专题08 空间直线与平面（复习讲义）（上海专用）2027年春季高考数学

专题08 空间直线与平面 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 10 考点一 空间点、线、面的位置关系 10 考点二 异面直线的判定与所成角 12 考点三 线面平行与垂直的判定和性质 15 考点四 面面平行与垂直的判定和性质 18 考点五 线面角与二面角的计算 23 考点六 空间距离与几何体的体积 28 04 实战演练 33 考情解读 考试要求 ①理解空间点、直线、平面的概念，掌握平面的基本性质（三个公理及推论），能判断空间点、线、面的位置关系． ②理解异面直线的概念，掌握异面直线的判定方法，会求异面直线所成的角；会求直线与平面所成的角与二面角． ③掌握线面平行、线面垂直的判定定理与性质定理，掌握面面平行、面面垂直的判定与性质，能进行“线线—线面—面面”的相互转化． ④掌握点到平面的距离与几何体体积的计算方法，能运用空间向量解决角与距离问题． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 空间点、线、面的位置关系 5年4考 公理与推论的应用、位置关系命题的真假判断 预测2027年在选择题中考查位置关系命题的判断，常与充分必要条件结合 异面直线及其所成角 5年2考 异面直线的判定、异面直线所成角的计算 预测2027年在填空题中考查异面直线所成角，多放在棱柱、棱台背景下 平行与垂直的判定和性质 5年4考 2026年上海市春季高考 第18题 线面、面面平行与垂直的判定定理与性质定理 线面平行的证明 2026年上海市春季高考第18题第（2）问考查线面平行的证明；预测2027年在解答题第一问中考查线面垂直或面面垂直的证明 空间角、距离与体积 5年2考 2026年上海市春季高考 第18题 线面角、二面角、点面距离与锥体体积 线面角与锥体的体积 2026年上海市春季高考第18题考查线面角与三棱锥的体积；预测2027年在解答题中考查二面角与体积，可用空间向量法求解 知识梳理 知识点1 平面及其基本性质 1.空间的点、直线与平面 空间点与直线、点与平面的位置关系: 位置关系 符号表示 图形表示 点与直线 点在直线上，也称直线经过点 点不在直线上，也称直线不经过点 点与平面 点在平面上,也称平面经过点 点不在平面上,也称平面不经过点 2.平面的基本性质 名称 内容 作用 公理 1 如果一条直线上有两点在一个平面上,那么这条直线上所有的点都在这个平面上 判定直线在平面上 公理2 不在同一直线上的三点确定一个平面 确定一个平面 推论 1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面 推论 2 两条相交直线确定一个平面 推论 3 两条平行直线确定一个平面 公理3 如果两个不同的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 两个平面相交 3．空间图形的平面直观图的画法 斜二测画法规则： （1）原图形中 轴、 轴、 轴两两垂直，直观图中， 轴、 轴的夹角为 （或 ）， 轴与 轴和 轴所在平面垂直； （2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于 轴和 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 自主检测（2025·上海·春考）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（   ）．    A．和； B．和； C．和； D．和． 知识点2 直线与直线的位置关系 1.平行公理(公理 4) 平行于同一条直线的两条直线互相平行: 2.等角定理 如果两条相交直线与另外两条直线分别平行,那么这两组相交直线所成的锐角(或直角)相等 3.空间两条直线的位置关系 位置关系 图 示 表示方法 公共点个数 两直线共面 相交 一个 平行 没有 异面 是异面直线 没有 4.异面直线 (1)概念:不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线 (2)异面直线判定: ① 用定义(多用反证法): ② 异面直线判定定理、过平面外一点与平面上一点的直线,和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线: （3）异面直线所成的角：已知两条异面直线a , b，经过空间任一点 作直线 所成的角的大小与点 的选择无关；把 所成的锐角（或直角）叫异面直线 a , b 所成的角（或夹角）。为了简便，点 通常取在异面直线的一条上。异面直线所成的角的范围： ；若两条异面直线所成角是直角、则称两异面直线垂直； （4）异面直线的公垂线与公垂线段:和两条异面直线都垂直且相交的直线叫异面直线的公垂线、任意两条异面直线有且只有一条公垂线.两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分,叫做两条异面直线的公垂线段。两条异面直线的公垂线段是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条。 (5)两条异面直线的距离:两条异面直线的公垂线段的长度、两条异面直线的距离即为直线a到平面a的距离,即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离, 自主检测（2025·上海松江·三模）在正六棱锥中，直线过，，，，，中的两个不同的点，已知与直线所成角最小，则满足条件的直线的条数为______条. 知识点3 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系 位置关系 图示 表示方法 公共点个数 直线在平面上 无数个 直线不在平面上 直线与平面平行 没有 直线与平面相交 直线与平面斜交 一个 直线与平面垂直 一个 2.线面平行的判定定理 直线与平面平行的判定定理，如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行,那么该直线与这个平面平行 推理模式： 不在平面 上， 。（线线平行，可推出线面平行） 3.线面平行的性质定理 直线与平面平行的性质定理 如果一条直线与一个平面平行,过这条直线的一个平面与此平面相交,那么其交线必与该直线平行. 推理模式： ．（线面平行，可推出线线平行） 4．线面垂直定义 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足，直线与平面垂直简称线面垂直，记作： ． 5.线面垂直判定定理 直线与平面垂直的判定定理如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直,那么此直线与该平面垂直. 6.直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两直线互相平行 推论1 过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直， 推论2 过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直， 7．点到平面的距离 已知点 是平面 外的任意一点，过点 作 ，垂足为 ，则P A唯一，P A是点 到平面 的距离．即一点到它在一个平面内的射影的距离叫做这一点到这个平面的距离． 结论：连接平面 外一点 与 内一点所得的线段中，垂线段P A最短． 8．三垂线定理 三垂线定理平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直. 自主检测（2026·上海普陀·二模）已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 知识点4 平面与平面的位置关系 1.平面与平面的位置关系：平行;相交. 2.两个平面平行的判定定理 两个平面平行的判定定理 如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行。 3.两个平面平行的性质定理 两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 4．二面角 平面上的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．若棱为 ，两个面分别为 、 的二面角记为 ． 5．二面角的平面角 过二面角的棱上的一点 分别在两个半平面内分别作棱的两条垂线 O A、O B ，则 叫做二面角 的平面角．二面角的平面角范围是 ；二面角的平面角为直角时，则称为直二面角．组成直二面角的两个平面互相垂直． 6．平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直的判定定理，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直. 7.平面与平面垂直的性质定理 平面与平面垂直的性质定理 加果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直， 8.距离 点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面两个平行平面之间的距离这七种距离,其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础,求其他几种距离一般化归为求这三种距离,点到平面的距离有时用“体积法”来求 自主检测（2026·上海·一模）将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，则下列命题中不是“可换命题”的有（    ） A．过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 B．垂直于同一平面的两条直线平行 C．平行于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一平面的两直线平行 必记结论 （1）三个公理是立体几何推理的出发点：公理 1 判定直线在平面内，公理 2 及三个推论确定平面，公理 3 说明两平面相交必有一条公共直线． （2）平行与垂直的转化链：线线平行线面平行面面平行；线线垂直线面垂直面面垂直，判定与性质互为逆过程，证题时要明确“用判定还是用性质”． （3）求角的通用套路：异面直线所成角、线面角、二面角都化归到某个三角形中，用余弦定理或直角三角形求解；用空间向量时，线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角的余弦的绝对值． ✅注意：异面直线所成角的范围是，线面角的范围是，二面角的平面角范围是，求值后必须检查是否落在范围内． ⚠️概念辨析 ①“直线 与平面 内无数条直线平行”不能推出 ：这无数条直线可能是同一条直线的平行线，必须是“平面内两条相交直线”才够． ②“，”不能推出 ：线面垂直要求垂直于平面内的任意直线（或两条相交直线），只垂直于一条直线是不够的． ③异面直线所成的角与两向量夹角的区别：向量夹角的范围是 ，异面直线所成角取锐角或直角，故当向量夹角为钝角时要取其补角． ⚠️避坑指南 ❌ 证明线面平行时只证“直线与平面内一条直线平行”，没有说明这条直线在平面内、所证直线在平面外，导致推理不严密而失分． ❌ 空间向量法求二面角时，直接取两法向量夹角的余弦作为答案，忘记根据图形判断二面角是锐角还是钝角． 考点精讲 考点一：空间点、线、面的位置关系 例1（2025·上海杨浦·一模）若为两条不同直线，为两个不同平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 例2（2025·上海嘉定·二模）已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若m与n是异面直线，则 解题策略 位置关系命题的判断 （1）判断命题真假先画图：正方体是最常用的模型，在正方体中找出反例即可否定一个命题． （2）逐字对照定理：判定定理与性质定理的条件（如“平面内两条相交直线”）缺一不可，缺条件的命题往往是错的． （3）结论中出现“一定”“必有”时，优先考虑用反例排除；出现“可能”“至少”时，构造一个符合条件的图形验证． 【变式1】（25-26高三下·上海金山·阶段检测）已知，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式2】（2025·上海普陀·一模）已知直线和平面，且，，则下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点二：异面直线的判定与所成角 例3（2025·上海长宁·一模）如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　） A． B． C． D． 例4（2025·上海·春考）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________． 例5（2025·上海青浦·模拟预测）如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为_________. 解题策略 异面直线的判定与所成角 （1）判定异面直线：用反证法（若共面则推出矛盾），或直接用“过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线”． （2）求所成角：把两条异面直线平移到相交（常找中点、作平行线），在其所成角的三角形中用余弦定理；结果为负时取绝对值． （3）向量法：建立坐标系求两方向向量，，注意加绝对值． 【变式1】（2025·上海松江·三模）在正六棱锥中，直线过，，，，，中的两个不同的点，已知与直线所成角最小，则满足条件的直线的条数为______条. 考点三：线面平行与垂直的判定和性质 例6（2026·上海虹口·三模）设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（     ）条件： A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 例7（2025·上海金山·三模）在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ） A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 解题策略 线面平行与垂直 （1）证线面平行两条路：在平面内找一条平行线（判定定理），或由面面平行推出线面平行（性质）． （2）证线面垂直：证明直线垂直于平面内两条相交直线；若已知面面垂直，可在其中一个平面内作交线的垂线得到线面垂直． （3）书写规范：用“”“”逐条对应定理条件，把“在平面内”“不在平面内”“相交”等条件写全． 【变式1】（2026·上海黄浦·二模）若a，b是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式2】（2026·上海·一模）已知平面ABC，，若与以A，B，C为顶点的三角形全等，则的形状为_______. 考点四：面面平行与垂直的判定和性质 例8（2025·上海嘉定·一模）如图，在四面体中，，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上. (1)如果，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的大小； (2)证明：平面平面 例9（2025·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点． (1)求证：平面ADE； (2)设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值． 解题策略 面面平行与垂直 （1）证面面平行：证明一个平面内两条相交直线都平行于另一平面；证面面垂直：证明一个平面内有一条直线垂直于另一平面． （2）面面垂直的性质：两平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面，这是“把面面垂直转化为线面垂直”的主要工具． （3）折叠问题先画出折叠前后的两个图，明确哪些量不变（长度、角度），再把二面角的条件转化为某个三角形中的角． 【变式1】（2025·上海·秋考）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．    (1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 【变式2】（2025·上海松江·二模）已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)当时，求直线和平面所成角的大小. 考点五：线面角与二面角的计算【高频考点】 例10（2025·上海·三模）正四面体中，相邻两个面所成的锐二面角的大小为______. 例11（2026·上海虹口·三模）如图，已知正四棱柱的底面边长为2，高为4．    (1)求正四棱柱的侧面积；并求二面角的余弦值； (2)若棱上的点满足，点是线段（含端点和）上的动点，求证：恒成立． 解题策略 线面角与二面角 （1）线面角：作出斜线在平面内的射影，角即斜线与射影的夹角；向量法用． （2）二面角：先找（或作）平面角——在棱上取点，在两个半平面内分别作棱的垂线；能证明两平面垂直时，常可用定义直接得到二面角为． （3）向量法求二面角：求两半平面的法向量、，由图形判断二面角是锐角还是钝角，再决定取还是． 【变式1】（2025·上海虹口·一模）如图，已知点在表面积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有（ ） A．异面直线和所成角的大小为 B．直线与平面所成角的大小为 C． D．的面积为 【变式2】（2026·上海·春考）如图所示正四棱台，其中，. (1)当时，求和平面所成角； (2)证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 考点六：空间距离与几何体的体积 例12（2025·上海虹口·一模）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点为中点.    (1)若点是线段上的动点，求证：直线与直线不相交； (2)若平面，，，求点到平面的距离. 例13（2025·上海杨浦·二模）坐落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知.    (1)求证：； (2)求点到平面的距离. 解题策略 点面距离与体积 （1）点面距离：作出过该点的平面的垂线段，放到直角三角形中求；向量法用． （2）体积常用“等体积法”转换顶点，把难求的高转化为易求的高，常用于求点到平面的距离． （3）组合体先分割或补形，再分别求体积；注意锥体体积公式中的不能漏． 【变式1】（2025·上海黄浦·二模）在四面体中，. (1)若为正三角形，平面平面，求四面体体积； (2)若，，求二面角的余弦值. 【变式2】（2026·上海·秋考）已知四棱锥，底面为矩形，底面，垂足在边上，且，，． (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求二面角的大小． 实战训练 1．（2025·上海静安·一模）在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（     ） A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一个平面的两个平面平行 C．若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直 D．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直 2．（2025·上海长宁·二模）如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（   ） A．存在点D和，使得 B．存在点D和，使得 C．存在点D和，使得 D．存在点D和，使得 3．（2026·上海浦东新·三模）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．存在点使得直线与平面垂直 D．直线与平面始终平行 4．（25-26高三上·上海·期中）如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为______. 5．（2025·上海·春考）在三棱锥中，平面平面，，， (1)若O是棱的中点，证明：平面，并求三棱锥的体积； (2)求二面角的大小． 6．（2025·上海闵行·一模）如图，三棱锥中，侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形， 为AC中点． (1)求证： (2)若，求二面角的大小． 7．（2025·上海普陀·一模）如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形是该圆柱底面圆周上异于两点的点． (1)设平面平面，求证：； (2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值． 8．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面. (1)求证:直线； (2)求直线与平面所成角的大小. 9．（2025·上海浦东新·三模）如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且平面. (1)证明：平面平面； (2)若点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 10．（2025·上海宝山·二模）如图，在四面体中，是边长为的正三角形，且. (1)证明：； (2)若是的中点，且二面角的大小为，求与平面所成角的大小. 11．（2026·上海金山·二模）已知长方形中，，点、分别为边、的中点（如图1）．若将长方形沿着边翻折，得到二面角（如图2）．已知二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角表示） 12．（2026·上海·模拟预测）如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为4和6，，分别为圆台的上、下底面圆的圆心，，为圆台的两条不同的母线． (1)求证：； (2)已知，，求二面角的大小． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 空间直线与平面 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 10 考点一 空间点、线、面的位置关系 10 考点二 异面直线的判定与所成角 12 考点三 线面平行与垂直的判定和性质 15 考点四 面面平行与垂直的判定和性质 18 考点五 线面角与二面角的计算 23 考点六 空间距离与几何体的体积 28 04 实战演练 33 考情解读 考试要求 ①理解空间点、直线、平面的概念，掌握平面的基本性质（三个公理及推论），能判断空间点、线、面的位置关系． ②理解异面直线的概念，掌握异面直线的判定方法，会求异面直线所成的角；会求直线与平面所成的角与二面角． ③掌握线面平行、线面垂直的判定定理与性质定理，掌握面面平行、面面垂直的判定与性质，能进行“线线—线面—面面”的相互转化． ④掌握点到平面的距离与几何体体积的计算方法，能运用空间向量解决角与距离问题． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 空间点、线、面的位置关系 5年4考 公理与推论的应用、位置关系命题的真假判断 预测2027年在选择题中考查位置关系命题的判断，常与充分必要条件结合 异面直线及其所成角 5年2考 异面直线的判定、异面直线所成角的计算 预测2027年在填空题中考查异面直线所成角，多放在棱柱、棱台背景下 平行与垂直的判定和性质 5年4考 2026年上海市春季高考 第18题 线面、面面平行与垂直的判定定理与性质定理 线面平行的证明 2026年上海市春季高考第18题第（2）问考查线面平行的证明；预测2027年在解答题第一问中考查线面垂直或面面垂直的证明 空间角、距离与体积 5年2考 2026年上海市春季高考 第18题 线面角、二面角、点面距离与锥体体积 线面角与锥体的体积 2026年上海市春季高考第18题考查线面角与三棱锥的体积；预测2027年在解答题中考查二面角与体积，可用空间向量法求解 知识梳理 知识点1 平面及其基本性质 1.空间的点、直线与平面 空间点与直线、点与平面的位置关系: 位置关系 符号表示 图形表示 点与直线 点在直线上，也称直线经过点 点不在直线上，也称直线不经过点 点与平面 点在平面上,也称平面经过点 点不在平面上,也称平面不经过点 2.平面的基本性质 名称 内容 作用 公理 1 如果一条直线上有两点在一个平面上,那么这条直线上所有的点都在这个平面上 判定直线在平面上 公理2 不在同一直线上的三点确定一个平面 确定一个平面 推论 1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面 推论 2 两条相交直线确定一个平面 推论 3 两条平行直线确定一个平面 公理3 如果两个不同的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 两个平面相交 3．空间图形的平面直观图的画法 斜二测画法规则： （1）原图形中 轴、 轴、 轴两两垂直，直观图中， 轴、 轴的夹角为 （或 ）， 轴与 轴和 轴所在平面垂直； （2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于 轴和 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 自主检测（2025·上海·春考）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（   ）．    A．和； B．和； C．和； D．和． 【答案】D 【知识点】公理的应用、异面直线的判定、棱台的结构特征和分类 【分析】根据棱台的性质及直线与直线的位置关系即可判断. 【详解】因为是正四棱台，所以，故A错误， 侧棱延长交于一点，所以与相交，故B错误， 同理与也相交，所以四点共面，所以与相交，故C错误， 与是异面直线，故D正确. 故选：D 知识点2 直线与直线的位置关系 1.平行公理(公理 4) 平行于同一条直线的两条直线互相平行: 2.等角定理 如果两条相交直线与另外两条直线分别平行,那么这两组相交直线所成的锐角(或直角)相等 3.空间两条直线的位置关系 位置关系 图 示 表示方法 公共点个数 两直线共面 相交 一个 平行 没有 异面 是异面直线 没有 4.异面直线 (1)概念:不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线 (2)异面直线判定: ① 用定义(多用反证法): ② 异面直线判定定理、过平面外一点与平面上一点的直线,和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线: （3）异面直线所成的角：已知两条异面直线a , b，经过空间任一点 作直线 所成的角的大小与点 的选择无关；把 所成的锐角（或直角）叫异面直线 a , b 所成的角（或夹角）。为了简便，点 通常取在异面直线的一条上。异面直线所成的角的范围： ；若两条异面直线所成角是直角、则称两异面直线垂直； （4）异面直线的公垂线与公垂线段:和两条异面直线都垂直且相交的直线叫异面直线的公垂线、任意两条异面直线有且只有一条公垂线.两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分,叫做两条异面直线的公垂线段。两条异面直线的公垂线段是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条。 (5)两条异面直线的距离:两条异面直线的公垂线段的长度、两条异面直线的距离即为直线a到平面a的距离,即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离, 自主检测（2025·上海松江·三模）在正六棱锥中，直线过，，，，，中的两个不同的点，已知与直线所成角最小，则满足条件的直线的条数为______条. 【答案】3 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析、线面角的概念及辨析 【分析】作出图形，结合题意运用正棱锥的性质、直线与平面所成角的性质，找出满足条件的直线的位置，进而可得本题答案． 【详解】设点为底面正六边形的中心，连接、，可得是直线与底面所成的角， 由直线与平面所成角的性质，可知是底面内的直线与所成角的最小值， 显然直线即为满足题意的直线， 由正六边形的性质，可知，所以、的所在直线与直线所成角都相等， 综上所述，当与所成角为最小值时，满足条件的直线有、、，共3条. 故答案为：3 知识点3 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系 位置关系 图示 表示方法 公共点个数 直线在平面上 无数个 直线不在平面上 直线与平面平行 没有 直线与平面相交 直线与平面斜交 一个 直线与平面垂直 一个 2.线面平行的判定定理 直线与平面平行的判定定理，如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行,那么该直线与这个平面平行 推理模式： 不在平面 上， 。（线线平行，可推出线面平行） 3.线面平行的性质定理 直线与平面平行的性质定理 如果一条直线与一个平面平行,过这条直线的一个平面与此平面相交,那么其交线必与该直线平行. 推理模式： ．（线面平行，可推出线线平行） 4．线面垂直定义 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足，直线与平面垂直简称线面垂直，记作： ． 5.线面垂直判定定理 直线与平面垂直的判定定理如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直,那么此直线与该平面垂直. 6.直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两直线互相平行 推论1 过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直， 推论2 过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直， 7．点到平面的距离 已知点 是平面 外的任意一点，过点 作 ，垂足为 ，则P A唯一，P A是点 到平面 的距离．即一点到它在一个平面内的射影的距离叫做这一点到这个平面的距离． 结论：连接平面 外一点 与 内一点所得的线段中，垂线段P A最短． 8．三垂线定理 三垂线定理平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直. 自主检测（2026·上海普陀·二模）已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、线面关系有关命题的判断、判断线面平行 【分析】根据线面判断及线线位置关系结合必要非充分条件定义判断. 【详解】当直线l与平面相交，且交点不在直线m上时，满足“l与m不相交”， 但“”不成立，故充分性不成立； 若，则与无交点，所以“l与m不相交”，故必要性成立； 所以“l与m不相交”是“”的必要非充分条件. 知识点4 平面与平面的位置关系 1.平面与平面的位置关系：平行;相交. 2.两个平面平行的判定定理 两个平面平行的判定定理 如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行。 3.两个平面平行的性质定理 两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 4．二面角 平面上的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．若棱为 ，两个面分别为 、 的二面角记为 ． 5．二面角的平面角 过二面角的棱上的一点 分别在两个半平面内分别作棱的两条垂线 O A、O B ，则 叫做二面角 的平面角．二面角的平面角范围是 ；二面角的平面角为直角时，则称为直二面角．组成直二面角的两个平面互相垂直． 6．平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直的判定定理，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直. 7.平面与平面垂直的性质定理 平面与平面垂直的性质定理 加果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直， 8.距离 点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面两个平行平面之间的距离这七种距离,其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础,求其他几种距离一般化归为求这三种距离,点到平面的距离有时用“体积法”来求 自主检测（2026·上海·一模）将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，则下列命题中不是“可换命题”的有（    ） A．过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 B．垂直于同一平面的两条直线平行 C．平行于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一平面的两直线平行 【答案】D 【知识点】平行公理、面面关系有关命题的判断、线面垂直证明面面平行、线面关系有关命题的判断 【分析】将每个选项中的命题进行变换，结合空间中线面、面面位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，将该选项中的命题变换为：过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行， 变换后的命题为真命题，A选项中的命题为“可换命题”； 对于B选项，将选项中的命题变换为：垂直于同一直线的两个平面平行， 根据线面垂直的性质定理可知变换后的命题为真命题，B选项中的命题为“可换命题”； 对于C选项，将选项中的命题变换为：平行于同一个平面的两个平面平行， 根据平面平行的传递性可知变换后的命题为真命题，C选项中的命题为“可换命题”； 对于D选项，平行于同一平面的两直线平行、相交或异面，D选项中的命题为假命题，D选项不满足要求. 必记结论 （1）三个公理是立体几何推理的出发点：公理 1 判定直线在平面内，公理 2 及三个推论确定平面，公理 3 说明两平面相交必有一条公共直线． （2）平行与垂直的转化链：线线平行线面平行面面平行；线线垂直线面垂直面面垂直，判定与性质互为逆过程，证题时要明确“用判定还是用性质”． （3）求角的通用套路：异面直线所成角、线面角、二面角都化归到某个三角形中，用余弦定理或直角三角形求解；用空间向量时，线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角的余弦的绝对值． ✅注意：异面直线所成角的范围是，线面角的范围是，二面角的平面角范围是，求值后必须检查是否落在范围内． ⚠️概念辨析 ①“直线 与平面 内无数条直线平行”不能推出 ：这无数条直线可能是同一条直线的平行线，必须是“平面内两条相交直线”才够． ②“，”不能推出 ：线面垂直要求垂直于平面内的任意直线（或两条相交直线），只垂直于一条直线是不够的． ③异面直线所成的角与两向量夹角的区别：向量夹角的范围是 ，异面直线所成角取锐角或直角，故当向量夹角为钝角时要取其补角． ⚠️避坑指南 ❌ 证明线面平行时只证“直线与平面内一条直线平行”，没有说明这条直线在平面内、所证直线在平面外，导致推理不严密而失分． ❌ 空间向量法求二面角时，直接取两法向量夹角的余弦作为答案，忘记根据图形判断二面角是锐角还是钝角． 考点精讲 考点一：空间点、线、面的位置关系 例1（2025·上海杨浦·一模）若为两条不同直线，为两个不同平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【知识点】面面垂直证线面垂直、判断面面是否垂直、判断线面平行 【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理可判断AB，利用面面垂直的判定定理和性质定理可判断CD. 【详解】若，，则或为异面直线，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则，满足面面垂直的判定定理，故C正确； 若，，这缺少了2个条件，即，才可以得到，故D错误； 故选：C. 例2（2025·上海嘉定·二模）已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若m与n是异面直线，则 【答案】B 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】由空间点、线、面的位置关系，逐项判断即可 【详解】对于A，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故A错误； 对于B，直线，直线，若，则，故B正确； 对于C，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故C错误； 对于D，直线，直线，若与为异面直线，则或平面和平面相交，故D错误. 故选：B 解题策略 位置关系命题的判断 （1）判断命题真假先画图：正方体是最常用的模型，在正方体中找出反例即可否定一个命题． （2）逐字对照定理：判定定理与性质定理的条件（如“平面内两条相交直线”）缺一不可，缺条件的命题往往是错的． （3）结论中出现“一定”“必有”时，优先考虑用反例排除；出现“可能”“至少”时，构造一个符合条件的图形验证． 【变式1】（25-26高三下·上海金山·阶段检测）已知，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【知识点】空间垂直的转化、判断面面平行、判断线面是否垂直 【详解】对于A：若，，则或和相交，故A错误； 对于B：若，，根据线面垂直的性质定理可得，故B正确； 对于C：若，，则或和异面，故C错误； 对于D：若，，则和可能平行也可能相交，故D错误； 【变式2】（2025·上海普陀·一模）已知直线和平面，且，，则下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断、判断线面是否垂直 【分析】由空间线面、线线位置关系逐项判断即可. 【详解】由，，可得， 对于A，，，则直线可能相交、平行或异面，故错误； 对于B，若，则或，故错误； 对于C，因为，，所以，又， 所以，正确； 对于D，要证明，需垂直平面内两条相交直线，现在只有，条件不够，故错误； 故选：C 考点二：异面直线的判定与所成角 例3（2025·上海长宁·一模）如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】异面直线的判定 【分析】利用异面直线的定义依次判断选项即可. 【详解】如图取正方体底边的中点，和正方体的顶点M，N，P，Q， 连接， 在正方体中有， 所以，所以点四点共面；同理可知点四点共面，点四点共面，点四点共面，所以六点共面, 所以直线与直线、直线与直线共面、直线与直线共面， 直线平面AFG， 直线平面，所以直线与直线是异面直线. 综上可知ABC错误D正确. 故选：D. 例4（2025·上海·春考）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________． 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】过作交底面圆锥于点，则为异面直线与所成角，结合余弦定理与余弦函数的性质即可得的取值范围，从而得所求最值. 【详解】 如图，过作交底面圆锥于点，连接， 因为，则为异面直线与所成角， 所以， 又，所以，即， 因为，函数在上单调递减，所以， 故异面直线与所成角的最小值为. 故答案为：. 例5（2025·上海青浦·模拟预测）如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为_________. 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角、反三角函数、由旋转体找出其旋转图形 【分析】利用旋转思想把正方体问题转化到圆锥问题来求解即可. 【详解】 根据，可由题意将所求角转化为将绕旋转所得到的直线与所成的角， 即可将其转移到圆锥中求解，图中直线与重合，圆锥母线为,如下图： 由旋转可转化到， 在正方体中，假设正方体的边长为，则可知 所以，即在圆锥中有，， 由可得， 由等边三角形，可得， 在中，由余弦定理， 从而可得旋转后直线方向向量与直线AB方向向量夹角的余弦值为， 所以直线AB与直线所成角的大小为. 故答案为：. 解题策略 异面直线的判定与所成角 （1）判定异面直线：用反证法（若共面则推出矛盾），或直接用“过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线”． （2）求所成角：把两条异面直线平移到相交（常找中点、作平行线），在其所成角的三角形中用余弦定理；结果为负时取绝对值． （3）向量法：建立坐标系求两方向向量，，注意加绝对值． 【变式1】（2025·上海松江·三模）在正六棱锥中，直线过，，，，，中的两个不同的点，已知与直线所成角最小，则满足条件的直线的条数为______条. 【答案】3 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析、线面角的概念及辨析 【分析】作出图形，结合题意运用正棱锥的性质、直线与平面所成角的性质，找出满足条件的直线的位置，进而可得本题答案． 【详解】设点为底面正六边形的中心，连接、，可得是直线与底面所成的角， 由直线与平面所成角的性质，可知是底面内的直线与所成角的最小值， 显然直线即为满足题意的直线， 由正六边形的性质，可知，所以、的所在直线与直线所成角都相等， 综上所述，当与所成角为最小值时，满足条件的直线有、、，共3条. 故答案为：3 考点三：线面平行与垂直的判定和性质 例6（2026·上海虹口·三模）设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（     ）条件： A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】D 【知识点】线面平行的性质、线面关系有关命题的判断、判断线面平行 【分析】结合线面平行的判定定理验证充分性，结合线面平行的性质验证必要性. 【详解】已知，：如果本身也在平面内（是不同直线）， 此时，不满足，因此充分性不成立； 若，则和平面无公共点，与内的直线可以平行，也可以异面， 不一定满足，因此必要性不成立， 综上，“”是“”的既非充分又非必要条件. 例7（2025·上海金山·三模）在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ） A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 【答案】D 【知识点】证明线面平行、判断命题的充分不必要条件 【分析】取线段的中点，求证平面平面，即可逐一分析选项. 【详解】取线段的中点，连接，则， 因点分别是棱的中点，则，则， 因平面，平面，则平面， 因，，，，则，， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 又平面，则平面平面， 故欲使在正方形（包括边界）内，且平面， 则点必在线段上； A选项：当为时，无法得出平面，故A错误； B选项：当为的中点，无法得出平面，故B错误； C选项：的轨迹长度为，无法说明点在线段上， 但若平面，则的轨迹长度为， 则的轨迹长度为是平面的必要不充分条件，故C错误； D选项：为的中点，即点重合时，必有平面， 但平面时，不一定为的中点， 故为的中点是平面的充分不必要条件，故D正确. 故选：D 解题策略 线面平行与垂直 （1）证线面平行两条路：在平面内找一条平行线（判定定理），或由面面平行推出线面平行（性质）． （2）证线面垂直：证明直线垂直于平面内两条相交直线；若已知面面垂直，可在其中一个平面内作交线的垂线得到线面垂直． （3）书写规范：用“”“”逐条对应定理条件，把“在平面内”“不在平面内”“相交”等条件写全． 【变式1】（2026·上海黄浦·二模）若a，b是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，可知直线a，b是共面直线，则存在平面，使，，即充分性成立； 若存在平面，使，，则直线a，b可能相交，即必要性不成立； 综上所述：“”是“存在平面，使，”的充分非必要条件. 【变式2】（2026·上海·一模）已知平面ABC，，若与以A，B，C为顶点的三角形全等，则的形状为_______. 【答案】等边三角形或直角三角形 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】由平面ABC可得，，，再结合可得，为等腰直角三角形，进而分为直角顶点、为直角顶点，两种情况讨论求解即可. 【详解】由平面ABC，平面ABC，可得，，， 又，则为等腰直角三角形，且， 由于与以A，B，C为顶点的三角形全等， 则为等腰直角三角形， 当为直角顶点时，， 结合勾股定理可知，则为等边三角形； 当为直角顶点时，， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，所以为直角三角形. 综上所述，为等边三角形或直角三角形. 考点四：面面平行与垂直的判定和性质 例8（2025·上海嘉定·一模）如图，在四面体中，，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上. (1)如果，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的大小； (2)证明：平面平面 【答案】(1) (2)由，，，平面,故 平面， 而 平面，则平面平面 【知识点】求线面角、证明面面垂直 【分析】利用几何法找到线面成角，利用线面垂直证明面面垂直. 【详解】（1）连接 ，如图. 由题可知，平面，平面 ,则， 且即为直线与平面所成角， 即.由 ， 为 边的中线， 可得.而，可得，. 而即为直线与平面所成角，且, 则，可得直线与平面所成角为. （2）略 例9（2025·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点． (1)求证：平面ADE； (2)设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值． 【答案】(1) 取的中点，连接，，即， ，G，F分别是线段BE，DC的中点， ，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面； (2). 【知识点】求二面角、证明线面平行 【分析】（1）取的中点，通过平行的传递性得到，由题中条件得到四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理得到平面； （2）设平面与平面所成的锐二面角的大小为，由平面和平面，得到在平面上的射影为，利用余弦定理求出，利用同角关系式求，从而得到和，则，代入数值求解，从而得到二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）设平面与平面所成的锐二面角的大小为， 平面，平面， 在平面上的射影为， ，， 由可得，，所以. 分别是线段BE，DC的中点，，， ，， ，， 又，， 二面角A-l-B的余弦值为. 解题策略 面面平行与垂直 （1）证面面平行：证明一个平面内两条相交直线都平行于另一平面；证面面垂直：证明一个平面内有一条直线垂直于另一平面． （2）面面垂直的性质：两平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面，这是“把面面垂直转化为线面垂直”的主要工具． （3）折叠问题先画出折叠前后的两个图，明确哪些量不变（长度、角度），再把二面角的条件转化为某个三角形中的角． 【变式1】（2025·上海·秋考）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．    (1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 【答案】(1) (2) 由题知，则根据中位线性质，， 又平面，平面，则平面 由于，底面圆半径是，则，又，则， 又，则为等边三角形，则， 于是且，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. 又平面， 根据面面平行的判定，于是平面平面， 又，则平面，则平面 【知识点】证明面面平行、圆锥表面积的有关计算、面面平行证明线面平行 【分析】（1）由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解. （2）证明平面平面，然后根据面面平行的性质可得. 【详解】（1）由题知，，即轴截面是等边三角形，故， 底面周长为，则侧面积为：; （2）略 【变式2】（2025·上海松江·二模）已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)当时，求直线和平面所成角的大小. 【答案】(1) 取的中点，连接、， 因为点为棱的中点，且，所以且， ，平面，平面， 所以平面，同理可得平面.                                                 因为平面，平面，且， 所以平面平面.                                                             因为平面，所以平面. (2). 【知识点】面面平行证明线面平行、求线面角、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）取的中点，连接、，所以且，根据线面平行的判定定理可得平面，平面，从而可得平面平面，由面面平行的性质定理即可证明； （2）过点作于点，连接，由题意得平面. 所以就是直线和平面所成角. 二面角的平面角为，由（1）易得，取中点为，连接，可得，利用勾股定理求出，可得.继而即可求解. 【详解】（1）略 （2）过点作于点，连接， 因为，，，平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面.                                                                     所以就是直线和平面所成角. 由题意得：二面角的平面角为， 由（1）易得， 在中，由，，得， 取中点为，连接， 因为分别为的中点， 所以，且，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 在中，由，，得，则. 在中，由，得， 即得直线和平面所成角为. 考点五：线面角与二面角的计算【高频考点】 例10（2025·上海·三模）正四面体中，相邻两个面所成的锐二面角的大小为______. 【答案】 【知识点】求二面角 【分析】在正四面体中，作出正四面体中相邻平面的二面角，利用余弦定理可求其锐二面角的大小. 【详解】 在正四面体中，E为中点，则， 又平面平面，所以就是平面与平面所成锐二面角的平面角， 设正四面体棱长为，，， 所以相邻两个面所成的锐二面角的大小为. 故答案为：. 例11（2026·上海虹口·三模）如图，已知正四棱柱的底面边长为2，高为4．    (1)求正四棱柱的侧面积；并求二面角的余弦值； (2)若棱上的点满足，点是线段（含端点和）上的动点，求证：恒成立． 【答案】(1)32； (2)证明详见解析. 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、求二面角、正棱柱及其有关计算 【分析】（1）由四棱柱为正四棱柱，得侧面是全等矩形，根据底面边长和高，用侧面积公式计算即可；取中点，由正四棱柱，得，，可得是二面角的平面角，计算各边长度，用余弦定理求角的余弦值. （2）由正四棱柱，得，，两两垂直；以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系；根据已知条件分别求出向量和，得，即可证明恒成立． 【详解】（1）四棱柱为正四棱柱，四棱柱的四个侧面为全等的矩形； 正四棱柱的底面边长为2，高为4， ，即正四棱柱的侧面积为32. 连接，交于点，连接，；   四棱柱为正四棱柱，四边形是正方形，四个侧面为全等的矩形. 是的中点. 由，，得； ； 四边形是正方形，； 是二面角的平面角. 由，，得，，； 在中，； 二面角的余弦值为. （2）四棱柱为正四棱柱，，，两两垂直；以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，，， ，； ，点是线段（含端点和）上的动点，，，得，； ，； ； ； 恒成立 解题策略 线面角与二面角 （1）线面角：作出斜线在平面内的射影，角即斜线与射影的夹角；向量法用． （2）二面角：先找（或作）平面角——在棱上取点，在两个半平面内分别作棱的垂线；能证明两平面垂直时，常可用定义直接得到二面角为． （3）向量法求二面角：求两半平面的法向量、，由图形判断二面角是锐角还是钝角，再决定取还是． 【变式1】（2025·上海虹口·一模）如图，已知点在表面积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有（ ） A．异面直线和所成角的大小为 B．直线与平面所成角的大小为 C． D．的面积为 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角、求二面角 【分析】设球的半径为，求得，证得平面，得到，得到，进而得到，把异面直线和所成角转化为直线和所成角，可判定A不正确；作，证得平面，得到即为直线与平面所成角，可判定B不正确；在直角中，求得，结合二倍角公式，可得判定C不正确；结合面积公式，可判定D正确. 【详解】设球的半径为，因为球的表面积为，可得，可得， 因为和分别为的中点，所以，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 在直角中，可得， 对于A，由，可得异面直线和所成角，即为直线和所成角， 因为，所以异面直线和所成角的大小为，所以A不正确； 对于B，过点作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以即为直线与平面所成角， 在直角中，，可得，则， 所以，所以B不正确； 对于C，在直角中，，可得， 所以，则， 所以，所以C不正确； 对于D，由的面积为，所以D正确. 故选：D. 【变式2】（2026·上海·春考）如图所示正四棱台，其中，. (1)当时，求和平面所成角； (2)证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 连接、交于,连接、交于, 如图,上下底面为正方形,由正棱台性质,可得,且, 所以四边形为平行四边形,所以， 因为平面,平面，所以平面. 体积为 【知识点】锥体体积的有关计算、求线面角、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）作到下底面的垂线，确定线面角的平面角，再通过边长计算该角的大小. （2）连接上下底面对角线的交点，利用正棱台性质证得线线平行，进而证明线面平行；利用线面垂直将三棱锥拆分为两个小棱锥，结合棱台的高计算其体积. 【详解】（1）过作平面ABCD于,连接， 过分别作于于,连接, 如图为在平面上的投影, 由于平面，所以， 由于平面， 所以平面.由于平面，所以. 所以,同理,,四边形为正方形, 所以，为在平面上的投影, 又因平面平面, 所以和平面所成角即，, 故和平面所成角为. （2）由正棱台性质,与上下底面均垂直,则， 因为，平面， 所以平面,所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和, 即: 考点六：空间距离与几何体的体积 例12（2025·上海虹口·一模）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点为中点.    (1)若点是线段上的动点，求证：直线与直线不相交； (2)若平面，，，求点到平面的距离. 【答案】(1) 连接交于点，连接， 如图所示： 因为四边形为菱形，所以为的中点， 所以在中有，由分别是的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以直线与直线没有公共点， 即直线与直线不相交. (2) 【知识点】求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）先证明平面，然后分析直线与直线交点情况即可证明； （2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，点为中点， 所以平面即平面， 所以为三棱锥的高，且， 因为四边形为菱形，且， 所以菱形为边长是2正方形， 所以， 且，即， 又， 在中，， 即为的高， 所以， 设点到平面的距离为， 由等体积法得：， 即， 解得：， 所以点到平面的距离为. 例13（2025·上海杨浦·二模）坐落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知.    (1)求证：； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) 连接， 因为底面为正八边形，所以， 又正八棱柱侧棱底面，底面， 所以， 平面， 所以平面， 又平面，所以. (2) 【知识点】求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）结合图中几何关系由线面垂直的判定定理证明平面即可； （2）结合图中几何关系由等体积法即求解即可. 【详解】（1）略 （2） 连接， 因为， 由正八边形的性质可得，，为到底面的距离，， 所以， 由勾股定理可得，， 又，所以， 又，所以， 因为，所以，即， 设点到平面的距离为， 则，即，即， 解得，所以点到平面的距离为. 解题策略 点面距离与体积 （1）点面距离：作出过该点的平面的垂线段，放到直角三角形中求；向量法用． （2）体积常用“等体积法”转换顶点，把难求的高转化为易求的高，常用于求点到平面的距离． （3）组合体先分割或补形，再分别求体积；注意锥体体积公式中的不能漏． 【变式1】（2025·上海黄浦·二模）在四面体中，. (1)若为正三角形，平面平面，求四面体体积； (2)若，，求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【知识点】锥体体积的有关计算、求二面角 【分析】（1）取为BC的中点，连接DE，则，由平面平面，得平面，即是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式即可求解； （2）由（1），即证，即二面角的平面角为，在中利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，则为等腰直角三角形， 且， 又为正三角形，故， 取BC的中点，连接DE，则， 又平面平面， 平面平面平面DBC， 故平面， 是三棱锥的高， 则其体积； （2）由（1）且，又， 则，且，又， 所以二面角的平面角为， 且. 所以二面角的余弦值为. 【变式2】（2026·上海·秋考）已知四棱锥，底面为矩形，底面，垂足在边上，且，，． (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求二面角的大小． 【答案】(1)根据已知四棱锥的性质，结合已知条件，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则，设点， 则， ， ． (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、锥体体积的有关计算、面面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量坐标，利用向量的数量积为0，推出向量垂直； （2）利用棱锥体积公式求出，进而求出点，得出相关向量坐标，求出平面的法向量，进而利用向量夹角余弦公式求解． 【详解】（1）略 （2）四棱锥体积，解得， ，则，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设二面角为，则， 由图可知，二面角为锐角，则二面角大小为． 实战训练 1．（2025·上海静安·一模）在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（     ） A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一个平面的两个平面平行 C．若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直 D．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直 【答案】C 【知识点】判断命题的真假、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】ABD在正方体中找反例；C利用线面线面平行的性质定理、线面垂直的性质定理可判断. 【详解】如图为正方体， ，但，故A错误； 平面平面，平面平面， 但平面平面，故B错误； ，与平面平行的所有平面均与平行，故D错误； 如图， ，由线面平行的性质定理可知，平面内一定存在直线与平行， 由线面垂直的性质定理可知，，则有，故C正确. 故选：C 2．（2025·上海长宁·二模）如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（   ） A．存在点D和，使得 B．存在点D和，使得 C．存在点D和，使得 D．存在点D和，使得 【答案】B 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】取特例判断ACD，利用反证法判断B后可得正确的选项. 【详解】对于AD，取为中点，，则，而， 故，故在几何体中，， 而，故为二面角的平面角，故， 故，而平面， 故平面，而平面，故，故A成立. 因，，平面， 故平面，而平面，故，故D成立. 对于C，过作，为垂足，取，同理可证平面， 而平面，故，故C成立. 对于B，过作平面，垂足为， 因为平面，故， 若，因为平面， 故平面，而平面，故， 而，故在上， 因为，平面，故平面， 而平面，故，故，但， 矛盾，故不成立即B不成立， 故选：B. 3．（2026·上海浦东新·三模）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．存在点使得直线与平面垂直 D．直线与平面始终平行 【答案】D 【知识点】异面直线的判定、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】A. 由点M与点D重合时判断；B.由点M与点重合时判断；C.由垂直于同一平面的两条直线平行判断；D.先证平面平面，再由平面判断. 【详解】对于A：当点M与点D重合时，直线即为BD，而BD与直线相交，故A错误； 对于B：当点M与点重合时，是等边三角形，则直线与直线成，故B错误； 对于C：如图所示： 连接，因为，且， 所以平面，又平面，所以， 同理，又，则平面， 若平面，则，而，故C错误； 对于D：易知，又平面，平面，所以平面, 同理平面，又，所以平面平面， 又平面，所以平面，故D正确； 4．（25-26高三上·上海·期中）如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为______. 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、求线面角 【分析】由题意，点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线与轴在同一平面内时，三角形面积可取最大最小值。 【详解】如图，过C作直线l垂直于平面， 因为与平面所成的角分别为，则点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线与轴在同一平面内时，的面积可取最大最小值， 于是，有，即， 所以，即， 所以的面积为， 所以， 故答案为: . 5．（2025·上海·春考）在三棱锥中，平面平面，，， (1)若O是棱的中点，证明：平面，并求三棱锥的体积； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)连接，因为，所以⊥， 因为平面平面，交线为， 平面， 所以⊥平面， 体积为 (2) 【知识点】面面垂直证线面垂直、锥体体积的有关计算、面面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，根据面面垂直，得到线面垂直，并利用锥体体积公式求出答案； （2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，求出，进而求出二面角的大小. 【详解】（1）因为，所以⊥，，， 故， ，由勾股定理得， 又⊥平面， 三棱锥的体积； （2）由（1）知，⊥平面，平面， 所以⊥，⊥，又⊥，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 又平面的一个法向量为， 故， 由图可知，二面角为锐角， 故二面角的大小为. 6．（2025·上海闵行·一模）如图，三棱锥中，侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形， 为AC中点． (1)求证： (2)若，求二面角的大小． 【答案】(1)证明：因为侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC中点， 所以， 因为平面，所以平面POB， 因平面，所以； (2). 【知识点】求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得出平面POB，再根据线面垂直的性质定理求证； （2）取边中点H，求证为二面角的平面角，在中计算即可. 【详解】（1）略 （2）取边中点H， 因为侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC中点， 所以， 设，则， 因，则，所以， 所以，则为二面角的平面角， 因平面，则平面， 因平面，则， 又，则，则， 所以二面角的大小为. 【点睛】 7．（2025·上海普陀·一模）如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形是该圆柱底面圆周上异于两点的点． (1)设平面平面，求证：； (2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)由已知得，又平面，在平面外， 则平面， 又平面平面平面 则. (2). 【知识点】线面平行的性质、求二面角 【分析】（1）由平面，结合线面平行的性质定理即可求解； （2）由线面垂直得到是二面角的平面角，进而可求解. 【详解】（1）略 （2）设 的边上的高为，则， 当三棱锥的体积最大时，，即 为的中点， 又 平面在平面 上，所以 又，为平面内两条相交直线， 所以 平面，又 在平面内， 所以， 则是二面角的平面角， 在直角三角形中，，则， 即所求的二面角的余弦值为. 8．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面. (1)求证:直线； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1) 由题意知，所以， 又因为，所以，所以； 又因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面，又在平面内， 所以直线； (2) 【知识点】求线面角、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）先证明平明，从而得到为直线与平面所成角，再在中求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面，所以， 因为，，平明，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 在中，因为， 所以 所以直线与平面所成角的大小为. 9．（2025·上海浦东新·三模）如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且平面. (1)证明：平面平面； (2)若点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1) 因为平面，平面，所以， 因为为半圆的直径，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2). 【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面垂直、求二面角、线面角的向量求法 【分析】（1）要证明面面垂直，即需要证明线面垂直，那么过这条线的平面就会垂直于另一平面. （2）首先根据三棱锥体积取得最大这个条件得出的结论，然后找出平面与平面的二面角，最后根据线段关系和相似三角形求出该二面角的余弦值，或者建立平面直角坐标系，利用向量法进行求解. 【详解】（1）略 （2）方法1： ，当且仅当时等号成立. 设圆心为，连接，在平面上过作， 连接，在平面上过作，如图所示. 因为，，所以， 因为平面，平面，所以平面平面， 因为平面，平面平面，所以平面ABC，平面， 则，，平面，所以平面，而平面， 于是，所以为平面与平面的夹角， 在平面上，，有，得，， ，有，得， 则，， 平面与平面所成锐角的余弦值为. 方法2： 据（1）知，面，， 当时，达到最大： 过点作于，建立以为原点，为轴，为轴， 过点垂直于平面的方向为z轴.设平面与平面的法向量分别为，. 则点，，，，. ，；则； 令，可得；因为平面的法向量为. 则平面与平面夹角的余弦值. 10．（2025·上海宝山·二模）如图，在四面体中，是边长为的正三角形，且. (1)证明：； (2)若是的中点，且二面角的大小为，求与平面所成角的大小. 【答案】(1)取中点，连接， 由已知条件是边长为的正三角形，得. 平面，所以平面 ， 又平面 ，所以. (2) 【知识点】求线面角、求二面角、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）先取中点，连．利用等腰三角形三线合一得．再根据线面垂直判定定理证平面 ，最后由线面垂直性质得. （2）已知二面角为，即面面垂直.由面面垂直性质定理得平面，所以是线面角，求出角大小. 【详解】（1）略 （2） 二面角的大小为，即平面平面. 由平面平面，且由（1）知，平面， 所以平面，从而即为与平面所成角 在中，，从而， 在中，， 因为平面，且平面，所以， 所以在中，，且， 易求得，即与平面所成角的大小为. 11．（2026·上海金山·二模）已知长方形中，，点、分别为边、的中点（如图1）．若将长方形沿着边翻折，得到二面角（如图2）．已知二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角表示） 【答案】(1)因为长方形中， ，折叠过程中，， 又 平面， 平面，故平面， 同理可得平面， 又，平面，所以平面平面； (2) 【知识点】证明面面平行、反三角函数、求线面角 【分析】（1）由线线平行得到线面平行，进而得到面面平行； （2）先由二面角大小得到各边长，作出辅助线，得到线面垂直，进而求出线面角的大小 【详解】（1）略 （2）因为长方形中，点、分别为边、的中点， 故，二面角的平面角为，即， 又，所以，为等边三角形， 同理可得为等边三角形， 取的中点，连接，则⊥， 又⊥平面， 平面，故⊥， 因为 ，平面，故⊥平面， 故直线与平面所成角为， ，，故，由勾股定理得， 则， 直线与平面所成角的大小为. 12．（2026·上海·模拟预测）如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为4和6，，分别为圆台的上、下底面圆的圆心，，为圆台的两条不同的母线． (1)求证：； (2)已知，，求二面角的大小． 【答案】(1)∵圆台可以看作是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到， 所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分． ∴母线与母线的延长线必交于一点， ，，，四点共面， ∵圆面圆面，且平面圆面，平面圆面． ． (2) 【知识点】圆台的结构特征辨析、面面平行证明线线平行、求二面角 【分析】（1）根据圆台母线延长线交于一点，得到四点共面，再借助圆台上、下底面平行，根据面面平行性质得出线线平行. （2）先取线段、的中点分别记作点、，连接，，，根据二面角的平面角的定义证得即为所求的二面角的平面角，再求得的值，进而表示. 【详解】（1）略 （2）取线段、的中点分别记作点、，连接，，， 过点作平行线，交于点，连接， 又，故， 四边形是等腰梯形，故， 于是，即为所求的二面角的平面角， 又，，， 故，，则， ， 故． 故二面角的大小为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $