专题07 数列（复习讲义）（上海专用）2027年春季高考数学

专题07 数列 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 18 考点一 数列的概念与递推公式 18 考点二 等差数列的基本量运算 23 考点三 等差数列的性质与前n项和（高频考点） 25 考点四 等比数列的基本量运算 27 考点五 数列求和的方法（重难点） 29 考点六 数列的综合应用与不等式 34 04 实战演练 38 考情解读 考试要求 ①理解数列的概念与表示方法（通项公式、递推公式），能根据递推关系写出数列的项，会判断数列的单调性与周期性． ②理解等差数列、等比数列的定义，掌握通项公式与前 项和公式，能由基本量 、（或 ）求解相关问题． ③掌握等差、等比数列的性质（中项、下标和、片段和），会用性质简化运算，能判断或证明一个数列是等差（等比）数列． ④掌握错位相减、裂项相消、分组并项等求和方法；理解数学归纳法的两步证明；能解决数列与函数、不等式结合的综合问题． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 数列的概念与递推公式 5年2考 由递推公式求项、数列的单调性与周期性、新定义数列 预测2027年在选择或填空题中以新定义数列的形式考查递推与周期性 等差数列及其前n项和 5年2考 2026年上海市春季高考 第13题 通项与前n项和的基本量计算、性质的应用、前n项和的最值 等差数列的判断 2026年上海市春季高考第13题考查等差数列的判断；预测2027年在填空题中考查基本量运算与片段和性质 等比数列及其前n项和 5年1考 2026年上海市春季高考 第13题 通项与前n项和、等比中项、无穷递缩等比数列各项的和 等比数列的判断 2026年上海市春季高考第13题考查等比数列的判断；预测2027年在填空题中考查等比数列的基本量或无穷递缩等比数列求和 数列求和与综合应用 5年2考 错位相减、裂项相消、分组并项，数列与函数、不等式的综合 预测2027年在解答题中考查数列求和与不等式证明，难度较大 知识梳理 知识点1 数列的概念、性质及递推公式 1．数列的概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项； （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集 ， 为定义域的函数 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值； ：数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要考虑函数的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性。 2．数列的分类 （1）按照项数有限和无限分： （2）按单调性来分： 3．数列的两种常用的表示方法 （1）通项公式：如果数列 的第 项与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。 ：①并不是所有的数列都有通项公式： ②同一个数列的通项公式在形式上未必唯一。 (2)递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 通项公式和递推公式的异同点 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号的值,直接代入求出 都可确定一个数列,也都可求出数列的任意一项 递推公式 可根据第1项(或前几项)的值,通过一次(或多次)赋值,依次求出数列的项,直至求出所需的 4．常用结论 （1）若数列 的前 项和为 ，通项公式为 ，则 （2）在数列 中，若 最大，则 若 最小，则 自主检测（2026·上海闵行·模拟预测）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．有下列命题： ①存在递增数列，使得它是“攀登数列”； ②存在周期数列，使得它是“攀登数列”； ③存在等差数列，使得它是“攀登数列”； ④若数列为公比为的等比数列，对于任意，存在，使得为攀登数列． 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】数列新定义、求等差数列前n项和、数列周期性的应用、求等比数列前n项和 【分析】可通过列举数列判断①②，对于③，求出，作差后，分类讨论公差的的3种情况来判断；对于④，求出，作差后对分奇偶分析即可确定. 【详解】对于①，当时，满足为递增数列， 而，， 则，即， 因此，存在递增数列，使得它是“攀登数列”，故①正确； 对于②，当周期数列为时，周期为2， 对任意的，都有， 因此，存在周期数列，使得它是“攀登数列”，故②正确； 对于③，设等差数列的公差为，则，， 要使数列为“攀登数列”， 则，对任意的恒成立， 当时，是开口向上的二次函数， 当时，，故不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意. 综上所述，不存在等差数列，使得它是“攀登数列”，故③错误； 对于④，由于等比数列的公比为，， 则， 所以， 当为奇数时，由于，则， 要使，则需使，即符合题意； 当为偶数时，由于， 则（*）， 因， 由于方程的根为，而，则， 而，则由（*）可得， 又，要使，需使，即符合题意. 综上所述，存在，对于任意，使得为攀登数列，故④正确. 知识点2 等差数列及其前n项和 1、等差数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为 ， 为常数）． ：① 为严格增数列； ② 为严格减数列； ③ 为常数列。 （2）等差中项：数列 a, A, b 成等差数列的充要条件是 ，其中 叫做 a , b 的等差中项。 ：数列 为等差数列 2．等差数列的有关公式 （1）通项公式： 当 时， 是关于 的一次函数； （2）前 项和公式： 当 时， 是关于 n 的二次函数，且没有常数项． 3．常用结论 已知 为等差数列， 为公差， 为该数列的前 项和． （1）通项公式的推广： ； （2）在等差数列 中，当 时， ，且均 。特别地，若 ，则 ，且均 ）； （3） 仍是等差数列，公差为 ，且均 ； （4） 也成等差数列，公差为 ； （5）若 是等差数列，则也是等差数列； （6）若 是等差数列、则 也成等差数列，其首项与 皆项相同。公差是 公差的 （7）项数为偶数 2 n 时的性质 前 2 n 项和：（利用等差数列＂若 ，则 。 奇偶项和的差：（ 为 的公差）。 奇偶项和的比： 。 （8）项数为奇数 时的性质 前 项和：（ 为中间项）。 奇偶项和的差： 。 奇偶项和的比： 。 （9）前 项和的最值判定 －若 （数列递减），则满足 的项数 ，使得 取得最大值。 若 （数列递增），则满足 的项数 ，使得 取得最小值。 :利用通项公式研究和的问题,是一种“降维思维”,立体几何中常用此方法。此处。可简称为”邻项变号法”求等差数列前n项和的最值 自主检测（2025·上海黄浦·一模）已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则_______． 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用 【分析】根据题意利用等差中项化简，可得关于的方程，分别取求即可. 【详解】因为数列，，为等差数列， 所以，即， 所以， 化简可得， 当时，，解得； 当时，，此时无解； 当时，，解得，不合题意； 综上，. 故答案为： 知识点3 等比数列及其前n项和 1．等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 表示，定义的表达式为 ； （2）等比中项：如果 a, G, b 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项，即 是 与 的等比中项 成等比数列 ． ：只有当两个项同号且不为 0 时，才有等比中项，且等比中项有两个． 2．等比数列的有关公式 （1）通项公式： ； （2）前 项和公式： = = ：当 时， ，若令 ，则 3．无穷递缩等比数列的各项和公式 4．常用结论 （1）若 、、、、 且均 ，则 ； （2）若 （项数相同）是等比数列，则 仍是等比数列； （3）在等比数列 中，等距离取出若干项依次构成一个等比数列，即 ， 为等比数列，公比为 ； （4） 为等比数列，若 ，则 成等比数列； （5）当 时， 是 成等比数列的充要条件，此时 ； （6）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，等于中间项的平方． 自主检测（2025·上海闵行·一模）已知是等比数列，若、是函数的两个零点，则________ 【答案】 【知识点】等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】首先利用韦达定理可得，再利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由题意可知的两根为，，所以由韦达定理可知 ， 所以， 因为是等比数列，其通项满足 ，公比的平方 （若则，不符题意）， 所以 与 同号，故 ,又因为 ， 综上可得 . 故答案为：. 知识点4 数列求和 1. 公式法 （1）等差数列 的前 项和 ．推导方法：倒序相加法．（2）等比数列 的前 项和 推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前 项和： （1） ； （2） ； （3） ． 2. 几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减; (2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得前n项和; (3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解; :错位相减时，注意最后一项的符号 (4)倒序相加法:如果一个数列的与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 3．常用结论 常见的裂项技巧： （1） ； （2） ； （3）; （4） ； （5） ． 自主检测（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：将等差数列和等比数列中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，相同大小的项只保留中的项，其中等比数列中项在新数列中出现的“间隔数”（如：与之间的间隔数为）按从小到大顺序组成的数列为“间隔数列”，若公比和首项均为2的等比数列的“间隔数列”为等比数列本身，已知，则数列前项和为__________. 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、数列新定义、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和 【分析】由题意可得．根据，先确定等差数列的首项为，再利用相邻两项与在中的间隔数为，推出在内恰有个等差数列的项，从而确定等差数列的公差为，进而得到，最后求前项和． 【详解】由题意得，等比数列的首项和公比均为，所以. 因为，且，所以新数列的最小项为，从而等差数列的首项为． 设等差数列的公差为，则. 由题意可知，与在中的间隔数为． 也就是说，在与之间，除去右端点本身外，恰有个等差数列的项． 下面证明． 若，设大于的第一个等差数列的项为，则前一项不大于，所以. 于是. 这说明在内至少有个等差数列的项，与题意中恰有个矛盾．故. 若，因为可以取得足够大，所以可取正整数，使. 若内有个等差数列的项，设其中第一个为，则最后一个为. 又，所以，这与最后一个项应小于矛盾． 故. 综上，，所以. 此时把等差数列与等比数列合并，并把相同大小的项只保留中的项，所得新数列仍为. 因此数列前项和为. 知识点5 数学归纳法及其应用 1．证明一个与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行 （1）（归纳奠基）证明当 取第一个值 （ 为正整数）时命题成立； （2）（归纳递推）假设 （ 为正整数）时命题成立，证明当 时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立。 2．数学归纳法的框图表示 数学归纳法的框图表示，它是证明与正整数 有关命题的核心方法，流程分为两个关键步骤： 归纳奠基：验证 （如 或其他初始值）时命题成立，这是证明的＂起点＂。 归纳递推：假设 时命题成立，证明 时命题也成立，这是证明的＂传递性＂。 通过这两步，可推导出命题对从 开始的所有正整数 都成立。 3．数学归纳法证题的关键点 （1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 ，这个 ，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是＂ 1 ＂，因此＂找准起点，奠基要稳＂是第一个关键点； （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从＂＂到＂＂的过程中，要正确分析式子项数的变化。关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由 到 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项； （3）利用假设是核心：在第二步证明 成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设＂ 时命题成立＂作为条件来导出＂＂，在书写 时，一定要把包含 的式子写出来，尤其是 中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。 （4）综合（1），（2）才是完整的数学归纳法． 自主检测（2026·上海·一模）对任意正整数n，定义n的双阶乘：当n为偶数时，；当n为奇数时，，则下列四个命题中错误的是（ ） A．2026!!的个位数字为0 B．2025!!的个位数字为5 C．2025!!和2024!!和2025!不可构成等比数列 D．有不止一个正整数n可以使得n!!，(n+1)!!，(n+2)!!构成等差数列 【答案】D 【知识点】数与式中的归纳推理、由定义判定等比数列、等差中项的应用 【分析】利用双阶乘中的因数，判断AB选项；由双阶乘的运算和等比数列的定义判断C选项；分类讨论求解构成等差数列时的值判断D选项. 【详解】对于A，中包含因数10，所以的个位数字为0，A选项正确； 对于B，中包含因数5，且因数均为奇数，所以的个位数字为5，B选项正确； 对于C，，， 所以有， 又，， 所以和和不可构成等比数列，C选项正确； 对于D，若构成等差数列，则有， 当n为正偶数：设， 则，，， 代入等差条件，得， 即， 由和都是奇数，则也是奇数，则， 而时，，等式不成立，此时无解； 当为正奇数：设， 则，，， 代入等差条件，得， 即， 为奇数，为偶数，则为偶数， 又时，，要成立， 则中只能有这一个偶数因数，否则等式两边约去后，左边为偶数右边为奇数，不成立， 则有，此时，等式成立. 因此，只有时构成等差数列，D选项错误. 知识点6 数列的综合应用 1. 等差数列和等比数列比较 等差数列 等比数列 定义 通项公式 判定方法 （1）定义法； （2）中项公式法： 且 为等差数列； （3）通项公式法： 为常数， 且 为等差数列； （4）前 项和公式法： 为常数， 且 为等差数列； （5） 为等比数列，且 ，那么数列 , 且 为等差数列 （1）定义法； （2）中项公式法： 且 为等比数列； （3）通项公式法： 均是不为 0 的常数， 且 为等比数列； （4） 为等差数列 总有意义）为等比数列 性质 （1）若 且均 ，且 ，则 ； （2） ； （3） 仍成等差数列 （1）若 且均 ，且 ，则 ； （2） ； （3）等比数列依次每 项和 ，即 仍成等比数列 前n项和 2. 数列求和 （1）等差数列的前 和的求和公式： ； （2）等比数列前 项和公式： 一般地，设等比数列 的前 项和是 , 当 1 时， ；当 时，（错位相减法）； （3）数列前 项和： ① ② ③ ④ （4）等差数列中， ； （5）等比数列中， 。 自主检测（2025·上海嘉定·一模）数列的前项和为，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则下列命题中正确的是（    ） A．对任意正整数，总存在正整数，使得 B．数列一定是等差数列 C．存在公比为正整数的等比数列满足条件 D．对任意正整数，总存在正整数、，使得 【答案】D 【知识点】等差数列与等比数列综合应用 【分析】可根据数列的性质，对每一选项进行分析判断即可. 【详解】选项A：取数列，易知不存在正整数，使得，故该选项错误； 选项B：取数列，则，满足对任意正整数，总存在正整数，使得，但数列不是等差数列，故该选项错误； 选项C：设等比数列的公比为，首项为，则， 当时，，，则不恒为0，不符合题意； 当正整数时，，， 若，则， 由于正整数，则， 即…*， 由于单调递增，且在与之间不存在其他正整数，则*式不成立； 故C错误； 选项D：当正整数时，由题意，存在正整数使得， 且存在正整数使得，则符合题意； 当时，存在正整数使得，取，则符合题意； 故D正确. 故选：D. 必记结论 （1）与的关系：求出的必须检验的情形是否符合通项． （2）等差数列中、、仍成等差数列；等比数列中（各项和均不为零时）对应片段和仍成等比数列． （3）的最值：时有最小值，时有最大值，由的符号变化（找最后一个正项或负项）确定取到最值的． ✅注意：用等比数列前项和公式时，必须先讨论公比与两种情形，否则会漏解；由求时不要漏掉的检验． ⚠️概念辨析 ①“数列单调递增”与“数列的各项都为正”不同：前者要求 对一切 成立，判断时常用作差 或作商（各项为正时）． ②“ 是等差数列”与“ 是关于 的一次函数”不同：公差 时 为常数，此时不是一次函数，因此 （）只能作为公差不为零时的判定． ③“错位相减”适用于“等差×等比”型数列求和，“裂项相消”适用于分式型（如 ），两者不能混用；裂项后务必检查消去后剩余的项，防止漏项或多项． ⚠️避坑指南 ❌ 由 求 时直接写 ，既没有写出 的限制，也没有检验 ，导致通项错误． ❌ 等比数列求和时忽略 的情形，或由 求 时没有检验所求的 是否满足题意（如“严格增数列”要求 且 ）． 考点精讲 考点一：数列的概念与递推公式 例1（2026·上海嘉定·二模）设数列满足，且，其中．下列选项中错误的是（   ） A．存在，使得存在正整数N，当时，总有 B．存在，使得不存在正整数N，当时，总有 C．对任意，都不存在正整数N，使得当时，总有 D．存在，使得不存在正整数N，当时，总有 【答案】C 【知识点】判断数列的增减性、由递推数列研究数列的有关性质 【详解】对于A，令，则， 存在，当时，有且，所以，故A正确； 对于B，令，则， 当时，， 当时，， 由A当时，总有， 因此不存在正整数，对所有的，总有，故B正确； 对于C，令，则， 当时，有， 又因为，，而，所以， 则时，总有， 因此当时，存在，当时，有，故C错误； 对于D，令，则，数列正负交替出现， 因此不存在正整数，对所有的，总有，故D正确； 例2（2025·上海·模拟预测）已知 ，若的前项和为，为递增数列，则范围为 ______． 【答案】 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】根据的前项和为，为递增数列，可知数列从第二项开始要为正数，然后即可求范围. 【详解】因为的前项和为，为增数列， 所以数列从第二项开始要为正数， ， 则范围为. 故答案为： 例3（2026·上海杨浦·模拟预测）已知数列满足，且对任意正整数，关于的实系数方程 都有两个相等的实根，若 ，则满足条件的不同实数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数列综合、根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、求函数零点或方程根的个数 【分析】先根据题意得到(*)，记满足(*)式的不同实数的个数为，再结合二次函数的性质即可逐个求得，，，，，...，再通过观察得到数列的递推公式，再构造等比数列，从而得到它的通项公式，进而即可求解 【详解】依题意可得，即(*)， 记满足(*)式的不同实数的个数为， 将看成自变量，看成参数，则为与的交点个数， 当时，有一个交点，即有一个根； 当时，有2个交点，即有两个不同的根和，且， 当时，有2个交点，即有两个不同的根和， 由，则或，即； 则或或，即； 同理可得，，，... 通过观察可得，则，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为，即，， 所以满足(*)式的不同实数的个数为， 故满足条件的不同实数的个数为． 【点睛】记满足(*)式的不同实数个数为，结合二次函数的性质求得，，，，，...，再观察得到递推公式，再构造等比数列是解答本题的关键． 解题策略 递推公式与数列的性质 （1）由递推式求项：逐项代入，注意的取值范围；求通项看递推形式——用累加，用累乘． （2）判断单调性用作差或作商：则递增；各项为正时可用与比较． （3）出现周期性的常见形式：、等，先算前几项找出周期，再用周期性求值． 【变式1】（2024·上海·高考真题），任意，满足，求有序数列有_____对. 【答案】48 【知识点】数列的概念及辨析、根据数列的单调性求参数 【分析】先确定，再结合，设，可得到，进而求出这四个数，从而求得答案. 【详解】由题意知， 满足， 不妨设， 则必有， 若，解得； 若，解得， 由此可知此时有2种情况， 结合任意，共有对， 故答案为：48 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合推出时，这四个数的值，进而结合题意求得答案. 【变式2】（2026·上海·模拟预测）命题：已知为无穷数列，对于任意正整数，若令首项，由递推式生成的数列，最终都会从某一项起变为同一个常数． 命题：且的公差为； 命题：数列的通项公式为． 则下列说法正确的是（     ）． A．、都是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．只有是的充分条件 D．、都不是的充分条件 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、判断命题的充分不必要条件、根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】结合递推关系及充分条件的定义，结合特殊值法判断即可. 【详解】对于首项，由递推式生成的数列，最终都会从某一项起变为同一个常数， 若数列最终为常数，则，解得，即最终稳定为. 命题：且的公差为，所以， 取，则，则，， ，，从起恒为. 取任意正整数，， 递推过程中数值会逐渐减小，最终都会到达并保持， 所以，是的充分条件. 命题：，对，，且， 递推得，， ，， 数列在和之间循环，不会稳定为同一常数， 不满足命题，所以推不出，不是的充分条件. 综上，只有是的充分条件. 考点二：等差数列的基本量运算 例4（2026·上海嘉定·二模）已知是等差数列，，，则___________． 【答案】1011 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【详解】设等差数列的公差为，依题意，， 则. 例5（2025·上海静安·一模）设等差数列的前项和为（为正整数），首项，，则___________． 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，且，可得，解得， 所以. 故答案为：. 例6（2025·上海奉贤·二模）等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于_____________． 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】设首项为1，公差是3的等差数列为， 则， 故. 故答案为： 解题策略 基本量与通项公式 （1）基本量法：把条件全部化为与的方程（组），解出后用求任意项． （2）已知两项求公差用，可避免解方程组；项数较多时优先用性质而不是硬算． （3）判断一个数列为等差数列：定义法常数，或中项法． 【变式1】（2026·上海金山·二模）已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为__________． 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列定义，计算出公差，进而得到通项即可． 【详解】不妨取， 所以，等差数列公差， 等差数列通项，则， 则该数列的第20项为． 【变式2】（2025·上海长宁·一模）在等差数列中，，公差，，则___________． 【答案】 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】利用已知求得等差数列的通项公式，进而求得. 【详解】因为等差数列中，，公差， 所以数列的通项公式， 又，所以，解得. 故答案为：. 考点三：等差数列的性质与前n项和【高频考点】 例7（2025·上海长宁·二模）已知数列是等差数列，且，则其前7项和_________． 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】利用公式法可求. 【详解】设等差数列的公差为，则， 故， 故， 故答案为： 例8（2025·上海黄浦·二模）设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数________． 【答案】15 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】由题意可得或，分类讨论可求得的值. 【详解】由，可得或， 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为负，从第项开始为正， 又，， 所以，所以； 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为正，从第项开始为负， 又，， 所以，所以； 综上所述：. 故答案为：. 例9（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】直接根据等差数列求和公式求解. 【详解】根据等差数列的求和公式，. 故答案为： 解题策略 前n项和与性质的应用 （1），与性质联用时常把换成． （2）下标和性质：，在等比数列中对应为． （3）求的最值：利用的二次函数特征，结合对称轴与正整数条件确定． 【变式1】（2026·上海·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则_________． 【答案】25 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据题意列出关于和的方程，求解出，再求出. 【详解】设等差数列的公差为. ，，得. ，. 【变式2】（2026·上海·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列求和公式列式计算求解. 【详解】根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出， 且，是单调递增的，所以必须满足， 所以，所以. 考点四：等比数列的基本量运算 例10（2026·上海·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 【答案】 【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、等比数列通项公式的基本量计算 【详解】设数列的公比为，则，则. 例11（2025·上海黄浦·二模）已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为________． 【答案】 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】设出等比数列公比，由题意建立方程，解方程并验根，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由，则，解得， 由，则，代入上式可得， 去分母可得，易知， 可得，分解因式可得， 易知，解得或， 当时，，则，单调递减，不合题意. 故答案为：. 例12（2025·上海·模拟预测）已知为等比数列，其前项和为，若，则其公比__________. 【答案】 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】由等比数列求和公式代入即可求解； 【详解】由， 当时，显然不成立； 当时，可得， 即， 所以， 故答案为： 解题策略 等比数列的基本量 （1）基本量法解与：注意，出现时常用两式相除消去． （2）等比中项：、、成等比数列；注意有正负两个值，需由题设条件取舍． （3）无穷递缩等比数列（）各项的和为，实际问题中的“无限次操作”常归结为此式． 【变式1】（2026·上海闵行·二模）已知等比数列的公比为，若，则的取值范围是______. 【答案】. 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、无穷等比数列各项的和 【详解】根据题意可知，即或. 因为，所以. 所以. 故取值范围为. 【变式2】（2025·上海嘉定·二模）已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为．若，则q的取值范围为______． 【答案】 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等比数列的知识化简已知条件，从而求得正确答案. 【详解】依题意，，即， 所以. 故答案为： 考点五：数列求和的方法【重难点】 例13（2026·上海杨浦·模拟预测）已知数列满足，，则数列前2026项的和为__________． 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和 【分析】变形可知数列是以首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式可得，利用裂项相消法运算求解. 【详解】因为，即， 且，可知数列是以首项为1，公比为2的等比数列， 则，可得， 所以数列前2026项的和为. 例14（2025·上海普陀·一模）设，数列和满足，且，，现有如下两个命题： ①若数列是等比数列，则数列是常数列： ②设是数列的前项和，若是符合题意的的最大值，则能被7整除． 则下列结论中正确的是（　　） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 【答案】A 【知识点】由定义判定等比数列、分组（并项）法求和 【分析】对于①：结合等比数列的定义，采用反证法证明； 对于②分析的取值，可得的关系，得出，据此可求出的最大值时的，再根据二项式定理处理整除问题. 【详解】假设为等比数列，而不为常数列， 则中存在等于0的项，设项数最小的等于0的项为，其中， 所以， 则等比数列的公比为. 又，得等比数列的公比为，与式矛盾， 所以假设不成立，所以当为等比数列时，为常数列，故①为真命题； 当时，，当时，， 当时，，当时，. 综上所述，或或（上述四种情形每种中或1）. 又由题意可知，所以， 所以，而 ， 故，所以取得最大值时为， 此时，， 故 ， 根据二项式定理可知， 故除以7余数为1，所以可以被7整除，故②为真命题. 故选：A. 例15（2025·上海浦东新·二模）已知数列，，并且前项的和满足： ①存在小于的正整数，使得； ②对任意的正整数和，都有． 则满足以上条件的数列共有__________个． 【答案】 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、分组（并项）法求和 【分析】根据的奇偶性结合，分析可知，进而可得，，即可求数列个数，同时排除不满足条件①的情况. 【详解】因为，，可知的奇偶性与的奇偶性一致， 对于①：存在小于的正整数，使得， 对于②：对任意的正整数和，都有， 可知为奇数，即， 令，则，可得或； 令，则，可得或； 综上所述：对任意的正整数，. 且，可得，， 即确定，不相等，有2种可能， 此时，条件②满足， 对于数列可知：均有2种可能， 则满足条件的数列共有个， 又因为存在小于的正整数，使得， 可知对任意，不成立，即这种情况不符合题意， 综上所述：符合题意的数列共有个. 故答案为：. 解题策略 裂项、错位相减与分组求和 （1）先看通项的结构再选方法：分式型裂项相消，“等差×等比”型错位相减，符号交替或分段型分组并项． （2）裂项常用、，写和时保留前后未消去的项． （3）错位相减后所得的等比部分要注意项数与首项，最后用化简，避免直接丢掉系数． 【变式1】（2025·上海崇明·一模）设．数列满足下列条件：，且对任意的，都存在使得，其中互不相等，则数列的前20项和的最大值是_______． 【答案】 【知识点】数列新定义、分组（并项）法求和 【分析】根据题意，数列为非递减数列，设数列中分别有个，分析可得，，，，，即可求其前20项和的最大值. 【详解】数列满足下列条件：， 则数列为非递减数列， 设数列中分别有个， 对任意的，都存在使得，其中互不相等， 对于数列中，由于，所以， 对于数列中，同理可得， 对于数列中，由于， 所以， 对于数列中，由于， 所以， 对于数列中，由于， 所以， 若数列的前20项和要最大，则， 所以数列的前20项和为. 故答案为： 【变式2】（2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 【答案】(1)数列的前项依次为 (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】（1）先根据等差数列、等比数列的通项公式，分别求出和的通项，再按​的分段定义，依次代入到，区分奇偶项计算得到前项； （2）将​拆分为前项中的奇数项和与偶数项和两部分：奇数项是的前个奇数项，构成新等差数列，用等差数列求和公式计算；偶数项是的前个偶数项，构成新等比数列，用等比数列求和公式计算，最后将两部分和相加得到​． 【详解】（1）根据题意可得，， 所以，，， ，，， 所以数列的前项依次为． （2） ． 所以． 考点六：数列的综合应用与不等式 例16（2026·上海普陀·二模）设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______. 【答案】． 【知识点】数列不等式恒成立问题、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】由的结构，可先研究函数在正数范围内的大小变化规律，再结合等比数列前 项和公式把题意转化为关于的不等式组求解． 【详解】由题意知，等比数列的首项为，公比为，所以， 从而， 设，因为，且随的增大而增大， 所以数列的变化只与函数在正数范围内的比较性质有关． 对任意，， 因此对任意正整数，有 又因为单调递增，所以也随的增大而增大． 题意“恰存在个的值，使得对任意的 ， 皆有成立”表示数列恰好连续下降两次， 即，等价于， 代入上式，得， 即解得， 综合可得. 例17（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围. 【详解】由题设有，因为，故，故， 当时，，故，此时为闭区间， 当时，不妨设，若，则， 若，则， 若，则， 综上，， 又为闭区间等价于为闭区间， 而，故对任意恒成立， 故即，故， 故对任意的恒成立，因， 故当时，，故即. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理. 例18（2026·上海·模拟预测）如图，已知直角三角形的两直角边和的长分别为5和12，直角三角形的斜边所在的直线与以、、…、、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆与边所在的直线相切，半圆圆心都在边上，半径分别为、、…、、…，前个半圆面积的总和，则_______． 【答案】 【知识点】无穷等比数列各项的和 【详解】 设以为圆心的圆与AB相切于点，连接， 易得与相似，则有， 又，，所以，代入可得，解得. 同理可得，即，解得，依次可求得， 因为，所以是以为首项，以为公比的等比数列， 则是以为首项，以为公比的等比数列， 前n个半圆面积的总和为， . 解题策略 数列与不等式、实际应用 （1）数列不等式恒成立：转化为求或的最值，常用作差比较相邻项、或放缩为可求和的数列． （2）新定义数列题：逐条翻译定义中的条件，先算前几项找规律，再用数学归纳法证明． （3）实际应用四步走：设量—建模（等差或等比）—求和或解方程—回到实际取整，注意“至少”“至多”的取整方向． 【变式1】（2025·上海黄浦·一模）若数列同时满足如下条件：（ⅰ）是无穷数列；（ⅱ）是递增数列；（ⅲ）存在正数M，使得对任意的，都有的前n项的和，则称具有性质P．关于如下结论：①存在等差数列具有性质P；②存在等比数列具有性质P．其中正确的说法是（   ） A．①和②均正确 B．①和②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】D 【知识点】数列新定义、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 【分析】利用等差和等比数列的性质以及前项和公式的性质结合题意推导可得. 【详解】对①，对于任意等差数列，若是递增数列，则，，当时，，与的前n项的和矛盾，故不存在； 对于②，构造等比数列，令，则， ，故为递增数列. 由等比数列前项和公式得， 因为，所以，取，则对于任意的都有. 综上分析，可知①错误，②正确. 故选：D. 【变式2】（2026·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前n项和，且公差，若，且，，成等比数列，则______________. 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列与等比数列综合应用 【分析】本题利用等差数列的通项公式和前n项和公式代入可得,然后代入前n项和公式计算即可。 【详解】，,计算可得； 又成等比数列， ,变换可得,代入，计算可得,。 实战训练 1．（2025·上海嘉定·二模）设数列满足，记其前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的是（    ） A．数列和数列均不是周期数列 B．数列是周期数列，数列不是周期数列 C．数列不是周期数列，数列是周期数列 D．数列和数列均为周期数列 【答案】B 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、数列周期性的应用、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】令，可得数列的周期为6，令，可得数列的周期为8，进而依次得数列和数列的周期，又和判断数列的周期性. 【详解】令，则数列的一个周期为6， 又， 则， 令，则数列的一个周期为8， 又， 则， 所以数列的一个周期为24，且，所以，则的一个周期为24， 又，， 所以，故，所以不是周期数列. 故选：B. 2．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 【答案】A 【知识点】数列新定义、求等差数列前n项和、判断命题的真假、利用an与sn关系求通项或项 【分析】对于①，根据数列的前项和得到，对，和两种情况分类讨论求解可判断；对于②设等差数列的首项为，公差为，对分类讨论求解判断. 【详解】对于①，数列的前项和（为正整数）， 当时，， 当时，不满足上式，所以， 当，时，， 所以数列与原数列相同，所以， 所以当时，数列为完全平方数列， 当时，不是“完全平方数， 所以当时，数列不是完全平方数列， 综上所述：数列为“完全平方数列”，故①是真命题； 对于②，因为为完全平方数，故， 若，则，若对任意的，均为完全平方数， 则，否则假设为的素因数，且恰好整除，为正整数， 若为奇数，则不是完全平方数，矛盾， 若为偶数，取，则不是完全平方数，矛盾， 若，则， 若，取，则或， 当为偶数时，此时，均不是完全平方数， 当为奇数时，取，，为奇数， 故此时不是完全平方数， 故，即，故，设，故， 当时，， 又适合上式，即. 故存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列，故②是真命题. 故选：A. 3．（2026·上海·二模）一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列，使得（   ）． A．为严格增数列 B．为公差不为零的等差数列． C．为等比数列（其中，） D．为周期数列 【答案】C 【知识点】等比数列下标和性质及应用、判断等差数列、等比中项的应用、由定义判定等比数列 【分析】利用等差数列、等比数列及三角函数性质对各选项逐一分析是否存在符合条件的无穷等差数列. 【详解】在A选项中，假设是严格递增的无穷数列， 但，且是周期函数，在一个周期内有增有减， 对无穷等差数列，当，则， 所以会周期性波动，不可能一直严格递增，A错误， 在B选项中，设等差数列的首项为，公差为（）， 则，所以， 由于是关于的周期变化的函数， 所以不是常数， 即不是公差不为零的等差数列，B错误， 在C选项中，设等差数列的首项为，公差为（）， 则， 若为等比数列，则， ，，， ， 当，时，则， 该数列各项均为正数，且不为常数列，其项和为 ，此时数列， 当为奇数时，为奇数，， 当为偶数时，为偶数，， 故为数列，是公比为的等比数列， 所以存在这样的无穷等差数列使得为等比数列，C正确， 在D选项中，因为是各项为正数且不为常数列的无穷等差数列， 所以，即， 所以会趋近于， 而周期数列是指经过一定的项数后会重复出现相同的项， 所以不可能是周期数列，D错误. 4．（2025·上海杨浦·二模）设是由个二次函数组成的集合，对于连续的正整数，存在二次函数可重复，使得是等差数列，则的最小可能值是（    ）. A．507 B．1013 C．1519 D．2025 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由等差数列的基本量法求出通项，结合题意与二次函数的表达式合并后由二次方程解的个数求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则第项满足， 每个二次函数满足， 变形为， 对于固定的，这是一个关于的二次方程，最多有两个整数解，因此，每个二次函数最多能覆盖两个不同的值. 所以总共2025个值需要覆盖，因此需要个，但为整数，所以需要1013个. 故选：B 5．（2025·上海闵行·一模）从等差数列：、2、、、1000中取出若干数字按先后顺序构成数列．第一次取出数字“1”，然后从取出的“1”开始往后数2个数，再取出数到2的数字“3”，⋯，以此类推，如果某次取出的是数字“”，则下一次从取出的“”开始往后数个数，再取出数到的数字“”；当往后数的数字个数小于“”时，结束取数．那么 的最后一项是（    ） A．6 B．990 C．999 D．1000 【答案】B 【知识点】数列新定义、求等差数列前n项和 【分析】由题意得到的通项公式，即可求解. 【详解】由题知：， 则，， 所以的最后一项是990， 故选：B. 6．（2026·上海黄浦·二模）若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（    ）． A．任意一个T数列均不是等差数列 B．任意一个T数列均不是等比数列 C．T集中含有且仅含有有限个等差数列 D．T集中含有无穷多个等比数列 【答案】D 【知识点】数列新定义、零点存在性定理的应用、求等比数列前n项和 【分析】对于AC：举例说明即可，例如等差数列的公差为，结合题意分析判断；对于BD：设等比数列的公比为，结合零点存在性定理可知存在使得，结合题意分析判断即可. 【详解】对于选项AC：例如等差数列的公差为， 则，， 注意到能表示大于的所有正整数， 且为整数，必能用两个大于的整数之差表示， 所以等差数列为T数列，且有无数个，故AC错误； 对于选项BD：设等比数列的公比为，则， 对于确定的，令，， 令， 因为，则，可知函数在内单调递增， 且，，可知函数在内有且仅有一个零点. 即存在使得，即， 此时， 对于不同的，的零点可以看出方程的解， 即与在交点的横坐标， 当变化时，由幂函数的图像可得交点的横坐标相异，故等比数列有无数个， 所以T集中含有无穷多个等比数列，故B错误，D正确； 故选：D. 7．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知是一个公差不为的等差数列，其前项和为.若存在正整数(其中)使得，则称具有性质，称有序数对是的一组“数对”，记由的全体“数对”所组成的集合为.关于命题①“若具有性质且，则”与命题②存在具有性质的及互不相同的正整数(其中且，使得且，下列说法正确的是（   ）. A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【知识点】数列新定义、判断命题的真假、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列的前项和公式，依据题目所给定义，判断命题真假. 【详解】解析：， ，带入，得，解得， ， 当，得， 化简得，又 若，则，，所以或（舍去）， 若，则，，所以（舍去）或（舍去）， 若，则，，所以（舍去）或（舍去）， 若，则， 因为，， 所以，故无整数解，所以①是真命题； 设，，所以②是真命题； 故选：A. 8．（2025·上海杨浦·一模）等差数列的公差不为，前项和为，若，，成等比数列，则______. 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比中项的应用 【分析】设等差数列的公差为，根据条件得，再利用等差数列的前项和公式及等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列， 则，所以，整理得到， 所以， 故答案为：. 9．（2024·上海·高考真题）数列，，c的取值范围为___________． 【答案】 【知识点】判断等差数列、利用等差数列的性质计算 【分析】先利用等差数列的定义判定为等差数列，再利用等差数列性质即可求解. 【详解】因为，则， 可知数列为等差数列， 则，解得， 所以c的取值范围为. 故答案为：. 10．（2025·上海奉贤·二模）已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的_______________条件． 【答案】充要 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、等差中项的应用 【分析】根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】在中，由、、成等差数列，得，而，则， 由、、成等比数列，得，由正弦定理得， 由余弦定理得，即，解得，因此是正三角形； 若是正三角形，则，， 因此、、成等差数列且、、成等比数列， 所以“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的充要条件. 故答案为：充要. 11．（2026·上海·模拟预测）已知数列满足，若，则__________． 【答案】 【知识点】无穷等比数列各项的和、求等比数列前n项和、等比数列的定义 【分析】求出，得到为等比数列，结合无穷等比数列的求和公式求解即可. 【详解】，， 所以是以3为首项，为公比的等比数列， 所以. 12．（2026·上海崇明·二模）已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________． 【答案】 【知识点】等比数列的单调性、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】取特殊情况结合指数函数与一次函数性质可得，再证明时，对任意的正整数m，n都有恒成立即可得. 【详解】由题意可得，取， 当时，有， 当时，有，故； 若，则当时，指数函数增速会大于一次函数， 故不可能恒成立，故； 综上可得； 下证充分性： 当时，不妨设，则， 故需满足，即， 令，则只需满足数列为非递减数列即可， ， 由，则，， 则， 故数列为非递减数列， 即时符合题意. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 18 考点一 数列的概念与递推公式 18 考点二 等差数列的基本量运算 23 考点三 等差数列的性质与前n项和（高频考点） 25 考点四 等比数列的基本量运算 27 考点五 数列求和的方法（重难点） 29 考点六 数列的综合应用与不等式 34 04 实战演练 38 考情解读 考试要求 ①理解数列的概念与表示方法（通项公式、递推公式），能根据递推关系写出数列的项，会判断数列的单调性与周期性． ②理解等差数列、等比数列的定义，掌握通项公式与前 项和公式，能由基本量 、（或 ）求解相关问题． ③掌握等差、等比数列的性质（中项、下标和、片段和），会用性质简化运算，能判断或证明一个数列是等差（等比）数列． ④掌握错位相减、裂项相消、分组并项等求和方法；理解数学归纳法的两步证明；能解决数列与函数、不等式结合的综合问题． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 数列的概念与递推公式 5年2考 由递推公式求项、数列的单调性与周期性、新定义数列 预测2027年在选择或填空题中以新定义数列的形式考查递推与周期性 等差数列及其前n项和 5年2考 2026年上海市春季高考 第13题 通项与前n项和的基本量计算、性质的应用、前n项和的最值 等差数列的判断 2026年上海市春季高考第13题考查等差数列的判断；预测2027年在填空题中考查基本量运算与片段和性质 等比数列及其前n项和 5年1考 2026年上海市春季高考 第13题 通项与前n项和、等比中项、无穷递缩等比数列各项的和 等比数列的判断 2026年上海市春季高考第13题考查等比数列的判断；预测2027年在填空题中考查等比数列的基本量或无穷递缩等比数列求和 数列求和与综合应用 5年2考 错位相减、裂项相消、分组并项，数列与函数、不等式的综合 预测2027年在解答题中考查数列求和与不等式证明，难度较大 知识梳理 知识点1 数列的概念、性质及递推公式 1．数列的概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项； （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集 ， 为定义域的函数 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值； ：数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要考虑函数的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性。 2．数列的分类 （1）按照项数有限和无限分： （2）按单调性来分： 3．数列的两种常用的表示方法 （1）通项公式：如果数列 的第 项与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。 ：①并不是所有的数列都有通项公式： ②同一个数列的通项公式在形式上未必唯一。 (2)递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 通项公式和递推公式的异同点 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号的值,直接代入求出 都可确定一个数列,也都可求出数列的任意一项 递推公式 可根据第1项(或前几项)的值,通过一次(或多次)赋值,依次求出数列的项,直至求出所需的 4．常用结论 （1）若数列 的前 项和为 ，通项公式为 ，则 （2）在数列 中，若 最大，则 若 最小，则 自主检测（2026·上海闵行·模拟预测）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．有下列命题： ①存在递增数列，使得它是“攀登数列”； ②存在周期数列，使得它是“攀登数列”； ③存在等差数列，使得它是“攀登数列”； ④若数列为公比为的等比数列，对于任意，存在，使得为攀登数列． 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 知识点2 等差数列及其前n项和 1、等差数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为 ， 为常数）． ：① 为严格增数列； ② 为严格减数列； ③ 为常数列。 （2）等差中项：数列 a, A, b 成等差数列的充要条件是 ，其中 叫做 a , b 的等差中项。 ：数列 为等差数列 2．等差数列的有关公式 （1）通项公式： 当 时， 是关于 的一次函数； （2）前 项和公式： 当 时， 是关于 n 的二次函数，且没有常数项． 3．常用结论 已知 为等差数列， 为公差， 为该数列的前 项和． （1）通项公式的推广： ； （2）在等差数列 中，当 时， ，且均 。特别地，若 ，则 ，且均 ）； （3） 仍是等差数列，公差为 ，且均 ； （4） 也成等差数列，公差为 ； （5）若 是等差数列，则也是等差数列； （6）若 是等差数列、则 也成等差数列，其首项与 皆项相同。公差是 公差的 （7）项数为偶数 2 n 时的性质 前 2 n 项和：（利用等差数列＂若 ，则 。 奇偶项和的差：（ 为 的公差）。 奇偶项和的比： 。 （8）项数为奇数 时的性质 前 项和：（ 为中间项）。 奇偶项和的差： 。 奇偶项和的比： 。 （9）前 项和的最值判定 －若 （数列递减），则满足 的项数 ，使得 取得最大值。 若 （数列递增），则满足 的项数 ，使得 取得最小值。 :利用通项公式研究和的问题,是一种“降维思维”,立体几何中常用此方法。此处。可简称为”邻项变号法”求等差数列前n项和的最值 自主检测（2025·上海黄浦·一模）已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则_______． 知识点3 等比数列及其前n项和 1．等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 表示，定义的表达式为 ； （2）等比中项：如果 a, G, b 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项，即 是 与 的等比中项 成等比数列 ． ：只有当两个项同号且不为 0 时，才有等比中项，且等比中项有两个． 2．等比数列的有关公式 （1）通项公式： ； （2）前 项和公式： = = ：当 时， ，若令 ，则 3．无穷递缩等比数列的各项和公式 4．常用结论 （1）若 、、、、 且均 ，则 ； （2）若 （项数相同）是等比数列，则 仍是等比数列； （3）在等比数列 中，等距离取出若干项依次构成一个等比数列，即 ， 为等比数列，公比为 ； （4） 为等比数列，若 ，则 成等比数列； （5）当 时， 是 成等比数列的充要条件，此时 ； （6）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，等于中间项的平方． 自主检测（2025·上海闵行·一模）已知是等比数列，若、是函数的两个零点，则________ 知识点4 数列求和 1. 公式法 （1）等差数列 的前 项和 ．推导方法：倒序相加法．（2）等比数列 的前 项和 推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前 项和： （1） ； （2） ； （3） ． 2. 几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减; (2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得前n项和; (3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解; :错位相减时，注意最后一项的符号 (4)倒序相加法:如果一个数列的与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 3．常用结论 常见的裂项技巧： （1） ； （2） ； （3）; （4） ； （5） ． 自主检测（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：将等差数列和等比数列中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，相同大小的项只保留中的项，其中等比数列中项在新数列中出现的“间隔数”（如：与之间的间隔数为）按从小到大顺序组成的数列为“间隔数列”，若公比和首项均为2的等比数列的“间隔数列”为等比数列本身，已知，则数列前项和为__________. 知识点5 数学归纳法及其应用 1．证明一个与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行 （1）（归纳奠基）证明当 取第一个值 （ 为正整数）时命题成立； （2）（归纳递推）假设 （ 为正整数）时命题成立，证明当 时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立。 2．数学归纳法的框图表示 数学归纳法的框图表示，它是证明与正整数 有关命题的核心方法，流程分为两个关键步骤： 归纳奠基：验证 （如 或其他初始值）时命题成立，这是证明的＂起点＂。 归纳递推：假设 时命题成立，证明 时命题也成立，这是证明的＂传递性＂。 通过这两步，可推导出命题对从 开始的所有正整数 都成立。 3．数学归纳法证题的关键点 （1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 ，这个 ，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是＂ 1 ＂，因此＂找准起点，奠基要稳＂是第一个关键点； （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从＂＂到＂＂的过程中，要正确分析式子项数的变化。关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由 到 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项； （3）利用假设是核心：在第二步证明 成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设＂ 时命题成立＂作为条件来导出＂＂，在书写 时，一定要把包含 的式子写出来，尤其是 中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。 （4）综合（1），（2）才是完整的数学归纳法． 自主检测（2026·上海·一模）对任意正整数n，定义n的双阶乘：当n为偶数时，；当n为奇数时，，则下列四个命题中错误的是（ ） A．2026!!的个位数字为0 B．2025!!的个位数字为5 C．2025!!和2024!!和2025!不可构成等比数列 D．有不止一个正整数n可以使得n!!，(n+1)!!，(n+2)!!构成等差数列 知识点6 数列的综合应用 1. 等差数列和等比数列比较 等差数列 等比数列 定义 通项公式 判定方法 （1）定义法； （2）中项公式法： 且 为等差数列； （3）通项公式法： 为常数， 且 为等差数列； （4）前 项和公式法： 为常数， 且 为等差数列； （5） 为等比数列，且 ，那么数列 , 且 为等差数列 （1）定义法； （2）中项公式法： 且 为等比数列； （3）通项公式法： 均是不为 0 的常数， 且 为等比数列； （4） 为等差数列 总有意义）为等比数列 性质 （1）若 且均 ，且 ，则 ； （2） ； （3） 仍成等差数列 （1）若 且均 ，且 ，则 ； （2） ； （3）等比数列依次每 项和 ，即 仍成等比数列 前n项和 2. 数列求和 （1）等差数列的前 和的求和公式： ； （2）等比数列前 项和公式： 一般地，设等比数列 的前 项和是 , 当 1 时， ；当 时，（错位相减法）； （3）数列前 项和： ① ② ③ ④ （4）等差数列中， ； （5）等比数列中， 。 自主检测（2025·上海嘉定·一模）数列的前项和为，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则下列命题中正确的是（    ） A．对任意正整数，总存在正整数，使得 B．数列一定是等差数列 C．存在公比为正整数的等比数列满足条件 D．对任意正整数，总存在正整数、，使得 必记结论 （1）与的关系：求出的必须检验的情形是否符合通项． （2）等差数列中、、仍成等差数列；等比数列中（各项和均不为零时）对应片段和仍成等比数列． （3）的最值：时有最小值，时有最大值，由的符号变化（找最后一个正项或负项）确定取到最值的． ✅注意：用等比数列前项和公式时，必须先讨论公比与两种情形，否则会漏解；由求时不要漏掉的检验． ⚠️概念辨析 ①“数列单调递增”与“数列的各项都为正”不同：前者要求 对一切 成立，判断时常用作差 或作商（各项为正时）． ②“ 是等差数列”与“ 是关于 的一次函数”不同：公差 时 为常数，此时不是一次函数，因此 （）只能作为公差不为零时的判定． ③“错位相减”适用于“等差×等比”型数列求和，“裂项相消”适用于分式型（如 ），两者不能混用；裂项后务必检查消去后剩余的项，防止漏项或多项． ⚠️避坑指南 ❌ 由 求 时直接写 ，既没有写出 的限制，也没有检验 ，导致通项错误． ❌ 等比数列求和时忽略 的情形，或由 求 时没有检验所求的 是否满足题意（如“严格增数列”要求 且 ）． 点精讲 考点一：数列的概念与递推公式 例1（2026·上海嘉定·二模）设数列满足，且，其中．下列选项中错误的是（   ） A．存在，使得存在正整数N，当时，总有 B．存在，使得不存在正整数N，当时，总有 C．对任意，都不存在正整数N，使得当时，总有 D．存在，使得不存在正整数N，当时，总有 例2（2025·上海·模拟预测）已知 ，若的前项和为，为递增数列，则范围为 ______． 例3（2026·上海杨浦·模拟预测）已知数列满足，且对任意正整数，关于的实系数方程 都有两个相等的实根，若 ，则满足条件的不同实数的个数为（    ） A． B． C． D． 解题策略 递推公式与数列的性质 （1）由递推式求项：逐项代入，注意的取值范围；求通项看递推形式——用累加，用累乘． （2）判断单调性用作差或作商：则递增；各项为正时可用与比较． （3）出现周期性的常见形式：、等，先算前几项找出周期，再用周期性求值． 【变式1】（2024·上海·高考真题），任意，满足，求有序数列有_____对. 【变式2】（2026·上海·模拟预测）命题：已知为无穷数列，对于任意正整数，若令首项，由递推式生成的数列，最终都会从某一项起变为同一个常数． 命题：且的公差为； 命题：数列的通项公式为． 则下列说法正确的是（     ）． A．、都是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．只有是的充分条件 D．、都不是的充分条件 考点二：等差数列的基本量运算 例4（2026·上海嘉定·二模）已知是等差数列，，，则___________． 例5（2025·上海静安·一模）设等差数列的前项和为（为正整数），首项，，则___________． 例6（2025·上海奉贤·二模）等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于_____________． 解题策略 基本量与通项公式 （1）基本量法：把条件全部化为与的方程（组），解出后用求任意项． （2）已知两项求公差用，可避免解方程组；项数较多时优先用性质而不是硬算． （3）判断一个数列为等差数列：定义法常数，或中项法． 【变式1】（2026·上海金山·二模）已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为__________． 【变式2】（2025·上海长宁·一模）在等差数列中，，公差，，则___________． 考点三：等差数列的性质与前n项和【高频考点】 例7（2025·上海长宁·二模）已知数列是等差数列，且，则其前7项和_________． 例8（2025·上海黄浦·二模）设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数________． 例9（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 解题策略 前n项和与性质的应用 （1），与性质联用时常把换成． （2）下标和性质：，在等比数列中对应为． （3）求的最值：利用的二次函数特征，结合对称轴与正整数条件确定． 【变式1】（2026·上海·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则_________． 【变式2】（2026·上海·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 考点四：等比数列的基本量运算 例10（2026·上海·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 例11（2025·上海黄浦·二模）已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为________． 例12（2025·上海·模拟预测）已知为等比数列，其前项和为，若，则其公比__________. 解题策略 等比数列的基本量 （1）基本量法解与：注意，出现时常用两式相除消去． （2）等比中项：、、成等比数列；注意有正负两个值，需由题设条件取舍． （3）无穷递缩等比数列（）各项的和为，实际问题中的“无限次操作”常归结为此式． 【变式1】（2026·上海闵行·二模）已知等比数列的公比为，若，则的取值范围是______. 【变式2】（2025·上海嘉定·二模）已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为．若，则q的取值范围为______． 考点五：数列求和的方法【重难点】 例13（2026·上海杨浦·模拟预测）已知数列满足，，则数列前2026项的和为__________． 例14（2025·上海普陀·一模）设，数列和满足，且，，现有如下两个命题： ①若数列是等比数列，则数列是常数列： ②设是数列的前项和，若是符合题意的的最大值，则能被7整除． 则下列结论中正确的是（　　） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 例15（2025·上海浦东新·二模）已知数列，，并且前项的和满足： ①存在小于的正整数，使得； ②对任意的正整数和，都有． 则满足以上条件的数列共有__________个． 解题策略 裂项、错位相减与分组求和 （1）先看通项的结构再选方法：分式型裂项相消，“等差×等比”型错位相减，符号交替或分段型分组并项． （2）裂项常用、，写和时保留前后未消去的项． （3）错位相减后所得的等比部分要注意项数与首项，最后用化简，避免直接丢掉系数． 【变式1】（2025·上海崇明·一模）设．数列满足下列条件：，且对任意的，都存在使得，其中互不相等，则数列的前20项和的最大值是_______． 【变式2】（2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 考点六：数列的综合应用与不等式 例16（2026·上海普陀·二模）设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______. 例17（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______． 例18（2026·上海·模拟预测）如图，已知直角三角形的两直角边和的长分别为5和12，直角三角形的斜边所在的直线与以、、…、、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆与边所在的直线相切，半圆圆心都在边上，半径分别为、、…、、…，前个半圆面积的总和，则_______． 解题策略 数列与不等式、实际应用 （1）数列不等式恒成立：转化为求或的最值，常用作差比较相邻项、或放缩为可求和的数列． （2）新定义数列题：逐条翻译定义中的条件，先算前几项找规律，再用数学归纳法证明． （3）实际应用四步走：设量—建模（等差或等比）—求和或解方程—回到实际取整，注意“至少”“至多”的取整方向． 【变式1】（2025·上海黄浦·一模）若数列同时满足如下条件：（ⅰ）是无穷数列；（ⅱ）是递增数列；（ⅲ）存在正数M，使得对任意的，都有的前n项的和，则称具有性质P．关于如下结论：①存在等差数列具有性质P；②存在等比数列具有性质P．其中正确的说法是（   ） A．①和②均正确 B．①和②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【变式2】（2026·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前n项和，且公差，若，且，，成等比数列，则______________. 实战训练 1．（2025·上海嘉定·二模）设数列满足，记其前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的是（    ） A．数列和数列均不是周期数列 B．数列是周期数列，数列不是周期数列 C．数列不是周期数列，数列是周期数列 D．数列和数列均为周期数列 2．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 3．（2026·上海·二模）一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列，使得（   ）． A．为严格增数列 B．为公差不为零的等差数列． C．为等比数列（其中，） D．为周期数列 4．（2025·上海杨浦·二模）设是由个二次函数组成的集合，对于连续的正整数，存在二次函数可重复，使得是等差数列，则的最小可能值是（    ）. A．507 B．1013 C．1519 D．2025 5．（2025·上海闵行·一模）从等差数列：、2、、、1000中取出若干数字按先后顺序构成数列．第一次取出数字“1”，然后从取出的“1”开始往后数2个数，再取出数到2的数字“3”，⋯，以此类推，如果某次取出的是数字“”，则下一次从取出的“”开始往后数个数，再取出数到的数字“”；当往后数的数字个数小于“”时，结束取数．那么 的最后一项是（    ） A．6 B．990 C．999 D．1000 6．（2026·上海黄浦·二模）若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（    ）． A．任意一个T数列均不是等差数列 B．任意一个T数列均不是等比数列 C．T集中含有且仅含有有限个等差数列 D．T集中含有无穷多个等比数列 7．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知是一个公差不为的等差数列，其前项和为.若存在正整数(其中)使得，则称具有性质，称有序数对是的一组“数对”，记由的全体“数对”所组成的集合为.关于命题①“若具有性质且，则”与命题②存在具有性质的及互不相同的正整数(其中且，使得且，下列说法正确的是（   ）. A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 8．（2025·上海杨浦·一模）等差数列的公差不为，前项和为，若，，成等比数列，则______. 9．（2024·上海·高考真题）数列，，c的取值范围为___________． 10．（2025·上海奉贤·二模）已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的_______________条件． 11．（2026·上海·模拟预测）已知数列满足，若，则__________． 12．（2026·上海崇明·二模）已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $