专题09 空间向量及其应用（复习讲义）（上海专用）2027年春季高考数学

专题09 空间向量及其应用 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 9 考点一 空间向量的线性运算与数量积 9 考点二 空间向量基本定理与基底表示 13 考点三 空间向量的坐标表示与坐标运算 16 考点四 用空间向量证明平行与垂直 18 考点五 异面直线所成角、线面角与二面角（高频考点） 23 考点六 空间距离与几何体的体积 29 04 实战演练 33 考情解读 考试要求 ①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法、数乘与数量积运算，理解共面向量的定义，掌握空间向量平行、垂直的充要条件． ②理解空间向量基本定理，会用不共面的三个向量作基底表示空间向量，会把空间向量运算转化为实数的运算． ③掌握空间向量的正交分解与坐标表示，会用坐标进行线性运算、求数量积、模长与夹角，能判断空间向量的平行与垂直． ④能用向量方法证明空间中的平行与垂直关系，求异面直线所成角、线面角、二面角以及点到平面、点到直线的距离． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 空间向量的运算与基本定理 5年3考 数量积运算、基底表示、共线与共面判定 预测2027年在填空题中考查基底表示与数量积，多以平行六面体或四面体为背景 空间向量的坐标运算 5年2考 建系求点坐标、平行与垂直的坐标判定 预测2027年在解答题第一问中要求建系并写出坐标，为后续求角作准备 空间位置关系的向量证明 5年4考 2026年上海市春季高考 第18题 线面、面面平行与垂直的向量证明 以正四棱台为背景，用向量法证明线面平行 2026年上海市春季高考第18题可用向量法证明线面平行；预测2027年在解答题中考查线面垂直的证明，向量法与综合法互为补充 空间角、距离与体积 5年4考 2026年上海市春季高考 第18题 异面直线所成角、线面角、二面角、点面距与体积 用向量法求线面角 2026年上海市春季高考第18题可用向量法求线面角；预测2027年在解答题中考查二面角与点面距离，向量法仍是主要工具 知识梳理 知识点1 空间向量及其运算 1. 空间向量的概念与运算 （1）空间向量的定义和相关概念(模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、负向量等)与平面向量中的情形相同； （2）对只与一组共面向量相关的问题，有关平面向量的定义与结论均适用。特别地，平面向量运算(加法、减法、与实数的乘法、数量积)的定义与性质直接适用于空间向量。 2. 共面向量 如果一组向量可以平移到同一个平面上，那么称这组向量是共面的，显然，任意两个向量都是共面的。 3. 空间向量平行的充要条件 空间中的向量与非零向量平行的充要条件是存在实数，使得。 自主检测（2026·上海杨浦·模拟预测）已知在三棱锥中，平面，是边长为的等边三角形，直线上的动点满足：，则的值随增大而（    ） A．不变 B．增大 C．减小 D．先减小，后增大 知识点2 空间向量基本定理、空间向量的坐标表示 1. 向量共面的充要条件 如果与是两个不平行的向量，那么空间中的向量与、共面的充要条件是，存在唯一的一对实数与，使得。 2. 空间向量基本定理 如果、与是不共面的向量，那么对空间中任意一个向量，存在唯一的一组实数、与，使得。 3. 空间向量的坐标表示 （1）空间向量的坐标表示：建立空间直角坐标系，把向量的起点放在坐标原点，该向量就直接用它的终点坐标表示为，这个表示的意义是：是坐标轴正方向上的单位向量、与的线性组合。 （2）给定空间两点与，则。 4. 坐标表示下的空间向量运算 设向量，，则 （1）； （2）； （3），； （4）。 5. 空间向量的夹角、平行与垂直 设向量，均为非零向量，则 （1）； （2），，； （3）。 自主检测（2026·上海松江·模拟预测）在四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，异面直线与BD的夹角为，则__________. 知识点3 空间向量在立体几何中的应用 1. 空间直线的方向向量 对于空间一条直线，我们把与直线平行的非零向量叫做直线的一个方向向量。 一条直线的方向向量不唯一，但所有的方向向量互相平行。 直线上任意两点组成的向量都是该直线的一个方向向量。 2. 平面的法向量 对于非零向量，如果它所在的直线与平面垂直，我们把向量叫做平面的一个法向量。 一个平面的法向量不唯一，但所有的法向量互相平行。 求一个平面的法向量，只要求出与平面内两个不平行向量都垂直的一个向量即可。 3. 空间直线与平面之间的平行与垂直 ① 两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行； 两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直。 ② 直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面的法向量； 平面外一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量。 ③ 两个平面垂直的充要条件是其中一个平面过另一个平面的一个法向量； 两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行。 4. 求距离 ① 平面外一点到平面的距离由公式给出，其中是平面的一个法向量，是平面上任意一点； ② 平面的平行线到平面的距离、平行平面间的距离均化为点到平面的距离来处理。 5. 求角的大小 ① 具有方向向量与的两条直线所成角的大小由如下公式确定： ② 具有方向向量的直线与具有法向量的平面所成角的大小由如下公式确定： ③ 具有法向量与的两个平面所成的锐二面角(或直二面角)的大小由如下公式确定： 自主检测（2025·上海金山·二模）如图，在四棱锥中，平面，. (1)证明：平面平面； (2)若，求点到平面的距离. 必记结论 （1）共线与共面：的充要条件是存在实数，使；、、三点共线的充要条件是存在实数，使． （2）空间向量基本定理：若、、不共面，则对任意向量，存在唯一的有序实数组，使；四点共面的充要条件是且． （3）用向量求角与距离的四个公式：线线角；线面角；二面角先求两法向量的夹角再判断锐钝；点面距． ✅注意：用坐标法解题前，必须先说明（或证明）三条坐标轴两两垂直；求线面角用的是，求二面角时法向量的夹角不一定等于二面角，要结合图形判断锐钝后再下结论． ⚠️概念辨析 ①“，则 或 ”是错的：零向量与任何向量的数量积都为 ，但两个非零向量垂直时数量积也为 ． ②“ 且 ，则 ”是错的：由 只能得到 ，不能消去 ． ③“三个向量两两不共线，则它们一定不共面”是错的：如 时三个向量两两不共线却共面，判断基底必须看是否共面而非是否共线． ⚠️避坑指南 ❌ 建系时想当然地把三条棱当作坐标轴，没有先证明它们两两垂直，导致后面所有点坐标全错，整题失分． ❌ 求二面角时直接把两个法向量夹角的余弦当作答案，没有结合图形判断二面角是锐角还是钝角，符号写反． 考点精讲 考点一：空间向量的线性运算与数量积 例1（2025·上海嘉定·一模）已知空间向量，，，且，则  _____. 例2（2025·上海虹口·一模）已知空间中四个单位向量满足, 则在方向上的数量投影的最大值为___ 例3（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，___________； 解题策略 线性运算与数量积 （1）线性运算抓“基底”：把所求向量用从同一点出发的不共面的三个向量表示，再代入长度与夹角求值，避免直接对模长做加减． （2）数量积两条路：定义式适合已知模长与夹角；坐标式适合能建系的情形，后者优先． （3）遇到“动点”“最值”：先把目标平方，化为关于参数的二次函数或能用基本不等式的式子，再注意参数的取值范围． 【变式1】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为_______. 【变式2】（2025·上海长宁·一模）已知集合，若对于空间中任意单位向量，都存在，使得，则实数的最大值为___________． 考点二：空间向量基本定理与基底表示 例4（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 例5（2025·上海·模拟预测）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于______.    解题策略 基底表示与共面判定 （1）选基底的三条棱必须不共面，且尽量让长度、夹角已知，常取平行六面体、四面体中从同一顶点出发的三条棱． （2）用基底表示向量时沿图形“走路径”：，把每一步都换成基底向量，最后合并同类项检验． （3）判断四点共面：若且，则、、、共面；系数和不为就一定不共面． 【变式1】（2025·上海奉贤·二模）如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 【变式2】（2025·上海·模拟预测）不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ______． 考点三：空间向量的坐标表示与坐标运算 例6（2025·上海徐汇·二模）在空间直角坐标系中，向量若，则____. 例7（2025·上海松江·二模）已知空间向量，若，则___________. 例8（2026·上海长宁·二模）已知向量，，若，则实数________. 解题策略 坐标运算 （1）建系三步：找出（或证明）两两垂直的三条直线；确定原点与坐标轴正方向；写出各点坐标并用已知长度检验一遍． （2）平行与垂直的坐标判定：对应坐标成比例；，注意“坐标成比例”时要讨论分母为零的情形． （3）模长与夹角：，，夹角余弦可为负，但线线角要取绝对值． 【变式1】（2026·上海浦东新·三模）已知圆锥的半径为3，点为底面圆周上任意一点，点为圆锥侧面（不含边界）上任意一点，则的取值范围为___________． 【变式2】（2025·上海浦东新·二模）已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为__________．（用反三角表示） 考点四：用空间向量证明平行与垂直 例9（2025·上海·模拟预测）已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）. A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 例10（2025·上海闵行·二模）设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数，满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 解题策略 平行与垂直的向量证明 （1）证线面平行：求平面的法向量，证方向向量满足，并说明直线不在平面内． （2）证线面垂直：证，或证与平面内两条相交直线的方向向量的数量积都为；证面面垂直则证两法向量垂直． （3）书写格式固定为四步：建系写坐标—求方向向量与法向量—算数量积—下结论，每一步都要有依据，避免只写结果． 【变式1】（2026·上海嘉定·二模）如图，在中，，平面，分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【变式2】（2026·上海松江·模拟预测）在如图所示的多面体中，已知四边形ABCD是菱形，平面平面，点G为线段AF的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 考点五：异面直线所成角、线面角与二面角【高频考点】 例11（2026·上海·二模）在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则________． 例12（2025·上海普陀·一模）在中，，，，为边上的一点，且，现将沿边折起，使得点至点的位置，且满足平面平面，如图所示，则直线与平面所成的角的正弦值为___________． 解题策略 空间角的计算 （1）异面直线所成角：，范围是；几何法可平移其中一条到相交后再解三角形． （2）线面角：，范围是；用错余弦是本题型最常见的失分点． （3）二面角：先求两半平面法向量的夹角余弦，再结合图形判断二面角是锐角还是钝角；若图中两平面明显垂直，可直接由定义得出． 【变式1】（2026·上海静安·二模）如图，在长方体中，，，，是的中点． (1)求四棱锥的体积； (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小．（结果用反三角函数值表示） 【变式2】（2025·上海金山·一模）如图，已知圆锥，点在底面圆周上，，且，动点 落在劣弧上． (1)求证：平面平面； (2)若点 平分劣弧，过点 分别作，垂足分别为两点，求二面角的大小． 考点六：空间距离与几何体的体积 例13（2025·上海徐汇·二模）已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是_____. 例14（2026·上海·三模）如图，为圆锥底面圆的直径，为的中点，点是圆上的动点（点在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为______．    解题策略 距离与体积 （1）点面距：，取平面内坐标最简单的点，为该平面的法向量． （2）点到直线的距离：，其中是与直线同向的单位向量． （3）体积：，高常用点面距求出；也可用等体积法转换顶点，把难求的高换成易求的高． 【变式1】（2025·上海普陀·二模）在棱长为4的正方体中，，若一动点满足，则三棱锥体积的最大值为____________. 【变式2】（2026·上海杨浦·模拟预测）球面距离是指球面上两点之间的最短连线长度，即经过这两点的大圆在两点间的一段劣弧长度（大圆是经过球心的平面截球面所得的圆），已知为球的直径，点，N在球面上，且是等边三角形，若球体积的大小与表面积的大小相同，且，则，两点的球面距离为__________． 实战训练 1．（2026·上海静安·二模）设、分别是棱长为的正方体的两个不同顶点，点在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与、两点重合．关于，给出下列两个结论： ①存在最小值，且最小值小于零； ②存在最大值，且最大值大于零． 则下列判断正确的选项是（    ）． A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 2．（2026·上海杨浦·二模）记…，是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量、、均不能使成立，则的最大值为______. 3．（2026·上海嘉定·二模）在包装设计中，常用长度和宽度描述物体体型．长度定义为物体上最远两点间的距离，宽度定义为能夹住物体的两平行平面间的最小距离，即存在一对平行平面，使得物体上的所有点均位于两平面之间（包括平面上）．现有一圆柱，其底面半径R与高h可任意调节，则的最小值为___________ 4．（2025·上海长宁·一模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，直线与平面所成的角的大小为． (1)求四棱锥的体积； (2)点在线段上，直线平面，求二面角的余弦值． 5．（2026·上海·三模）在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面底面，其中，，，，点E为中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 6．（2025·上海静安·一模）已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，．    (1)证明：平面； (2)若2，求直线与平面所成角的正弦值． 7．（2026·上海黄浦·二模）如图，在直三棱柱中，点、分别是棱、上的点（点异于点），且． (1)求证：平面平面； (2)若是正三角形，，且三棱柱的体积是三棱锥的体积的倍，求与平面所成的角的大小． 8．（2025·上海闵行·二模）如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知． (1)证明：； (2)求二面角的大小． 9．（2026·上海·三模）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，点O是AB的中点． (1)求证：； (2)求直线CP与平面POD所成角的大小． 10．（2025·上海·三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，，是底面半径，，为劣弧的中点. (1)证明：平面； (2)若圆锥底面半径为1，高为2，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 11．（2026·上海闵行·二模）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，为底面圆的一条直径，且. (1)求异面直线与所成角的大小（用反三角表示）； (2)求点到平面的距离. 12．（2026·上海普陀·二模）如图，在正三棱柱中，D、E分别是棱、的中点，且. (1)求证：直线平面； (2)求点A到平面的距离. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 空间向量及其应用 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 9 考点一 空间向量的线性运算与数量积 9 考点二 空间向量基本定理与基底表示 13 考点三 空间向量的坐标表示与坐标运算 16 考点四 用空间向量证明平行与垂直 18 考点五 异面直线所成角、线面角与二面角（高频考点） 23 考点六 空间距离与几何体的体积 29 04 实战演练 33 考情解读 考试要求 ①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法、数乘与数量积运算，理解共面向量的定义，掌握空间向量平行、垂直的充要条件． ②理解空间向量基本定理，会用不共面的三个向量作基底表示空间向量，会把空间向量运算转化为实数的运算． ③掌握空间向量的正交分解与坐标表示，会用坐标进行线性运算、求数量积、模长与夹角，能判断空间向量的平行与垂直． ④能用向量方法证明空间中的平行与垂直关系，求异面直线所成角、线面角、二面角以及点到平面、点到直线的距离． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 空间向量的运算与基本定理 5年3考 数量积运算、基底表示、共线与共面判定 预测2027年在填空题中考查基底表示与数量积，多以平行六面体或四面体为背景 空间向量的坐标运算 5年2考 建系求点坐标、平行与垂直的坐标判定 预测2027年在解答题第一问中要求建系并写出坐标，为后续求角作准备 空间位置关系的向量证明 5年4考 2026年上海市春季高考 第18题 线面、面面平行与垂直的向量证明 以正四棱台为背景，用向量法证明线面平行 2026年上海市春季高考第18题可用向量法证明线面平行；预测2027年在解答题中考查线面垂直的证明，向量法与综合法互为补充 空间角、距离与体积 5年4考 2026年上海市春季高考 第18题 异面直线所成角、线面角、二面角、点面距与体积 用向量法求线面角 2026年上海市春季高考第18题可用向量法求线面角；预测2027年在解答题中考查二面角与点面距离，向量法仍是主要工具 知识梳理 知识点1 空间向量及其运算 1. 空间向量的概念与运算 （1）空间向量的定义和相关概念(模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、负向量等)与平面向量中的情形相同； （2）对只与一组共面向量相关的问题，有关平面向量的定义与结论均适用。特别地，平面向量运算(加法、减法、与实数的乘法、数量积)的定义与性质直接适用于空间向量。 2. 共面向量 如果一组向量可以平移到同一个平面上，那么称这组向量是共面的，显然，任意两个向量都是共面的。 3. 空间向量平行的充要条件 空间中的向量与非零向量平行的充要条件是存在实数，使得。 自主检测（2026·上海杨浦·模拟预测）已知在三棱锥中，平面，是边长为的等边三角形，直线上的动点满足：，则的值随增大而（    ） A．不变 B．增大 C．减小 D．先减小，后增大 【答案】B 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】由题意知，再结合，根据向量数量积运算得，最后结合一次函数的性质判断即可. 【详解】因为直线上动点满足：， 所以 因为平面，平面，所以，即 因为是边长为的等边三角形， 所以，， 所以， 因为是关于的一次函数，且单调递增， 所以的值随增大而增大 知识点2 空间向量基本定理、空间向量的坐标表示 1. 向量共面的充要条件 如果与是两个不平行的向量，那么空间中的向量与、共面的充要条件是，存在唯一的一对实数与，使得。 2. 空间向量基本定理 如果、与是不共面的向量，那么对空间中任意一个向量，存在唯一的一组实数、与，使得。 3. 空间向量的坐标表示 （1）空间向量的坐标表示：建立空间直角坐标系，把向量的起点放在坐标原点，该向量就直接用它的终点坐标表示为，这个表示的意义是：是坐标轴正方向上的单位向量、与的线性组合。 （2）给定空间两点与，则。 4. 坐标表示下的空间向量运算 设向量，，则 （1）； （2）； （3），； （4）。 5. 空间向量的夹角、平行与垂直 设向量，均为非零向量，则 （1）； （2），，； （3）。 自主检测（2026·上海松江·模拟预测）在四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，异面直线与BD的夹角为，则__________. 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】利用向量的运算法则将已知条件进行转化，进而求出. 【详解】在四棱柱中，. 则. 根据向量乘法分配律展开可得： . 因为，所以. 已知，即. 又已知异面直线与的夹角为，且， 设与的夹角为，则. 根据向量点积公式，可得， 即，解得. 因为，根据向量模长公式可得 . 将代入上式可得. 所以. 知识点3 空间向量在立体几何中的应用 1. 空间直线的方向向量 对于空间一条直线，我们把与直线平行的非零向量叫做直线的一个方向向量。 一条直线的方向向量不唯一，但所有的方向向量互相平行。 直线上任意两点组成的向量都是该直线的一个方向向量。 2. 平面的法向量 对于非零向量，如果它所在的直线与平面垂直，我们把向量叫做平面的一个法向量。 一个平面的法向量不唯一，但所有的法向量互相平行。 求一个平面的法向量，只要求出与平面内两个不平行向量都垂直的一个向量即可。 3. 空间直线与平面之间的平行与垂直 ① 两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行； 两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直。 ② 直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面的法向量； 平面外一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量。 ③ 两个平面垂直的充要条件是其中一个平面过另一个平面的一个法向量； 两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行。 4. 求距离 ① 平面外一点到平面的距离由公式给出，其中是平面的一个法向量，是平面上任意一点； ② 平面的平行线到平面的距离、平行平面间的距离均化为点到平面的距离来处理。 5. 求角的大小 ① 具有方向向量与的两条直线所成角的大小由如下公式确定： ② 具有方向向量的直线与具有法向量的平面所成角的大小由如下公式确定： ③ 具有法向量与的两个平面所成的锐二面角(或直二面角)的大小由如下公式确定： 自主检测（2025·上海金山·二模）如图，在四棱锥中，平面，. (1)证明：平面平面； (2)若，求点到平面的距离. 【答案】(1)因为平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； (2) 【知识点】证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，从而可证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以， 在中，，则， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则，所以， 所以点到平面的距离为. 必记结论 （1）共线与共面：的充要条件是存在实数，使；、、三点共线的充要条件是存在实数，使． （2）空间向量基本定理：若、、不共面，则对任意向量，存在唯一的有序实数组，使；四点共面的充要条件是且． （3）用向量求角与距离的四个公式：线线角；线面角；二面角先求两法向量的夹角再判断锐钝；点面距． ✅注意：用坐标法解题前，必须先说明（或证明）三条坐标轴两两垂直；求线面角用的是，求二面角时法向量的夹角不一定等于二面角，要结合图形判断锐钝后再下结论． ⚠️概念辨析 ①“，则 或 ”是错的：零向量与任何向量的数量积都为 ，但两个非零向量垂直时数量积也为 ． ②“ 且 ，则 ”是错的：由 只能得到 ，不能消去 ． ③“三个向量两两不共线，则它们一定不共面”是错的：如 时三个向量两两不共线却共面，判断基底必须看是否共面而非是否共线． ⚠️避坑指南 ❌ 建系时想当然地把三条棱当作坐标轴，没有先证明它们两两垂直，导致后面所有点坐标全错，整题失分． ❌ 求二面角时直接把两个法向量夹角的余弦当作答案，没有结合图形判断二面角是锐角还是钝角，符号写反． 考点精讲 考点一：空间向量的线性运算与数量积 例1（2025·上海嘉定·一模）已知空间向量，，，且，则  _____. 【答案】 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量数量积的应用 【分析】首先利用向量的垂直得出，，，再将平方即可求解. 【详解】，，，，，， ， ， . 故答案为：. 例2（2025·上海虹口·一模）已知空间中四个单位向量满足, 则在方向上的数量投影的最大值为___ 【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】通过已知条件建立向量与的关系，进而求出在方向上的数量投影的值. 【详解】设 ,, 其中,, , 可设, 同理，（*）, , 则在方向上的数量投影为 当最大时，，，故由（*），, , , , , , ， 故答案为：. 例3（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，___________； 【答案】 【知识点】数量积的运算律、空间向量数量积的应用 【分析】问题等价于，当且仅当时取到最小值，通过平方的方法，结合最值的知识求得正确答案. 【详解】，又，所以， 对于任意成立， 等价于，当且仅当时取到最小值， 则，解得. 故答案为：. 解题策略 线性运算与数量积 （1）线性运算抓“基底”：把所求向量用从同一点出发的不共面的三个向量表示，再代入长度与夹角求值，避免直接对模长做加减． （2）数量积两条路：定义式适合已知模长与夹角；坐标式适合能建系的情形，后者优先． （3）遇到“动点”“最值”：先把目标平方，化为关于参数的二次函数或能用基本不等式的式子，再注意参数的取值范围． 【变式1】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为_______. 【答案】 【知识点】和差化积公式、空间向量数量积的应用 【分析】利用空间向量的线性运算与数量积运算转化为平面向量，结合三角函数恒等变换与三角函数性质求最值即可. 【详解】如图，过点、、分别作与圆柱底面平行的平面截圆柱得圆， 设点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为， 则 由可得到， 当且仅当时，等号成立， 如图，在圆所在平面建立平面直角坐标系， 则， 所以 则 ， 当，时，等号成立； 故，所以的最小值为. 故答案为：. 【变式2】（2025·上海长宁·一模）已知集合，若对于空间中任意单位向量，都存在，使得，则实数的最大值为___________． 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】根据反证法可得对于空间中任意单位向量，都存在，从而可得答案. 【详解】因为，可设， 则 设,因为， 讨论可得共有以下4个不同的取值： ； ； ； ， 假设以上四式都小于3，可得： ； ； ； ， 下面三式相加可得,与相矛盾， 所以假设不成立，即表示的四种情况中至少有一种不小于3， 所以对于空间中任意单位向量，都存在， 当向量两两正交时，等号成立 所以，所以实数的最大值为. 故答案为：. 考点二：空间向量基本定理与基底表示 例4（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析、空间向量基本定理及其应用 【分析】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断. 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 例5（2025·上海·模拟预测）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于______.    【答案】 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意，. 故答案为： 解题策略 基底表示与共面判定 （1）选基底的三条棱必须不共面，且尽量让长度、夹角已知，常取平行六面体、四面体中从同一顶点出发的三条棱． （2）用基底表示向量时沿图形“走路径”：，把每一步都换成基底向量，最后合并同类项检验． （3）判断四点共面：若且，则、、、共面；系数和不为就一定不共面． 【变式1】（2025·上海奉贤·二模）如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量共线的判定、空间向量的数乘运算、用空间基底表示向量 【分析】以为基底结合图形，利用空间向量的线性运算推理作答. 【详解】在平行六面体中，令，，， 则，， ， ，因为不共线所以与不平行，故A错误. ， ，即有，，有公共点， 所以、、三点共线，B选项正确. 因为点在直线上，点也在直线上所以与是相交直线， 故C选项错误. 因为，所以，故D选项错误. 故选：B 【变式2】（2025·上海·模拟预测）不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ______． 【答案】16 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由向量共面定理有，再应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【详解】由题设，不与共面，且四点共面， 所以，可得，且， 所以， 当且仅当时取等号，则最小值为16. 故答案为：16 考点三：空间向量的坐标表示与坐标运算 例6（2025·上海徐汇·二模）在空间直角坐标系中，向量若，则____. 【答案】 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据空间向量平行的坐标表示，结合已知条件，直接计算即可. 【详解】若，则， 解得，，故. 故答案为：. 例7（2025·上海松江·二模）已知空间向量，若，则___________. 【答案】1 【知识点】利用向量垂直求参数 【分析】利用向量垂直数量积等于0即可得到结果. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：1 例8（2026·上海长宁·二模）已知向量，，若，则实数________. 【答案】 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【详解】因为，，又， 所以， 则. 解题策略 坐标运算 （1）建系三步：找出（或证明）两两垂直的三条直线；确定原点与坐标轴正方向；写出各点坐标并用已知长度检验一遍． （2）平行与垂直的坐标判定：对应坐标成比例；，注意“坐标成比例”时要讨论分母为零的情形． （3）模长与夹角：，，夹角余弦可为负，但线线角要取绝对值． 【变式1】（2026·上海浦东新·三模）已知圆锥的半径为3，点为底面圆周上任意一点，点为圆锥侧面（不含边界）上任意一点，则的取值范围为___________． 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用空间坐标法求数量积后可得结论. 【详解】以为轴，为轴，底面上与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设圆锥的高为， 则，设，则， ，由得， 所以的取值范围为 【变式2】（2025·上海浦东新·二模）已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为__________．（用反三角表示） 【答案】 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】由题意可设设，，结合，，求得和，再结合向量夹角得坐标表示即可求解. 【详解】可设，设， 则， 所以， 两式相减可得：，再代入第一个式子， 可得： 设向量与向量夹角为， 则， 易知对于当即取得最大值， 此时取得最大值， 即的最大值为，时取得， 再由余弦函数的单调性可知的最小值为， 故答案为： 考点四：用空间向量证明平行与垂直 例9（2025·上海·模拟预测）已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）. A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】由空间线面位置关系逐项判断即可； 【详解】若，，，则平行或异面，错误； 若，，，则平行，或异面，或相交，错误； 若，，取直线的方向向量作为的法向量， 取直线的方向向量为作为的法向量，， 因为，即两平面所成角为，所以， 所以，即正确； 若，，，则平行或异面、或相交，错误； 故选：C 例10（2025·上海闵行·二模）设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数，满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】证明线面垂直、求空间向量的数量积 【分析】根据给定条件可得集合中所有向量共起点时，终点在球面上，再利用数量积的运算律求出的最大值，进而求出值. 【详解】令集合的各向量起点为，对应终点依次为， 由向量为单位向量，则点在以为球心，1为半径的球面上， 由，得点中任意三点不共线， 由，得，则， 由，同理得，而点不共线， 于是点不共面，点为球内接正四面体的4个顶点， 若，不妨取，同理得，平面， 又，由过一点有且只有一个平面垂直于已知直线，得点平面， 与点不共面矛盾，因此，设正四面体的棱长为， 则正的外接圆半径为，正四面体的高为， 球心到平面的距离为，因此，解得， 所以. 故选：C 解题策略 平行与垂直的向量证明 （1）证线面平行：求平面的法向量，证方向向量满足，并说明直线不在平面内． （2）证线面垂直：证，或证与平面内两条相交直线的方向向量的数量积都为；证面面垂直则证两法向量垂直． （3）书写格式固定为四步：建系写坐标—求方向向量与法向量—算数量积—下结论，每一步都要有依据，避免只写结果． 【变式1】（2026·上海嘉定·二模）如图，在中，，平面，分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)由题可建立如图所示的空间直角坐标系.设. 则. 所以 所以，； (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，设，求出，利用证明 . （2）求出平面的一个法向量，利用即可求出直线与平面所成角的大小. 【详解】（1）略 （2），. ，. 记平面的一个法向量为， 则，令 则 . ，. 记直线与平面所成角为. 则. 又，. 【变式2】（2026·上海松江·模拟预测）在如图所示的多面体中，已知四边形ABCD是菱形，平面平面，点G为线段AF的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明如下： 连接与，相交于点，连接，， 因为菱形，所以点是的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面， 所以， 又，，所以四边形是平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为，、平面， 所以平面平面； (2) 【知识点】证明面面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）连接与，相交于点，连接，，分别证明，，再由面面平行判定定理即可得证； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，确定直线BC的方向向量与平面BDG的法向量，根据线面夹角的坐标运算求解即可． 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接， 因为，四边形是菱形， 所以是等边三角形，则， 则建立以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示： 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则，取，则，，所以， 所以， 直线与平面所成角的正弦值为． 考点五：异面直线所成角、线面角与二面角【高频考点】 例11（2026·上海·二模）在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则________． 【答案】 【知识点】正棱台及其有关计算、求异面直线所成的角、求二面角、面面角的向量求法 【分析】法一在正四棱台中，由异面直线所成角可得，再根据面面角定义计算求解即可，法二建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，进而利用二面角的向量求法并结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】法一：在正四棱台中，， 因为，，所以为异面直线与所成的角， 即，过点作平面的垂线，垂足为， 作直线的垂线，垂足为，连接，如图所示： 由正四棱台性质可知，点在线段上，， 所以，，， 由二面角定义可知即为二面角的平面角， 而，故. 法二：如图，作出符合题意的图形，作下底面中心，上底面中心， 以为原点，建立空间直角坐标系，设正四棱台的高为， 由题意得，，则，， ，，则，， 因为异面直线与所成角为， 所以，解得， 由题意得面的法向量为， 则，，， 设面的法向量为， 则，令，解得，， 得到，由图可知，是锐角，则， 由已知得，由同角三角函数的基本关系得， 故. 例12（2025·上海普陀·一模）在中，，，，为边上的一点，且，现将沿边折起，使得点至点的位置，且满足平面平面，如图所示，则直线与平面所成的角的正弦值为___________． 【答案】 【知识点】线面角的向量求法 【分析】由、、得到为等边三角形，取的中点，的中点，得到，从而得到，由平面平面得到平面，过作的平行线作为轴，以为原点，为轴，为轴，建系，写坐标，求出和平面的法向量， 设直线与平面所成的角为，利用数量积求出即可得解. 【详解】，， ，为等边三角形， 取的中点，的中点，连接，则， 现将沿边折起，使得点至点的位置，则， 平面平面，平面平面，， 平面， 过作的平行线作为轴，以为原点，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 为等边三角形，，， ，， ， ， 平面的法向量为，， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成的角的正弦值. 解题策略 空间角的计算 （1）异面直线所成角：，范围是；几何法可平移其中一条到相交后再解三角形． （2）线面角：，范围是；用错余弦是本题型最常见的失分点． （3）二面角：先求两半平面法向量的夹角余弦，再结合图形判断二面角是锐角还是钝角；若图中两平面明显垂直，可直接由定义得出． 【变式1】（2026·上海静安·二模）如图，在长方体中，，，，是的中点． (1)求四棱锥的体积； (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小．（结果用反三角函数值表示） 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、面面角的向量求法 【分析】（1）直接利用棱锥的体积公式求解； （2）通过建立空间直角坐标系，得到两个平面的法向量进而求解二面角即可. 【详解】（1）因为底面是直角梯形，上底，下底，高， 因此梯形面积 ， 四棱锥的高为到底面的距离，即， 因此体积 . （2） 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 根据题意得各点坐标，，，， 平面的一个法向量为， 在平面中，向量，，设平面的法向量为， 则 令，得，即. 设锐二面角为，则 ， 因此锐二面角大小为. 【变式2】（2025·上海金山·一模）如图，已知圆锥，点在底面圆周上，，且，动点 落在劣弧上． (1)求证：平面平面； (2)若点 平分劣弧，过点 分别作，垂足分别为两点，求二面角的大小． 【答案】(1)证明：在圆锥中，平面，∴ ∵，∴ ∵，平面，∴平面， ∵平面 ∴平面平面 (2). 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、求二面角、面面角的向量求法 【分析】（1）先证明线面垂直，然后得出面面垂直； （2）先建立空间直角坐标系，通过求平面的法向量解决二面角问题. 【详解】（1）略 （2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，如图建立空间直角坐标系 由题意，，，，， 则，，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 设平面与平面夹角为， 则， ∴平面与平面夹角的余弦值为. 则根据法向量朝向可知二面角的大小为. 考点六：空间距离与几何体的体积 例13（2025·上海徐汇·二模）已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是_____. 【答案】 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】取中点为，连接，通过证明，从而证明点到的距离为，再结合已知条件求出即可. 【详解】取中点为，连接，如下所示： 因为为等腰三角形，又为中点，故； 因为平面，面，故； 又面，故面，又面，故， 故点到直线的距离，即为； 在△中，； 因为平面，面，故，则△为直角三角形； 在△中，，故, 故点到直线的距离为. 故答案为：. 例14（2026·上海·三模）如图，为圆锥底面圆的直径，为的中点，点是圆上的动点（点在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为______．    【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、点到平面距离的向量求法 【分析】根据圆锥的几何性质，结合已知条件得出互相垂直关系，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用三角形的性质，求出面积最大值时点坐标，求出平面法向量和相关向量，进而利用点到平面距离公式计算求解． 【详解】连接，由题意可知，， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则， 点在底面圆上，且点在直径同侧，设， 母线长，为等腰三角形， ， 设边上的高为，则， ， 令，则，开口向下，对称轴为， 当时，面积最大，此时， ，， ，设平面的法向量为， 则，令，则， 点到平面距离为． 解题策略 距离与体积 （1）点面距：，取平面内坐标最简单的点，为该平面的法向量． （2）点到直线的距离：，其中是与直线同向的单位向量． （3）体积：，高常用点面距求出；也可用等体积法转换顶点，把难求的高换成易求的高． 【变式1】（2025·上海普陀·二模）在棱长为4的正方体中，，若一动点满足，则三棱锥体积的最大值为____________. 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、空间向量的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，得出的坐标，设，根据已知列出方程，化简得出点的轨迹为球.进而结合图象即可得出点到平面的最大距离，结合体积公式即可得出答案. 【详解】 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则有. 又， 所以. 设，则. 因为， 代入可得， 整理可得， 即在以点为球心，为半径的球上. 又的面积为， 平面到平面的距离为4， 所以到平面的最大距离为. 体积最大值为. 故答案为：. 【变式2】（2026·上海杨浦·模拟预测）球面距离是指球面上两点之间的最短连线长度，即经过这两点的大圆在两点间的一段劣弧长度（大圆是经过球心的平面截球面所得的圆），已知为球的直径，点，N在球面上，且是等边三角形，若球体积的大小与表面积的大小相同，且，则，两点的球面距离为__________． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、求球面距离、球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】先求出球的半径，再利用向量条件求出等边三角形的边长长度，最后利用几何关系求解. 【详解】根据球的体积与表面积相等，则球的半径，设的边长为， 则，又因 ，设线段的中点为， 则根据向量加法的平行四边形法则，有，则， 连接，所以，因为为的中点， 则，同时， 则 ，解得， 又因，所以为等腰三角形，故，且， 和相交于，所以面，在的边长为，，， 因为，故，即， 解得，代入， 得， 则，因为， 所以， 即，解得，且， 故，. 因为 ， ，所以为等边三角形， 所以球心角，则的距离为 . 实战训练 1．（2026·上海静安·二模）设、分别是棱长为的正方体的两个不同顶点，点在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与、两点重合．关于，给出下列两个结论： ①存在最小值，且最小值小于零； ②存在最大值，且最大值大于零． 则下列判断正确的选项是（    ）． A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【答案】A 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】分、为同一平面的相邻顶点、、为同一平面的不相邻顶点及、为体对角线上两顶点进行讨论，可求出对应的长度，取中点为，利用空间向量线性运算与数量积公式可得，再求出对应范围即可得解. 【详解】设中点为， 若、为同一平面的相邻顶点，则， 则，即， ， 此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零； 若、为同一平面的不相邻顶点，则， 则，即， 此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零； 若、为体对角线上两顶点，则， 则，即， 则， 此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，最大值等于零； 综上可得：①正确；②错误. 2．（2026·上海杨浦·二模）记…，是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量、、均不能使成立，则的最大值为______. 【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量基本定理及其应用、求投影向量 【分析】根据已知条件利用向量投影、共线性质结合条件①②分析即可得. 【详解】设是这个向量中的任意两个向量， 根据投影的定义，向量在向量方向上的投影为：， 由条件①可知，或， 当时，向量共线，当时，向量垂直； 表示三个单位向量， 当、不同向时，， 则， 则，又， 故不符合， 则、同向，则由，可得、、同向， 由其中任意三个向量、、均不能使成立， 则其中任意三个向量、、不同向，即同一方向最多两个不等向量； 故结合①②可得：这些向量中任意两个向量要么共线，要么垂直，且同一方向最多两个不等向量， 例如可取空间中三个两两互相垂直的单位向量及其相反向量， 再取，这个不同向量满足条件①②； 若存在第个向量，则必须与另外个向量中的任一共线或垂直， 由于已有的向量中包含三个互相垂直的方向， 则必须与其中一个向量共线才能符合要求， 但此时任一方向都有两不同向量，故不存在符合题意， 所以满足条件的的最大值为. 3．（2026·上海嘉定·二模）在包装设计中，常用长度和宽度描述物体体型．长度定义为物体上最远两点间的距离，宽度定义为能夹住物体的两平行平面间的最小距离，即存在一对平行平面，使得物体上的所有点均位于两平面之间（包括平面上）．现有一圆柱，其底面半径R与高h可任意调节，则的最小值为___________ 【答案】 【知识点】圆柱的结构特征辨析、空间距离公式的应用 【分析】分和两种情况进行分析，可得结论. 【详解】圆柱体中，最远两点间的距离为， 当，即时，，， 当且仅当时，等号成立； 当，即时，，. 所以的最小值为. 4．（2025·上海长宁·一模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，直线与平面所成的角的大小为． (1)求四棱锥的体积； (2)点在线段上，直线平面，求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、面面角的向量求法、由线面角的大小求值 【分析】（1）根据棱锥的体积公式，结合线面角的定义进行求解即可； （2）建立空间直角坐标系，利用线面平行的性质、空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，因此， 因为平面ABCD，直线与平面所成的角的大小为， 所以， 四棱锥的体积为； （2）因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，，又因为， 所以可以建立如图所示的空间直角坐标系， ， 显然平面的法向量为， 因为点在线段上，所以设 ， 设平面的法向量为，又，， 因为直线平面， 所以当直线平面，显然点不与点重合， 则当时，，取 因为直线平面， 所以，即， ， 由图可知二面角是锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 5．（2026·上海·三模）在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面底面，其中，，，，点E为中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)取的中点，连接. 因为为的中点，所以，且. 又因为，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面，所以平面. (2) 【知识点】证明线面平行、证明面面垂直、求二面角 【分析】（1）取的中点，连接，利用中位线定理及已知条件证明四边形为平行四边形，从而得到，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点，连接，证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）略 （2）分别取的中点，连接. 因为，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 在等腰梯形中，过点作于点. 因为，所以， 又，所以. 以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于的直线为轴， 所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 则，设平面的法向量为， 则，即，取，得， 易知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，由图可知为锐角， 则， 所以二面角的大小为. 6．（2025·上海静安·一模）已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，．    (1)证明：平面； (2)若2，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为，，则，可得， 且平面， 平面，所以平面. (2) 【知识点】证明线面平行、求点面距离、求线面角、线面角的向量求法 【分析】（1）根据平行线的性质可得，进而可证线面平行； （2）方法一：建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角；方法二：利用等体积法求点 到平面的距离，进而求线面夹角. 【详解】（1）略 （2）方法一：以 为坐标原点，以 ， ，所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 可得， 设平面的法向量为 ，则， 令，则，，可得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值是． 方法二：由题意可知：，，， 则， ， 设点 到平面的距离为 ， 因为三棱锥的体积即为三棱锥 -的体积， 则，解得， 设直线与平面所成角为 ，则， 所以直线与平面所成角的正弦值． 7．（2026·上海黄浦·二模）如图，在直三棱柱中，点、分别是棱、上的点（点异于点），且． (1)求证：平面平面； (2)若是正三角形，，且三棱柱的体积是三棱锥的体积的倍，求与平面所成的角的大小． 【答案】(1)证明如下： 因为三棱柱是直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． (2) 【知识点】反三角函数、求线面角、证明面面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）解法一：设，由可求出的长，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与平面所成的角的大小； 解法二：连接，过作平面，垂足为，连接，则就是直线与平面所成的角，取的中点，连接，取的中点，连接， 证明出平面，利用等体积法求出的长，结合线面角的定义求解即可； 解法三：设是的中点，连接、、，证明出平面，可知点与到平面的距离相等，证明出平面，可得出点到平面的距离等于的长，并求出的长，结合线面角的定义求解即可. 【详解】（1）略 （2）解法一：由平面，平面，可知， 又因为是正三角形，所以． 设，由，， 可得，故， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设与平面所成的角为，则， 所以与平面所成的角的大小为． 解法二：连接，过作平面，垂足为，连接， 则就是直线与平面所成的角， 取的中点，连接，取的中点，连接， 因为为等边三角形，为的中点，所以， 因为、分别为、的中点，所以，则， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以平面，且， 因为，故， 因为平面，平面，所以， 又因为，， 所以， 所以，解得， 又， 故，则， 所以与平面所成的角的大小为． 解法三：设是的中点，连接、、， 因为，，故四边形为平行四边形， 所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 点与到平面的距离相等． 由四边形是正方形，、、分别为、、的中点， 故，所以，故，即， 又平面平面，平面，平面平面， 故平面，易知，故到平面的距离也为， 又， 设与平面所成的角为，则，故， 所以与平面所成的角的大小为． 8．（2025·上海闵行·二模）如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知． (1)证明：； (2)求二面角的大小． 【答案】(1) 因为底面，底面，所以， 又底面为长方形，所以，平面， 所以平面，平面，所以. (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出底面和平面的法向量，代入空间二面角公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）以为原点，射线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 易知底面的一个法向量为，设为 ， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 设二面角的大小为， 则， 所以二面角的大小为. 9．（2026·上海·三模）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，点O是AB的中点． (1)求证：； (2)求直线CP与平面POD所成角的大小． 【答案】(1)因，点O是AB的中点，则， 因平面平面ABCD，且平面平面，平面PAB， 故平面ABCD，又平面ABCD，故． (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）由且点O是AB的中点得到，由面面垂直的性质得到平面ABCD，利用线面垂直的定义得到． （2）利用空间向量求解，求出平面POD的一个法向量，设直线CP与平面POD所成角为，利用向量的数量积公式得到，通过计算得到直线CP与平面POD所成角的大小． 【详解】（1）略 （2）如图，取CD中点E，连接OE，由（1）知平面ABCD， 因为为的中点，为的中点，，可得， 因，故，则可分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系． 又，，，， 则，，， 于是，，，， 设平面POD的一个法向量为， 则，故可取， 设直线CP与平面POD所成角为，则， 即直线CP与平面POD所成角的大小为． 10．（2025·上海·三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，，是底面半径，，为劣弧的中点. (1)证明：平面； (2)若圆锥底面半径为1，高为2，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)连接，如图所示. 因为点是劣弧的中点，， 所以. 因为，所以为等边三角形. 所以，根据内错角相等，两直线平行， 所以，因为平面，而不在平面上， 所以平面. (2) 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法 【分析】（1）根据线线平行，可证明线面平行，所以需要证明与平面内的一条直线即可. （2）首先建立空间直角坐标系，然后将点的坐标表示出来，进而可将向量的坐标表示出来，设出平面和平面的法向量，利用坐标关系求出法向量的坐标，最后利用数量积求出两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）过点作交于点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得，，则， 所以，， 因此，当四边形面积最大时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 11．（2026·上海闵行·二模）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，为底面圆的一条直径，且. (1)求异面直线与所成角的大小（用反三角表示）； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，把异面直线所成角转化为两条异面直线的方向向量的夹角求解 （2）通过（1）空间直角坐标系利用向量运算求点到平面距离 【详解】（1）根据题意建立以底面圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直于方向为轴的空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，所以， 所以，， ，， 设异面直线所成角为，则 所以异面直线与所成角为 （2），，， 设平面的法向量为， 则由，，得，令，则， 所以 设点到平面的距离为，则 12．（2026·上海普陀·二模）如图，在正三棱柱中，D、E分别是棱、的中点，且. (1)求证：直线平面； (2)求点A到平面的距离. 【答案】(1) 如图1，连接， 由正三棱柱的结构特征可知， 在正三棱柱中是正三角形，侧面均为矩形，平面. 因为D是棱的中点，所以， 因为平面，所以平面平面. 又平面平面，所以平面. 又平面，所以. 因为，所以矩形为正方形，所以， 又，所以， 因为平面，，所以直线平面. (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、求点面距离、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）根据正三棱柱的结构可判断四边形的形状，进行面面垂直、线面垂直、线线垂直之间的转化；（2）根据三棱锥的体积相等可求距离，也可利用空间向量求解距离问题. 【详解】（1）略 （2）方法一：设点A到平面的距离为h， 因为平面，所以到平面的距离相等，都为. 由（1）知，侧面均为正方形，所以，， 又，所以为等腰三角形，所以. 又，即， 所以，解得，即点A到平面的距离为. 方法二：取的中点，连接，由（1）可知两两互相垂直， 所以以D为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 即，所以点A到平面的距离为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $