专题06 平面向量与复数（复习讲义）（上海专用）2027年春季高考数学

专题06 平面向量与复数 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 14 考点一 平面向量的概念与线性运算 14 考点二 向量的坐标运算与共线 17 考点三 数量积、夹角与模的计算 19 考点四 投影向量与数量积的几何意义 21 考点五 复数的概念与四则运算 24 考点六 复数的几何意义与轨迹 26 04 实战演练 29 考情解读 考试要求 ①理解平面向量的有关概念（零向量、单位向量、相等向量、平行向量），掌握向量的加法、减法与数乘运算，理解共线向量定理并能判断或证明三点共线． ②掌握平面向量的坐标运算，理解平面向量基本定理，能用基底表示向量并解决简单几何问题． ③理解数量积的定义、几何意义与运算律，会求向量的模、夹角与投影向量，能运用数量积解决垂直、模长、最值等问题． ④理解复数的有关概念（实部、虚部、纯虚数、共轭复数）与几何意义，熟练进行复数的四则运算；会解实系数一元二次方程，了解复数的三角形式． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 平面向量的概念与线性运算 5年3考 2026年上海市春季高考 第3题 共线向量定理、基底表示、线性运算的几何意义 由向量共线（平行）求参数 2026年上海市春季高考第3题考查由向量共线求参数；预测2027年在填空题中考查共线求参数或基底表示，多与三角形、梯形结合 平面向量的数量积与坐标运算 5年4考 2026年上海市春季高考 第10题 坐标运算、数量积、夹角与模、向量与圆锥曲线的综合 数量积的运算律与数量积的最大值 2026年上海市春季高考第10题考查数量积的运算律与最大值；预测2027年在选择或填空题中考查数量积与夹角，难度中等 复数的概念与四则运算 5年4考 实部虚部、共轭复数、复数的乘除运算与模 预测2027年在填空题前段考查复数的除法与共轭复数，属基础送分题 复数的几何意义与方程 5年1考 2026年上海市春季高考 第9题 复平面内的轨迹、实系数一元二次方程的虚根 复数模的几何意义与轨迹 2026年上海市春季高考第9题考查复数模的几何意义；预测2027年在选择题中考查复数模的几何意义与轨迹图形 知识梳理 知识点1 向量的概念及其线性运算 1.向量的有关概念 （1）向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以 为起点、 为终点的向量记作 ； （2）向量的长度（模）：向量 的大小即向量 的长度（模），记为 ． 注：任意向量 的模都是非负实数，即 ． 2.几种特殊向量 名称 定义 备注 零向量 长度为0的向量 零向量记作,其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 单位向量记作 平行向量 方向相同或相反的向量(也叫共线向量) 与任意向量共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量,平行向量不一定是相等向量 相反向量 长度相等且方向相反的两个向量 、 ：单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与 平行的单位向量有两个，即向量 和 ． 3.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向最和的运算 三角形法则平行四边形法则 （1）交换律：； （2）结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 ；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，表示从始点指向终点的向量，只需关注始点、终点。 4．共线向量定理 向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使得 ． ：只有当 才保证实数 的存在性和唯一性。 5．常用结论 （ 为实数），若点 、、 三点共线，则 ． 自主检测（2026·上海杨浦·二模）直线：的一个法向量是，则实数______. 知识点2 向量的数量积及坐标表示 1．平面向量的坐标运算 （1）向量的加法、减法、实数与向量的乘法及向量的模： 设 ，则 ， ． 注：若 ，则 ，反之亦然。 （2）向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设 ，则 ． 2．平面向量共线的坐标表示 设 ，其中 ，则 ． （1） 的充要条件不能表示为 ，因为 有可能为 0 ； （2）当且仅当 时， 与 等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. 3．向量的央角 （1）定义：已知两个非零向量 和 ，如图所示，作 ， ，则 叫做向量 与 的夹角，记作 ． ：只有两个向量的起点重合时，所对应的角才是两向量的夹角． （2）范围：夹角 的范围是 ． 当 时，两向量 、 平行且同向； 当 时，两向量 、 相互垂直，记作 ； 当 时，两向量 、 平行但反向． 4．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积，记作 ，即 ，其中 是 与 的夹角。 ：零向量与任一向量的数量积为零． 5．平面向量数量积的几何意义 （1）数量投影 设 是 、 的夹角，则 叫做向量 在向量 方向上的数量投影， 叫做向量 在向量 方向上的数量投影； （2） 的几何意义 数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的数量投影 的乘积． （3）投影向量（简称投影） 向量 在非零向量 方向上的投影为 ． 6．向量数量积的运算律 （1）交换律： ； （2）数乘结合律： ； （3）分配律： ． 向量数量积的运算不满足乘法结合律，即 不一定等于 ，这是由于 表示一个与 共线的向量， 表示一个与 共线的向量，而 与 不一定共线。 7．平面向量数量积的性质 设 、 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量， 是 与 的夹角，则 （1） ； （2） ； （3）当 与 同向时， ；当 与 反向时， ． 特别地，坦•袮 或 ； （4） ； （5） ． 8．平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 为 与 的夹角，则 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 9．常用结论 （1）平面向量数量积运算的常用公式 ① ； ② 。 （2）有关向量夹角的两个结论 ①两个向量 与 的夹角为锐角，则有 ，反之不成立（因为夹角为 0 时不成立）； ②两个向量 与 的夹角为钝角，则有 ，反之不成立（因为夹角为 时不成立）． 自主检测（2025·上海嘉定·二模）已知向量，若，则______． 知识点3 向量基本定理与向量的应用 1．平面向量基本定理 （1）定理：如果 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且仅有一对实数 ，使 ； （2）基：不平行的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基． 注：（1）基 必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基； （2）基给定，同一向量的分解形式唯一； （3）如果对于一组基 ，有 ，则可以得到 且 。 2．常用结论 （1）若 与 不共线，且 ，则 ； （2）已知 为线段 的中点，若 ，则点 坐标为 ； （3）已知 的顶点 ，则 的重心 的坐标为 ； （4）若 为线段 A B 的中点， 为平面内任一点，则 ． 自主检测（2025·上海杨浦·二模）已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（    ）. A． B． C． D． 知识点4 复数及其四则运算、复数的几何意义 1．复数的有关概念 （1）i称为虚数单位，规定 ； （2）形如 、 的数叫复数，其中 、 分别是它的实部和虚部．若 ，则 为实数；若 ，则 为虚数；若 且 ，则 为纯虚数；全体复数构成的集合用字母 表示； （3）共轭复数：复数 称为复数 、 的共轭复数，记为 与 对应复平面上的点关于实轴对称，且 与 共轭 、、、 ； （4）复数是实数的条件： ①、 ；② ；③ ； （5）复数是纯虚数的条件：① 是纯虚数 且 、 ；② 是纯虚数 ；③ 是纯虚数 ； （6）复数与实数不同处：任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小． 2．复数的几何意义 （1）复数 复平面内的点 、 ． ：复数 、 的对应点的坐标为 ，而不是 的虚部是 ，不是 ）． （2）复数 平面向量 ． （3）复数的模：复数 、 在复平面上所对应的点 到原点的距离 ，叫做复数 的模，记作 |z| ，即 ． 3．复数的运算 （1）复数的加、琙、乘、除运算法则 设 ，则 ①加法： ； ②减法： ； ③乘法： ； ④除法： ． （2）复数加法的运算定律 设 ，则复数加法满足以下运算律： ①交换律： ； ②结合律： ． 4．复数的模的几个重要结论 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6）; （7）若 为虚数，则 。 5．常用计算结论 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5）（ 也有 同样的性质）． 6．复平面内复数 对应的点的几个基本轨迹 （1）（ 是正常数） 轨迹是一个圆； （2） 是复常数 轨迹是一条直线； （3） 是复常数， 是正常数 轨迹有三种可能情形： ①当 时，轨迹为椭圆；②当 时，轨迹为一条线段；③当 时，轨迹不存在； （4）（ 是正常数） 轨迹有三种可能情形： ①当 时，轨迹为双曲线；②当 时，轨迹为两条射线；③当 时，轨迹不存在． 7.解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数分类及对应点位置问题,都可转化为复数的实部与虚部应满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可--复数问题实数化; (2)解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部 自主检测（2026·上海闵行·二模）已知，若（其中为虚数单位），则______. 知识点5 实系数一元二次方程与复数的三角形式 1．实系数一元二次方程 （1）实系数一元二次方程 、、 中的 为根的判别式， ① 方程有两个不相等的实根 ； ② 方程有两个相等的实根 ； ③ 方程有两个共轭虚根 。 在（3）的情况下，方程的根与䒬数关系（韦达定理）仍然成立。 （2）求解复数集上的方程的方法： ①设 、 化归为实数方程（组）来解决（化归思想）； ②把 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数）——整体思想，用复数的性质来变形ョ ③对一元二次方程（实系数），直按用一元二次方程的求根公式（公式法）． 2．复数的三角形式及几何意义 （1）复数的三角形式 的右边称为非零复数 的三角形式，其中的 称为 的辐角， 为复数 的模， ． 在 内的辐角称为 的辐角主值，记作 。 为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角 （比如辐角主值）即可． （2）复数三角形式的乘法法则 ①法则：模相乘，辐角相加。 ②几何意义：设 对应的向量分别为 ，将 绕原点旋转 ，再将 的模变为原来的 倍，如果所得向量为 ，则 对应的复数为 ；当 时，按逆时针方向旋转角 ，当 时，按顺时针方向旋转角 。 （3）复数三角形式的除法法则 ①法则： 模相除，辐角相减。 ②几何意义：设 对应的向量分别为 ，将 绕原点 旋转 ，再将 的模变为原来的 倍，如果所得向量为 ，则 对应的复数为 。当 时，按顺时针方向旋转角 ；当 时，按逆时针方向旋转角 ． 自主检测（2025·上海虹口·一模）已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则 ___________． 必记结论 （1）共线向量定理：时，存在唯一实数，使；坐标形式为． （2）数量积的三种算法：定义式，坐标式，以及；由求夹角． （3）复数的模：；复平面内（）表示以为圆心、为半径的圆，表示线段的垂直平分线． ✅注意：向量既有大小又有方向，不能比较大小，只能说“模”的大小；复数是数，可以比较相等，但两个虚数不能比较大小． ⚠️概念辨析 ①“向量平行”与“直线平行”不同：向量平行（共线）包括方向相同与方向相反两种情形，且零向量与任意向量平行． ②数量积不满足结合律：；也不满足消去律：由 且 只能推出 ，不能推出 ． ③“纯虚数”要求实部为零且虚部不为零；“虚数”只要求虚部不为零，两者不可混用． ⚠️避坑指南 ❌ 求投影向量时漏掉方向：向量 在 方向上的投影向量是 ，而数量投影是 （可为负）． ❌ 由 求参数时写成 ，把平行与垂直的坐标条件记混（垂直是 ）． 考点精讲 考点一：平面向量的概念与线性运算 例1（2025·上海·模拟预测）设，集合.若对任意，均存在和，满足，，则的最大值为 _______. 例2（2025·上海宝山·二模）已知中，，，点在线段上，且，则的值为_________. 例3（2026·上海静安·模拟预测）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 解题策略 线性运算与共线定理 （1）线性运算抓“首尾相接”：，；遇到中点用． （2）证明三点共线：证；若且，则三点共线． （3）用基底表示向量：先选定两个不共线的基底，再把目标向量沿着图形“走一遍”，逐步用加法、减法、数乘拆开． 【变式1】（2025·上海崇明·一模）在平面直角坐标系中，．设，则的最小值是_______． 【变式2】（2025·上海崇明·二模）已知，则__________． 考点二：向量的坐标运算与共线 例4（2026·上海·模拟预测）已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 例5（2025·上海宝山·二模）已知向量，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 例6（2026·上海·高考真题）已知，，若，则____________. 解题策略 坐标运算与共线的坐标条件 （1）坐标运算“对号入座”：加减、数乘、数量积都按分量算，模用． （2）共线条件，垂直条件，两式只差一个符号，务必区分． （3）三点共线先化为两个向量共线，再代入坐标条件解参数，最后检验是否与题意（如不重合）矛盾． 【变式1】（2025·上海金山·二模）已知向量，若，则实数__________. 【变式2】（2025·上海杨浦·一模）已知向量，，且，则实数______. 考点三：数量积、夹角与模的计算【高频考点】 例7（2026·上海长宁·二模）在中，是的中点，，，则_________. 例8（2026·上海松江·模拟预测）若都是单位向量，，则向量与的夹角大小为__________. 例9（2025·上海·模拟预测）若向量与不共线也不垂直，且，则______. 解题策略 数量积与夹角、模 （1）求夹角先算数量积与两个模：，注意． （2）求模用平方：，把模的问题转化为数量积问题． （3）由垂直求参数用；求最值时把目标写成关于某个变量的函数（常用二次函数或基本不等式）． 【变式1】（2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 【变式2】（2025·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为___________． 考点四：投影向量与数量积的几何意义 例10（2025·上海青浦·模拟预测）向量在向量方向上的数量投影是_________. 例11（2026·上海徐汇·二模）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则__________. 例12（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 解题策略 投影与几何意义 （1）区分两个量：在方向上的数量投影是，投影向量是，前者可负、后者有方向． （2）数量积的几何意义是“一向量模与另一向量在其上投影的乘积”，遇到定值、最值问题优先往投影上想． （3）动点在圆或线段上时，先用参数表示动点坐标，再把投影写成三角函数或二次函数求范围． 【变式1】（2025·上海长宁·一模）设，则向量在方向上的投影向量的坐标为___________． 【变式2】（2025·上海浦东新·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为__________. 考点五：复数的概念与四则运算【高频考点】 例13（2026·上海杨浦·模拟预测）若复数（其中 表示虚数单位）， 则__________. 例14（2026·上海·模拟预测）已知是虚数单位，计算：__________． 例15（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 解题策略 复数的概念与运算 （1）运算前先化为的标准形式，除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数． （2）求实部、虚部时注意虚部是（含符号），不是；纯虚数要求实部为零且虚部不为零． （3）常用结论：，，，；，． 【变式1】（2026·上海·模拟预测）若（是虚数单位），则复数的虚部是______． 【变式2】（2026·上海普陀·二模）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______. 考点六：复数的几何意义与轨迹【重难点】 例16（2026·上海杨浦·模拟预测）若复数Z满足：，则__________． 例17（2025·上海长宁·一模）在复平面上，复数2和所对应的点分别为，复数所对应的点在线段上移动，若，则复数对应点所构成图形的面积为___________． 例18（2026·上海长宁·二模）已知复数满足：，且，则的最小值为________. 解题策略 复数的几何意义与轨迹 （1）把看成一“段距离”：是圆，是垂直平分线，是椭圆． （2）求模的最值问题优先画图，把转化为点到原点的距离，用圆心距加减半径． （3）复平面内点的坐标就是，注意题目给的是“点”还是“向量”，必要时先把复数化为代数形式再定坐标． 【变式1】（2026·上海静安·二模）若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______． 【变式2】（2026·上海徐汇·二模）已知复数满足，记满足的复数组成的集合为.若且，则的取值范围是__________. 实战训练 1．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 2．（2026·上海闵行·二模）已知平面上13个向量，其中，若对任意，总有且，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 3．（2025·上海金山·一模）已知四边形为平行四边形，集合均为集合的四元子集，若对于任意，当时，中的元素个数都不超过个，则正整数的最大值为___________． 4．（2025·上海静安·模拟预测）已知集合，若对任意位置向量（其终点），均存在位置向量，（其终点）满足，使得，则的最小值________． 5．（2025·上海嘉定·一模）已知向量，，，为直线上的一个动点，当取最小值时，向量的坐标为_____. 6．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 7．（2025·上海奉贤·一模）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值是______． 8．（2025·上海奉贤·二模）内一点（见图1），式子可以写成，这个式子中、、的系数均为，以三个系数作为边长可构造一个等边三角形，因此我们尝试把绕点顺时针旋转，得到（见图2），所以等于，显然，当、、、四点共线时（见图3），最小．    试用类似的方法解决下面这道题目： 已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为______________． 9．（2026·上海奉贤·二模）已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________． 10．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________． 11．（2025·上海普陀·二模）设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 12．（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06平面向量与复数 内容导航 01命题精研与考情透视 1 02知识网络梳理 2 03核心考点精讲 14 考点一平面向量的概念与线性运算 14 考点二向量的坐标运算与共线 17 考点三数量积、夹角与模的计算（高频考点） 19 考点四投影向量与数量积的几何意义 21 考点五复数的概念与四则运算（高频考点） 24 考点六复数的几何意义与轨迹（重难） 26 04实战演练 29 考情解读 考试要求 ①理解平面向量的有关概念（零向量、单位向量、相等向量、平行向量），掌握向量的加法、减法与数乘运算，理解共线向量定理并能判断或证明三点共线． ②掌握平面向量的坐标运算，理解平面向量基本定理，能用基底表示向量并解决简单几何问题． ③理解数量积的定义、几何意义与运算律，会求向量的模、夹角与投影向量，能运用数量积解决垂直、模长、最值等问题． ④理解复数的有关概念（实部、虚部、纯虚数、共轭复数）与几何意义，熟练进行复数的四则运算；会解实系数一元二次方程，了解复数的三角形式． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 平面向量的概念与线性运算 5年3考 2026年春考T3 共线向量定理、基底表示、线性运算的几何意义 由向量共线（平行）求参数 预测2027年在填空题中考查共线求参数或基底表示，多与三角形、梯形结合 平面向量的数量积与坐标运算 5年4考 2026年春考T10 坐标运算、数量积、夹角与模、向量与圆锥曲线的综合 数量积的运算律与数量积的最大值 预测2027年在选择或填空题中考查数量积与夹角，难度中等 复数的概念与四则运算 5年4考 实部虚部、共轭复数、复数的乘除运算与模 预测2027年在填空题前段考查复数的除法与共轭复数，属基础送分题 复数的几何意义与方程 5年1考 2026年春考T9 复平面内的轨迹、实系数一元二次方程的虚根 复数模的几何意义与轨迹 预测2027年在选择题中考查复数模的几何意义与轨迹图形 知识梳理 知识点1向量的概念及其线性运算 1.向量的有关概念 （1）向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以为起点、为终点的向量记作； （2）向量的长度（模）：向量的大小即向量的长度（模），记为． 注：任意向量的模都是非负实数，即． 2.几种特殊向量 名称 定义 备注 零向量 长度为0的向量 零向量记作,其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 单位向量记作 平行向量 方向相同或相反的向量(也叫共线向量) 与任意向量共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量,平行向量不一定是相等向量 相反向量 长度相等且方向相反的两个向量 、 ：单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与平行的单位向量有两个，即向量和． 3.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向最和的运算 三角形法则平行四边形法则 （1）交换律：； （2）结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 ；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，表示从始点指向终点的向量，只需关注始点、终点。 4．共线向量定理 向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得． ：只有当才保证实数的存在性和唯一性。 5．常用结论 （为实数），若点、、三点共线，则． 自主检测（2026·上海杨浦·二模）直线：的一个法向量是，则实数______. 【答案】 【知识点】求直线的法向量、由向量共线（平行）求参数 【详解】易知直线：的一个法向量可以表示为， 又直线的一个法向量是，所以两向量共线， 根据向量共线的坐标表示得，解得. 知识点2向量的数量积及坐标表示 1．平面向量的坐标运算 （1）向量的加法、减法、实数与向量的乘法及向量的模： 设，则， ． 注：若，则，反之亦然。 （2）向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设，则． 2．平面向量共线的坐标表示 设，其中，则． （1）的充要条件不能表示为，因为有可能为0； （2）当且仅当时，与等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. 3．向量的央角 （1）定义：已知两个非零向量和，如图所示，作，，则叫做向量与的夹角，记作． ：只有两个向量的起点重合时，所对应的角才是两向量的夹角． （2）范围：夹角的范围是． 当时，两向量、平行且同向； 当时，两向量、相互垂直，记作； 当时，两向量、平行但反向． 4．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积，记作，即，其中是与的夹角。 ：零向量与任一向量的数量积为零． 5．平面向量数量积的几何意义 （1）数量投影 设是、的夹角，则叫做向量在向量方向上的数量投影，叫做向量在向量方向上的数量投影； （2）的几何意义 数量积等于的长度与在的方向上的数量投影的乘积． （3）投影向量（简称投影） 向量在非零向量方向上的投影为． 6．向量数量积的运算律 （1）交换律：； （2）数乘结合律：； （3）分配律：． 向量数量积的运算不满足乘法结合律，即不一定等于，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线。 7．平面向量数量积的性质 设、为两个非零向量，是与同向的单位向量，是与的夹角，则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，． 特别地，坦•袮或； （4）； （5）． 8．平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量为与的夹角，则 （1）； （2）； （3）； （4）． 9．常用结论 （1）平面向量数量积运算的常用公式 ①； ②。 （2）有关向量夹角的两个结论 ①两个向量与的夹角为锐角，则有，反之不成立（因为夹角为0时不成立）； ②两个向量与的夹角为钝角，则有，反之不成立（因为夹角为时不成立）． 自主检测（2025·上海嘉定·二模）已知向量，若，则______． 【答案】8 【知识点】已知向量垂直求参数 【分析】由向量垂直的坐标表示，列方程求参数值. 【详解】由题设. 故答案为：8 知识点3向量基本定理与向量的应用 1．平面向量基本定理 （1）定理：如果是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且仅有一对实数，使； （2）基：不平行的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基． 注：（1）基必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基； （2）基给定，同一向量的分解形式唯一； （3）如果对于一组基，有，则可以得到且。 2．常用结论 （1）若与不共线，且，则； （2）已知为线段的中点，若，则点坐标为； （3）已知的顶点，则的重心的坐标为； （4）若为线段A B的中点，为平面内任一点，则． 自主检测（2025·上海杨浦·二模）已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】建立平面直角坐标系，根据数量积的运算律得到，设，，，再由数量积的坐标表示及两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为、、是单位圆上的三个点，如图建立平面直角坐标系， 因为，即，所以， 所以，即， 不妨设，，设，所以，， 所以， 所以当，即时取得最大值，且. 故选：D 知识点4复数及其四则运算、复数的几何意义 1．复数的有关概念 （1）i称为虚数单位，规定； （2）形如、的数叫复数，其中、分别是它的实部和虚部．若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数；全体复数构成的集合用字母表示； （3）共轭复数：复数称为复数、的共轭复数，记为与对应复平面上的点关于实轴对称，且与共轭、、、； （4）复数是实数的条件： ①、；②；③； （5）复数是纯虚数的条件：①是纯虚数且、；②是纯虚数；③是纯虚数； （6）复数与实数不同处：任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小． 2．复数的几何意义 （1）复数复平面内的点、． ：复数、的对应点的坐标为，而不是的虚部是，不是）． （2）复数平面向量． （3）复数的模：复数、在复平面上所对应的点到原点的距离，叫做复数的模，记作|z|，即． 3．复数的运算 （1）复数的加、琙、乘、除运算法则 设，则 ①加法：； ②减法：； ③乘法：； ④除法：． （2）复数加法的运算定律 设，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：； ②结合律：． 4．复数的模的几个重要结论 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）; （7）若为虚数，则。 5．常用计算结论 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（也有同样的性质）． 6．复平面内复数对应的点的几个基本轨迹 （1）（是正常数）轨迹是一个圆； （2）是复常数轨迹是一条直线； （3）是复常数，是正常数轨迹有三种可能情形： ①当时，轨迹为椭圆；②当时，轨迹为一条线段；③当时，轨迹不存在； （4）（是正常数）轨迹有三种可能情形： ①当时，轨迹为双曲线；②当时，轨迹为两条射线；③当时，轨迹不存在． 7.解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数分类及对应点位置问题,都可转化为复数的实部与虚部应满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可--复数问题实数化; (2)解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部 自主检测（2026·上海闵行·二模）已知，若（其中为虚数单位），则______. 【答案】 【知识点】复数的相等、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【详解】设，则， 由可得， 则，故. 知识点5实系数一元二次方程与复数的三角形式 1．实系数一元二次方程 （1）实系数一元二次方程、、中的为根的判别式， ①方程有两个不相等的实根； ②方程有两个相等的实根； ③方程有两个共轭虚根。 在（3）的情况下，方程的根与䒬数关系（韦达定理）仍然成立。 （2）求解复数集上的方程的方法： ①设、化归为实数方程（组）来解决（化归思想）； ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数）——整体思想，用复数的性质来变形ョ ③对一元二次方程（实系数），直按用一元二次方程的求根公式（公式法）． 2．复数的三角形式及几何意义 （1）复数的三角形式 的右边称为非零复数的三角形式，其中的称为的辐角，为复数的模，． 在内的辐角称为的辐角主值，记作。 为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可． （2）复数三角形式的乘法法则 ①法则：模相乘，辐角相加。 ②几何意义：设对应的向量分别为，将绕原点旋转，再将的模变为原来的倍，如果所得向量为，则对应的复数为；当时，按逆时针方向旋转角，当时，按顺时针方向旋转角。 （3）复数三角形式的除法法则 ①法则： 模相除，辐角相减。 ②几何意义：设对应的向量分别为，将绕原点旋转，再将的模变为原来的倍，如果所得向量为，则对应的复数为。当时，按顺时针方向旋转角；当时，按逆时针方向旋转角． 自主检测（2025·上海虹口·一模）已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则___________． 【答案】 【知识点】复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算 【分析】利用实系数方程复数根的性质及根与系数关系得，再由共轭复数的运算性质求结果. 【详解】由实系数一元二次方程复数根的性质知， 故. 故答案为： 必记结论 （1）共线向量定理：时，存在唯一实数，使；坐标形式为． （2）数量积的三种算法：定义式，坐标式，以及；由求夹角． （3）复数的模：；复平面内（）表示以为圆心、为半径的圆，表示线段的垂直平分线． ✅注意：向量既有大小又有方向，不能比较大小，只能说“模”的大小；复数是数，可以比较相等，但两个虚数不能比较大小． ⚠️概念辨析 ①“向量平行”与“直线平行”不同：向量平行（共线）包括方向相同与方向相反两种情形，且零向量与任意向量平行． ②数量积不满足结合律：；也不满足消去律：由且只能推出，不能推出． ③“纯虚数”要求实部为零且虚部不为零；“虚数”只要求虚部不为零，两者不可混用． ⚠️避坑指南 ❌求投影向量时漏掉方向：向量在方向上的投影向量是，而数量投影是（可为负）． ❌由求参数时写成，把平行与垂直的坐标条件记混（垂直是）． 考点精讲 考点一：平面向量的概念与线性运算 例1（2025·上海·模拟预测）设，集合.若对任意，均存在和，满足，，则的最大值为_______. 【答案】 【知识点】向量减法法则的几何应用、平面向量共线定理的推论 【分析】设方程表示的区域为，分析可知区域为正方形及其内部，设，可知点在线段上，记为过点的线段的长度的最大值，则的最大值为的最小值，根据对称性分析求解即可. 【详解】设方程表示的区域为， 用代换方程不变，可知区域关于y轴对称； 用代换方程不变，可知区域关于x轴对称； 当时，区域可化为，据此可得区域的图形如图阴影所示， 取， 可知区域为正方形及其内部， 设，点均在区域内， 因为，，即，， 可知点在线段上， 又因为，记为过点的线段的长度的最大值， 若求，不妨假设点在正方形的边界上， 若，即， 可知的最大值为的最小值， 取的中点分别为，可知区域关于直线对称， 根据对称性只需假定点在线段上即可，此时， 可知当点与点重合时，取到最小值， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：1.根据题意分析集合表示的平面区域； 2.根据向量相关知识分析的最大值表示的意义. 例2（2025·上海宝山·二模）已知中，，，点在线段上，且，则的值为_________. 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据确定，从而可得，从而用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】设等腰在边上的高为， 因为，所以， 所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 例3（2026·上海静安·模拟预测）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、用基底表示向量、数量积的坐标表示、数量积的运算律 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求出的最小值. 【详解】根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、，由题意得，所以， 则，故， 所以， 故， 所以点，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 解题策略线性运算与共线定理 （1）线性运算抓“首尾相接”：，；遇到中点用． （2）证明三点共线：证；若且，则三点共线． （3）用基底表示向量：先选定两个不共线的基底，再把目标向量沿着图形“走一遍”，逐步用加法、减法、数乘拆开． 【变式1】（2025·上海崇明·一模）在平面直角坐标系中，．设，则的最小值是_______． 【答案】 【知识点】点与圆的位置关系求参数、向量加法法则的几何应用、轨迹问题——圆 【分析】根据条件，可得为等边三角形，设AB的中点为D，可求出，分析可得以D点轨迹是以O为圆心，为半径的圆，根据线性运算法则，可得，根据点与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】因为，所以为等边三角形， 设AB的中点为D，连接OD，则， 所以D点轨迹是以O为圆心，为半径的圆，则方程为， 所以， 因为，所以， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式2】（2025·上海崇明·二模）已知，则__________． 【答案】 【知识点】利用坐标求向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】写出坐标，由坐标得到. 【详解】，∴. 故答案为： 考点二：向量的坐标运算与共线 例4（2026·上海·模拟预测）已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 【答案】 【知识点】由坐标解决三点共线问题、由向量共线（平行）求参数 【分析】求出，后，借助向量共线的坐标运算计算即可得. 【详解】由，，，则，， 由，，三点共线，则，解得. 例5（2025·上海宝山·二模）已知向量，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由共线向量的坐标表示，建立方程，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：D. 例6（2026·上海·高考真题）已知，，若，则____________. 【答案】2 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为：2. 解题策略坐标运算与共线的坐标条件 （1）坐标运算“对号入座”：加减、数乘、数量积都按分量算，模用． （2）共线条件，垂直条件，两式只差一个符号，务必区分． （3）三点共线先化为两个向量共线，再代入坐标条件解参数，最后检验是否与题意（如不重合）矛盾． 【变式1】（2025·上海金山·二模）已知向量，若，则实数__________. 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为，， 所以，解得. 故答案为：. 【变式2】（2025·上海杨浦·一模）已知向量，，且，则实数______. 【答案】 【知识点】向量垂直的坐标表示 【分析】由向量垂直坐标表示可得答案. 【详解】因，则. 故答案为： 考点三：数量积、夹角与模的计算【高频考点】 例7（2026·上海长宁·二模）在中，是的中点，，，则_________. 【答案】7 【知识点】已知模求数量积、数量积的运算律 【详解】因为在中，是的中点，所以，所以. 又，所以，所以. 所以，. 例8（2026·上海松江·模拟预测）若都是单位向量，，则向量与的夹角大小为__________. 【答案】 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律、向量夹角的计算 【详解】都是单位向量，故，且， 设夹角为，， ， ， ， 又，故. 例9（2025·上海·模拟预测）若向量与不共线也不垂直，且，则______. 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据平面向量的数量积求夹角即可. 【详解】由题意可得：， 故：，即向量与的夹角为. 故答案为： 解题策略数量积与夹角、模 （1）求夹角先算数量积与两个模：，注意． （2）求模用平方：，把模的问题转化为数量积问题． （3）由垂直求参数用；求最值时把目标写成关于某个变量的函数（常用二次函数或基本不等式）． 【变式1】（2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理求出，取的中点，连接，由点为外接圆的圆心，得到，利用向量的数量积的定义，结合在直角三角形中的余弦公式求出的值. 【详解】，， ， 取的中点，连接， 点为外接圆的圆心， ， . 【变式2】（2025·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为___________． 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、已知数量积求模 【分析】将平方后利用二次函数的性质可求其最小值. 【详解】因为， 故 ， ， 故当时，的最小值为， 故最小值为. 故答案为：. 考点四：投影向量与数量积的几何意义 例10（2025·上海青浦·模拟预测）向量在向量方向上的数量投影是_________. 【答案】118 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】根据题意，由数量投影的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 向量在向量方向上的数量投影公式为. 故答案为： 例11（2026·上海徐汇·二模）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则__________. 【答案】 【知识点】求投影向量 【详解】因为在方向上的投影向量是，且，所以 例12（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 【答案】 【知识点】求圆的一般方程、求投影向量 【分析】设，根据题意，求得所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结合即可求得结果. 【详解】根据题意不妨设，，，， 则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上； 过作于，则即为在上的数量投影，如下所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且， 故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示： 在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故； 在△中，，， 故，因为, 故在直角三角形中，，则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟悉数量投影的几何意义；二是对两个运动的点，采用一定一动的处理策略，从而求解最大值. 解题策略投影与几何意义 （1）区分两个量：在方向上的数量投影是，投影向量是，前者可负、后者有方向． （2）数量积的几何意义是“一向量模与另一向量在其上投影的乘积”，遇到定值、最值问题优先往投影上想． （3）动点在圆或线段上时，先用参数表示动点坐标，再把投影写成三角函数或二次函数求范围． 【变式1】（2025·上海长宁·一模）设，则向量在方向上的投影向量的坐标为___________． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】先利用坐标计算，，再利用公式计算. 【详解】因，则，， 则向量在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为： 【变式2】（2025·上海浦东新·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为__________. 【答案】 【知识点】坐标计算向量的模、数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】根据向量数量积的坐标运算及投影向量的概念求解. 【详解】因为，， 所以向量在向量上的投影向量为， 故答案为： 考点五：复数的概念与四则运算【高频考点】 例13（2026·上海杨浦·模拟预测）若复数（其中表示虚数单位），则__________. 【答案】-3 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【详解】， 所以. 例14（2026·上海·模拟预测）已知是虚数单位，计算：__________． 【答案】2 【知识点】复数代数形式的乘法运算、求复数的模、复数的除法运算 【分析】先利用平方差公式计算复数乘积，再把除以转化为乘以，最后求复数的模． 【详解】因为所以 因为所以原式的值为． 例15（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可. 【详解】， 故． 故答案为：. 解题策略复数的概念与运算 （1）运算前先化为的标准形式，除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数． （2）求实部、虚部时注意虚部是（含符号），不是；纯虚数要求实部为零且虚部不为零． （3）常用结论：，，，；，． 【变式1】（2026·上海·模拟预测）若（是虚数单位），则复数的虚部是______． 【答案】2 【知识点】求复数的实部与虚部、复数加减法的代数运算 【详解】因为复数，则.所以复数的虚部是. 【变式2】（2026·上海普陀·二模）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______. 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先根据复数的除法运算化简，再应用共轭复数定义求解. 【详解】复数z满足， 则+3i， 则， 则. 考点六：复数的几何意义与轨迹【重难点】 例16（2026·上海杨浦·模拟预测）若复数Z满足：，则__________． 【答案】 【知识点】求复数的模 【详解】对等式两边同时取模，可得. 例17（2025·上海长宁·一模）在复平面上，复数2和所对应的点分别为，复数所对应的点在线段上移动，若，则复数对应点所构成图形的面积为___________． 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的坐标表示 【分析】设复数所对应的点为，设复数所对应的点为，由得到点的轨迹为：以线段为中线，宽度为的矩形，加上两端为圆心，半径为的两个半圆，利用矩形和圆的面积公式求解即可. 【详解】 复数2和所对应的点分别为，， 设复数所对应的点为，设复数所对应的点为， ，，点轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 点在线段上移动，点的轨迹为：以线段上的点为圆心，半径为的圆的并集， 即点的轨迹为：以线段为中线，宽度为的矩形，加上两端为圆心，半径为的两个半圆， ，， 复数对应点所构成图形的面积为. 故答案为：. 例18（2026·上海长宁·二模）已知复数满足：，且，则的最小值为________. 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，由题意易得，，表示出即可求出答案. 【详解】设 则， 化简得：， ， 又 所以 所以 所以的最小值为. 解题策略复数的几何意义与轨迹 （1）把看成一“段距离”：是圆，是垂直平分线，是椭圆． （2）求模的最值问题优先画图，把转化为点到原点的距离，用圆心距加减半径． （3）复平面内点的坐标就是，注意题目给的是“点”还是“向量”，必要时先把复数化为代数形式再定坐标． 【变式1】（2026·上海静安·二模）若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______． 【答案】 【知识点】利用双曲线定义求方程、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，根据复数的几何意义分析可得，，联立方程运算求解即可. 【详解】设，，，， 因为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆， 可得； 且，则，可知点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 则，，，可得， 联立方程，解得， 且，则，可得，， 所以. 【变式2】（2026·上海徐汇·二模）已知复数满足，记满足的复数组成的集合为.若且，则的取值范围是__________. 【答案】 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】先对已知条件进行化简，得出的值，再根据确定集合中元素的轨迹，最后分析且时的取值范围. 【详解】，. 设，则，即，，. 已知，根据复数模的几何意义，表示复数所对应的点到复数所对应的点的距离，集合中的元素对应的点的轨迹是以为圆心，半径分别在范围内的圆环上的点. 题干要求对都满足，因此是两个圆环的交集： 两个圆环分别以为圆心，内半径，外半径， 建立如图所示的坐标系： 是非空闭区域，当都在处时，最小距离可取到， 中最远的两点距离是两个外圆的交点距离， 因为两个外圆半径都是，圆心距， 由勾股定理可得两交点距离为： 因此∣的取值范围是 实战训练 1．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A．4个 B．3个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【知识点】利用导数研究方程的根、数列不等式恒成立问题、由坐标判断向量是否共线 【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得. 【详解】由题意，不妨设， 三点均在第一象限内，由可知，， 故点恒在线段上，则有. 即对任意的，恒成立， 令，构造函数， 则，由单调递增， 又，存在，使， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故至多个零点， 又由， 可知存在个零点，不妨设，且. ①若，即时，此时或. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，即时，此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得或； 综上可知，正整数的个数有个. 故选：B. 2．（2026·上海闵行·二模）已知平面上13个向量，其中，若对任意，总有且，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】由题意可得，构成一个等比数列，其首项为1，公比为，且相邻向量垂直，从而可得以共线，共线，要使小，只需共线且与反向，共线且与反向即可，据此求解即可. 【详解】因为， 且对任意，总有 所以构成一个等比数列，其首项为1，公比为， 所以， 又因为， 即相邻向量垂直， 即, 所以共线，共线， 要使最小， 设，， 则有， 即求的最小值， 当共线且与反向时，最小， 且 ， 当共线且与反向时，最小， 且 ， 所以. 即的最小值为. 3．（2025·上海金山·一模）已知四边形为平行四边形，集合均为集合的四元子集，若对于任意，当时，中的元素个数都不超过个，则正整数的最大值为___________． 【答案】 【知识点】相等向量、集合新定义、组合数的计算 【分析】由题意可得中共8个元素，记为，假设中最大交集为，从而可得含的四元集合最多有个, 且对在中最多出现3次，求得一个四元集中出现个二元数对，从而可得，求解即可. 【详解】由题意可知共个元素， 记为， 假设中最大交集为， 所以含的四元集合中剩下的两个元素不能相同， 因为中共8个元素，则还剩下6个元素， 所以中，含的四元集合最多有个, 即数对在中最多出现3次， 同理任何一个二元数对可在中最多出现3次， 所以一个四元集中出现个二元数对， 所以个四元集中共出现次， 因为中最多有种不同的二元数对，每个最多出现3次， 所以，解得. 所以正整数的最大值为. 故答案为： 4．（2025·上海静安·模拟预测）已知集合，若对任意位置向量（其终点），均存在位置向量，（其终点）满足，使得，则的最小值________． 【答案】 【知识点】平面向量基本定理的应用 【分析】先分析方程表示的曲线，设，可知三点共线，根据题意可知d的最小值即为的最大值，结合圆的性质分析求解即可. 【详解】设方程表示的曲线为， 用代换方程不变，可知曲线关于y轴对称； 用代换方程不变，可知曲线关于x轴对称； 当时，方程可化为， 据此可知曲线为边长为的正方形， 且方程表示圆心为，半径的圆， 显然曲线在圆内， 设，即点在曲线上，点在圆上， 则， 因为，即，可知三点共线， 即过曲线上任一点作圆的弦， 由圆的性质可知的最小值， 因为存在点，使得，则， 结合点的任意性可知的最小值即为的最大值， 若取到最大值，即取到最小值， 可知的最小值即为正方形的内切圆半径，即， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 5．（2025·上海嘉定·一模）已知向量，，，为直线上的一个动点，当取最小值时，向量的坐标为_____. 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由题意设，根据数量积的坐标表示计算，即可求解. 【详解】因为为直线上的一个动点，所以与共线，设， 所以 ， 所以当时，取最小值，此时. 故答案为： 6．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 【答案】 【知识点】数量积的运算律 【分析】先利用与表示、，再将转化为与的计算，进而求解. 【详解】 ,与所成的夹角为 令，则 当时，的最大值为. 故答案为：. 7．（2025·上海奉贤·一模）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值是______． 【答案】 【知识点】坐标计算向量的模、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、由标准方程确定圆心和半径、椭圆定义及辨析 【分析】根据模长值得出圆的轨迹，再根据模长关系得出椭圆，最后应用圆与椭圆的位置关系得出最值即可. 【详解】因为和是互相垂直的单位向量，所以设， 向量满足，表示以为圆心，半径为1的圆， ， 向量满足， 表示长轴为，焦距的椭圆，且为椭圆焦点， 因为表示以为圆心，半径为1的圆上的点到椭圆上的点距离， 则. 故答案为：16． 8．（2025·上海奉贤·二模）内一点（见图1），式子可以写成，这个式子中、、的系数均为，以三个系数作为边长可构造一个等边三角形，因此我们尝试把绕点顺时针旋转，得到（见图2），所以等于，显然，当、、、四点共线时（见图3），最小．    试用类似的方法解决下面这道题目： 已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为______________． 【答案】 【知识点】向量与几何最值 【分析】建立平面直角坐标系，设、、，不妨设，，，可得，将绕点逆时针旋转得到，可得出，即可得解. 【详解】在如下图所示的平面直角坐标系中，设、、， 不妨设，，， 由题意可得， 将绕点逆时针旋转得到，则，， 其中点， 故 ， 当且仅当点与点重合时，此时，点也与点重合，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 9．（2026·上海奉贤·二模）已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】复数的三角表示、求复数的模、求含sinx(型)函数的值域和最值 【详解】， ， ，设， 则， 当，，即，时，， 此时取最大值， 当，，即，时，， 此时取最小值， ． 10．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________． 【答案】 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可. 【详解】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为： 11．（2025·上海普陀·二模）设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 【答案】(1) (2)或 (3)   设， 因为向量在直线上的投影为向量，故， 故直线的斜率为，故直线的方程为，故， 而， 故， 联立， ，， 故， 设，设， 由双勾函数的性质可得在为增函数， 故，故， . 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、平面向量数量积的几何意义、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据焦点坐标和的长度求出基本量后可得椭圆的标准方程； （2）求出直线与椭圆的交点后可得关于横坐标的方程，从而可求其坐标. （3）利用两角和的正切结合韦达定理可证. 【详解】（1）， 直线l过所以右焦点，即， 所以，椭圆方程为. （2）当，直线，， 解得， ， 设，到直线距离， 由面积，得或， 即或. （3）略 12．（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、数量积的运算律、二倍角的余弦公式、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，化简得，即可解得； （2）由向量条件推出为外心，将目标式用外心向量转化为，再利用和推导出边的关系，结合正弦定理求得后代入即得结果. 【详解】（1）因为， 设外接圆半径为，由正弦定理，，， 代入可得， 所以, 即， 因为在中，，所以， 即， 因为，所以，所以， 化简得：， 解得，即， 因为，所以. （2）由，所以， 所以，即，同理由得， 所以是的外心，所以， 因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半， 所以，，所以, 所以 ， ， ， 得到， 而，所以， 因为，所以，得， 而，所以， 由正弦定理，所以， 又因为，所以， 化简得，所以， 所以， 因为，所以， 代入计算，所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $