专题05 三角与三角函数（复习讲义）（上海专用）2027年春季高考数学

专题05 三角与三角函数 内容导航 01命题精研与考情透视 1 02知识网络梳理 2 03核心考点精讲 12 考点一三角函数的概念与同角关系 12 考点二诱导公式与三角恒等变换（高频考点） 15 考点三三角函数的图像与性质 17 考点四由图像确定解析式与图像变换 19 考点五正弦定理、余弦定理与解三角形（核心重点） 24 考点六三角函数的最值与实际应用（重难点） 30 04实战演练 34 考情解读 考试要求 ①理解任意角、弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化；掌握扇形的弧长公式与面积公式；理解任意角正弦、余弦、正切、余切的定义，会判断三角比的符号． ②掌握同角三角比的基本关系与诱导公式，掌握两角和与差、二倍角公式，会用辅助角公式把化为正弦型函数，能进行三角恒等变换． ③能画出正弦、余弦、正切函数的图像，理解其周期性、奇偶性、单调性与最值；掌握的图像与性质及平移、伸缩变换． ④掌握正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，能解三角形并解决测量等实际问题． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 三角函数的概念与同角关系 5年2考 任意角与弧度制、扇形弧长与面积、三角比的定义与符号判断 预测2027年在填空题中考查扇形弧长面积或由终边上点的坐标求三角比 诱导公式与三角恒等变换 5年3考 诱导公式、两角和与差公式、二倍角公式的化简与求值 预测2027年在填空题中考查给值求值，以二倍角与辅助角公式为主 三角函数的图像与性质 5年3考 周期性、奇偶性、单调性、最值，由图像确定解析式与图像变换 预测2027年在选择或填空题中考查周期与奇偶性、由图像求解析式 解三角形及其实际应用 5年4考 正、余弦定理解三角形，面积公式，测量与几何中的最值 预测2027年在解答题中考查边角互化与面积，并可能结合实际测量情境 知识梳理 知识点1三角比的概念、弧长与扇形面积 1．扇形的弧长公式、面积公式 注意. 2．任意角、弧度制、象限角 （1）任意角的概念：角可以看作平面内一条射线绕着端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所成的图形．按逆时针方向旋转所形成的角为正角；按顺时针方向旋转所形成的角为负角；没有旋转的角为零角； （2）与角的终边相同的角的集合； （3）把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角， 弧度，1弧度． （4）象限角的集合表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 （5）终边在轴上的角的集合；终边在坐标轴上的角的集合． 3．任意角的正弦、余弦、正切、余切 （1）定义 在平面直角坐标系内，角的顶点为原点，角的始边为轴正半轴，在终边上任取一点且不与原点重合，则． （2）符号 自主检测（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为__________米. 【答案】 【知识点】面积、体积最大问题、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】过点作，设,，根据正弦定理求得，求得阴影的面积为，令，求得，得出函数的单调性，得到时，取得最小值，结合为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】过点作垂足为，可得，， 设,，在中，由正弦定理得， 因为，所以， 又由阴影部分的面积： ，其中， 令， 可得， 令，可得，解得 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值，则，所以为等腰直角三角形， 因为，所以. 故答案为： 知识点2同角三角比的关系与诱导公式 1．同角三角比的关系 （1）平方关系：，平方关系对任意角都成立； （2）商数关系：； （3）倒数关系：． 2．公式应用 （1）已知角的一个三角比值，求其余的三角比； （2）化简三角式； （3）关于与的齐次形式． 3．变形公式 4．诱导公式（可用＂奇变偶不变，符号看象限＂来记忆） － 二 三 四 五 六 七 八 自主检测（2026·上海静安·二模）若，则______． 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可求解. 【详解】， 故. 知识点3常用三角公式 1．两角和与差的公式 （1）； （2）； （3）． 2．二倍角公式 （1）； （2）； （3）． 3．降幂公式 （1）； （2）． 4．辅助角公式 ，其中, 5．半角公式 6．积化和差公式 7．和差化积公式 ：（1）半角公式中，公式右边的＂＂号，根据角所在象限由左侧值相应的符号确定； （2）半角的正切公式中，一定注意角的不同限制范围． 自主检测（2025·上海·高考真题）已知，则__________． 【答案】 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可. 【详解】由可得， 所以， 故答案为： 知识点4三角函数的图像与性质 正弦函数、余弦函数、正切函数的:图像与性质(表中所有 表达式 定义域 且 值域 最值 当时， 当时， 当时， 当时, 无 周期 最小正周期 最小正周期 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调区间 严格增 严格减 无 对称轴 无 对称中心 图像 振幅 周期 频率 圆频率 相位 初始相位 2．函数的图像和性质． 3．三角函数图像的平移伸缩变换． 自主检测（2026·上海杨浦·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．1013 B．2026 C．3039 D．4052 【答案】B 【知识点】求函数零点或方程根的个数、零点存在性定理的应用、求含sinx的函数的最小正周期、求含cosx的函数的最小正周期 【分析】分，，三种情况分析的零点个数，并结合函数的周期性，可得的零点. 【详解】因，则函数是周期函数，其最小正周期为. 令，当时，单调递增，单调递增，所以单调递增； 又在上单调递减，故函数在上单调递增； 又因，所以函数在上有一个零点. 当时，，，则，函数在上无零点. 当时，，则，. 令，在上单调递增，单调递增，所以单调递增； 在上单调递增，且增长速度逐渐增快. 若，则，而，所以； 若，则，，所以； 若，则，，所以； 又，所以在上恰有一个零点. 综上，函数在有两个零点. 所以函数有个零点. 知识点5解三角形 1．正弦定理 （其中为的外接圆的半径）． 2．余弦定理 等形式． 3．三角形面积公式 （其中为内切圆半径）． 4．解斜三角形的三边、三角六元素，已知三个元素有五种情形 （1）三边（SSS）；（2）两边一夹角（SAS）；（3）两边一对角（SSA）（直角三角形中为HL）；（4）两角一夹边（ASA）；（5）两角一对边（AAS）．由全等三角形判定定理可知（1）（2）（4）（5）四种情况，当三角形存在时，解是唯一的，而对于（3），可有两解、一解及无解三种情形，应特别引起注意． 5.运用三角形内角和定理、正弦、余弦定理等知识解斜三角形 6.利用解斜三角形解决实际问题 自主检测（2026·上海·二模）某种健身拉力器的手臂固定支架为BE，需运动者将肩关节放置于点B处，手肘放置于点D处，手掌放置于点E处握拳握住弹力绳的一端，弹力绳的另一端连接于点C处；保持B、D、E、C四点共线．将小臂视为线段DE，长度为r，大臂视为线段BD，长度为1.3r．在锻炼时要求保持肩关节B和手肘D不动，运用大臂力量将小臂DE绕着手肘D作圆周运动，始终与BC处于同一平面，弹力绳随之以紧绷状态从CE拉伸至CA．已知某位运动者健身时，当弹力绳拉至最长时，，则此时________度．（结果精确到0.1度） 【答案】 【知识点】几何图形中的计算、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】先由题意得出，，且．再设，则，利用正弦定理表示出的长度，最后在中由余弦定理列方程求得的值． 【详解】由题意可得B，D，E，C四点共线，，，，且点A为点E绕点D旋转后的位置，所以． 因此 设，则，所以 在中，由正弦定理可得所以 在中，由余弦定理可得 将，，代入，得 两边同除以，得 化简可得 令，则 解得，或，或． 因为，所以，故． 于是故此时. 必记结论 （1）诱导公式可统一记为“奇变偶不变，符号看象限”：中为奇数则函数名改变，为偶数则不变，符号由把看作锐角时原函数值的符号决定． （2）辅助角公式：，其中，的象限由点所在象限确定． （3）在中，；，故，． ✅注意：已知三角函数值求角时，必须先由已知条件确定角的范围，再结合单调性取值；讨论三角函数的性质，务必先把解析式化为的形式． ⚠️避坑指南 ❌由的值求时忘记讨论所在象限，把平方关系开方后的两个值只取了一个（或漏掉负值）． ❌解三角形时已知两边及其中一边的对角（SSA），直接套用正弦定理求角而不检验，漏掉“两解”或把不合题意的解留下． 考点精讲 考点一：三角函数的概念与同角关系 例1（2026·上海黄浦·二模）底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为______． 【答案】 【知识点】弧长的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】根据圆锥的侧面展开图结合扇形的弧长公式运算求解. 【详解】设侧面展开图中扇形的中心角为， 由题意可得：，解得， 所以侧面展开图中扇形的中心角为. 例2（2025·上海普陀·二模）若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为____________. 【答案】 【知识点】弧长的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】根据圆锥的侧面积公式，扇形的弧长公式求解即可, 【详解】设底面半径为，母线长为l 由，得， 又，由勾股定理， 所以，解得， 底面圆周长，扇形中心角， 故答案为： 例3（2025·上海金山·一模）上海护珠塔，俗称斜塔，始建于北宋元丰年间（1078-1085年），是世界上倾斜程度最大的佛塔之一，其倾斜角（塔身所在直线与铅垂线的夹角）超过意大利比萨斜塔．如图，护珠塔前有一条笔直的山路，山路所在直线与水平面夹角为．康同学为了测量护珠塔的倾斜程度，实施如下方案：从塔底沿着山路往下走至，此时测得长度为10米，观察塔顶的仰角（视线与水平面的夹角）为，继续往下走至，测得长度为25.9米，观察塔顶的仰角为．根据康同学的数据，可得该塔的倾斜角为___________．（精确到） （参考数值：） 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知弦（切）求切（弦）、三角函数定义的其他应用 【分析】以为原点，建立直角坐标系，根据题意，得到的坐标，设塔高，倾斜角为，则，求得，且，代入数值，列出方程组，求得的值，结合，即可求解. 【详解】以为坐标原点，以水平线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，且山路所在直线与水平面夹角为， 可得， 设塔高的长为，倾斜角为，则， 因为在处观察塔顶的仰角为，可得， 在处观察塔顶的仰角为，可得， 代入， 整理得，解得， 又由，所以. 故答案为：. 解题策略三角比的定义与同角关系 （1）扇形问题抓两个公式：弧长，面积，角的单位必须用弧度． （2）由终边上一点的坐标求三角比，先求，再按定义写出、、，符号由象限决定． （3）同角关系中“知一求二”，先定象限再开方；遇到与的互化，用平方关系整体代换． 【变式1】（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算______________． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、特殊角的三角函数值 【分析】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可. 【详解】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 【变式2】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知某圆锥的侧面展开图为周长为，圆心角为的扇形是面积最大的扇形，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】设出扇形的半径和圆心角，当扇形面积最大的时候求出圆心角，然后求出圆锥的底面半径和高，最后利用体积公式计算体积即可. 【详解】设扇形半径（即圆锥母线长）为，扇形的圆心角为. 由题意，，. 扇形的面积. ，当且仅当，即时取等号. 故扇形面积最大时，，. 由，可得圆锥的底面半径. 所以圆锥的高. 圆锥的体积. 考点二：诱导公式与三角恒等变换【高频考点】 例4（2026·上海黄浦·二模）已知，且，则的值为______． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】利用诱导公式可得，结合同角三角函数关系运算求解，注意根据符号判断角所在象限. 【详解】因为，即， 且，可知角为第四象限角， 所以. 例5（2025·上海·模拟预测）已知，则________． 【答案】3 【知识点】诱导公式二、三、四 【详解】由，则 例6（2026·上海·高考真题）已知，则__________． 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式 【详解】． 解题策略三角恒等变换的化简与求值 （1）化简求值先“看角”：异角化同角、异名化同名、高次降幂，把式子化成或只含一个角的三角比． （2）给值求值抓“已知角”与“所求角”的关系：利用等拆角，再用和差角公式展开． （3）二倍角与降幂配套使用：、，遇平方先降幂． 【变式1】（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为_____________. 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】先根据同角三角函数关系得出，再根据两角差正切公式计算求解. 【详解】， 所以， 则. 故答案为：7. 【变式2】（2025·上海普陀·二模）设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】诱导公式一、二倍角的正弦公式、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据诱导公式和二倍角公式可得，再根据角的终边经过点，即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以，异号， 所以在第二、四象限， 又，所以在第二象限. 故选：. 【变式3】（2026·上海徐汇·二模）若，则______. 【答案】5 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【详解】由， 则. 考点三：三角函数的图像与性质 例7（2025·上海普陀·一模）下列函数中，周期为的奇函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用三角函数的周期公式及奇函数的定义，结合诱导公式和二倍角公式逐项分析即可求解. 【详解】对于A，根据图象可知，函数的定义域为R，， 所以以为周期的偶函数，故A错误； 对于B，，，函数的定义域为R，，所以以为周期的偶函数，故B错误； 对于C，，，函数的定义域为R，， 所以以为周期的奇函数，故C错误； 对于D，，函数的定义域为关于原点对称， 且， 所以以为周期的奇函数，故D正确. 故选：D 例8（2025·上海杨浦·一模）函数的最小正周期为______. 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用正弦型函数的最小正周期公式即可得解. 【详解】函数的最小正周期， 故答案为：. 例9（2026·上海金山·二模）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、诱导公式五、六、函数奇偶性的定义与判断 【详解】， ，故最小正周期为， 设，， 故为奇函数，故选项A正确. 解题策略周期、奇偶性与单调性 （1）求周期前先化为的形式，最小正周期（正切型为）． （2）判断奇偶性：为奇函数，为偶函数，． （3）求单调区间用“整体代换”：把看作一个整体，代入的单调区间解出的范围． 【变式1】（2025·上海嘉定·一模）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【知识点】二倍角的余弦公式、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的奇偶性、诱导公式五、六 【分析】利用二倍角公式和诱导公式化简，最后由正弦函数性质即可求解. 【详解】， 所以函数为奇函数，最小正周期. 故选：C 【变式2】（2025·上海浦东新·二模）若，则函数的最小正周期为____________． 【答案】 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用两角和差的余弦公式化简，再利用周期公式求解. 【详解】， 故最小正周期为. 故答案为： 【变式3】（2025·上海崇明·二模）函数的最小正周期是，则_______． 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】由正弦型函数的周期公式可求得的值. 【详解】因为函数的最小正周期是，则. 故答案为：. 考点四：由图像确定解析式与图像变换 例10（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则__________. 【答案】 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、相位变换及解析式特征、周期变换及解析式特征 【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换规律，即可求得答案. 【详解】函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度，可得， 即 故答案为： 例11（2025·上海闵行·一模）已知函数，（，，），其部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)在中，分别是角的对边，若，成等差数列，判断的形状． 【答案】(1) (2)等边三角形 【知识点】等差中项的应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】（1）由图可知，，，将数值代入函数解析式即可求得相关参数； （2）根据求得，再利用正弦定理将化为，进一步化简得到，从而求出，即可求出答案. 【详解】（1）由图知：， ，因为，所以， ，所以，解得， 由得，所以， 所以. （2）因为且，所以， 因为成等差数列，所以， 由正弦定理得， 因为，所以， 将代入得， 展开得， 即， 即， 因为，所以， 所以，所以为等边三角形. 例12（2026·上海·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________． 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】利用已知条件结合三角函数的性质构造方程组求出，结合初速度为0，求出，结合第一次达到最大值的时间构造方程求出，进而求出解析式． 【详解】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4， 又， 所以，解得，故； 已知初速度为0，则，解得， 已知，则， 速度第一次达到4时用时秒，则，即， 此时． 解题策略图像变换与解析式的确定 （1）求看振幅，求看周期（），求代入最高点、最低点或零点，注意取值与等限制． （2）图像变换只对“”本身操作：左右平移把写成，横向伸缩只改变，纵向伸缩只改变． （3）先平移后伸缩与先伸缩后平移的平移量不同，前者平移，后者平移，计算时须写清变换顺序． 【变式1】（2026·北京海淀·一模）已知函数两个相邻零点的距离为，且. (1)求、的值； (2)设，求的单调递增区间. 【答案】(1)， (2) 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）求出函数的最小正周期，可求出的值，再利用可得出的值； （2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得函数的单调递增区间. 【详解】（1）因为函数两个相邻零点的距离为， 故函数的最小正周期为，所以，即， 又因为，故. （2）因为 ， 由可得， 故函数的单调递增区间为. 【变式2】（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由点确定周期，可得，再由即可求解的值，从而得函数解析式； （2）由确定，得到，再结合正弦定理、三角恒等变换、正弦型函数的性质即可得的取值范围，由三角形面积公式得面积的取值范围． 【详解】（1）因为图像经过，， 所以得周期，由得，. 又得，， 又因为， 所以，所以． （2）因为，又， 结合图像对称性可知：，则， 又，由正弦定理得：， 则， 所以 ， 由，，可得， 所以，则， 故， 于是可得的面积为， 故面积的取值范围为. 考点五：正弦定理、余弦定理与解三角形【核心重点】 例13（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可； 【详解】（1）由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. （2）因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 例14（2025·上海徐汇·一模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，． (1)若，求的面积； (2)若内角的对边，求角的正弦值及外接圆的半径． 【答案】(1) (2)， 【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式求出的值，再结合三角形的面积公式可求得结果； （2）利用余弦定理结合同角三角函数的平方关系可得出的值，再利用正弦定理可求得的值. 【详解】（1）由二倍角余弦公式可得，可得， 因为，所以，故， 故的面积为. （2）在中，，，， 由余弦定理可得， 故为锐角，且， 由正弦定理可得，故. 例15（2025·上海普陀·一模）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)设，，函数的表达式为，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、二倍角的正弦公式、由正切（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）由二倍角正弦公式和正弦定理得，结合得，结合角的范围即可求解； （2）先求得，然后利用整体法，结合正切函数性质列不等式求解即可. 【详解】（1）由已知条件得， 由正弦定理得， 又，则，因为，所以. （2）由得，， 又，则，又，则， 要在区间上恰有3次使得函数的值能取遍内的所有值， 则，即， 则所求的的取值范围是. 解题策略正、余弦定理与面积公式 （1）边角互化：遇、型用余弦定理化边，遇型用正弦定理化角，化到“同名同角”再约分． （2）判断三角形形状：把已知条件全部化为边或全部化为角，整理出、等关系后再下结论． （3）求面积用，与余弦定理联立可解出、；范围问题借助正弦定理把边化为角的函数求最值． 【变式1】（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为. (1)若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. (2)对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间. 【答案】(1) (2)函数在单调递减，在单调递增 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、余弦定理解三角形、求cosx型三角函数的单调性、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由已知可得，由此解得的值，通过验证可得，然后根据余弦定理和面积公式即可求解； （2）由已知可得，又函数在无最小值，可得，再根据三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得或， 所以或， 若，则，不符；所以， 所以，所以， 由， 得，所以， ； （2）由，得，所以，， 令，因为，所以， 又函数在无最小值，所以函数的最小正周期,所以， 所以，则，此时，符合题意， 所以， 令，所以， 当时，， 因为，所以在单调递减，在单调递增. 【变式2】（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、数量积的运算律 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，化简得，即可解得； （2）由向量条件推出为外心，将目标式用外心向量转化为，再利用和推导出边的关系，结合正弦定理求得后代入即得结果. 【详解】（1）因为， 设外接圆半径为，由正弦定理，，， 代入可得， 所以, 即， 因为在中，，所以， 即， 因为，所以，所以， 化简得：， 解得，即， 因为，所以. （2）由，所以， 所以，即，同理由得， 所以是的外心，所以， 因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半， 所以，，所以, 所以 ， ， ， 得到， 而，所以， 因为，所以，得， 而，所以， 由正弦定理，所以， 又因为，所以， 化简得，所以， 所以， 因为，所以， 代入计算，所以. 考点六：三角函数的最值与实际应用【重难点】 例16（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为_________． 【答案】 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】利用余弦函数的单调性可得. 【详解】由函数在上单调递增，在单调递减， 且， 故函数在上的值域为. 故答案为：. 例17（2026·上海·高考真题）有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转_____________度可使油倒出（精确到） 【答案】 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】根据题意，结合条件分别表示出，然后在中，由正弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】 设壶嘴最低点，最高点分别是， 图中圆柱轴截面矩形，距离点最近的顶点是点，另外三个顶点分别为， 当水平液面经过点时，可将油倒出， 设倾斜角为，当液面经过点时，， 先考虑液面不超过点，即的情况， 设液面与分别交于点， 设的中点为，过作的垂线，垂足为， 则，，所以， 因为，所以， 因为， 所以， 在中，， 即， 即， 即，所以， 即， 因为，所以至少将油壶倾斜即可将油倒出. 故答案为： 例18（2025·上海金山·二模）如图，现对某景区一长，宽的矩形空地进行建设.规划在边上分别取点修建人行步道（不考虑宽度），且满足点关于步道的对称点在边上.在内种植花卉，在内搭建娱乐设施，其余区域规划为露营区，则人行步道的最短距离为__________.（结果精确到） 【答案】 【知识点】三角函数在生活中的应用、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由题设有，设，根据图形中边角关系，结合三角函数可得，注意的范围，进而应用换元法并构造函数，利用导数求最值. 【详解】由题意，， 设，则， 在中，得， 则， 由于，解得， 则，解得， 令，，则. 令，则， 令，则，函数单调递增； 令，则，函数单调递减； 所以， 所以， 即人行步道的最短距离为. 故答案为：. 解题策略最值问题与三角建模 （1）求值域先化简：化为后，由自变量的范围推出的范围，再结合图像取最值． （2）已知最值或零点个数求参数，画出一个周期内的图像，数交点的个数，把条件转化为关于端点的不等式组． （3）实际应用四步走：设角为自变量—用三角比表示各段长度—写出目标函数—化简后用三角函数性质求最值，注意角的实际取值范围． 【变式1】（2026·上海长宁·二模）函数，的值域为________. 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】直接根据正弦函数的单调性判断函数的最大值及最小值，进而可得函数值域. 【详解】因为，由正弦函数的性质得：函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数有最小值，当时，函数有最大值. 所以函数在上值域为. 【变式2】（2025·上海·模拟预测），恒成立，则______． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】首先利用辅助角公式，化简函数，再根据函数的性质求，最后代入求的值. 【详解】，令，得，， 由恒成立，可知，，， 则. 故答案为： 实战训练 1．（2025·上海虹口·一模）已知，若，则实数的取值可以是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、特殊角的三角函数值 【分析】将选项中的自变量代入对应解析式中，结合特殊角三角函数值可确定结果. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，可以取，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，，，D错误. 故选：B. 2．（2025·上海徐汇·一模）某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点，城市有两个交通枢纽站点、，其中站点在市中心的正东方向，距离点4公里，站点在市中心的正北方向，距离点也是4公里．为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心点2公里的位置，设置一个移动数据采集点，通过监测的大小来优化信号．当最大时，__________．（结果精确到） 【答案】 【知识点】三角函数在生活中的应用、由直线与圆的位置关系求参数、向量夹角的坐标表示、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】建立平面直角坐标系，设出点，利用直线的夹角公式，表示出直线与的夹角的正切，再利用换元法令以及直线与圆的位置关系，求出的范围，再结合函数单调性，得到当最大时点的坐标，再根据向量夹角公式，求出，再利用同角三角函数的基本关系，计算出，即可得解. 【详解】 不妨以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则：，，设是圆上的点，设. ，， 结合图象，易知当最大时，点位于第一象限，且为钝角，设， 则两直线夹角的正切值公式为： 则：， ， 又因为在圆上，故， 因此，， 令，则，因为在圆上，因此可认为直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离，解得. 由于点在第一象限的圆上，易知，因此， 故. 由于是关于的减函数(分母增大，整体减小)，因此当时，取得最小，即最小，此时对应最大. 当时，结合，解得，即. ， ， 又因为， 解得， 故答案为：. 3．（2025·上海长宁·一模）已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调递减区间； (2)设，求函数在区间上的值域． 【答案】(1)2；. (2). 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据余弦型函数的最小正周期公式求得的值，得到的解析式，进而由整体法求得单调递减区间； （2）首先化简得到的解析式，再由的范围求得的值域. 【详解】（1）因为函数的最小正周期为， 所以，解得. 所以. 要求的单调递减区间，令， 解得，即的单调递减区间为. （2）因为，所以， 所以. 由得， 由正弦函数的性质可得，所以， 所以函数在区间上的值域为． 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数在上有两个最值点，则的取值范围为__________． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、正弦函数图象的应用 【分析】结合正弦函数图象，根据题意列不等式计算即可求解. 【详解】因为，所以， 由正弦函数性质可知，要使函数有两个最值点， 则，且，解得且， 所以的取值范围为. 5．（2025·上海嘉定·二模）已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】解余弦不等式、二倍角的正弦公式、解正弦不等式 【分析】由二倍角正弦公式有，讨论、，结合正余弦函数的性质解不等式求解集，进而确定整数解的个数. 【详解】由题设，显然， 当，则，此时， 当，则，此时， 所以，整数解有，共5个整数解. 故选：C 6．（2026·上海·高考真题）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或， 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）根据以及可得，即可求导以及点斜式求解直线方程， （2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可分类讨论求解. 【详解】（1）当时，则， 根据可得，故，故， 由于，故，故， ，则， 故函数在处的切线方程为，故， （2）函数的最小正周期为，故，所以， 令，当，则， 令，则或， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，无解， 综上可得或. 7．（2025·上海黄浦·二模）设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据已知讨论、、，结合对应的解析式求值域，及零点个数求参数范围. 【详解】由，则，又， 当，，此时无零点， 当，，此时无零点， 当，如下图，此时，而， 要使在区间上恰有4个根，则，则. 故答案为： 8．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是________. 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合正弦函数求值域即可. 【详解】， 其中， 则其值域为 故答案为：. 9．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二倍角的余弦公式、求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的正弦公式、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可. 【详解】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 10．（2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】由余弦函数的周期和最值点的分布，以及区间内包含最值点的条件逐项判断即可. 【详解】由题意可得函数的周期为， 最大值点满足，解得， 最小值点满足，解得， 因为函数在区间上既有最大值又有最小值，区间的长度为9， 对于A，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故A正确； 对于B，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故B正确； 对于C，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故C正确； 对于D，若，当时，最大值点为，当时，最大值点为2038，此时不位于区间内，故D错误. 故选：D 11．（2025·上海松江·二模）设，若函数在区间内恰好有6个零点，则的取值范围是___________. 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、三角函数综合、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】由最多有两个零点，可得至少四个根，分别讨论当和时两个函数零点的个数情况，再结合考虑求解即可. 【详解】当时，令，则， 解得.因为，所以， 当时，，其对称轴为，二次函数最多两个零点. 当二次函数有两个零点时： 结合二次函数图象性质， 解得，即； 解得，即，， 所以当二次函数有两个零点时，的取值范围是. 此时应有四个解，即有四个解. 当时，；所以，即 当时，；所以，即 当时，；所以，即 当时，；所以，即 所以当有四个解时 所以当在区间内恰好有6个零点时的取值范围是. 当二次函数有一个零点时：或，即或， 此时应有五个解，即有五个解，即， 所以； 当二次函数有零个零点时：，即， 此时应有六个解，即有六个解，即， 所以此时无符合条件的的值. 终上所述：的取值范围是. 故答案为： 12．（2026·上海杨浦·模拟预测）若单位圆的内接四边形有一组对角相等，则四边形周长的取值范围为______. 【答案】 【知识点】几何图形中的计算、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】由题意可得，利用勾股定理可得，进而利用基本不等式和三角形三边关系可求得四边形周长的取值范围. 【详解】不妨设，又因为四边形内接于圆，所以， 所以，所以， 所以， 所以， 又因为， ， 所以，所以， 所以， 当且仅当，，即四边形为正方形时取等号， 又由三角形三边关系可得， 所以， 所以， 所以四边形周长的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角与三角函数 内容导航 01命题精研与考情透视 1 02知识网络梳理 2 03核心考点精讲 12 考点一三角函数的概念与同角关系 12 考点二诱导公式与三角恒等变换（高频考点） 15 考点三三角函数的图像与性质 17 考点四由图像确定解析式与图像变换 19 考点五正弦定理、余弦定理与解三角形（核心重点） 24 考点六三角函数的最值与实际应用（重难点） 30 04实战演练 34 考情解读 考试要求 ①理解任意角、弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化；掌握扇形的弧长公式与面积公式；理解任意角正弦、余弦、正切、余切的定义，会判断三角比的符号． ②掌握同角三角比的基本关系与诱导公式，掌握两角和与差、二倍角公式，会用辅助角公式把化为正弦型函数，能进行三角恒等变换． ③能画出正弦、余弦、正切函数的图像，理解其周期性、奇偶性、单调性与最值；掌握的图像与性质及平移、伸缩变换． ④掌握正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，能解三角形并解决测量等实际问题． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 三角函数的概念与同角关系 5年2考 任意角与弧度制、扇形弧长与面积、三角比的定义与符号判断 预测2027年在填空题中考查扇形弧长面积或由终边上点的坐标求三角比 诱导公式与三角恒等变换 5年3考 诱导公式、两角和与差公式、二倍角公式的化简与求值 预测2027年在填空题中考查给值求值，以二倍角与辅助角公式为主 三角函数的图像与性质 5年3考 周期性、奇偶性、单调性、最值，由图像确定解析式与图像变换 预测2027年在选择或填空题中考查周期与奇偶性、由图像求解析式 解三角形及其实际应用 5年4考 正、余弦定理解三角形，面积公式，测量与几何中的最值 预测2027年在解答题中考查边角互化与面积，并可能结合实际测量情境 知识梳理 知识点1三角比的概念、弧长与扇形面积 1．扇形的弧长公式、面积公式 注意. 2．任意角、弧度制、象限角 （1）任意角的概念：角可以看作平面内一条射线绕着端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所成的图形．按逆时针方向旋转所形成的角为正角；按顺时针方向旋转所形成的角为负角；没有旋转的角为零角； （2）与角的终边相同的角的集合； （3）把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角， 弧度，1弧度． （4）象限角的集合表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 （5）终边在轴上的角的集合；终边在坐标轴上的角的集合． 3．任意角的正弦、余弦、正切、余切 （1）定义 在平面直角坐标系内，角的顶点为原点，角的始边为轴正半轴，在终边上任取一点且不与原点重合，则． （2）符号 自主检测（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为__________米. 知识点2同角三角比的关系与诱导公式 1．同角三角比的关系 （1）平方关系：，平方关系对任意角都成立； （2）商数关系：； （3）倒数关系：． 2．公式应用 （1）已知角的一个三角比值，求其余的三角比； （2）化简三角式； （3）关于与的齐次形式． 3．变形公式 4．诱导公式（可用＂奇变偶不变，符号看象限＂来记忆） － 二 三 四 五 六 七 八 自主检测（2026·上海静安·二模）若，则______． 知识点3常用三角公式 1．两角和与差的公式 （1）； （2）； （3）． 2．二倍角公式 （1）； （2）； （3）． 3．降幂公式 （1）； （2）． 4．辅助角公式 ，其中, 5．半角公式 6．积化和差公式 7．和差化积公式 ：（1）半角公式中，公式右边的＂＂号，根据角所在象限由左侧值相应的符号确定； （2）半角的正切公式中，一定注意角的不同限制范围． 自主检测（2025·上海·高考真题）已知，则__________． 知识点4三角函数的图像与性质 正弦函数、余弦函数、正切函数的:图像与性质(表中所有 表达式 定义域 且 值域 最值 当时， 当时， 当时， 当时, 无 周期 最小正周期 最小正周期 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调区间 严格增 严格减 无 对称轴 无 对称中心 图像 振幅 周期 频率 圆频率 相位 初始相位 2．函数的图像和性质． 3．三角函数图像的平移伸缩变换． 自主检测（2026·上海杨浦·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．1013 B．2026 C．3039 D．4052 知识点5解三角形 1．正弦定理 （其中为的外接圆的半径）． 2．余弦定理 等形式． 3．三角形面积公式 （其中为内切圆半径）． 4．解斜三角形的三边、三角六元素，已知三个元素有五种情形 （1）三边（SSS）；（2）两边一夹角（SAS）；（3）两边一对角（SSA）（直角三角形中为HL）；（4）两角一夹边（ASA）；（5）两角一对边（AAS）．由全等三角形判定定理可知（1）（2）（4）（5）四种情况，当三角形存在时，解是唯一的，而对于（3），可有两解、一解及无解三种情形，应特别引起注意． 5.运用三角形内角和定理、正弦、余弦定理等知识解斜三角形 6.利用解斜三角形解决实际问题 自主检测（2026·上海·二模）某种健身拉力器的手臂固定支架为BE，需运动者将肩关节放置于点B处，手肘放置于点D处，手掌放置于点E处握拳握住弹力绳的一端，弹力绳的另一端连接于点C处；保持B、D、E、C四点共线．将小臂视为线段DE，长度为r，大臂视为线段BD，长度为1.3r．在锻炼时要求保持肩关节B和手肘D不动，运用大臂力量将小臂DE绕着手肘D作圆周运动，始终与BC处于同一平面，弹力绳随之以紧绷状态从CE拉伸至CA．已知某位运动者健身时，当弹力绳拉至最长时，，则此时________度．（结果精确到0.1度） 必记结论 （1）诱导公式可统一记为“奇变偶不变，符号看象限”：中为奇数则函数名改变，为偶数则不变，符号由把看作锐角时原函数值的符号决定． （2）辅助角公式：，其中，的象限由点所在象限确定． （3）在中，；，故，． ✅注意：已知三角函数值求角时，必须先由已知条件确定角的范围，再结合单调性取值；讨论三角函数的性质，务必先把解析式化为的形式． ⚠️避坑指南 ❌由的值求时忘记讨论所在象限，把平方关系开方后的两个值只取了一个（或漏掉负值）． ❌解三角形时已知两边及其中一边的对角（SSA），直接套用正弦定理求角而不检验，漏掉“两解”或把不合题意的解留下． 考点精讲 考点一：三角函数的概念与同角关系 例1（2026·上海黄浦·二模）底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为______． 例2（2025·上海普陀·二模）若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为____________. 例3（2025·上海金山·一模）上海护珠塔，俗称斜塔，始建于北宋元丰年间（1078-1085年），是世界上倾斜程度最大的佛塔之一，其倾斜角（塔身所在直线与铅垂线的夹角）超过意大利比萨斜塔．如图，护珠塔前有一条笔直的山路，山路所在直线与水平面夹角为．康同学为了测量护珠塔的倾斜程度，实施如下方案：从塔底沿着山路往下走至，此时测得长度为10米，观察塔顶的仰角（视线与水平面的夹角）为，继续往下走至，测得长度为25.9米，观察塔顶的仰角为．根据康同学的数据，可得该塔的倾斜角为___________．（精确到） （参考数值：） 解题策略三角比的定义与同角关系 （1）扇形问题抓两个公式：弧长，面积，角的单位必须用弧度． （2）由终边上一点的坐标求三角比，先求，再按定义写出、、，符号由象限决定． （3）同角关系中“知一求二”，先定象限再开方；遇到与的互化，用平方关系整体代换． 【变式1】（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算______________． 【变式2】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知某圆锥的侧面展开图为周长为，圆心角为的扇形是面积最大的扇形，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 考点二：诱导公式与三角恒等变换【高频考点】 例4（2026·上海黄浦·二模）已知，且，则的值为______． 例5（2025·上海·模拟预测）已知，则________． 例6（2026·上海·高考真题）已知，则__________． 解题策略三角恒等变换的化简与求值 （1）化简求值先“看角”：异角化同角、异名化同名、高次降幂，把式子化成或只含一个角的三角比． （2）给值求值抓“已知角”与“所求角”的关系：利用等拆角，再用和差角公式展开． （3）二倍角与降幂配套使用：、，遇平方先降幂． 【变式1】（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为_____________. 【变式2】（2025·上海普陀·二模）设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】（2026·上海徐汇·二模）若，则______. 考点三：三角函数的图像与性质 例7（2025·上海普陀·一模）下列函数中，周期为的奇函数是（　　） A． B． C． D． 例8（2025·上海杨浦·一模）函数的最小正周期为______. 例9（2026·上海金山·二模）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 解题策略周期、奇偶性与单调性 （1）求周期前先化为的形式，最小正周期（正切型为）． （2）判断奇偶性：为奇函数，为偶函数，． （3）求单调区间用“整体代换”：把看作一个整体，代入的单调区间解出的范围． 【变式1】（2025·上海嘉定·一模）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【变式2】（2025·上海浦东新·二模）若，则函数的最小正周期为____________． 【变式3】（2025·上海崇明·二模）函数的最小正周期是，则_______． 考点四：由图像确定解析式与图像变换 例10（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则__________. 例11（2025·上海闵行·一模）已知函数，（，，），其部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)在中，分别是角的对边，若，成等差数列，判断的形状． 例12（2026·上海·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________． 解题策略图像变换与解析式的确定 （1）求看振幅，求看周期（），求代入最高点、最低点或零点，注意取值与等限制． （2）图像变换只对“”本身操作：左右平移把写成，横向伸缩只改变，纵向伸缩只改变． （3）先平移后伸缩与先伸缩后平移的平移量不同，前者平移，后者平移，计算时须写清变换顺序． 【变式1】（2026·北京海淀·一模）已知函数两个相邻零点的距离为，且. (1)求、的值； (2)设，求的单调递增区间. 【变式2】（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 考点五：正弦定理、余弦定理与解三角形【核心重点】 例13（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 例14（2025·上海徐汇·一模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，． (1)若，求的面积； (2)若内角的对边，求角的正弦值及外接圆的半径． 例15（2025·上海普陀·一模）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)设，，函数的表达式为，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，求的取值范围． 解题策略正、余弦定理与面积公式 （1）边角互化：遇、型用余弦定理化边，遇型用正弦定理化角，化到“同名同角”再约分． （2）判断三角形形状：把已知条件全部化为边或全部化为角，整理出、等关系后再下结论． （3）求面积用，与余弦定理联立可解出、；范围问题借助正弦定理把边化为角的函数求最值． 【变式1】（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为. (1)若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. (2)对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间. 【变式2】（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 考点六：三角函数的最值与实际应用【重难点】 例16（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为_________． 例17（2026·上海·高考真题）有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转_____________度可使油倒出（精确到） 例18（2025·上海金山·二模）如图，现对某景区一长，宽的矩形空地进行建设.规划在边上分别取点修建人行步道（不考虑宽度），且满足点关于步道的对称点在边上.在内种植花卉，在内搭建娱乐设施，其余区域规划为露营区，则人行步道的最短距离为__________.（结果精确到） 解题策略最值问题与三角建模 （1）求值域先化简：化为后，由自变量的范围推出的范围，再结合图像取最值． （2）已知最值或零点个数求参数，画出一个周期内的图像，数交点的个数，把条件转化为关于端点的不等式组． （3）实际应用四步走：设角为自变量—用三角比表示各段长度—写出目标函数—化简后用三角函数性质求最值，注意角的实际取值范围． 【变式1】（2026·上海长宁·二模）函数，的值域为________. 【变式2】（2025·上海·模拟预测），恒成立，则______． 实战训练 1．（2025·上海虹口·一模）已知，若，则实数的取值可以是（） A． B． C． D． 2．（2025·上海徐汇·一模）某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点，城市有两个交通枢纽站点、，其中站点在市中心的正东方向，距离点4公里，站点在市中心的正北方向，距离点也是4公里．为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心点2公里的位置，设置一个移动数据采集点，通过监测的大小来优化信号．当最大时，__________．（结果精确到） 3．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数在上有两个最值点，则的取值范围为__________． 4．（2025·上海嘉定·二模）已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2025·上海黄浦·二模）设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是________． 6．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是________. 7．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 9．（2025·上海松江·二模）设，若函数在区间内恰好有6个零点，则的取值范围是___________. 10．（2026·上海杨浦·模拟预测）若单位圆的内接四边形有一组对角相等，则四边形周长的取值范围为______. 11．（2025·上海长宁·一模）已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调递减区间； (2)设，求函数在区间上的值域． 12．（2026·上海·高考真题）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $