， ∴； 故选A． 5. 如图，点在的平分线上，于点，，点在边上，且，则的长度为 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握角平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含的直角三角形是解题的关键．如图，作于，根据含30度角的直角三角形的性质即可求的长，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴ ∵点P在的平分线上，，， ∴， 故选：C． 6. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图方式可知直线是线段的垂直平分线，得到，进而转化线段求出的周长． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ， 则． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，中边上的高为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解答本题的关键．三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高． 根据三角形的高的定义作答即可． 【详解】解：根据三角形的高的定义可知中边上的高为． 故答案为：． 8. 如图，已知两个三角形全等，则的度数是__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据全等三角形对应角相等，即可得到的度数． 【详解】解：∵两个三角形全等，为边的夹角， ∴． 9. 已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、构成三角形的条件、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据非负数的性质得到则，再分腰长为3和7两种情况，根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为：17． 故答案为17． 10. 一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是___． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，进而可得，再利用外角性质求出的度数即可得到结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∴． 11. 如图，直线表示铁路，，两点表示某工厂两个生产区，若要在铁路旁修建一个货仓，使货仓到两个生产区，的距离之和最短，则这样的点的位置有________处． 【答案】 【解析】 【分析】将实际问题转化为数学问题，然后作点关于直线的对称点，连接，如图所示，由对称性及两点之间线段最短分析得出满足题意的点即可． 【详解】解：要在铁路旁修建一个货仓，使货仓到两个生产区，的距离之和最短，即在直线上找一点，使有最小值， 作点关于直线的对称点，连接，如图所示： 由对称性可知，则， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，为线段的长， 即连接，与直线的交点就是满足题意的点，如图所示： 综上所述，这样的点的位置有处． 12. 如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是等腰三角形，则的度数可以是______________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先根据等腰△ABC的边长和角度条件，计算出底角和的度数，设的度数为x，利用折叠的性质得到对应边、对应角相等的关系，用x表示出、，进而表示出的度数，根据角平分线的性质，得到和的度数表达式，结合角度和差关系推导和的全等条件，得到的度数，用x表示出三个内角的度数，再分三种情况讨论等腰的腰的对应关系，分别列方程求解x． 【详解】∵，， ∴， ∵折叠， ∴，设， ∴，，， 又∵， ∴； 且平分， ∴， 结合， ∴， ∴， ∴， ， 当时， ∴，即， 解得， 当时， ∴，即， 解得， 当时， ∴，， 即， 解得， ∴的度数为、或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、折叠变换的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质以及分类讨论思想相关知识点，其中利用折叠性质和角平分线定义推导线段角的关系、证明三角形全等，再结合分类讨论思想分析等腰三角形的不同情况是解题的关键． 三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 如图，已知点，在直线上，点，在直线上．以点，，，中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形． 【答案】可组成个三角形，可以组成的三角形有，，， 【解析】 【详解】解：如图，不在同一直线上的三点可以组成一个三角形， ∴可以组成的三角形有，，，，可组成个三角形． 14. 如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据线段的和差求出，根据平行线的性质求出，利用即可证明． 【详解】略 15. 在等腰中，．求另外两个内角的度数． 【答案】，或， 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质分为顶角或底角两种情况求解即可． 【详解】解：当为顶角时， 另外两个角为底角，都为； 当为底角时， 其中另一个底角为，顶角为； 综上所述，的另外两个角分别为，或，． 16. 如图，两根长度为的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由． 【答案】 相等，理由： ∵AB=AC，AO⊥BC， ∴BO=CO． 答：两个木桩离旗杆底部的距离相等． 【解析】 【分析】由AB=AC，AO⊥BC，根据等腰三角形的三线合一的性质，即可解题． 【详解】略 【点睛】本题考查了等腰三角形在实际生活中的应用．掌握等腰三角形三线合一定理是解题关键. 17. 如图，在的正方形网格中，的顶点，，均落在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图中，作平分面积的射线； （2）在图中，作边上的高． 【答案】（1）解：如图中，射线即为所求． （2）如图中，线段即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中线平分面积，取中点，连接即为所求； （2）根据方格纸特征可证明，则，因为，所以，则，所以，则线段即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四．解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，于点D，平分交于点E． （1）若，，求的度数； （2）若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，进而求出； （2）根据三角形的中线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 平分， ， ； 【小问2详解】 解：是的中线， ， ， ， 的周长比周长小， ， ， ， ． 19. 如图，在中，点在上，点在外，连结，，，交于点，，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， （2） 【解析】 【分析】（1）利用角的和差得出相等的角，然后利用证明三角形全等即可； （2）利用三角形的外角定理求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：，， ． 20. 如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵，点是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形 ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据直角三角形的性质得出，再根据等边三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴在中，． ∵， ∴． ∵点是边的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴． 五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵平分，， ∴，， 在中， ， ∴， ∴； （2） ， 理由如下， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据角平分线的性质定理得到，再运用斜边直角边证明三角形全等即可求解； （2）根据题意得到，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 小明运用含的三角板（其中，），探究等边三角形相关线段的关系． （1）如图1，为等边三角形，小明把三角板的顶点放在边上，点在边延长线上，三角板的斜边与射线交于点．请判断与之间的数量关系并直接写出结论． （2）小明在图1的基础上，沿的方向平移三角板，当顶点落在边的延长线上时，得到图2，此时点即为点．请判断（1）中的结论是否改变？并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：（1）中的结论不改变，理由如下： ， 是等边三角形 是等边三角形 ． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、线段的和差等知识点，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意可得，由等边三角形的性质可得、，易得为等边三角形可得，再根据线段的和差即可解答； （2）运用（1）的思路解答即可． 【小问1详解】 解：∵含的三角板， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 五．解答题（本大题共12分） 23. 综合与探索 在四边形中，分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． （1）【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是______． （2）【探索延伸】 在四边形中如图2，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． （3）【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1） （2）结论仍然成立 （3）此时两舰艇之间的距离是120海里 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，方位角的计算： （1）延长到点，使，连接，先证明得到，再证明得到即可推出； （2）如图，延长到，使，连接，先证明得到，再证明得到即可推出； （3）如图，连接，延长交于点，先证明，再由，结合探索延伸中的结论可知，海里． 【小问1详解】 解：延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到，使，连接， ， ， 在和中， ， 在和中， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，连接，延长交于点， ，， ， ，， 符合探索延伸中的条件， 结论成立，即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是120海里． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $