4.5 函数的应用（二）讲义（14大培优题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.5 函数的应用（二） 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：函数的零点 3 知识点二：函数零点的判定 3 知识点三：二分法 4 知识点四、几种常见的函数模型 5 知识点五、解答应用问题的基本思想和步骤 5 03 题型精讲 7 题型一：函数零点的求解 7 题型二：零点对应参数的求解 8 题型三：函数零点存在性定理应用 10 题型四：由零点所在区间确定参数范围 11 题型五：由零点个数确定参数取值范围 13 题型六：一次函数零点分布与参数范围 16 题型七：二次函数零点分布与参数范围 17 题型八：指对幂函数零点分布与参数范围 20 题型九：二分法求近似解的适用条件 23 题型十：二分法求解方程近似解的步骤 25 题型十一：结合增长率问题选取适配函数模型 28 题型十二：二分法求解函数零点的步骤 29 题型十三：构建拟合函数模型解决实际应用 32 题型十四：函数与方程综合应用 36 04 课后精练 42 05 培优拓展 52 知识点一：函数的零点 1、函数的零点 （1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 知识点诠释： ①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； ③函数的零点就是方程的实数根． 归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． （2）二次函数的零点 二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表. 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 （3）二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 知识点二：函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. 知识点诠释： ①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定． ②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有． ③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的． （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 知识点三：二分法 1、二分法 对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法． 2、用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度． 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中． 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度． 知识点诠释： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根． 3、关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某个数的数位达到某个规定的数位． （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 知识点四、几种常见的函数模型 1、一次函数模型：（，为常数，） 2、二次函数模型：（为常数，） 3、指数函数模型：（为常数，，且） 4、对数函数模型：（为常数，，且） 5、幂函数模型：（为常数，） 6、分段函数模型： 知识点五、解答应用问题的基本思想和步骤 1、解应用题的基本思想 2、解答函数应用题的基本步骤 求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． 第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求． 第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果． 第四步：还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景． 上述四步可概括为以下流程： 实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）． 题型一：函数零点的求解 【典例1-1】（2026·高一·吉林长春·阶段检测）二次函数的零点为（     ） A．和 B． C． D．和 【答案】D 【解析】令，即，即，解得，， 所以函数的零点是和. 【典例1-2】函数的零点为（    ） A．2 B． C．或 D．2和 【答案】D 【解析】令，则，解得或． 故选：D. 【变式1-1】（2026·高二·湖南·学业考试）函数的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增，最多只有一个零点，又因为，所以函数的零点为． 故选：B． 【变式1-2】（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 【答案】D 【解析】令，解得， 由零点定义可得函数的零点是. 故选：D 【变式1-3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 【答案】C 【解析】由可得， 由可得，，解得. 故选：C. 【方法技巧与总结】 求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点. 题型二：零点对应参数的求解 【典例2-1】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】定义域为， ，所以函数为偶函数， 又因为函数有唯一零点，根据零点关于轴对称，得出，所以， 当时，函数有唯一零点，符合题意； 当时，函数有零点，不符合题意舍； 故选：C. 【典例2-2】（2026·高一·贵州黔东南·期中）已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题意可得，，则， 则，所以. 故选：D. 【变式2-1】（2026·高一·江苏南京·期末）若命题“，”是真命题，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，方程必有一个正根， 函数在上单调递增， 命题“，”是真命题， 则函数在上必有相同零点， 否则存在使得， 因此函数在上的零点是函数的零点， 即，而，解得， 所以实数的取值集合为. 故选：A 【变式2-2】已知方程组的两组解分别为和，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】由题意，方程的两根分别为和， 则，解得，则， 所以. 故选：A. 【变式2-3】（2026·高一·北京东城·阶段检测）函数，当时，，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 是开口向上的二次函数，，恒有两个零点， 因为，所以两个零点一正一负，不妨设，又的零点为， 因为时，，所以时，与同号，可得， 所以，得，因为，所以，解得，即且， 所以， 当时，，得，所以； 当时，，得，所以， 所以. 因为，，所以A正确，B、C、D错误. 题型三：函数零点存在性定理应用 【典例3-1】（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期末）方程的解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则在上单调递增， 又，，所以， 所以在上存在唯一零点，即程的解所在的区间为. 故选：B 【典例3-2】（2026·高一·河北保定·期末）已知函数的图象是连续的曲线，且部分对应值表如下： 1 2 3 4 5 1.4 3.5 5.4 －5.5 －6.7 则方程必存在有根的一个区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的图象是连续的曲线， 且，， 所以， 根据零点存在性定理可得函数必定存在零点位于区间， 故方程必存在有根的一个区间是， 故选：C. 【变式3-1】（2026·高一·上海·阶段检测）若二次函数在区间上是严格增函数，且满足，则方程在区间内（   ） A．至少有一个实根 B．至多有一个实根 C．没有实根 D．必有唯一一个实根 【答案】D 【解析】二次函数在区间上连续，且满足， 所以由零点存在性定理可知，在区间上至少存在一个零点， 又因为在区间上是严格增函数， 所以在区间上有且只有一个零点， 即方程在区间内必有唯一一个实根. 【变式3-2】（2026·高一·广东广州·期末）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 所以，所以函数的零点所在的区间是. 【变式3-3】（2026·高一·江苏南通·期末）已知与图象交点的横坐标为，则所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则由题意知， 因为， ，， 又函数在上的图象是一条连续不断的曲线， 所以函数在区间内有零点，即方程有解， 所以函数与图象交点的横坐标所在的区间是． 【方法技巧与总结】 解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案． 题型四：由零点所在区间确定参数范围 【典例4-1】（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 【典例4-2】（2026·高一·四川成都·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于在上单调递增， 故命题等价于，即， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式4-1】（2026·高一·河南信阳·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，在上恒成立，此时在区间内无零点； 要使函数的一个零点在区间内，则， 因为函数和在单调递增，所以函数在单调递增， 由零点存在性定理可知，解得． 故选：B 【变式4-2】（2026·高一·江苏南京·期末）若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，可得， 因为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【变式4-3】（2026·高一·广东东莞·阶段检测）函数零点所在的大致区间为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，，， 故函数的零点所在区间为， 又因为函数零点所在的大致区间为，故. 故选：C. 题型五：由零点个数确定参数取值范围 【典例5-1】（2026·高一·四川成都·阶段检测）已知函数，若图象与轴恰有两个交点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若函数的图象与x轴恰有两个交点，则方程有两个不等实数根. 因为方程的实数根为，，方程的实数根为， 所以当时，方程有两个实根，； 当时，方程有一个实根； 当时，方程有两个实根，； 当时，方程有一个实根. 综上，实数a的取值范围为． 【典例5-2】（2026·高一·福建泉州·阶段检测）已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数a的最大值为（   ） A． B．3 C．8 D．9 【答案】C 【解析】根据题意作出的图象，如下图所示： 由得：， 当时， ，不等式无解； 当时，由得：， 若不等式恰有个整数解，则整数解为， 又，，所以； 当时，， 当时，不等式无整数解， 当时，不等式至少有两个整数解； 综上，实数的最大值为. 【变式5-1】（2026·河南平顶山·模拟预测）函数只有一个零点，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】令，则的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数， 要使函数只有一个零点， 则函数的图象与直线只有一个交点， 根据偶函数的图象特征，可知. 【变式5-2】（2026·高一·山东威海·期中）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（   ） A．实数m的取值范围为 B． C． D．最大值为1 【答案】B 【解析】当时，． 若在上有两个不同的解，则且，即． 当时，在上单调递增，且值域为，因此方程有唯一解． 于是存在使当且仅当，故A错误． 由，得，故B正确． 又，故C错误； 并且从而，其最大值不能取到，故D错误． 【变式5-3】设函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】画出的图象如下图． 方程有三个不同的实数解，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点， 当时，函数， 该二次函数图象开口向上，最低点为，且， 所以由数形结合思想可知：． 【方法技巧与总结】 体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径． 题型六：一次函数零点分布与参数范围 【典例6-1】（2026·高一·甘肃天水·阶段检测）若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的零点在内，所以，即， 解得或， 故选：A. 【典例6-2】（2026·高一·辽宁丹东·期末）命题“在区间上有零点”为真命题，则命题成立的一个必要不充分条件是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【解析】因为在区间上有零点， 所以，即，解得或； 令集合或， 由命题“在区间上有零点”的一个必要不充分条件， 集合A是该条件范围的真子集，根据题目选项A满足. 故选：A. 【变式6-1】（2026·高二·福建厦门·期中）“”是“函数在区间上有零点”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】分析：根据零点存在定理列不等式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 根据零点存在定理可知， 若在区间上有零点， 则， 即， 即或， “”是“函数 在区间上有零点”的充分不必要条件,故选A. 【变式6-2】（2026·高一·广西钦州·期末）函数在上存在零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，不存在零点； 当时，是一次函数，必然单调， 故只需即可， ， 解得：. 故选：D. 【变式6-3】（2026·高一·全国·单元测试）已知且在内存在零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，故即. 所以在R单调递增，且在内存在零点， 故，即，解得. 故选：C. 题型七：二次函数零点分布与参数范围 【典例7-1】（2026·高一·辽宁·期中）若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的图象是开口向上的抛物线，且， 根据零点存在定理可知，若在区间上有零点， 则需满足 ，解得，因此的取值范围为. 【典例7-2】（2026·高一·江苏泰州·阶段检测）已知函数在内有且仅有一个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，题意为在开区间内有且仅有一个零点，分情况讨论： （1），此时，令，解得，满足条件，故符合； （2）， ①方程有重根（判别式），且重根在区间内， 判别式，解得， 此时，零点为，满足条件，故符合； ②区间端点函数值异号（零点穿过区间）， ，， 由零点存在定理，时，区间内恰有一个零点， 即，解得且， ③验证端点函数值为0的情况， 当时，，此时零点为和，是区间端点（不算在开区间内）， 仅，满足条件，故符合； 当时，，此时零点为和， 是区间端点（不算在开区间内），仅，满足条件，故符合； 综上，或， 所以的取值范围是. 【变式7-1】若函数在上恰有一个零点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由函数在上恰有一个零点， 当时，，令，解得，符合题意， 当时，由，要使函数在上恰有一个零点， 则，即， 解得，即， 当时，在上只有一个零点，符合题意； 当时，要使函数在上恰有一个零点， 则或，即或， 解得或，即或， 时，在上只有一个零点，符合题意； 综上，实数的取值范围为或. 故选：C. 【变式7-2】（2026·高三·湖北荆州·阶段检测）若函数在上有零点，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 令，，， 因为函数在上有零点，所以函数与函数，有交点 由图可知， 故选：B 【变式7-3】（2026·高二·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数在区间内恰有一个变号零点（即零点附近左右函数值的符号不同），则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 由条件可知，，解得：， 所以选项中满足条件的只有. 故选：B 题型八：指对幂函数零点分布与参数范围 【典例8-1】已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，在同一平面直角坐标系中作出函数与的图像，如图所示. 不妨设，则由图像可得，所以，故D错误. ， ，故C错误. ，，即， 又，，故A错误，B正确. 故选：B. 【典例8-2】（2026·高二·贵州黔东南·期中）已知函数，若是函数的零点，且，则的值（    ） A．恒为正数 B．等于0 C．恒为负数 D．不能确定正负 【答案】A 【解析】∵函数在上单调递减， 且是函数的零点， ， ∴在上，有， ，. 故选：A. 【变式8-1】（大招48指数函数的图象及其应用）若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的图象与轴有交点，有解， 则实数的取值范围即为函数的值域， ，，实数的取值范围是． 故选：A 【变式8-2】（2026·高二·黑龙江绥化·期末）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数的图象如下图所示： 若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，即，即. 故选：D. 【变式8-3】（2026·高一·重庆江北·期末）已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 故或， 令，则或，故或， 故有3个不同的解，且解异于. 故有一个解且有两个解且解不为， 故，且，，解得. 故选：B. 题型九：二分法求近似解的适用条件 【典例9-1】下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】二分法求零点的前提：函数在零点附近连续，且零点左右两侧函数值异号． 选项B，函数图象与轴相切，函数零点两侧函数值均大于，不满足， 不能用二分法求零点. 选项A、C、D中的函数零点两侧函数值异号，满足，可采用二分法求零点. 【典例9-2】（2026·高一·河南·阶段检测）已知函数的图象如图所示，可以用二分法求近似值的零点个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】函数的图象与轴有4个交点，左右函数值异号的交点有3个，所以可以用二分法求近似值的零点个数为3. 故选：C. 【变式9-1】（2026·高三·山东青岛·阶段检测）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解析】由表格可得，函数的零点在区间内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C. 【变式9-2】（2026·高一·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B 【变式9-3】（2026·高一·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点， 交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解，A正确； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，B正确； 对于C选项，由题意可知只有一个零点， 且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点，C错误； 对于D选项，， 在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，D正确. 故选：C 【方法技巧与总结】 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零 点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 题型十：二分法求解方程近似解的步骤 【典例10-1】（2026·高一·河南新乡·期末）用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记，由于均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数， 因为， 且，所以函数的零点落在区间内， 又因为， 所以， 所以函数的零点落在区间内， 即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为. 故选：B. 【典例10-2】（2026·高一·广东深圳·期末）已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】二分法中，经过次等分后，区间长度变为原区间长度的 ，初始区间为 ，长度为， 要满足精度 ，即：，则， 因为， 所以需要将区间等分的最少次数为次， 故选：B. 【变式10-1】（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（误差不超过0.05）可以是（    ） A．1.25 B． C．1.34375 D．1.375 【答案】C 【解析】依题意，方程的一个近似根即函数的一个零点的近似值，该函数的定义域为，故函数在上连续. 因，满足，则该零点在区间内， 但，取，因，满足，故该零点在区间内， 但，再取，因，满足，故该零点在区间内， 但，再取，因，满足，故该零点在区间内， 但，再取，则， 又因区间端点值不作为近似值，故可取为方程的一个近似根. 故选：C. 【变式10-2】（2026·高一·安徽·阶段检测）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 【答案】C 【解析】由题意可知，对区间内，设零点为， 因为，，，所以，精确度为， 又，，，精确度为， 又，，，精确度为 又，，，精确度为， 需要求解的值， 然后达到零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次. 故选：C 【方法技巧与总结】 （1）依据图象估计零点所在的初始区间（这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能的小，区间的端点尽量为整数）． （2）取区间端点的平均数，计算，确定有解区间是还是，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的长度符合精确度要求（这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度），才终止计算，得到函数零点的近似值（为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法）． 题型十一：结合增长率问题选取适配函数模型 【典例11-1】（2026·高一·北京·阶段检测）下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知增长速度最快的函数模型是指数函数，故随着x的增长，增长速度最快. 故选：D. 【典例11-2】当x充分大时，下列函数中，增长速度最快的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】为指数函数，为二次函数，是对数函数， 是一次函数， 因为当足够大时，指数函数增长速度最快. 故选：A 【变式11-1】（2011-2012学年湖南省醴陵二中高二上期中理科数学试卷）已知三个函数模型：，，，当，随的增大，三个函数中的增长速度越来越快的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为三个函数模型：，，，当中，指数函数是爆炸型增长，因此选C. 【变式11-2】（2026·高一·陕西汉中·阶段检测）当x充分大时，下列函数中，增长速度最慢的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据指数函数，对数函数，幂函数，一次函数的增长差异，对数函数增长速度最慢， 故选：C. 【变式11-3】当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为指数函数是几何级数增长，当x越来越大时，增长速度最快. 故选：B． 题型十二：二分法求解函数零点的步骤 【典例12-1】借助计算器，用二分法求在区间的近似零点值(精确到0.1)． 【解析】由， 用计算器作出如下对应值表： 0 1 2 观察上表，可知零点在内，取区间中点，且，从而零点在内； 再取区间中点，且，从而可知零点在内． 同理取区间中点，且，从而可知零点在内． 同理取区间中点，且，从而可知零点在内． 由于，此时区间内任一值精确到后都是1.3， 故原函数在区间内的近似零点为 【典例12-2】借助计算器，用二分法求函数和的图像交点的横坐标(精确度0.1)． 【解析】在同一坐标系中作出和的大致图像，可知两函数图像只有一个交点， 令， ∵， ∴函数的零点． 取的中点，用计算器算得， ∵，∴． 再取的中点， 用计算器算得， ∵，∴． 再取的中点， 用计算器算得， ∵，∴． 再取的中点， 用计算器算得， ∵，∴． ∵， ∴两个函数图像交点的横坐标， 所以函数和的图像交点的横坐标可取中任意值，可取． 【变式12-1】用二分法求函数零点的近似值 【解析】由于函数为单调递增函数，且，， 因此可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下： 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 1.5 0.375 1.25 1.375 1.4375 当然，我们可以一直重复下去，这样的话，也会使求得的函数零点更精确，显然，这可能是一个无休止的过程， 实际上，如果我们一开始给一个误差范围的话，只要满足了给出的误差范围，我们就可以停止计算， 比如，该问题中，我们给出误差不超过0.1． 由于，所以原函数的一个正实数零点可取为1.4375． 【变式12-2】用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01） 【解析】经计算，， 所以函数在内存在零点， 取的中点， 经计算， 因为， 所以， 如此继续下去，如下表： 区间 中点值 中点函数近似值 因为， 所以函数在区间内误差不超过的一个零点近似值可取为． 【变式12-3】（5.3函数的应用）已知函数在区间上有且仅有一个零点，用二分法求该零点的近似值.（结果精确到0.1） 【解析】令函数，， 又，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 由于，故函数的零点区间为， 因为，，又，且零点结果精确到0.1. 所以在区间内的零点近似为. 【方法技巧与总结】 利用二分法求函数近似零点的流程图： 题型十三：构建拟合函数模型解决实际应用 【典例13-1】（2026·高一·上海虹口·期中）某医学专家为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行试验，经检测，病毒细胞的个数与天数的部分数据如下表所示： 天数（） 1 2 3 4 5 6 … 病毒细胞的个数（） 1 2 4 8 16 32 … (1)若病毒细胞的个数关于天数的变化规律可选用以下两个函数模型之一进行近似刻画：①；②．请结合表格中的数据，选择合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数表达式； (2)若该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过，小白鼠将死亡，但注射某种药物，可杀死其体内98%的病毒细胞．则在（1）的条件下，为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（结果精确到天） 【解析】（1）选择模型①，函数表达式为； （2）由题意知：第一次注射药物前病毒细胞个数关于天数的函数关系式为， 为了使小白鼠在试验过程中不死亡，则，， 解得：，又， 第一次最迟应在第天注射该种药物． 【典例13-2】（2026·高一·贵州铜仁·阶段检测）某校计划利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米、底面积为24平方米、背面靠墙的长方体形状的校园警务室.背面无需新建墙体.甲工程队对前面新建墙体的报价为每平方米400元，对左、右两面新建墙体的报价均为每平方米300元，屋顶、地面及其他费用共计14400元.设左、右两面墙的长度均为米，且. (1)当左、右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？求出最低报价. (2)乙工程队也参与竞标，其整体报价为元，其中.假定其他条件相同，对同一尺寸方案，当乙工程队的报价严格低于甲工程队时，乙工程队中标.若无论在内取何值，乙工程队都能中标，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意，警务室底面面积为24平方米，左、右墙长为米，故前面墙的长度为米， 甲工程队总报价包含三部分：前面墙体费用为元，左右两面墙体费用为元，屋顶、地面等其他费用14400元， 因此总报价函数为：， 根据基本不等式，，当且仅当，解得，即（负根舍去）取等号， 所以， 故当时，甲工程队报价最低为28800元； （2）由（1）知甲工程队总报价为， 乙工程队报价为， “对任意，乙都能中标”等价于， 因为，故，得， 由于，所以，即原恒成立不等式等价于， 要使该式对所有成立，只需小于函数在区间上的最小值， 令，由得，且，代入，得， 记，，根据对勾函数性质，在上单调递增，因此在上单调递增， 故时，取得最小值为，所以，所以， 又，因此实数的取值范围为. 【变式13-1】（2026·高一·安徽宣城·阶段检测）数字经济在应用层面，包括“新零售”“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人． (1)若每月的成本 （单位：万元）由两部分构成：①固定成本： 万元；②材料成本： 万元（ 为每月生产人形机器人的个数）．该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为 万元，可以售出 个人形机器人，据市场调查，人形机器人的单价每降低 万元，销售量就增加 个，则该企业应如何定价才能使降价后的销售总收入不低于 万元？ 【解析】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以每月生产个人形机器人时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为万元； （2）设单价降低万元（），则售价为万元，销售量为个， 销售总收入为万元．由题意， 整理得，即，解得， 所以售价，即定价应在万元到万元之间（含两端）． 【变式13-2】（2026·高一·重庆·阶段检测）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为米，宽度为（）（单位：米），地面面积为平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：储物室的墙面报价为每平方米元，屋顶和地面报价共计元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元（）. (1)求的函数解析式，并求报价的最小值（）； (2)若对任意的（）时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围. 【解析】（1）根据题意，，（）， 由于，当且仅当，即时等号成立， 此时， 所以方案一的最低报价约为元， （2）由（1）可知，方案一的报价为， 根据题意，方案二的报价为， 对任意的（）时，由方案二都比方案一省钱可得 ， 化简得在上恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，结合，故实数的取值范围为. 【变式13-3】（2026·高一·广东珠海·阶段检测）2025 年被称为“智能体产业化元年”．基于 AI 大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技 AI 研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型．在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分 （满分 100 分）和有效训练时长（单位：天）存在一定的函数关系．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：，已知综合性能评分 ，且在 处函数图象是连续不断的． (1)求函数 的解析式； (2)若大模型的强化训练效率定义为 ，，则训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高． 【解析】（1）由 ，得 ，所以 ． 因为图象在 处连续，所以 ， 即 ，解得 ． 所以 ． （2）当 时，， 又 ，当且仅当 ，即 时取等号， 所以 ，此时 ； 当 时，， 因为 时 ， 与 都随 增大而减小，所以 在 上递减， ． 综上，当 天时，“天穹”模型的标准化训练效率最高（最高效率为 ）． 【方法技巧与总结】 在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型． 题型十四：函数与方程综合应用 【典例14-1】（2026·高一·湖北·期中）已知函数满足，函数 (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，方程有四个不同的实数根，从小到大依次记为、、、，求的取值范围． 【解析】（1）由题意可得①， 所以②， 由①②可得，即； （2）由（1）可得， 要使在区间上单调递增，则， 解得，即， 所以实数的取值范围； （3）当时，函数，作出函数图象如下， 当时，函数开口向下，当时，， 当时，函数开口向上，当时，， 结合图象可知，方程有四个不同的实数根，则， 且方程的两实数根为、，方程两实数根为，， 所以， 所以， 因为函数在区间上单调递减， 所以，即的取值范围为. 【典例14-2】（2026·高一·宁夏吴忠·期中）若是定义在上的偶函数，当时，． (1)画出函数的图象，并根据图像写出函数的单调递减区间； (2)求函数的解析式； (3)若关于的方程有个不同的实数解，求实数的取值范围． 【解析】（1） ，函数的单调递减区间为和 （2）因为当时，， 设，则，所以， 又因为是定义在上的偶函数，所以， 即当时，. 综上，函数的解析式为. （3）若方程有个不同的实数解，即函数的图象与直线有个交点， 所以由（1）中图象可知，实数的取值范围为或，如图： 因此． 【变式14-1】（2026·高一·甘肃庆阳·期中）已知关于 的函数 的两个零点为 和 ． (1)求实数 ， 的值； (2)当 时，求关于 的不等式 的解集； (3)若对任意的实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围． 【解析】（1）由题意 ， 对比已知，得 ，，所以 ，． （2），不等式为 ， 而 ， 当 时抛物线开口向下，两根为 与 ， 若 ，则 ，解集为 ； 若 ，两根相等，不等式化为 ，解集为 ； 若 ，则 ，解集为 ． （3）因为 ，条件即 ，化简得 ， 因为 时 ，所以 恒成立， 令 ，它在 上单调递减， 所以 ，即 ． 【变式14-2】（2026·高一·山西长治·阶段检测）对于定义在上的函数 ，若 ，使得成立，则称为函数的不动点,已知二次函数. (1)当时，函数有唯一的不动点，求实数的取值范围； (2)若函数 有两个不相等的不动点 ，且 ，求 的最小值. 【解析】（1）因为，即， 当时，有唯一的不动点，则方程有唯一的解， 即函数在上只有一个零点， 当时，，，满足要求； 当时，即时，，解得或， 当时，，在上只有一个零点， 当时，，在上只有一个零点， 所以实数的取值范围为. （2）令，整理可得， 则，解得， 则 ， 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为. 【变式14-3】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知. (1)若，求的解集； (2)令，若在区间上存在零点，求a的取值范围； (3)令，对于任意的，，都有成立，求a的取值范围. 【解析】（1），，得， 所以，即， 令 ，，解得 ，即 ， 所以，所以的解集是； （2） 在 上存在零点，令，得 ，即，所以， 因为，所以 令 ，，记 ， 由均值不等式，当且仅当 时取等号， 所以，在 时取得最大值， 又，， 所以的值域是，所以,所以， 所以a的取值范围是; （3）, 得， 即， 在上的最大值是，最小值是， 由题意  ，即， 所以，所以， 即，所以， 令，， 在上单调递减，所以当时，取得最小值3， 所以在上取得最大值， 在上单调递减，所以当时，取得最小值1， 所以，所以 所以a的取值范围是. 1．（2026·四川泸州·一模）一款藏品原价1000元，存放年后价值满足：（为常数）.若存放8年后价值为1500元，则存放16年后藏品价值为（   ） A．2000元 B．2250元 C．2500元 D．3000元 【答案】B 【解析】由题意，，即，所以. 所以. 所以存放16年后藏品价值为元. 2．在量子存储实验中，量子态的保真度随存储时间（单位：微秒）呈指数衰减，满足模型，其中为初始保真度（），为特征时间常数.若保真度不低于初始保真度的，则存储时间与的比值最大为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】依题意，，而，则， 又函数是上的增函数，因此，解得， 所以存储时间与的比值最大为5. 3．（2026·高三·山东德州·阶段检测）函数的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】设函数和. 函数的零点个数就是函数和的交点个数. 在同一坐标系内作出函数和的图象，如图， 可知两函数的图象有4个交点，故函数有4个零点. 4．（2026·高一·江苏扬州·期中）若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“函数在区间上有零点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】取，显然在区间上有零点，且零点为， 但，所以函数在区间上有零点推不出， 又由零点存在性定理知，若，函数在区间上的图象是一条不间断的曲线， 则函数在区间上有零点， 所以“函数在区间上有零点”是“”的必要不充分条件. 5．（2026·高一·福建厦门·开学考试）某市2024年的扶贫资金为万元，比2023年增长了，计划2025年的增幅调整为上一年的2倍，则这3年的扶贫资金总额将达到（     ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】D 【解析】设2023年的扶贫资金为万元，2025年的扶贫资金为万元 所以3年总金额为. 6．若是方程的解，则属于区间（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，， ，． ，， ∴结合图象得． ∴由图象关系可得． 7．（2026·高一·安徽安庆·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则原函数化为， 令 ，则 有两个零点等价于方程 在 上有两个不同的实数解， 二次函数 开口向上，对称轴为 ，要使其在 上有两个零点，需满足，解得， 因此实数 的取值范围为 . 8．（多选题）（2026·高一·江西上饶·期中）一列火车正在匀速行驶，它先用的时间通过了长的隧道甲（从火车头进入入口到车尾离开出口），又用的时间通过了长的隧道乙．下列说法正确的是（ ） A．这列火车长 B．这列火车的行驶速度为 C．若保持原速度不变，则这列火车通过长的隧道丙需用时 D．若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半 【答案】AD 【解析】设火车长米，通过隧道甲的总路程为米，时间为26秒；通过隧道乙的总路程为米，时间为16秒. A、由速度相等得方程：解得米，正确； B、火车速度为米/秒，错误； C、通过160米隧道丙的总路程为米，需时秒，错误； D、速度加倍后，通过隧道甲的时间为秒，为原时间26秒的一半，正确. 9．（多选题）（2026·高一·广东珠海·阶段检测）高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．有这样一个函数就是以他名字命名的：设，用表示不超过的最大整数，则为高斯函数，又称为取整函数，．则下列正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．对于任意实数、，都有 C．对于任意实数、，则是成立的充分不必要条件 D．若方程有个非零实数解，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】A项：因为，由得或，即，A正确； B项：取，则，而，不成立，B错误； C项：若，则、，所以， 所以，故，充分性成立； 取，，则，但，必要性不成立，C正确； D项：可知当，时，则， 可得的图象，如图所示： 函数有个零点，且原点为和直线必过的点， 函数的图象和直线有个交点（除去原点）， 由图可得或，解得或， 所以实数的取值范围是，D正确. 10．（2026·高一·河南·阶段检测）某小区停车场计划安装台充电桩(为正整数)，每台充电桩每年的折旧维护费用为万元．经测算，车主排队等候充电造成的排队损失费(万元)与安装台数成反比，比例系数为，则每年的总费用（折旧维护费与排队损失费之和）最低为_________万元． 【答案】 【解析】设每年的总费用为万元，则. ，，； ，当且仅当，即时等号成立. ，即每年的总费用（折旧维护费与排队损失费之和）最低为万元. 11．（2026·高一·福建泉州·开学考试）某物流公司计划租地建造一座仓库用于储存货物.经过市场调研与测算，仓库每月的土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：千米， ）成反比；仓库每月的库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离成正比；若在距离车站 千米处建仓库，则每月的土地占地费和库存货物费分别为万元和万元. 请根据以上信息解答下列问题： (1)分别求出土地占地费和库存货物费关于距离的函数解析式； (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使每月的这两项费用之和最小？并求出最小费用. 【解析】（1）设土地占地费()，库存货物费(). 由题意知，当时，，，代入得：，解得； ，解得 . ∴土地占地费的解析式为()； 库存货物费的解析式为(). （2）设每月的两项费用之和为万元，则：， 由基本不等式可得 ， 当且仅当 ，即时，等号成立. ∴这家公司应该把仓库建在距离车站千米处，才能使每月的这两项费用之和最小， 最小费用为万元. 12．（2026·高三·山西·开学考试）已知函数． (1)当时，解不等式 (2)若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围； (3)设，若，在上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 所以，即， 由，得，或； 由，得， 故原不等式的解集为． （2）由， 得，所以， 由，得， 即，① 当时，方程①的解为，经检验符合题意； 当，即时，方程①的解为，经检验符合题意； 当且时，方程①的解为，或， 若是原方程的解，则，所以， 若是原方程的解，则，所以， 因为中仅有一个是原方程的解，则和中仅有一个成立， 所以． 综上所述，的取值范围为． （3）， 令，则在上单调递减， 所以，， 由题意得，即， 所以． 设，因为，则， 所以， 当，即时，， 当时，即， 因为在上单调递减，所以， 所以， 所以，即的取值范围是． 13．（2026·高一·福建泉州·开学考试）（1）已知函数.判断函数的奇偶性，并求函数图象的对称中心； （2）已知函数. （i）当时，求函数在区间上的最大值与最小值. （ii）若有三个解，求的取值范围. 【解析】（1）由题意得，其定义域为，关于原点对称. 因为，所以为奇函数. 因为的图象关于原点中心对称，而 是由 向上平移个单位得到的， 所以函数图象的对称中心为. 综上，为奇函数，函数图象的对称中心为. （2）（i）当时，. ①当时，，对称轴为， 故最小值为；又，，故最大值为. 所以此段值域为. ②当时，单调递减. 所以此段无最大值，最小值为，且. 所以此段值域为. 综上，当时，在区间上的最大值为，最小值为. （ii）作出函数草图如下所示， 因为存在三个解，故只需，解得. 所以的取值范围为. 14．已知函数 (1)根据函数单调性的定义证明在上单调递增； (2)设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围． 【解析】（1）任取，且， 则 因为，所以， 又， 所以，即， 所以在上单调递增 （2）因为，所以， 所以函数是奇函数， 因为， 所以， 因为在上单调递增，所以有两个不同的实根，即有两个不同的实根， 令，则有两个不同的正解， 即直线与的图象有两个不同的交点， 作出的图象，如图所示． 由图可知，所以的最大值为， 结合图象可知：实数的取值范围为． 1．（2026·高一·陕西西安·开学考试）已知函数，且方程有7个不同的实数根，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．4 D．1或4 【答案】B 【解析】作出的图象如图所示， 根据上图可知和的图象有个交点，即满足条件． 2．（2026·高一·浙江·开学考试）已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当或时，，有唯一解，不满足方程有三个不等实根； 当时，大致图象如图所示， 若有三个不等实根，则，可得， 设，令，解得，即， 令，解得：，， 因为， 所以，故. 3．若、分别是方程，的解，函数，则关于的方程的解的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为满足，满足，所以，， 即点在上，点在上， 由于与关于对称，且自身关于对称， 所以与关于直线对称，因此，所以， 所以函数， 当时，关于的方程，即，即， 解得，，满足题意； 当时，关于的方程，即，解得，满足题意. 所以关于的方程的解的个数是. 4．（2026·高一·上海浦东新·开学考试）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【解析】当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则；…… 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则；…… 所以函数的图象如图所示，函数表示恒过的直线， 若方程有三个不同的实根，则函数与函数有且仅有三个交点， 由图可得，当直线过点时，；当直线过点时，； 当直线过点时，；当直线过点时，； 则实数的取值范围是或，故选D. 5．（2026·高一·广东揭阳·期末）定义是a，b中的较大者．已知函数，．若，且方程有个不同的解，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，由方程有个不同的解， 所以在内有两个零点， 则，得，得， 得． 6．（2026·高二·山东日照·期末）已知函数，若有两个零点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 由对勾函数性质，得，则， 所以等价于，即， 由开口向上，对称轴为： 在上单调递增，，即， 在上单调递减，，即， 原函数有两个零点，即与（）只有一个交点， 由图知，的取值范围是. 7．（多选题）（2026·高一·四川成都·期中）已知函数，其中且，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点中心对称 B．当时，在上的最大值为 C．若在上单调递增，则实数的取值范围为 D．方程有三个不同实根的充要条件是或 【答案】BCD 【解析】对于A，由，得，， 则，结果不一定恒为0，故A错误； 对于B，当，时，， 则时，取得最大值，故B正确； 对于C，由， 而函数开口向下，对称轴为，函数开口向上，对称轴为， 当时，，则函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数单调递增，符合题意； 当时，，则函数在和上单调递增，在上单调递减， 若在上单调递增，则，即. 综上所述，若在上单调递增，则实数的取值范围为，故C正确； 对于D，方程有三个不同实根，等价于函数与有三个交点， 而，，， 由C知，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 此时函数的大致图象如下： 要使函数与有三个交点，则，解得； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 此时函数的大致图象如下： 要使函数与有三个交点，则，解得. 综上所述，方程有三个不同实根的充要条件是或，故D正确. 8．（2026·高一·辽宁大连·阶段检测）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的取值集合是____________. 【答案】 【解析】由题意可得且， 因为，即， 所以， 即只有一个解， 令，且， 即直线与函数的图象只有一个交点， 作出函数与直线的图象，如图所示： 由此可得或或， 所以的取值集合是. 9．（2026·高一·广东广州·阶段检测）定义，设函数．若函数与轴至少有3个交点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】设，，由可得. 要使得函数至少有3个零点，则函数至少有一个零点， 则，解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，无解； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 10．（2026·高一·河北衡水·阶段检测）已知若，且，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】画出的图象，如图所示： 设，则， 令，解得或0， 因为的对称轴为， 由对称性可得，且， 其中， 因为，所以， 故， 又，故， 所以． 11．（2026·高一·山东济南·开学考试）若关于的方程恰有一个实根，则的取值范围为________． 【答案】或 【解析】令， 则原方程等价为， 当时，方程为，不成立，故， 由可得， 代入可得， 即，显然时方程不成立， 所以方程有一解， 当即时，方程有一解，符合题意； 当时，设， 二次函数开口向下，且， 所以方程有一正根，符合题意； 当时，， 且，可知方程有两不等正根，不符合题意； 当时，，方程无实数根，不符合题意； 当时，，此时方程为， 解得，符合题意； 当时，，且， 可知方程有两不等正根，不符合题意. 综上，的取值范围为或. 12．（2026·高一·四川内江·阶段检测）对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，． (1)若，求的“稳定点”； (2)若函数，存在，使函数有三个不同的不动点，求的值和实数的取值范围； (3)若，且，求实数的取值范围． 【解析】（1）由有，解得，所以函数的“稳定点”为. （2）若存在，使函数有三个不同的不动点， 即， 可化为关于的方程有三个不等实根， 令，则， 由于非负数，所以必有一根为正根和一个零根， 由为方程的根代入可知，即， 此时方程，即， 由另一根为正根可知，解得. 故的值为，实数的取值范围为. （3）因为，则方程有实根，即有实根， 所以或，解得. 又由，得，即， 由，故方程左边含有因式即， 所以方程要么无实根，要么根是方程的解. 当方程无实根时， 或，即， 当方程有实根时， 则方程的根是方程的解， 则有，代入方程得，故， 将代入方程，得，所以． 综上：的取值范围是． 13．（2026·高三·河北唐山·阶段检测）若存在，使得函数对其定义域内的任意，都有恒成立，则称为“倒数对称函数”，为对称系数． (1)证明：为“5倒数对称函数”； (2)已知函数． （i）试问是否为“倒数对称函数”？若是，求出对称系数的值；若不是，请说明理由； （ii）若函数有唯一零点，求正数的取值范围． 【解析】（1）由题意得函数的定义域为， 对任意，可得， 所以函数为“5倒数对称函数”； （2）（i）因为， 进一步化简可得， 设函数为“倒数对称函数”，则， 则， 令，得， 对两边取以3为底的对数，得， 则 ， 又， 由对恒成立，得， 解得，经检验，所以函数为“4倒数对称函数”； （ii）由（i）可知，函数为“4倒数对称函数”， 函数有唯一零点， 即关于的方程有唯一解， 对任意，， 又因为为正数，则，所以恒成立， 因为函数为“4倒数对称函数”， 所以原方程的解等价于方程有唯一解， 对上式进一步化简可得， 当时，方程化为，解得，符合唯一解， 当时，判别式， 有两个不相等的实根，所以两根之积为， 若，则，乘积为负，两根一正一负， 仅有正根在定义域内，符合唯一零点， 当时，则，乘积为正，两根同号， 又因为两根之和为，所以两根均为正， 即方程有两个正根，对应两个零点，不符合唯一零点要求， 综上所述，可得正数的取值范围是． 14．（2026·高一·浙江嘉兴·阶段检测）对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)对于二次函数 ①当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； ②若函数y有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 【解析】（1）由题意得：令，解得或， 所以二次函数的不动点为和； （2）①由，令， 即，即 所以或， 由在内有唯一的解， 所以或或， 解得或或； ②函数y有两个不相等的不动点，即有两个不等的正实根， 所以，解得，即， 所以 ， 令，则， 原式， 当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 15．（2026·高一·辽宁·期中）若存在三个函数，，，在区间上满足恒成立，则称为与在区间上的“中间函数”，为下限函数，为上限函数.已知函数为函数的一个零点.是否存在常数.使得是与在上的“中间函数”且为下限函数，为上限函数？ 【解析】存在，.理由如下： 由，得，所以 由题意，需满足与对任意均成立，因此． ①当时，可化为 它在上恒成立，只能有． 此时可化为，显然不恒成立，故不符合题意． ②当时，两式均为开口向上的二次函数，故其判别式均不大于， 即 两式相加得所以 代入上面的两个判别式不等式，分别得， 故，进而，． ③当时，可化为 它在上恒成立，只能有． 此时可化为，不恒成立，故不符合题意． 因此，存在满足题意的取值，且. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5 函数的应用（二） 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：函数的零点 3 知识点二：函数零点的判定 3 知识点三：二分法 4 知识点四、几种常见的函数模型 5 知识点五、解答应用问题的基本思想和步骤 5 03 题型精讲 7 题型一：函数零点的求解 7 题型二：零点对应参数的求解 7 题型三：函数零点存在性定理应用 8 题型四：由零点所在区间确定参数范围 8 题型五：由零点个数确定参数取值范围 9 题型六：一次函数零点分布与参数范围 10 题型七：二次函数零点分布与参数范围 10 题型八：指对幂函数零点分布与参数范围 11 题型九：二分法求近似解的适用条件 12 题型十：二分法求解方程近似解的步骤 13 题型十一：结合增长率问题选取适配函数模型 14 题型十二：二分法求解函数零点的步骤 14 题型十三：构建拟合函数模型解决实际应用 15 题型十四：函数与方程综合应用 16 04 课后精练 19 05 培优拓展 22 知识点一：函数的零点 1、函数的零点 （1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 知识点诠释： ①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； ③函数的零点就是方程的实数根． 归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． （2）二次函数的零点 二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表. 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 （3）二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 知识点二：函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. 知识点诠释： ①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定． ②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有． ③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的． （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 知识点三：二分法 1、二分法 对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法． 2、用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度． 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中． 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度． 知识点诠释： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根． 3、关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某个数的数位达到某个规定的数位． （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 知识点四、几种常见的函数模型 1、一次函数模型：（，为常数，） 2、二次函数模型：（为常数，） 3、指数函数模型：（为常数，，且） 4、对数函数模型：（为常数，，且） 5、幂函数模型：（为常数，） 6、分段函数模型： 知识点五、解答应用问题的基本思想和步骤 1、解应用题的基本思想 2、解答函数应用题的基本步骤 求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． 第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求． 第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果． 第四步：还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景． 上述四步可概括为以下流程： 实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）． 题型一：函数零点的求解 【典例1-1】（2026·高一·吉林长春·阶段检测）二次函数的零点为（     ） A．和 B． C． D．和 【典例1-2】函数的零点为（    ） A．2 B． C．或 D．2和 【变式1-1】（2026·高二·湖南·学业考试）函数的零点为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 【变式1-3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 【方法技巧与总结】 求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点. 题型二：零点对应参数的求解 【典例2-1】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【典例2-2】（2026·高一·贵州黔东南·期中）已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-1】（2026·高一·江苏南京·期末）若命题“，”是真命题，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知方程组的两组解分别为和，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-3】（2026·高一·北京东城·阶段检测）函数，当时，，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 题型三：函数零点存在性定理应用 【典例3-1】（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期末）方程的解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·高一·河北保定·期末）已知函数的图象是连续的曲线，且部分对应值表如下： 1 2 3 4 5 1.4 3.5 5.4 －5.5 －6.7 则方程必存在有根的一个区间是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高一·上海·阶段检测）若二次函数在区间上是严格增函数，且满足，则方程在区间内（   ） A．至少有一个实根 B．至多有一个实根 C．没有实根 D．必有唯一一个实根 【变式3-2】（2026·高一·广东广州·期末）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高一·江苏南通·期末）已知与图象交点的横坐标为，则所在区间是（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案． 题型四：由零点所在区间确定参数范围 【典例4-1】（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·高一·四川成都·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高一·河南信阳·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高一·江苏南京·期末）若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高一·广东东莞·阶段检测）函数零点所在的大致区间为，则为（   ） A． B． C． D． 题型五：由零点个数确定参数取值范围 【典例5-1】（2026·高一·四川成都·阶段检测）已知函数，若图象与轴恰有两个交点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2026·高一·福建泉州·阶段检测）已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数a的最大值为（   ） A． B．3 C．8 D．9 【变式5-1】（2026·河南平顶山·模拟预测）函数只有一个零点，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式5-2】（2026·高一·山东威海·期中）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（   ） A．实数m的取值范围为 B． C． D．最大值为1 【变式5-3】设函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径． 题型六：一次函数零点分布与参数范围 【典例6-1】（2026·高一·甘肃天水·阶段检测）若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2026·高一·辽宁丹东·期末）命题“在区间上有零点”为真命题，则命题成立的一个必要不充分条件是（   ） A．或 B． C．或 D． 【变式6-1】（2026·高二·福建厦门·期中）“”是“函数在区间上有零点”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】（2026·高一·广西钦州·期末）函数在上存在零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·高一·全国·单元测试）已知且在内存在零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：二次函数零点分布与参数范围 【典例7-1】（2026·高一·辽宁·期中）若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2026·高一·江苏泰州·阶段检测）已知函数在内有且仅有一个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式7-1】若函数在上恰有一个零点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式7-2】（2026·高三·湖北荆州·阶段检测）若函数在上有零点，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·高二·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数在区间内恰有一个变号零点（即零点附近左右函数值的符号不同），则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 题型八：指对幂函数零点分布与参数范围 【典例8-1】已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（2026·高二·贵州黔东南·期中）已知函数，若是函数的零点，且，则的值（    ） A．恒为正数 B．等于0 C．恒为负数 D．不能确定正负 【变式8-1】（大招48指数函数的图象及其应用）若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·高二·黑龙江绥化·期末）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·高一·重庆江北·期末）已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九：二分法求近似解的适用条件 【典例9-1】下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【典例9-2】（2026·高一·河南·阶段检测）已知函数的图象如图所示，可以用二分法求近似值的零点个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-1】（2026·高三·山东青岛·阶段检测）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【变式9-2】（2026·高一·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2026·高一·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零 点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 题型十：二分法求解方程近似解的步骤 【典例10-1】（2026·高一·河南新乡·期末）用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【典例10-2】（2026·高一·广东深圳·期末）已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式10-1】（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（误差不超过0.05）可以是（    ） A．1.25 B． C．1.34375 D．1.375 【变式10-2】（2026·高一·安徽·阶段检测）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 【方法技巧与总结】 （1）依据图象估计零点所在的初始区间（这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能的小，区间的端点尽量为整数）． （2）取区间端点的平均数，计算，确定有解区间是还是，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的长度符合精确度要求（这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度），才终止计算，得到函数零点的近似值（为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法）． 题型十一：结合增长率问题选取适配函数模型 【典例11-1】（2026·高一·北京·阶段检测）下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【典例11-2】当x充分大时，下列函数中，增长速度最快的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2011-2012学年湖南省醴陵二中高二上期中理科数学试卷）已知三个函数模型：，，，当，随的增大，三个函数中的增长速度越来越快的是 A． B． C． D． 【变式11-2】（2026·高一·陕西汉中·阶段检测）当x充分大时，下列函数中，增长速度最慢的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 题型十二：二分法求解函数零点的步骤 【典例12-1】借助计算器，用二分法求在区间的近似零点值(精确到0.1)． 【典例12-2】借助计算器，用二分法求函数和的图像交点的横坐标(精确度0.1)． 【变式12-1】用二分法求函数零点的近似值 【变式12-2】用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01） 【变式12-3】（5.3函数的应用）已知函数在区间上有且仅有一个零点，用二分法求该零点的近似值.（结果精确到0.1） 【方法技巧与总结】 利用二分法求函数近似零点的流程图： 题型十三：构建拟合函数模型解决实际应用 【典例13-1】（2026·高一·上海虹口·期中）某医学专家为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行试验，经检测，病毒细胞的个数与天数的部分数据如下表所示： 天数（） 1 2 3 4 5 6 … 病毒细胞的个数（） 1 2 4 8 16 32 … (1)若病毒细胞的个数关于天数的变化规律可选用以下两个函数模型之一进行近似刻画：①；②．请结合表格中的数据，选择合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数表达式； (2)若该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过，小白鼠将死亡，但注射某种药物，可杀死其体内98%的病毒细胞．则在（1）的条件下，为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（结果精确到天） 【典例13-2】（2026·高一·贵州铜仁·阶段检测）某校计划利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米、底面积为24平方米、背面靠墙的长方体形状的校园警务室.背面无需新建墙体.甲工程队对前面新建墙体的报价为每平方米400元，对左、右两面新建墙体的报价均为每平方米300元，屋顶、地面及其他费用共计14400元.设左、右两面墙的长度均为米，且. (1)当左、右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？求出最低报价. (2)乙工程队也参与竞标，其整体报价为元，其中.假定其他条件相同，对同一尺寸方案，当乙工程队的报价严格低于甲工程队时，乙工程队中标.若无论在内取何值，乙工程队都能中标，求实数的取值范围. 【变式13-1】（2026·高一·安徽宣城·阶段检测）数字经济在应用层面，包括“新零售”“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人． (1)若每月的成本 （单位：万元）由两部分构成：①固定成本： 万元；②材料成本： 万元（ 为每月生产人形机器人的个数）．该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为 万元，可以售出 个人形机器人，据市场调查，人形机器人的单价每降低 万元，销售量就增加 个，则该企业应如何定价才能使降价后的销售总收入不低于 万元？ 【变式13-2】（2026·高一·重庆·阶段检测）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为米，宽度为（）（单位：米），地面面积为平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：储物室的墙面报价为每平方米元，屋顶和地面报价共计元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元（）. (1)求的函数解析式，并求报价的最小值（）； (2)若对任意的（）时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围. 【变式13-3】（2026·高一·广东珠海·阶段检测）2025 年被称为“智能体产业化元年”．基于 AI 大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技 AI 研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型．在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分 （满分 100 分）和有效训练时长（单位：天）存在一定的函数关系．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：，已知综合性能评分 ，且在 处函数图象是连续不断的． (1)求函数 的解析式； (2)若大模型的强化训练效率定义为 ，，则训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高． 【方法技巧与总结】 在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型． 题型十四：函数与方程综合应用 【典例14-1】（2026·高一·湖北·期中）已知函数满足，函数 (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，方程有四个不同的实数根，从小到大依次记为、、、，求的取值范围． 【典例14-2】（2026·高一·宁夏吴忠·期中）若是定义在上的偶函数，当时，． (1)画出函数的图象，并根据图像写出函数的单调递减区间； (2)求函数的解析式； (3)若关于的方程有个不同的实数解，求实数的取值范围． 【变式14-1】（2026·高一·甘肃庆阳·期中）已知关于 的函数 的两个零点为 和 ． (1)求实数 ， 的值； (2)当 时，求关于 的不等式 的解集； (3)若对任意的实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围． 【变式14-2】（2026·高一·山西长治·阶段检测）对于定义在上的函数 ，若 ，使得成立，则称为函数的不动点,已知二次函数. (1)当时，函数有唯一的不动点，求实数的取值范围； (2)若函数 有两个不相等的不动点 ，且 ，求 的最小值. 【变式14-3】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知. (1)若，求的解集； (2)令，若在区间上存在零点，求a的取值范围； (3)令，对于任意的，，都有成立，求a的取值范围. 1．（2026·四川泸州·一模）一款藏品原价1000元，存放年后价值满足：（为常数）.若存放8年后价值为1500元，则存放16年后藏品价值为（   ） A．2000元 B．2250元 C．2500元 D．3000元 2．在量子存储实验中，量子态的保真度随存储时间（单位：微秒）呈指数衰减，满足模型，其中为初始保真度（），为特征时间常数.若保真度不低于初始保真度的，则存储时间与的比值最大为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2026·高三·山东德州·阶段检测）函数的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（2026·高一·江苏扬州·期中）若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“函数在区间上有零点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·高一·福建厦门·开学考试）某市2024年的扶贫资金为万元，比2023年增长了，计划2025年的增幅调整为上一年的2倍，则这3年的扶贫资金总额将达到（     ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 6．若是方程的解，则属于区间（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·安徽安庆·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高一·江西上饶·期中）一列火车正在匀速行驶，它先用的时间通过了长的隧道甲（从火车头进入入口到车尾离开出口），又用的时间通过了长的隧道乙．下列说法正确的是（ ） A．这列火车长 B．这列火车的行驶速度为 C．若保持原速度不变，则这列火车通过长的隧道丙需用时 D．若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半 9．（多选题）（2026·高一·广东珠海·阶段检测）高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．有这样一个函数就是以他名字命名的：设，用表示不超过的最大整数，则为高斯函数，又称为取整函数，．则下列正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．对于任意实数、，都有 C．对于任意实数、，则是成立的充分不必要条件 D．若方程有个非零实数解，则实数的取值范围是 10．（2026·高一·河南·阶段检测）某小区停车场计划安装台充电桩(为正整数)，每台充电桩每年的折旧维护费用为万元．经测算，车主排队等候充电造成的排队损失费(万元)与安装台数成反比，比例系数为，则每年的总费用（折旧维护费与排队损失费之和）最低为_________万元． 11．（2026·高一·福建泉州·开学考试）某物流公司计划租地建造一座仓库用于储存货物.经过市场调研与测算，仓库每月的土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：千米， ）成反比；仓库每月的库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离成正比；若在距离车站 千米处建仓库，则每月的土地占地费和库存货物费分别为万元和万元. 请根据以上信息解答下列问题： (1)分别求出土地占地费和库存货物费关于距离的函数解析式； (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使每月的这两项费用之和最小？并求出最小费用. 12．（2026·高三·山西·开学考试）已知函数． (1)当时，解不等式 (2)若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围； (3)设，若，在上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 13．（2026·高一·福建泉州·开学考试）（1）已知函数.判断函数的奇偶性，并求函数图象的对称中心； （2）已知函数. （i）当时，求函数在区间上的最大值与最小值. （ii）若有三个解，求的取值范围. 14．已知函数 (1)根据函数单调性的定义证明在上单调递增； (2)设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围． 1．（2026·高一·陕西西安·开学考试）已知函数，且方程有7个不同的实数根，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．4 D．1或4 2．（2026·高一·浙江·开学考试）已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若、分别是方程，的解，函数，则关于的方程的解的个数是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·上海浦东新·开学考试）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 5．（2026·高一·广东揭阳·期末）定义是a，b中的较大者．已知函数，．若，且方程有个不同的解，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·山东日照·期末）已知函数，若有两个零点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）（2026·高一·四川成都·期中）已知函数，其中且，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点中心对称 B．当时，在上的最大值为 C．若在上单调递增，则实数的取值范围为 D．方程有三个不同实根的充要条件是或 8．（2026·高一·辽宁大连·阶段检测）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的取值集合是____________. 9．（2026·高一·广东广州·阶段检测）定义，设函数．若函数与轴至少有3个交点，则的取值范围为__________． 10．（2026·高一·河北衡水·阶段检测）已知若，且，则的取值范围是______ 11．（2026·高一·山东济南·开学考试）若关于的方程恰有一个实根，则的取值范围为________． 12．（2026·高一·四川内江·阶段检测）对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，． (1)若，求的“稳定点”； (2)若函数，存在，使函数有三个不同的不动点，求的值和实数的取值范围； (3)若，且，求实数的取值范围． 13．（2026·高三·河北唐山·阶段检测）若存在，使得函数对其定义域内的任意，都有恒成立，则称为“倒数对称函数”，为对称系数． (1)证明：为“5倒数对称函数”； (2)已知函数． （i）试问是否为“倒数对称函数”？若是，求出对称系数的值；若不是，请说明理由； （ii）若函数有唯一零点，求正数的取值范围． 14．（2026·高一·浙江嘉兴·阶段检测）对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)对于二次函数 ①当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； ②若函数y有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 15．（2026·高一·辽宁·期中）若存在三个函数，，，在区间上满足恒成立，则称为与在区间上的“中间函数”，为下限函数，为上限函数.已知函数为函数的一个零点.是否存在常数.使得是与在上的“中间函数”且为下限函数，为上限函数？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $