专题10 简单几何体（复习讲义）（上海专用）2027年春季高考数学

专题10 简单几何体 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 9 考点一 柱体的结构特征与表面积、体积 9 考点二 锥体的结构特征与表面积、体积 10 考点三 台体与组合体的体积 12 考点四 旋转体的形成与侧面展开 16 考点五 多面体与球的切接问题（高频考点） 19 考点六 体积、面积的最值与实际应用 21 04 实战演练 24 考情解读 考试要求 ①理解棱柱、棱锥、棱台与圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征，掌握柱、锥、台、球的分类与主要性质． ②掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积公式，会求简单组合体的体积与表面积，能由三视图或直观图还原几何体． ③理解旋转体的形成过程，会处理旋转体的侧面展开图，求展开图中的弧长、圆心角以及表面上的最短距离． ④掌握多面体与球的内切、外接问题的处理方法，会求球的表面积与体积． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 柱体的结构特征与体积 5年3考 2026年上海市春季高考 第12题 棱柱的结构特征、柱体表面积与体积的计算 圆柱形壶身倾斜倒油的角度计算（旋转体的实际应用） 2026年上海市春季高考第12题以圆柱油壶为背景考查旋转体与空间角；预测2027年在填空题中考查柱体的体积，常与展开图、最短距离结合 锥体的表面积与体积 5年4考 2026年上海市春季高考 第18题 圆锥的侧面积、锥体体积、截面与展开图 三棱锥的体积 2026年上海市春季高考第18题考查三棱锥的体积；预测2027年在填空题中考查圆锥的侧面积与体积，注意结果保留 π 台体、组合体与旋转体 5年2考 2026年上海市春季高考 第18题 台体体积公式、旋转体的形成与组合体求积 正四棱台的结构特征 2026年上海市春季高考第18题以正四棱台为背景考查台体的结构特征；预测2027年在填空题中考查圆台体积或旋转体体积，多用分割或补形 多面体与球的切接问题 5年4考 外接球、内切球的半径与球的表面积、体积 预测2027年在填空题中考查外接球表面积，核心是找球心与半径 知识梳理 知识点1 柱体 一、棱柱 1. 棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 2. 棱柱的分类 ① 棱体分类： 棱体 ② 按底面形状分类： 3. 棱柱的性质 （1）侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； （2）两底面是全等多边形且互相平行； （3）平行于底面的截面和底面全等。 4. 棱柱的面积和体积公式 直棱柱侧面积：（是底周长，是高） 直棱柱表面积： 棱柱体积： 二、圆柱 1. 圆柱的结构特征 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 2. 圆柱的性质 （1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆； （2）过轴的截面（轴截面）是全等的矩形。 3. 圆柱的侧面展开图 圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。4. 圆柱的面积和体积公式 圆柱侧面积：（为底面半径，为圆柱的高） 圆柱全面积： 圆柱体积： 自主检测（2026·上海·一模）已知某个四棱柱为平行六面体，从一个顶点出发相邻的三个面的面积分别为a，b，c，则（    ） 命题①：若该四棱柱为直四棱柱，则它的体积为是直四棱柱为长方体的充要条件 命题②：若该四棱柱为斜四棱柱，则它的体积为是斜四棱柱为长方体的充要条件 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【知识点】充要条件的证明、棱柱的结构特征和分类、柱体体积的有关计算 【详解】设直四棱柱的底面平行四边形的相邻两边长分别为和，两边的夹角为，侧棱长为， 则底面面积为，两个相邻的侧面面积（因为是直四棱柱，侧面是矩形）为和， 此时，同时根据柱体体积公式可得直四棱柱的体积为， 前者等于后者的充要条件为即，故命题①正确； 斜四棱柱的侧棱不垂直于底面，因此不可能是长方体，则由前面的分析可知斜四棱柱的体积不可能是， 因此这是两个假命题互为充要条件，故命题②正确. 知识点2 锥体 一、棱锥 1. 棱锥的结构特征 （1）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥； （2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2. 正棱锥的结构特征 （1）平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比； 截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； （2）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； （3）正棱锥侧面积：（为底周长，为斜高）。 3. 棱锥的体积 （为底面积，为高） 4. 正四面体 棱长为的正四面体，可将它补成一个边长为的正方体； 对棱间的距离为（正方体的边长）； 正四面体的高为（等于）； 正四面体的体积为（）； 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为（）。 说明：正四面体，可补全为一个正方体，在正方体中研究正四面体的相应问题，是化归思想的很好体现。 二、棱台 1. 棱台的结构特征 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。 2. 正棱台的结构特征 （1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形； （2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； （3）正棱台的对角面是等腰梯形； （4）各侧棱的延长线交于一点。 三、圆锥 1. 圆锥的结构特征 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 2. 圆锥的性质 （1）平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； （2）轴截面是等腰三角形。 3. 母线的平方等于底面半径与高的平方和 4. 圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。 四、圆台 1. 圆台的结构特征 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。 2. 圆台的性质 （1）圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆； （2）圆台的截面是等腰梯形； （3）圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。 3. 圆台的面积和体积公式 侧面积：（、为上下底面半径，为圆台的母线长） 全面积：（为圆台的母线长） 体积：（为圆台的高） 自主检测（2026·上海长宁·二模）将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】棱锥的结构特征和分类、棱锥的展开图 【详解】该几何体上的点是一条棱的两端点.对于A，C，D项，在折叠时，这两点会被带到几何体的两个不同顶点，所有面可以无重叠地闭合，形成完整的双三棱锥. 而对于B，折叠后，点和点是相对的两个顶点. 知识点3 多面体与旋转体 1.多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且相等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点,但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 图形 母线 互相平行且相等,垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 自主检测（2025·上海黄浦·一模）已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为_______． 【答案】 【知识点】正弦定理求外接圆半径、球的截面的性质及计算、球的体积的有关计算 【分析】由正弦定理求得正三角形的外接圆半径，结合球心O到平面的距离，根据勾股定理可求得球O的半径，从而求得球O的体积. 【详解】设正三角形的外接圆半径为. 根据正弦定理可得，，所以. 设球O的半径为，则，. 所以球O的体积为. 故答案为：. 必记结论 （1）体积公式一条线：柱体；锥体；台体；球、． （2）侧面展开图：圆柱侧面展开是矩形；圆锥侧面展开是扇形，半径等于母线、弧长等于，圆心角；圆台侧面展开是扇环． （3）旋转体的体积用“分割与补形”：绕斜边旋转可拆成两个共底的圆锥，绕直角边旋转得到圆锥，绕直角梯形的一腰旋转得到圆台或组合体． ✅注意：区分“侧面积”与“表面积”，后者要加上底面的面积；球的截面问题抓住这一关系，其中是球心到截面的距离，是截面圆的半径． ⚠️概念辨析 ①“侧面都是平行四边形的多面体是棱柱”是错的：棱柱还要求两个底面互相平行、侧棱互相平行，斜棱柱的侧面虽是平行四边形但侧棱不一定垂直于底面． ②“圆锥的截面都是等腰三角形”是错的：只有过轴的截面（轴截面）才是等腰三角形，平行于底面的截面是圆，斜截面的形状是椭圆． ③“棱台的侧棱长都相等”是错的：正棱台的侧棱长相等，一般棱台只是侧棱延长后交于一点，侧棱长不一定相等． ⚠️避坑指南 ❌ 求表面积时把“侧面积”直接当作“表面积”，漏掉底面的面积而失分． ❌ 锥体的体积公式忘记乘 ；球的外接、内切问题中把“球心到截面的距离”误当作球的半径． 考点精讲 考点一：柱体的结构特征与表面积、体积 例1（2026·上海·二模）已知一个直三棱柱的侧棱长为2，底面面积为2，则该三棱柱的体积为________． 【答案】4 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】根据三棱柱的体积公式计算求解. 【详解】设一个直三棱柱的侧棱长为，底面面积为，则该三棱柱的体积为. 例2（2025·上海闵行·二模）已知圆柱的底面半径为，高为3，则圆柱的体积为______． 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】由圆柱的体积公式计算即可. 【详解】由圆柱的体积公式可得. 故答案为：. 解题策略 柱体的表面积与体积 （1）柱体体积一律是“底面积乘高”：，底面是正多边形或圆时先算底面积，高是两底面之间的距离． （2）表面积 = 侧面积 + 2 个底面；圆柱侧面积，棱柱侧面积等于底面周长乘侧棱长（直棱柱）． （3）遇到“侧面积与底面半径（边长）”的等量关系，先列出方程解出高或半径，再代体积公式，注意结果是否需要保留． 【变式1】（2025·上海宝山·二模）已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为_________. 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】根据圆柱的底面积和侧面积公式求出圆柱的底面圆半径和高，再根据圆柱的体积公式即可得解. 【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为， 由题意可得，解得， 所以圆柱的体积. 故答案为：. 【变式2】（2026·上海·模拟预测）已知圆柱的底面半径为3，侧面积为，则此圆柱的体积为__________． 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算 【详解】设圆柱的高为，因为圆柱的底面半径为3，侧面积为， 所以，解得， 因此圆柱的体积为. 考点二：锥体的结构特征与表面积、体积 例3（2025·上海金山·一模）已知某正四棱锥的高为2，体积为24，则该正四棱锥的底面边长为（   ） A．9 B．8 C．6 D． 【答案】C 【知识点】正棱锥及其有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】设底面边长为a，代入体积公式，即可得答案. 【详解】设底面边长为a，则正四棱锥的体积，解得. 故选：C 例4（2026·上海·三模）若一圆锥底面半径为3，母线长为5，则其体积为________．（结果保留） 【答案】 【知识点】圆锥的结构特征辨析、锥体体积的有关计算 【分析】先根据圆锥母线、底面半径和高的勾股关系求出高，再代入圆锥体积公式计算即可 【详解】设圆锥的高为，因为圆锥母线、底面半径，则 . 所以圆锥的体积为 解题策略 锥体的表面积与体积 （1）锥体体积，不能漏；正棱锥的高、斜高、底面边心距构成直角三角形，是求高的常用工具． （2）圆锥的侧面积，其中是母线；由可把母线、半径、高三个量互相转化． （3）已知母线与底面所成的角或轴截面的形状时，先把条件翻译成、、的关系，再套公式，避免在三角形中反复推导． 【变式1】（2025·上海虹口·一模）已知某圆锥的底面半径为2，侧面积为，则该圆锥的体积为 ___________（结果保留） 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】根据圆锥体积公式、侧面积公式，结合圆锥的性质进行求解即可. 【详解】设圆锥的母线为，因为圆锥侧面积为， 所以， 所以该圆锥的高为， 因此该圆锥的体积为， 故答案为： 【变式2】（2025·上海黄浦·三模）某圆锥高为1，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为________ 【答案】 【知识点】圆锥的结构特征辨析、圆锥表面积的有关计算、由线面角的大小求值 【分析】根据给定条件，确定圆锥轴截面三角形形状，求出圆锥底面圆半径及母线长即可. 【详解】由母线与底面所成的角为，得该圆锥轴截面是等腰直角三角形，而该圆锥的高为1， 即轴截面是等腰直角三角形斜边上的高为1，因此底面圆半径，母线， 所以该圆锥的表面积为. 故答案为： 考点三：台体与组合体的体积 例5（2025·上海·模拟预测）在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为，三棱柱的体积大小为，则________. 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据题意，设斜三棱柱的高为，，可得，得解. 【详解】设斜三棱柱的高为，， 则，， ，则. 故答案为：. 例6（2026·上海黄浦·三模）我校新添置了“智能咖啡机”供师生使用，使用者可持空纸杯接咖啡．当投入一枚“五爱币”后，“智能咖啡机”将出液，此时液面高度占纸杯高度的比为（忽略咖啡表面张力）．已知纸杯是圆台形状的容器，杯口半径大于杯底半径，咖啡机每次出液量一致．若使用者直至投入三枚“五爱币”，才发现咖啡液溢出纸杯，则的取值范围为________． 【答案】 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】设一枚“五爱币”对应的咖啡体积占纸杯总容积的比例为，先由“两枚不溢出，三枚溢出”得到；再利用圆台体积与圆锥极限情况比较，说明，从而求出的取值范围． 【详解】设纸杯高为，杯底半径为，杯口半径为，其中． 设投入一枚“五爱币”后咖啡体积为，纸杯总容积为，并记. 为一枚咖啡体积占纸杯总容积的比例． 由题意，投入两枚“五爱币”后咖啡不溢出，投入三枚“五爱币”后咖啡溢出，所以. 即 下面建立与之间的关系． 投入一枚“五爱币”后，液面高度为．由于纸杯是圆台形状，从杯底到杯口，半径随高度均匀增大， 所以高度为处的液面半径为 液面以下部分也是一个圆台，它的高为，下底半径为，上底半径为． 由圆台体积公式可得 整个纸杯的容积为 因此 先说明． 因为，所以 于是 故 又因为，所以 再说明为什么有． 来自圆锥的相似体积关系：如果杯底半径趋近于，圆台就接近一个圆锥； 对圆锥来说，高度变成原来的倍，半径也变成原来的倍，小圆锥与大圆锥的相似比为，所以体积比为． 题中杯底半径，底部不是尖点，相同高度比例下，液面以下部分比圆锥对应部分更“粗”， 所以体积比例应大于圆锥情形，即． 令，则． 由上式整理得 于是 因为，，所以 因此 结合，得所以即 综上，必要条件为 下面说明这个范围内的都可以取到． 当纸杯接近圆锥时，可以接近；当纸杯接近圆柱时，可以接近．杯底半径与杯口半径的比值连续变化时， 也会在与之间连续变化． 若，则所以区间与区间有公共部分． 因此可以选择合适的圆台纸杯形状，使一枚咖啡体积占比满足 这时两枚不溢出，三枚溢出，符合题意． 所以的所有可能取值范围为 解题策略 台体与组合体 （1）台体体积，其中、是上、下底面积；棱台的“高”是两底面之间的距离，不是侧棱长，常借助轴截面中的直角三角形求． （2）组合体先“分割”为柱、锥、台、球，分别求体积后相加；若中间有重叠或挖空，则用“补形”或相减． （3）三棱柱可分割成三个体积相等的三棱锥，“等体积转换顶点”是求点到平面距离与不规则几何体体积的通用手段． 【变式1】（2026·上海·三模）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.6米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为__________立方米．（精确到0.1立方米） 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可. 【详解】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为，设底面中心为， 截面中心为，则，， 所以，所以截面的面积为. 设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为，， 所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为，所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 所以帐篷围成几何体的体积为（立方米）. 【变式2】（2025·上海长宁·二模）现有一块正四面体木料PABC，其边长为3，现需要将木料进行切割，要求切割后底面ABC上任意一点Q到顶点P的距离不大于，则切割好后，木料体积的最大值是_________．（结果保留） 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】设正四面体定点在底面的投影为，连接，可得以为圆心，半径为的圆在底面内的部分为底，以为顶点的几何体即为符合要求的部分，先求解底面面积，为高，即可求解切割好后，木料体积的最大值. 【详解】 设正四面体定点在底面的投影为，则为正三角形的中心， 连接，所以，， 若底面上任意一点到顶点的距离不大于， 设，则， 所以以为圆心，半径为的圆在底面内的部分为底，以为顶点的几何体即为符合要求的部分， 如图以为圆心，半径为的圆与底面相交的交点为， 延长交于，连接，， 所以，， 所以，所以， 所以，所以为等边三角形， 所以以为圆心，半径为的圆在底面内的部分的面积为 ， 所以切割好后，木料体积的最大值是. 故答案为：. 考点四：旋转体的形成与侧面展开 例7（2025·上海杨浦·三模）已知，则直角三角形绕斜边旋转一周所形成的几何体的侧面积为 _________. 【答案】 【知识点】圆锥的结构特征辨析、圆锥表面积的有关计算 【分析】旋转形成一个侧面是扇形，底面为半径的圆形，母线长为和的两个同底面的锥体，求解侧面积. 【详解】由，斜边为,则, 由此可以得到底面的半径为， 故侧面积. 故答案为：. 例8（2026·上海普陀·二模）在中，，，过点A作直线，将绕直线l旋转一周所得到的几何体记为Ω，若Ω的体积是，则Ω的表面积为______. 【答案】 【知识点】由平面图形旋转得旋转体、圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、求旋转体的体积 【分析】将绕直线旋转一周，生成的几何体是一个大圆柱挖去一个小圆锥的组合体，利用圆柱与圆锥的体积以及表面积公式求解即可. 【详解】为直角三角形，，，直线l∥BC且过点A， 设，所以斜边， 将绕直线旋转一周，生成的几何体是一个大圆柱挖去一个小圆锥的组合体， 所以圆柱上底面半径，高， 被挖去的圆锥的底面半径，高与圆柱相同，即， 则圆柱体积：， 圆锥体积：， 所以组合体体积：， 则，即，所以， 几何体Ω的表面积由三部分构成： 圆柱的侧面积：， 圆柱的上底面面积：， 圆锥的侧面积：圆锥母线长为，， 所以总表面积：. 解题策略 旋转体与展开图 （1）平面图形绕一条直线旋转：先判断旋转所得几何体的形状（圆锥、圆柱、圆台、球或组合体），再确定底面半径与高．绕斜边旋转时得到两个共底圆锥的组合体． （2）展开图上求最短距离：把侧面展开成平面，两点之间线段最短；圆锥展开后扇形圆心角，还要判断线段是否穿过展开图的“接缝”． （3）圆锥侧面积、圆柱侧面积、圆台侧面积，都要先算对母线长． 【变式1】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知某圆锥的侧面展开图为周长为，圆心角为的扇形是面积最大的扇形，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】扇形面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】设出扇形的半径和圆心角，当扇形面积最大的时候求出圆心角，然后求出圆锥的底面半径和高，最后利用体积公式计算体积即可. 【详解】设扇形半径（即圆锥母线长）为，扇形的圆心角为. 由题意，，. 扇形的面积. ，当且仅当，即时取等号. 故扇形面积最大时，，. 由，可得圆锥的底面半径. 所以圆锥的高. 圆锥的体积. 【变式2】（2025·上海普陀·二模）若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为____________. 【答案】 【知识点】弧长的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】根据圆锥的侧面积公式，扇形的弧长公式求解即可, 【详解】设底面半径为，母线长为l 由，得， 又，由勾股定理， 所以，解得， 底面圆周长，扇形中心角， 故答案为： 考点五：多面体与球的切接问题【高频考点】 例9（2025·上海浦东新·三模）已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】依据线面垂直的判定定理来确定线面垂直关系，再利用长方体的体对角线与外接球直径的关系求出球的直径，进而求出球的半径和表面积. 【详解】因为平面，所以底面， 因为点到底面的距离为1．所以． 因为平面， 所以平面，而平面，故，， 即该球的直径为 所以球的半径为． 故选：B 例10（2026·上海杨浦·模拟预测）已知正三棱柱的各顶点都在球O的球面上，且，若球O的体积为，则这个正三棱柱的体积为__________． 【答案】 【知识点】正棱柱及其有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先求出的外接圆半径和正三棱柱的外接球半径，再根据勾股定理求出，即可求出正三棱柱的高，然后利用柱体的体积公式计算体积即可. 【详解】如图所示，作出的外接圆圆心，连接. 正中，，由正弦定理可得，. 又正三棱柱的外接球体积为，. 在中，. 所以正三棱柱的高. 所以正三棱柱的体积. 解题策略 多面体与球的切接 （1）外接球：球心到各顶点距离相等，长方体（正方体）的外接球直径等于体对角线；一般棱锥可先找底面外接圆圆心，球心在过该圆心且垂直于底面的直线上． （2）内切球：球心到各面距离相等，用等体积法求半径，正四面体的内切球半径是高的． （3）球的截面：；“球心到底面的距离”与“底面外接圆半径”是两个不同的量，不能混用． 【变式1】（2025·上海徐汇·一模）一个底面积为的正四棱柱的所有顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正四棱柱的高为__________． 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】求出正四棱柱底边的边长以及外接球半径，分析可知该正四棱柱的外接球直径即为该正四棱柱的体对角线长，即可得解. 【详解】设该正四棱柱底边的边长为，高为，则，可得， 设该正四棱柱的外接球的半径为，则，解得， 由题意可知，该正四棱柱的外接球直径即为该正四棱柱的体对角线长， 即，解得， 因此该正四棱柱的高为. 故答案为： 【变式2】（2025·上海黄浦·三模）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则该鳖臑的体积为________． 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】利用已知条件将三棱锥放入长方体中可求出三棱锥的高，再应用体积公式计算求解. 【详解】 如图，根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中， 则三棱锥 的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥 的外接球的半径为， 三棱锥 的外接球的表面积为，，， ，，解得， . 故答案为：. 考点六：体积、面积的最值与实际应用 例11（2025·上海金山·二模）已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为__________. 【答案】 【知识点】圆锥中截面的有关计算 【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解． 【详解】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，显然， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为． 故答案为：. 例12（2025·上海松江·二模）在三棱锥中，两两垂直，且，设为底面内一点，，其中分别表示三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为___________. 【答案】1 【知识点】锥体体积的有关计算、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据给定的信息求出三棱锥的体积，进而求出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，并建立不等式求解. 【详解】在三棱锥中，两两垂直，且， 则，解得 ， 又， 因此， 当且仅当时取等号，由恒成立，得， 于是，解得，所以正实数的最小值为1. 故答案为：1 解题策略 最值与实际应用 （1）最值问题的套路：设出变量（半径、高、角），用已知条件把目标表示成该变量的函数，再用二次函数、基本不等式或导数求最值． （2）含“截面面积最大”的问题，先把截面面积表示成角或边的函数，注意自变量的取值范围由几何体的实际形状限制． （3）实际应用题要先把文字条件翻译成几何量（半径、高、液面高度），再建模求值，最后按题目要求取近似值或保留． 【变式1】（2025·上海黄浦·二模）某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为________米．（结果精确到0.01米）    【答案】 【知识点】棱柱的结构特征和分类、正棱柱及其有关计算 【分析】设正方体的中心为，连接，得到平面，由三角形是正三角形，得到外接圆的半径为米，利用勾股定理求得米，设米，结合，即可得到对答案. 【详解】解：由正方体的棱长米， 因为平面平面，且平面，平面，平面， 如图所示，设正方体的中心为，连接，交平面于点，则平面， 在正方体中，底面是正三角形，其外接圆的半径为米， 又由勾股定理，可得米， 设米，因为点到平面的距离为2米， 所以米. 故答案为：. 【变式2】（2026·上海金山·二模）申辉中学某个数学建模小组发现：人走路时，启动或者停下的瞬间，手中水平拿着的杯子里的水可能会被晃动得溢出杯口. 查询资料后发现：液面和水平面的夹角与人走路的加速度以及重力加速度有关，满足关系：，其中. 若甲同学走路启动瞬间的加速度为，手中水平拿着一个底面边长为4cm和6cm，高为14cm的长方体形状的杯子，则杯中最多装__________的水，存在甲同学走路启动的瞬间杯中水不溢出的可能. 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算 【详解】当沿着最短的朝向也就是当人沿着杯子底面4cm长的边所在方向加速时，杯内液面的高度差为cm， 此时杯中不溢出的最大水量为； 当沿着其他方向加速时，因为水面要向更远的地方“爬”，在同样的倾斜角度下上升的高度会更高， 比如当沿着6cm长的边所在的方向加速时，杯内液面的高度差为cm， 此时杯中不溢出的最大水量为 ， 所以杯中最多装的水. 实战训练 1．（2025·上海松江·二模）在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（   ） A．四棱锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 【答案】D 【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离、线面平行的性质 【分析】根据题设在上运动，结合棱柱的结构特征及线面平行的性质判断各棱锥的体积是否为定值即可. 【详解】对于正三棱柱，且，， 则在上运动， 所以到平面、平面、平面的距离均是变化的，棱锥底面积都是定值，故A、B、C不符合条件， 由，平面，平面，则//平面， 所以P到平面的距离为定值，且底面的面积是定值， 所以三棱锥的体积为定值，D符合， 故选：D 2．（2026·上海静安·二模）直径为的球的表面积为______．（计算结果保留） 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算 【详解】由题意知球的半径， 所以球的表面积. 3．（2025·上海金山·三模）已知圆锥的底面直径和母线长都是2，则该圆锥的侧面积为__________．（结果保留） 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】由圆锥的底面直径得出圆锥的底面半径，再利用母线长和底面半径结合侧面积公式求解． 【详解】圆锥的底面直径， 圆锥的底面半径， 又母线长， ． 故答案为：． 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为_____ 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】由圆锥的侧面积公式可得结果. 【详解】平面截圆锥所得轴截面为边长2的正三角形，说明圆锥底面直径为2，母线长为2，故底面半径. 圆锥的侧面积为. 故答案为：. 5．（2025·上海·模拟预测）图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为__________.    【答案】41 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】根据正方体的表面展开图，有数字1的正方形与有数字6的正方形相对，有数字2的正方形与有数字4的正方形相对，有数字5的正方形与有数字3的正方形相对，由最大可得答案． 【详解】根据正方体的表面展开图，有数字1的正方形与有数字6的正方形相对， 有数字2的正方形与有数字4的正方形相对，有数字5的正方形与有数字3的正方形相对， 可得，， 要使能看见的13个正方形面上的数字和的最小， 最上面的一个正方体的有数字6的正方形面朝下，与中间的正方体面接触， 中间的正方体有数字5的正方形与有数字3的正方形面朝上下，与上下正方体接触， 最下面的正方体有数字5的正方形与有数字3的正方形面朝上下，与上面正方体和地面接触， 所以能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为. 故答案为：41. 6．（2026·上海静安·模拟预测）一个圆柱的体积为100，若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，得到的新圆柱的体积是_________． 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】由题意可得新圆柱的高和底面半径，由圆柱的体积公式计算即可得解． 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则， 若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，则得到的新圆柱的高为，底面半径为， 所以得到的新圆柱的体积为. 7．（2026·上海黄浦·二模）底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为______． 【答案】 【知识点】弧长的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】根据圆锥的侧面展开图结合扇形的弧长公式运算求解. 【详解】设侧面展开图中扇形的中心角为， 由题意可得：，解得， 所以侧面展开图中扇形的中心角为. 8．（2025·上海杨浦·二模）如图，点分别是直角三角形的边上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为__________. 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】根据给定条件，求出斜边上的高，再求出圆锥与半球体积的差即可得解. 【详解】在中，，则， 由斜边与扇形的弧相切，扇形半径， 阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体是绕直线旋转一周所得圆锥， 挖去扇形弧绕直线旋转一周所得半球， 所以所求体积为. 故答案为： 9．（25-26高三上·上海杨浦·期末）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，母线千米，母线与圆锥底面所成角的大小为，为母线上靠近的三等分点.现要建设一条从到的环山观光公路，当公路长度最短时，这条公路从出发到的过程中，先上坡、后下坡，则公路的上坡路段长为______千米.（精确到0.1千米） 【答案】1.1 【知识点】余弦定理解三角形、圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】根据圆锥的侧面展开图，求出圆锥底面半径及展开图的圆心角，由余弦定理求出，过作的垂线，垂足为，则为点到环山观光公路的最短距离，得为公路的上坡路段，由面积相等法求，由勾股定理求出. 【详解】设母线与圆锥底面所成角，圆锥底面半径为， 则，解得， 故圆锥底面周长，展开图扇形的圆心角为. 如图所示，将圆锥侧面沿展开成扇形， 由条件得 ，， ，则最短路径为在展开图中的线段， 在中，由余弦定理得 , 故， 在中，过作的垂线，垂足为，则为点到环山观光公路的最短距离，故为公路的上坡路段， 在中， , 故， 得. 故答案为：1.1 10．（2025·上海·模拟预测）已知墙面与地面互相垂直，，一个气球（视为球）悬在空中．某时刻，太阳光线（视为平行直线）与恰好垂直，气球的影子在上的长度为2，影子在墙面上与距离最大的点到的距离为1，在地面上与距离最大的点到的距离为2，则该气球的半径为________． 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】设气球的球心为，过球心作垂直于太阳光线的平面，该平面与墙面和地面分别相交于直线和，因为太阳光线与垂直，所以，，已知气球的影子在上的长度为 2，设影子在上的两个端点分别为，则，影子在墙面上与距离最大的点到的距离为 1，设该点为，则到的距离（为在上的投影），影子在地面上与距离最大的点到的距离为 2，设该点为，则到的距离（为在上的投影），设气球的半径为，球心到的距离为，到墙面的距离为，到地面的距离为，且满足： ，根据圆的切线性质得到和，由影子在上的长度，结合勾股定理得到，通过计算得到. 【详解】设气球的球心为，过球心作垂直于太阳光线的平面， 该平面与墙面和地面分别相交于直线和， 因为太阳光线与垂直，所以，， 已知气球的影子在上的长度为 2，设影子在上的两个端点分别为，则， 影子在墙面上与距离最大的点到的距离为 1，设该点为， 则到的距离（为在上的投影）， 影子在地面上与距离最大的点到的距离为 2，设该点为， 则到的距离（为在上的投影）， 设气球的半径为，球心到的距离为， 到墙面的距离为，到地面的距离为，且满足： ， 根据圆的切线性质： 在墙面上：， 在地面上：， 由影子在上的长度，结合勾股定理， 球心到直线的距离与半径的关系为： ， 由 和 ，可得： ， 将、代入，再结合 ， 得： ， 展开并整理： ，， 解得（半径为正数，舍去）. 11．（2026·上海黄浦·二模）在空间直角坐标系中，将点集所表示的立方体的表面满足的部分记为S，同时满足“”与“或”的点P的集合所表示几何体的体积为______． 【答案】 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、集合新定义 【分析】首先判断出为正方体的四个侧面和下底面，然后得到“”表示的几何体为正方体的外接球，满足条件的点即为从点出发的不超过和球面的线段上的点，将它们分为射向上底面和其它五个面两个部分，相加即可得到所求几何体体积. 【详解】点集表示的是以原点为中心的边长为2的正方体， 为满足的部分即除去了后剩余的部分，也就是除了上底面以外的五个面， 条件“”表示点在以原点为球心的半径为的球体内，因为， 所以这个球刚好也是正方体的外接球，即为线段， 条件“或”表示线段与要么没有交点，要么交点就是， 考虑从点出发的线段，射向上底面的线可以到达球面，这一部分构成个球体， 射向包含的五个面可以到达正方体的表面，这一部分构成五个四棱锥，每个四棱锥都是正方体的， 所以所求几何体的体积为. 12．（2025·上海杨浦·一模）如图，在长方体中，为上一动点，已知，. (1)求直线与平面所成角的大小；（用反三角表示） (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、求线面角 【分析】（1）先找出即为直线与平面所成角，再求的大小即可； （2）根据，再利用三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）连接，由题意得平面， 则即为直线与平面所成角， 又， 在直角中，，， ，则， 所以直线与平面所成角的大小为. （2）由题意得，平面， 则. 所以三棱锥的体积为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 简单几何体 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 9 考点一 柱体的结构特征与表面积、体积 9 考点二 锥体的结构特征与表面积、体积 10 考点三 台体与组合体的体积 12 考点四 旋转体的形成与侧面展开 16 考点五 多面体与球的切接问题（高频考点） 19 考点六 体积、面积的最值与实际应用 21 04 实战演练 24 考情解读 考试要求 ①理解棱柱、棱锥、棱台与圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征，掌握柱、锥、台、球的分类与主要性质． ②掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积公式，会求简单组合体的体积与表面积，能由三视图或直观图还原几何体． ③理解旋转体的形成过程，会处理旋转体的侧面展开图，求展开图中的弧长、圆心角以及表面上的最短距离． ④掌握多面体与球的内切、外接问题的处理方法，会求球的表面积与体积． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 柱体的结构特征与体积 5年3考 2026年上海市春季高考 第12题 棱柱的结构特征、柱体表面积与体积的计算 圆柱形壶身倾斜倒油的角度计算（旋转体的实际应用） 2026年上海市春季高考第12题以圆柱油壶为背景考查旋转体与空间角；预测2027年在填空题中考查柱体的体积，常与展开图、最短距离结合 锥体的表面积与体积 5年4考 2026年上海市春季高考 第18题 圆锥的侧面积、锥体体积、截面与展开图 三棱锥的体积 2026年上海市春季高考第18题考查三棱锥的体积；预测2027年在填空题中考查圆锥的侧面积与体积，注意结果保留 π 台体、组合体与旋转体 5年2考 2026年上海市春季高考 第18题 台体体积公式、旋转体的形成与组合体求积 正四棱台的结构特征 2026年上海市春季高考第18题以正四棱台为背景考查台体的结构特征；预测2027年在填空题中考查圆台体积或旋转体体积，多用分割或补形 多面体与球的切接问题 5年4考 外接球、内切球的半径与球的表面积、体积 预测2027年在填空题中考查外接球表面积，核心是找球心与半径 知识梳理 知识点1 柱体 一、棱柱 1. 棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 2. 棱柱的分类 ① 棱体分类： 棱体 ② 按底面形状分类： 3. 棱柱的性质 （1）侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； （2）两底面是全等多边形且互相平行； （3）平行于底面的截面和底面全等。 4. 棱柱的面积和体积公式 直棱柱侧面积：（是底周长，是高） 直棱柱表面积： 棱柱体积： 二、圆柱 1. 圆柱的结构特征 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 2. 圆柱的性质 （1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆； （2）过轴的截面（轴截面）是全等的矩形。 3. 圆柱的侧面展开图 圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。4. 圆柱的面积和体积公式 圆柱侧面积：（为底面半径，为圆柱的高） 圆柱全面积： 圆柱体积： 自主检测（2026·上海·一模）已知某个四棱柱为平行六面体，从一个顶点出发相邻的三个面的面积分别为a，b，c，则（    ） 命题①：若该四棱柱为直四棱柱，则它的体积为是直四棱柱为长方体的充要条件 命题②：若该四棱柱为斜四棱柱，则它的体积为是斜四棱柱为长方体的充要条件 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 知识点2 锥体 一、棱锥 1. 棱锥的结构特征 （1）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥； （2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2. 正棱锥的结构特征 （1）平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比； 截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； （2）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； （3）正棱锥侧面积：（为底周长，为斜高）。 3. 棱锥的体积 （为底面积，为高） 4. 正四面体 棱长为的正四面体，可将它补成一个边长为的正方体； 对棱间的距离为（正方体的边长）； 正四面体的高为（等于）； 正四面体的体积为（）； 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为（）。 说明：正四面体，可补全为一个正方体，在正方体中研究正四面体的相应问题，是化归思想的很好体现。 二、棱台 1. 棱台的结构特征 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。 2. 正棱台的结构特征 （1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形； （2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； （3）正棱台的对角面是等腰梯形； （4）各侧棱的延长线交于一点。 三、圆锥 1. 圆锥的结构特征 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 2. 圆锥的性质 （1）平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； （2）轴截面是等腰三角形。 3. 母线的平方等于底面半径与高的平方和 4. 圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。 四、圆台 1. 圆台的结构特征 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。 2. 圆台的性质 （1）圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆； （2）圆台的截面是等腰梯形； （3）圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。 3. 圆台的面积和体积公式 侧面积：（、为上下底面半径，为圆台的母线长） 全面积：（为圆台的母线长） 体积：（为圆台的高） 自主检测（2026·上海长宁·二模）将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（    ）. A． B． C． D． 知识点3 多面体与旋转体 1.多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且相等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点,但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 图形 母线 互相平行且相等,垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 自主检测（2025·上海黄浦·一模）已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为_______． 必记结论 （1）体积公式一条线：柱体；锥体；台体；球、． （2）侧面展开图：圆柱侧面展开是矩形；圆锥侧面展开是扇形，半径等于母线、弧长等于，圆心角；圆台侧面展开是扇环． （3）旋转体的体积用“分割与补形”：绕斜边旋转可拆成两个共底的圆锥，绕直角边旋转得到圆锥，绕直角梯形的一腰旋转得到圆台或组合体． ✅注意：区分“侧面积”与“表面积”，后者要加上底面的面积；球的截面问题抓住这一关系，其中是球心到截面的距离，是截面圆的半径． ⚠️概念辨析 ①“侧面都是平行四边形的多面体是棱柱”是错的：棱柱还要求两个底面互相平行、侧棱互相平行，斜棱柱的侧面虽是平行四边形但侧棱不一定垂直于底面． ②“圆锥的截面都是等腰三角形”是错的：只有过轴的截面（轴截面）才是等腰三角形，平行于底面的截面是圆，斜截面的形状是椭圆． ③“棱台的侧棱长都相等”是错的：正棱台的侧棱长相等，一般棱台只是侧棱延长后交于一点，侧棱长不一定相等． ⚠️避坑指南 ❌ 求表面积时把“侧面积”直接当作“表面积”，漏掉底面的面积而失分． ❌ 锥体的体积公式忘记乘 ；球的外接、内切问题中把“球心到截面的距离”误当作球的半径． 考点精讲 考点一：柱体的结构特征与表面积、体积 例1（2026·上海·二模）已知一个直三棱柱的侧棱长为2，底面面积为2，则该三棱柱的体积为________． 例2（2025·上海闵行·二模）已知圆柱的底面半径为，高为3，则圆柱的体积为______． 解题策略 柱体的表面积与体积 （1）柱体体积一律是“底面积乘高”：，底面是正多边形或圆时先算底面积，高是两底面之间的距离． （2）表面积 = 侧面积 + 2 个底面；圆柱侧面积，棱柱侧面积等于底面周长乘侧棱长（直棱柱）． （3）遇到“侧面积与底面半径（边长）”的等量关系，先列出方程解出高或半径，再代体积公式，注意结果是否需要保留． 【变式1】（2025·上海宝山·二模）已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为_________. 【变式2】（2026·上海·模拟预测）已知圆柱的底面半径为3，侧面积为，则此圆柱的体积为__________． 考点二：锥体的结构特征与表面积、体积 例3（2025·上海金山·一模）已知某正四棱锥的高为2，体积为24，则该正四棱锥的底面边长为（   ） A．9 B．8 C．6 D． 例4（2026·上海·三模）若一圆锥底面半径为3，母线长为5，则其体积为________．（结果保留） 解题策略 锥体的表面积与体积 （1）锥体体积，不能漏；正棱锥的高、斜高、底面边心距构成直角三角形，是求高的常用工具． （2）圆锥的侧面积，其中是母线；由可把母线、半径、高三个量互相转化． （3）已知母线与底面所成的角或轴截面的形状时，先把条件翻译成、、的关系，再套公式，避免在三角形中反复推导． 【变式1】（2025·上海虹口·一模）已知某圆锥的底面半径为2，侧面积为，则该圆锥的体积为 ___________（结果保留） 【变式2】（2025·上海黄浦·三模）某圆锥高为1，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为________ 考点三：台体与组合体的体积 例5（2025·上海·模拟预测）在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为，三棱柱的体积大小为，则________. 例6（2026·上海黄浦·三模）我校新添置了“智能咖啡机”供师生使用，使用者可持空纸杯接咖啡．当投入一枚“五爱币”后，“智能咖啡机”将出液，此时液面高度占纸杯高度的比为（忽略咖啡表面张力）．已知纸杯是圆台形状的容器，杯口半径大于杯底半径，咖啡机每次出液量一致．若使用者直至投入三枚“五爱币”，才发现咖啡液溢出纸杯，则的取值范围为________． 解题策略 台体与组合体 （1）台体体积，其中、是上、下底面积；棱台的“高”是两底面之间的距离，不是侧棱长，常借助轴截面中的直角三角形求． （2）组合体先“分割”为柱、锥、台、球，分别求体积后相加；若中间有重叠或挖空，则用“补形”或相减． （3）三棱柱可分割成三个体积相等的三棱锥，“等体积转换顶点”是求点到平面距离与不规则几何体体积的通用手段． 【变式1】（2026·上海·三模）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.6米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为__________立方米．（精确到0.1立方米） 【变式2】（2025·上海长宁·二模）现有一块正四面体木料PABC，其边长为3，现需要将木料进行切割，要求切割后底面ABC上任意一点Q到顶点P的距离不大于，则切割好后，木料体积的最大值是_________．（结果保留） 考点四：旋转体的形成与侧面展开 例7（2025·上海杨浦·三模）已知，则直角三角形绕斜边旋转一周所形成的几何体的侧面积为 _________. 例8（2026·上海普陀·二模）在中，，，过点A作直线，将绕直线l旋转一周所得到的几何体记为Ω，若Ω的体积是，则Ω的表面积为______. 解题策略 旋转体与展开图 （1）平面图形绕一条直线旋转：先判断旋转所得几何体的形状（圆锥、圆柱、圆台、球或组合体），再确定底面半径与高．绕斜边旋转时得到两个共底圆锥的组合体． （2）展开图上求最短距离：把侧面展开成平面，两点之间线段最短；圆锥展开后扇形圆心角，还要判断线段是否穿过展开图的“接缝”． （3）圆锥侧面积、圆柱侧面积、圆台侧面积，都要先算对母线长． 【变式1】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知某圆锥的侧面展开图为周长为，圆心角为的扇形是面积最大的扇形，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·上海普陀·二模）若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为____________. 考点五：多面体与球的切接问题【高频考点】 例9（2025·上海浦东新·三模）已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 例10（2026·上海杨浦·模拟预测）已知正三棱柱的各顶点都在球O的球面上，且，若球O的体积为，则这个正三棱柱的体积为__________． 解题策略 多面体与球的切接 （1）外接球：球心到各顶点距离相等，长方体（正方体）的外接球直径等于体对角线；一般棱锥可先找底面外接圆圆心，球心在过该圆心且垂直于底面的直线上． （2）内切球：球心到各面距离相等，用等体积法求半径，正四面体的内切球半径是高的． （3）球的截面：；“球心到底面的距离”与“底面外接圆半径”是两个不同的量，不能混用． 【变式1】（2025·上海徐汇·一模）一个底面积为的正四棱柱的所有顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正四棱柱的高为__________． 【变式2】（2025·上海黄浦·三模）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则该鳖臑的体积为________． 考点六：体积、面积的最值与实际应用 例11（2025·上海金山·二模）已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为__________. 例12（2025·上海松江·二模）在三棱锥中，两两垂直，且，设为底面内一点，，其中分别表示三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为___________. 解题策略 最值与实际应用 （1）最值问题的套路：设出变量（半径、高、角），用已知条件把目标表示成该变量的函数，再用二次函数、基本不等式或导数求最值． （2）含“截面面积最大”的问题，先把截面面积表示成角或边的函数，注意自变量的取值范围由几何体的实际形状限制． （3）实际应用题要先把文字条件翻译成几何量（半径、高、液面高度），再建模求值，最后按题目要求取近似值或保留． 【变式1】（2025·上海黄浦·二模）某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为________米．（结果精确到0.01米）    【变式2】（2026·上海金山·二模）申辉中学某个数学建模小组发现：人走路时，启动或者停下的瞬间，手中水平拿着的杯子里的水可能会被晃动得溢出杯口. 查询资料后发现：液面和水平面的夹角与人走路的加速度以及重力加速度有关，满足关系：，其中. 若甲同学走路启动瞬间的加速度为，手中水平拿着一个底面边长为4cm和6cm，高为14cm的长方体形状的杯子，则杯中最多装__________的水，存在甲同学走路启动的瞬间杯中水不溢出的可能. 实战训练 1．（2025·上海松江·二模）在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（   ） A．四棱锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 2．（2026·上海静安·二模）直径为的球的表面积为______．（计算结果保留） 3．（2025·上海金山·三模）已知圆锥的底面直径和母线长都是2，则该圆锥的侧面积为__________．（结果保留） 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为_____ 5．（2025·上海·模拟预测）图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为__________.    6．（2026·上海静安·模拟预测）一个圆柱的体积为100，若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，得到的新圆柱的体积是_________． 7．（2026·上海黄浦·二模）底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为______． 8．（2025·上海杨浦·二模）如图，点分别是直角三角形的边上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为__________. 9．（25-26高三上·上海杨浦·期末）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，母线千米，母线与圆锥底面所成角的大小为，为母线上靠近的三等分点.现要建设一条从到的环山观光公路，当公路长度最短时，这条公路从出发到的过程中，先上坡、后下坡，则公路的上坡路段长为______千米.（精确到0.1千米） 10．（2025·上海·模拟预测）已知墙面与地面互相垂直，，一个气球（视为球）悬在空中．某时刻，太阳光线（视为平行直线）与恰好垂直，气球的影子在上的长度为2，影子在墙面上与距离最大的点到的距离为1，在地面上与距离最大的点到的距离为2，则该气球的半径为________． 11．（2026·上海黄浦·二模）在空间直角坐标系中，将点集所表示的立方体的表面满足的部分记为S，同时满足“”与“或”的点P的集合所表示几何体的体积为______． 12．（2025·上海杨浦·一模）如图，在长方体中，为上一动点，已知，. (1)求直线与平面所成角的大小；（用反三角表示） (2)求三棱锥的体积. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $