专题11 平面解析几何（复习讲义）（上海专用）2027年春季高考数学

专题11 平面解析几何 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 19 考点一 直线的方程与两直线的位置关系 19 考点二 圆的方程与直线、圆的位置关系 20 考点三 椭圆的标准方程与性质 23 考点四 双曲线的标准方程与性质 27 考点五 抛物线的标准方程与性质 31 考点六 圆锥曲线的综合问题（高频考点） 35 04 实战演练 42 考情解读 考试要求 ①理解直线的倾斜角与斜率，掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、一般式，会用待定系数法求直线方程． ②掌握两条直线平行与垂直的判定条件，会求两条直线的夹角与点到直线的距离；掌握圆的标准方程与一般方程，会判断直线与圆、圆与圆的位置关系． ③理解椭圆、双曲线、抛物线的定义，掌握它们的标准方程与几何性质，能由方程求焦点、离心率、渐近线、准线等基本量． ④会处理圆锥曲线中的弦长、中点弦、面积、定点定值及最值问题，能综合运用代数与几何方法解题． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 直线与圆 5年3考 2026年上海市春季高考 第4题 斜率与倾斜角、直线方程、直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式 2026年上海市春季高考第4题考查点到直线的距离公式；预测2027年仍在填空题中考查直线与圆的基础计算 椭圆 5年4考 2026年上海市春季高考 第11题 椭圆的标准方程、离心率、焦点三角形与弦长 椭圆的标准方程、对称性与两曲线的交点 2026年上海市春季高考第11题考查椭圆的对称性与两曲线的交点；预测2027年在解答题中考查椭圆与直线的位置关系 双曲线 5年4考 2026年上海市春季高考 第20题 渐近线、离心率、弦长与定点定值问题 双曲线的离心率与直线和双曲线的位置关系 2026年上海市春季高考第20题考查双曲线的离心率与参数范围；预测2027年继续以离心率、渐近线为考查重点 抛物线 5年3考 2026年上海市春季高考 第8题 焦半径公式、焦点弦、最值与切线 抛物线的焦半径公式 2026年上海市春季高考第8题考查抛物线的焦半径公式；预测2027年在填空题中考查焦点弦的性质 知识梳理 知识点1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1. 直线的倾斜角与斜率 （1）设直线与轴相交于点，将轴绕点按逆时针方向旋转至与直线重合时所成的最小正角叫做直线的倾斜角。当直线与轴平行或重合时，规定倾斜角为，故； （2）当时，角的正切值叫做直线的斜率，记作，当时，斜率不存在； （3）直线过点、（），则直线的斜率。 2. 直线方程的形式（注意方程形式的局限性） （1）点斜式：「直线过点，斜率为」； （2）斜截式：（直线在轴上截距为，斜率为）； （3）两点式：「直线过、两点，且、」； （4）一般式：（、不同时为零）； （5）点法式：「直线的一个法向量为，、不同时为零」。 3. 求直线方程的方法 （1）根据以上形式直接写出直线方程； （2）待定系数法； （3）利用直线方程的定义。 自主检测（2025·上海嘉定·一模）已知直线经过点、，则的倾斜角为 _____. 【答案】 【知识点】直线斜率的定义、已知两点求斜率 【分析】根据斜率公式求斜率，即可得直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线经过点、，则直线的斜率， 则，可得， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 知识点2 两条直线的位置关系 1. 两条直线位置关系的判断 方法一：利用系数比 方法二：利用法向量 方法三：利用斜率、截距 2. 两条直线垂直的判断 （、不同时为零） （、不同时为零） （1）； （2）当、的斜率都存在，分别设为、，则。 3. 两条直线的夹角 （1）设直线和（、不全为零，、不全为零），与的夹角为，则； （2）设两条直线、的斜率分别为、，与的夹角为，则。 4. 点到直线的距离 点到直线（、不全为零）的距离为。 5. 两平行线之间的距离 设直线和（、不全为零），则它们之间的距离为。 自主检测（2025·上海黄浦·一模）若直线与平行，则_______． 【答案】 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据直线平行列方程求解的值，检验平行即可. 【详解】若直线与平行， 则，解得，经检验能使得直线. 故答案为：. 知识点3 圆的方程 1. 圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。 2. 圆的标准方程 （1）若圆心为，半径为，则该圆的标准方程为：； （2）方程表示圆心为，半径为的圆； （3）单位圆的方程：。 3. 圆的一般方程 （1）任意一个圆的方程都可化为：，这个方程就叫做圆的一般方程； （2）对方程： ① 若，则方程表示以为圆心，为半径的圆； ② 若，则方程只表示一个点； ③ 若，则方程不表示任何图形。 说明：类似地，可研究方程表示圆的充要条件。 提示：，，，请写出此时的圆心坐标和半径。 4. 点与圆的位置关系 （1）点在圆内； （2）点在圆上； （3）点在圆外。 5. 求圆的方程，采用待定系数法 （1）若已知条件与圆心和半径有关，可设圆的标准方程； （2）若已知条件没有明确给出圆心和半径，可选择圆的一般方程。 6. 在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质： （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （2）圆心在任一弦的垂直平分线上。 自主检测（2025·上海杨浦·一模）圆的圆心到直线的距离为______. 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】圆的圆心到直线的距离为. 故答案为：. 知识点4 直线与圆、圆与圆的位置关系 1. 直线与圆相切 （1）直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点； （2）几何法：圆心到直线的距离等于半径，即； （3）代数法：，方程组有一组不同的解。 2. 直线与圆相交及弦长 （1）直线与圆相交：直线与圆有两个公共点； （2）几何法：圆心到直线的距离小于半径，即； （3）代数法：，方程组有两组不同的解。 相离 相切 相交 图形 方程观点 几何观点 3. 圆与圆的位置关系 设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、（）。 （1）两圆相离：无公共点；，方程组无解； （2）两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解； （3）两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解； （4）两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解； （5）两圆内含：无公共点；，方程组无解。特别地，时，为两个同心圆。 自主检测（2025·上海闵行·一模）过点的直线被圆截得的最短弦长为________ 【答案】 【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围） 【分析】先确定圆的圆心与半径，计算点到圆心的距离，利用“直线与圆心和点的连线垂直时弦长最短”的结论，结合弦长公式计算最短弦长. 【详解】圆的圆心为，半径. 点到圆心的距离为. 当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大（等于），此时弦长最短. 最短弦长为. 故答案为：. 知识点5 椭圆 1. 椭圆的概念 （1）定义：平面上到两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫椭圆。这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 （2）集合的记号表示：集合。 ① 若，则集合为椭圆； ② 若，则集合为线段； ③ 若，则集合为空集。 2. 椭圆的标准方程 （1）焦点在轴：； （2）焦点在轴：。 3. 椭圆的性质 条件 图形 标准方程 范围 对称性 曲线关于轴，原点对称 曲线关于轴，原点对称 顶点 长轴顶点， 短轴顶点 长轴顶点， 短轴顶点 焦点 焦距 离心率 ，其中 通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为 4. 直线与椭圆位置关系的判断 （1）代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去，整理得到关于的方程。记该一元二次方程根的判别式为，① 若，则直线与椭圆相交；② 若，则直线与椭圆相切；③ 若，则直线与椭圆相离； （2）几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图像和性质可判断直线与椭圆的位置关系。 5. 直线与椭圆的相交问题 （1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点，则弦长公式为或； 说明：或，此方法是典型的化归思想之应用。 （2）焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小（近日点与远日点）。 6. 焦点三角形 椭圆上的点与两焦点构成的叫做焦点三角形，，的面积为，则在椭圆中 （1）当为短轴端点时，最大； （2），当时，即点为短轴端点时，取最大值，最大值为； （3）焦点三角形的周长为。 7. 焦点弦（过焦点的弦） 焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长。 自主检测（2026·上海崇明·二模）已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的定义可判断A的真假；求点的轨迹方程，判断BCD的真假. 【详解】对于A，因为，所以点轨迹为线段，故A错误； 对于B，设，则由，所以点轨迹为圆，故B错误； 对于C，由， 因为，方程可化为，所以点轨迹为椭圆，故C正确； 对于D，由， ①当且，即时， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ②当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ③当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ④当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； 综上可知点轨迹为四条线段，故D错误. 知识点6 双曲线 1. 双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线： （1）在平面上； （2）动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； （3）这一定值一定要小于两定点的距离。 2. 双曲线的标准方程 标准方程 图形 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 渐近线 ，可由而得 ，可由而得 离心率 ，其中 实虚轴 线段叫作双曲线的实轴，它的长；线段叫作双曲线的虚轴，它的长；叫作双曲线的实半轴长，叫作双曲线的虚半轴长 的关系 3. 渐近线与离心率 的一条渐近线的斜率为。可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小。 4. 直线和双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为。如消去，可得：。 若，即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若，即， ①直线和双曲线相交，有两个交点； ②直线和双曲线相切，有一个公共点； ③直线和双曲线相离，无公共点。 5. 几个重要结论 （1）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径； （2）与双曲线有共同渐近线的方程可表示为； （3）双曲线的焦点到其渐近线的距离为； （4）若是双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，则，。 6. 重要思想方法 （1）待定系数法求双曲线方程的常用方法 ① 与双曲线共渐近线的可设为； ② 若渐近线方程为，则可设为； ③ 若过两个已知点，则设为。 （2）应用双曲线的定义需注意的问题： 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”。若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支。同时注意定义的转化应用。 （3）求双曲线方程时，一是标准形式判断；二是注意的关系易错易混。 （4）双曲线的标准方程中对的要求只是，易误认为与椭圆标准方程中的要求相同。 若，则双曲线的离心率； 若，则双曲线的离心率； 若，则双曲线的离心率。 （5）等轴双曲线的离心率与渐近线关系 双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）等轴双曲线的方程为，即。 自主检测（2026·上海奉贤·二模）已知双曲线的方程为，则（   ） A．渐近线与无关 B．实轴长与无关 C．焦距与无关 D．焦点与无关 【答案】A 【知识点】求双曲线的焦距、求双曲线的实轴、虚轴、求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线 【详解】已知双曲线的方程为，则， 当时，，焦点在轴，， 当时，，焦点在轴，， 当时，渐近线方程为，实轴长为， 焦距为，焦点为； 当时，渐近线方程为，实轴长为， 焦距为，焦点为； 渐近线与无关，实轴长、焦距、焦点均与有关． 知识点7 抛物线 1.抛物线及其简单性质 （1）抛物线的定义：平面上到一个定点和到一条定直线（不在上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。过点作准线的垂线，设垂足为，则线段的中点称为此抛物线的顶点。 （2）抛物线的标准方程及其性质 图形 标准方程 顶点 范围 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 2.抛物线的综合问题 （1）直线和抛物线的位置关系 将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为。如消去，可得：。 - 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； - 若， ①直线和抛物线相交，有两个交点； ②直线和抛物线相切，有一个公共点； C ③直线和抛物线相离，无公共点。 （2）直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点、两点，则，同理可得（）。 （3）常用思想方法 （1）抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用（用抛物线的定义可化斜为直）； （2）利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关。实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化： ① 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解； ② 将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决。 （4）常见与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点。设、，则： ① 焦点弦长或（为的倾斜角）； ②，； ③，其中叫做焦半径，。 自主检测（2026·上海·春考）已知点为抛物线上一点，若点到的焦点的距离是到轴的距离的两倍，则点的横坐标是____________. 【答案】 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】设，根据条件，利用抛物线的定义得，即可求解. 【详解】因为抛物线的焦点为，准线方程为，设， 由题有，解得， 故答案为：. 知识点8 圆锥曲线的综合问题 1.圆锥曲线中的范围、最值问题 （1）直线和圆锥曲线的位置关系 判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程（不同时为0）代入圆锥曲线的方程，消去（也可以消去）得到一个关于变量（或变量）的一元方程。 即消去，得。 ①当时，设一元二次方程的判别式为， 则直线与圆锥曲线相交； 直线与圆锥曲线相切； 直线与圆锥曲线相离。 ②当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合。 （2）弦长问题和中点弦问题 ①弦长公式 设斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点，、，则（其中是方程中二次项的系数）。 ②处理中点弦问题常用的求解方法 点差法： 设出弦的两端点坐标为、后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率（此方法为整体消元，体现数学的整体思想）。 根与系数的关系： 联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，消元化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解。 注意：中点弦问题常用的两种求解方法，各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足（缺少位置关系的判断）。 （3）求解范围、最值问题的常见方法 a.利用判别式来构造不等关系； b.利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系； c.利用隐含或已知的不等关系建立不等式； d.利用基本不等式。 2.圆锥曲线中的定点、定值、探究性问题 （1）动线过定点问题的两大类型及解法 ①动直线过定点问题，解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点； ②动曲线过定点问题，解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点。 （2）求解定值问题的两大途径 ①由特例得出一个值（此值一般就是定值）→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数（某些变量）无关（将一般问题特殊化，体现“退步简化条件”的思想）； ②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值。 （3）探索性问题的求解策略 ①若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律； ②若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述的问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论。 自主检测（2026·上海静安·二模）双曲线的两条渐近线夹角大小为______．（结果用反三角函数值表示） 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、反三角函数、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】首先得到双曲线的两条渐近线，再利用正切两角和差公式求解即可. 【详解】由题可得，，因此渐近线方程为， 两条渐近线斜率为，. 两直线夹角，夹角公式为， 代入得， 由于且，因此夹角大小为. 必记结论 （1）直线：斜率（），，；点到直线的距离． （2）圆：标准方程，弦长（为圆心到直线的距离）；判断直线与圆的位置关系用与比较，比联立方程更快． （3）圆锥曲线的定义与基本量：椭圆、；双曲线、，渐近线；抛物线． ✅注意：椭圆中，双曲线中，两者不能混淆；求弦长时别忘了乘，用“设而不求”时必须先写出判别式大于零的条件． ⚠️概念辨析 ①“直线的倾斜角越大，斜率越大”是错的：倾斜角在 上增大时斜率增大，在 上增大时斜率也增大，但跨过 时斜率由正无穷突变到负无穷． ②“过定点的直线都能写成点斜式”是错的：当直线垂直于 轴时斜率不存在，只能用 表示，设直线方程时要先讨论斜率是否存在． ③“双曲线上的点到两焦点的距离之差为 ”是错的：应为差的绝对值等于 ，若不加绝对值，只能得到双曲线的一支． ⚠️避坑指南 ❌ 设直线方程为 时没有讨论斜率不存在的情形，导致漏解． ❌ 把椭圆中的 与双曲线中的 记混，离心率、渐近线全部算错． 考点精讲 考点一：直线的方程与两直线的位置关系 例1（2025·上海金山·一模）已知的三个顶点，则边上的高所在的直线方程为___________． 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、已知直线垂直求参数 【分析】根据斜率公式，先求出直线AC的斜率，根据两直线垂直，斜率的关系，可得边上的高的斜率，代入点斜式方程，化简整理，即可得答案. 【详解】由题意直线AC的斜率， 所以边上的高的斜率， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 故答案为： 例2（2025·上海静安·一模）已知直线与，则直线与的夹角大小是___________． 【答案】/ 【知识点】直线斜率的定义、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】先根据直线的斜率求出直线的倾斜角，再利用两条直线倾斜角的大小求出两条直线的夹角. 【详解】直线的斜率为，设直线的倾斜角为，由，可得； 直线的斜率为，设直线的倾斜角为，由，可得； 所以直线与的夹角. 故答案为：. 解题策略 直线的方程与位置关系 （1）求直线方程先定“已知什么”：已知点和斜率用点斜式，已知两点先求斜率，已知截距用斜截式；最后化为一般式，便于判断位置关系． （2）平行、垂直的判定要检验：且截距不等才平行，垂直则；用一般式时，平行看． （3）求夹角、求距离都用公式直接代入，注意倾斜角的范围是，夹角取锐角，必要时用． 【变式1】（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算______________． 【答案】 【知识点】特殊角的三角函数值、直线的倾斜角 【分析】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可. 【详解】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 【变式2】（2025·上海奉贤·一模）已知向量，则经过点且与垂直的直线方程为______． 【答案】 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】先根据向量垂直得出斜率，再点斜式得出直线方程进而得出一般式. 【详解】因为向量，则与垂直的直线方程斜率为， 则经过点且与垂直的直线方程为， 即得 故答案为： 考点二：圆的方程与直线、圆的位置关系 例3（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、基本不等式“1”的妙用求最值、圆的对称性的应用 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 例4（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为________． 【答案】1 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，利用两圆有公共点的条件建立不等式求解. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为1， 由两圆有公共点，得， ，当且仅当时取等号， 当时，取得最小值，取得最小值，此时两圆外切，满足两圆有公共点， 所以当取到最小值时，的值为1. 故答案为：1 解题策略 圆的方程与位置关系 （1）求圆的方程用“待定系数 + 几何条件”：已知圆心和半径用标准式，已知三点用一般式，注意才是圆． （2）直线与圆：先算圆心到直线的距离，再与比较；弦长用，比联立方程快得多． （3）圆与圆：看圆心距与、的关系；“有公共点”即，再结合参数条件求最值． 【变式1】（2026·上海杨浦·二模）设集合，，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】由知到与距离相等，其轨迹是这两点的垂直平分线, 表示的轨迹是一个单位圆，两者有交点，等价于原点到直线的距离不大于，通过计算可得实数的取值范围. 【详解】集合，由，即到与距离相等， 即的轨迹为与两点连线的垂直平分线， 设，所以，所以，化简得， 若，等式化为，任何都满足，此时为整个复平面，满足； 若，则，即的轨迹为直线，表示的为圆：， 即直线与圆有交点，所以，解得，所以实数的取值范围是. 【变式2】（2025·上海黄浦·一模）若图形上的每个点都在圆C上或在圆C内部，则称圆C为的一个覆盖圆．设由函数与的图像所组成，则的最小覆盖圆的半径为_______． 【答案】 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据函数的奇偶性结合圆的方程得其图像构成，由函数的奇偶性与一次函数关系得其图像构成，从而可确定最小覆盖圆的圆心位置，设覆盖圆的半径为，根据几何性质列不等式求解最小半径即可. 【详解】函数的定义域满足，解得，即， 则函数为偶函数， 又，整理得，则函数的图像为： 以为圆心，为半径的上半圆与以为圆心，为半径的上半圆， 函数为偶函数，图象为先减后增的“V”型图，最低点为， 则的图像大致如下： 由于的图像关于轴对称，要使得覆盖圆的半径最小，则覆盖圆的圆心在轴上， 设，且，覆盖圆的半径为， 设点在半圆上，满足三点共线， 则， 当时，解得，此时； 当时，解得，此时； 当时，解得，此时； 综上可得，故的最小值为. 故答案为：. 考点三：椭圆的标准方程与性质 例5（2025·上海浦东新·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线交于两点.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、椭圆定义及辨析 【分析】设，由离心率得到，再由垂直关系利用勾股定理求出，再由求出，即可得解. 【详解】设，， 因为椭圆的离心率，则， 由，则， 即，解得，则，， 又，则， 即， 解得，所以. 故选：C. 例6（2026·上海长宁·二模）等腰的三个顶点均在椭圆上，且、、中有且仅有两个点是椭圆的顶点，则满足条件的共有________个. 【答案】20 【知识点】求椭圆的顶点坐标、椭圆定义及辨析 【详解】如图所示： 由题意可得 以或或或为等腰三角形的底边， 在两侧可各作一个等腰三角形，共有个； 以或或或为等腰三角形的腰， 则， 设另一点为， 若， 即， 由，解得，符合题意；(舍去)； 同理，若， 即， 由，解得，不符题意； 故只能， 这样的点关于轴对称，共有2个， 故共有个； 以为腰， 因为， 设另一点为， 若， 即， 由，解得， 同理若， 即， 由，解得， 这样的点关于轴对称，共有4个； 若为底，则三角形中有三个点是椭圆的顶点，不合题意； 综上，共有个这样的等腰三角形. 解题策略 椭圆的方程与性质 （1）椭圆的两个定义要会用：用于求轨迹和焦点三角形周长；第二定义（到焦点与到准线距离之比为）用于求最值． （2）焦点三角形：由余弦定理与联立，可求面积与顶角． （3）离心率的取值范围由、、的关系确定，求离心率本质上是找一个关于、的齐次方程． 【变式1】（2025·上海徐汇·一模）设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、椭圆定义及辨析 【分析】由题可得两个圆心恰好是椭圆的焦点，结合椭圆的定义，再根据圆外一点到圆上点的距离最小值为点到圆心距离减半径，圆外一点到圆上点的距离最大值为点到圆心距离加半径，求出的取值范围，即可得到答案. 【详解】椭圆的两个焦点坐标为，，恰好为两个圆的圆心坐标， 圆的半径，圆的半径， 由椭圆的定义可得， 当椭圆上动点与焦点连线与圆相交于时，最小，最小值为， 当椭圆上动点与焦点连线的反向延长线与圆相交于时，最大，最大值为， 所以. 故选：D. 【变式2】（2026·上海·春考）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 【答案】 【知识点】椭圆的对称性、求两曲线的交点、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可. 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，代入椭圆中， 得，又，故， 故答案为： 考点四：双曲线的标准方程与性质 例7（2025·上海徐汇·二模）已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为________. 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，求得，再结合双曲线定义，求得，结合△为直角三角形，利用勾股定理，建立的等量关系，进而求解即可. 【详解】设中点为，连接，作图如下所示： 在△中，因为分别为的中点，故//，且； 由题可知，，且，故，且； 根据双曲线定义可知，，又， 故在△中，由勾股定理，也即， 整理得，故，也即该双曲线的离心率为. 故答案为：. 例8（2025·上海虹口·一模）已知双曲线的焦点分别为和，若点为上的点，且满足，，则点到的一条渐近线的距离为 ____ ． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】利用勾股定理和双曲线的定义及的关系，先求出双曲线的方程及渐近线的方程，再根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】因为双曲线的焦点分别为和， 所以，所以. 因为，，所以在中，有. 设，则由勾股定理可得 ，所以， 所以，所以. 又由，可得， 所以双曲线的方程为. 其渐近线方程为，即. 取渐近线，则点到该直线的距离为 . 故答案为： 解题策略 双曲线的方程与性质 （1）双曲线的、、满足，与椭圆相反；渐近线是最常考的量，由方程直接读出、即可． （2）与渐近线有关的问题抓住“渐近线夹角”与“离心率”的互相转化：，渐近线斜率的绝对值就是． （3）双曲线上的点到焦点的距离用定义转化：，注意判断点在左支还是右支，避免符号出错． 【变式1】（2026·上海黄浦·三模）双曲线的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则该双曲线两条渐近线夹角的余弦值为________． 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】联立圆与渐近线得交点，求得向量夹角及已知角得渐近线斜率，再通过直角三角形与二倍角公式求出两渐近线夹角的余弦值. 【详解】由双曲线方程，焦点， 以为直径的圆，取渐近线， 联立，解得或， 所以交点，右顶点， 则向量， 所以， 已知，因此，解得，即， 即,由知, 因为 ，所以，所以, 设圆与轴交点为，所以, 设两渐近线夹角为，则， 所以. 【变式2】（2025·上海崇明·二模）已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则__________． 【答案】 【知识点】根据定义求抛物线的标准方程、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】由抛物线得定义过点作准线的垂线，可构造直角三角形，由此可得，再在中由余弦定理可得，接着利用双曲线的定义可求，最后利用共焦点求得. 【详解】由题意可知，， 如图，过点作准线的垂线，垂足为，则， 则，得， 在中由余弦定理可得， ，即， 则由双曲线的定义可得，得， 则 故答案为： 考点五：抛物线的标准方程与性质 例9（2025·上海黄浦·三模）抛物线的焦点F，准线l，点A、B是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点M在l上的投影是N，则的最小值为________． 【答案】 【知识点】抛物线定义的理解、求抛物线上一点到定直线的最值 【分析】过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P，设､，把MN用a、b表示，在中用余弦定理把AB表示出来，就可以表示出并求最值. 【详解】过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P， 设､，如图所示，根据抛物线的定义， 可知、， 在梯形中，有， 在中，， 又∵，∴， ∴， 故 的最小值是. 故答案为：. 例10（2026·上海·三模）设抛物线上的一点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为__________． 【答案】 / 【知识点】抛物线定义的理解、求点到直线的距离、求抛物线上一点到定直线的最值、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】利用抛物线定义将转化为点到焦点的距离，进而将的最小值转化为焦点到直线的距离求解. 【详解】对于抛物线，可得，即，因此焦点为， 由抛物线的定义可知，故，其中为点到直线的距离， 由几何性质可知，的最小值为焦点到直线的距离，当且仅当位于向直线所作的垂线段上时取等号， 根据点到直线的距离公式，焦点到直线的距离为： 因此的最小值为 解题策略 抛物线的方程与性质 （1）抛物线只有一个焦点、一条准线，定义（为到准线的距离）是求最值的关键：把到焦点的距离转化为到准线的距离，常能“化折为直”． （2）焦点弦：过焦点的弦长，焦半径，这两个公式要能随手写出． （3）抛物线中的最值常用“两点之间线段最短”与基本不等式，注意取到最值时点的位置是否符合题意． 【变式1】（2026·上海·二模）已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】设，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最小值． 【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点. 由抛物线的定义，知，，根据中位线定理以及抛物线定义可得， 由余弦定理得，又， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴， ∴，即的最小值为. 【变式2】（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线与斜率为1的直线相交于，两点．是的焦点．是上异于，的一点． (1)证明：； (2)若是的顶点且，求直线的方程； (3)设且的外接圆与有异于，，的公共点．证明：直线斜率为定值，并求出此定值． 【答案】(1)如图，作出符合题意的图形， 由题意得，．设． 联立化简得，而判别式． 解得，由焦半径公式得，． 若，则，则， 即，解得，与矛盾，故． (2) (3)对于一元四次方程， 设四个根为，则方程为， 则， 化简得， 可得，则韦达定理得证， 如图，作出符合题意的图形， 由题意得，则由弦长公式得， 解得，故，联立，解得或， 则，，令，则，即点在上． 对于点，有，即；对于点，有，即． 设，，将的外接圆方程可设为． 将，代入，可得， 化简得， 此四次方程的四个根恰为外接圆与的四个交点的参数，，，． 由韦达定理得，则．得到， 由题意得直线的斜率为， 代入，得． 此值与无关，故直线的斜率为定值． 【知识点】抛物线中的定值问题、根据韦达定理求参数、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】（1）根据抛物线的几何意义，结合直线与抛物线交点个数即可证明. （2）结合（1）问，得到与的值，直线互相垂直则意味着直线的方向向量数量积为零，进而构建方程即可求解. （3）将抛物线方程转化为参数方程，表示出外接圆表达式，根据韦达定理即可求解. 【详解】（1）略 （2）由题意得为顶点，若，得到 而，可得， 由韦达定理得，，则， 解得或，当时，，此时不符合题意，舍去， 当时，，满足所有条件，故． （3）略 考点六：圆锥曲线的综合问题【高频考点】 例11（2026·上海·春考）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知两点求斜率、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线中的参数及范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）求出，直接利用公式即可求解； （2）根据中点坐标公式求出点，将点坐标代入双曲线方程求出，再利用斜率公式即可求出答案； （3）设直线方程为，联立求出，由题意得且，再根据求出，结合且可求出答案. 【详解】（1）对于双曲线，，， ， 所以双曲线离心率. （2）因为点是的中点，所以点， 代入双曲线方程，得， 解得， 又点在双曲线的右支上，所以，即， 所以， 所以直线的斜率为. （3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 例12（2025·上海金山·一模）已知椭圆，点为坐标原点，点为椭圆上一点． (1)求椭圆的离心率； (2)已知点为椭圆的右焦点，直线，证明：点到点的距离与到直线的距离之比为定值； (3)过线段中点的直线交椭圆于两点，求的最大值． 【答案】(1)； (2) 设，则，则， 故到直线的距离， 所以为定值. (3). 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的弦长、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据离心率公式即可求解； （2）根据两点距离以及点到直线的距离公式，化简即可求解； （3）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式以及点到直线的距离公式，可得面积的表达式，进而根据中点关系以及三角换元，根据判别式求解的范围，利用二次函数的性质即可求解最值. 【详解】（1）中，，故离心率为， （2）略 （3）设，则， 由于是线段的中点，故到直线的距离与到直线的距离相等， 故， 设直线：， 联立其与椭圆的方程可得， 设，则， 故， ，故， ， 令，由于在直线上，所以， 由于，故， 化简可得， 由于该关于的方程在上有解，故，解得， 则，故当时，此时取到最大值. 解题策略 圆锥曲线综合 （1）联立消元的固定流程：设直线，代入曲线方程得一元二次方程，写出与韦达定理、，再用它们表示目标量． （2）弦长与面积：弦长，面积常用（为点到直线的距离）． （3）定点定值问题：先把目标量表示为参数的函数，若结果与参数无关即为定值；过定点则把直线方程整理成的一次式，令系数为零求出定点． 【变式1】（2025·上海闵行·一模）已知双曲线，直线过点，，且与的右支交于P、Q两点，与的两条渐近线分别交于A、B两点，其中A、P在第一象限，B、Q在第四象限． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)若为的右焦点，求的面积的最小值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)2 (3). 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求直线与双曲线的交点坐标、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）求得渐近线方程，得到倾斜角即可求解； （2）设直线方程为：，联立渐近线方程求得坐标，结合直角三角形面积公式即可求解； （3）由，得到，即，结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）由双曲线方程可得渐近线方程为， 两条渐近线的倾斜角分别为， 所以两条渐近线的夹角为； （2）由题意直线斜率不为0，故设方程为：， 联立解得：即 联立解得：即， 所以， 所以当时，取最大值，此时面积最小， 即； （3） 由题意直线斜率不为0，故设方程为：， 联立解得：即 联立解得：即， 联立，消去得：， 所以， 因为， 所以 所以， 即， 即， 即，因为，所以， 又P、Q两点在的右支上，所以，， 所以. 【变式2】（2025·上海徐汇·二模）已知抛物线，点是抛物线的焦点． (1)求点的坐标及点到准线的距离； (2)过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值； (3)过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值. 【答案】(1)坐标为，距离为 (2)由已知可知直线的斜率均存在且不等于并过点， 设的方程为，则的斜率为，设与相交于， 由得，则，， ，同理可得， 所以； (3) 【知识点】抛物线中的定值问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】（1）由抛物线的标准方程的定义即可得到焦点坐标和点到准线的距离； （2）设的方程为，与相交于，联立直线与抛物线方程，可得，又，得到关于的等式，同理可得，取倒数相加可求得其为定值； （3）由已知可得直线的方程，与抛物线方程联立即可得点坐标，则可求得，再利用角平分线的性质得，由此可求得点的轨迹为一个挖去了两个点的圆，且圆心在直线上，进而得到面积的最大值. 【详解】（1）由已知可得，即， 所以点的坐标为，点到准线的距离为； （2）略 （3）由已知可得直线的方程为， 由，解得，， 不妨令， 则，， 在中，， 在中，， 由及得 设点，于是， 整理得， 所以点在以点为圆心，为半径的圆上（除去与直线的两个交点）， 因为圆心在直线上，则点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 实战训练 1．（2026·上海静安·二模）双曲线的两条渐近线夹角大小为______．（结果用反三角函数值表示） 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、反三角函数、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】首先得到双曲线的两条渐近线，再利用正切两角和差公式求解即可. 【详解】由题可得，，因此渐近线方程为， 两条渐近线斜率为，. 两直线夹角，夹角公式为， 代入得， 由于且，因此夹角大小为. 2．（2025·上海普陀·一模）设，直线经过点，若向量，则点到直线的距离为___________． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离 【分析】设出点的坐标，并求出点的坐标，再利用点到直线距离公式求解. 【详解】由直线经过点，设， 由向量，得， 所以点到直线的距离. 故答案为： 3．（2025·上海杨浦·三模）已知三角形的，则三角形的面积的取值范围是_________． 【答案】 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】以为坐标原点所在直线为轴建立平面直角坐标系，设出点坐标，根据列等式，即可得到的轨迹.再求点到的距离范围即可得到三角形的面积的取值范围. 【详解】以为坐标原点所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，. 因为，所以，化简得， 则点的轨迹为以为圆心，半径为的圆（除去两点）. 则点到直线的最大距离即为半径，此时三角形的面积. 又点到直线的距离可趋近于，所以三角形的面积的取值范围为. 故答案为： 4．（2026·上海·一模）已知，，方程组无解，则的取值范围为______. 【答案】 【知识点】已知直线平行求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】根据两直线位置关系得且，然后利用基本不等式求解即可． 【详解】原方程组无解等价于直线与直线平行， 所以且． 又，，所以（）， 即取值范围是． 5．（2025·上海奉贤·一模）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值是______． 【答案】 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、坐标计算向量的模、由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据模长值得出圆的轨迹，再根据模长关系得出椭圆，最后应用圆与椭圆的位置关系得出最值即可. 【详解】因为和是互相垂直的单位向量，所以设， 向量满足，表示以为圆心，半径为1的圆， ， 向量满足， 表示长轴为，焦距的椭圆，且为椭圆焦点， 因为表示以为圆心，半径为1的圆上的点到椭圆上的点距离， 则. 故答案为：16． 6．（2026·上海静安·二模）若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______． 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、利用双曲线定义求方程 【分析】设，根据复数的几何意义分析可得，，联立方程运算求解即可. 【详解】设，，，， 因为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆， 可得； 且，则，可知点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 则，，，可得， 联立方程，解得， 且，则，可得，， 所以. 7．（2026·上海静安·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为_____________ 【答案】 【知识点】求平面两点间的距离、轨迹问题——圆 【分析】以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据两点间的距离公式，求出圆的方程，再数形结合，求出结果. 【详解】 如图所示，以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则， 其中可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以， 所以，即的最大值为. 故答案为： 8．（2026·上海虹口·三模）已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、根据抛物线的方程求参数、抛物线上的点到定点的距离及最值、轨迹问题——圆 【分析】将向量最值问题转化为动点在抛物线和圆上的轨迹问题后，结合“阿波罗尼斯圆”的性质构造新定点配平系数，最终化归为求抛物线上动点到该定点的最短距离. 【详解】不妨设，因为， 则有，整理得， 即向量的终点的轨迹是以原点为顶点，焦点为的抛物线， 设，由得，整理得， 即向量的终点的轨迹是以为圆心，半径的圆， ，其中表示到的距离， 由阿波罗尼斯圆的定义有：平面内到两个定点的距离之比为常数， 且定点与圆心三点必共线，所以必在轴上， 设使，点满足，即， ， ， 则有，解得， 则， 易得三点共线时取最小值，问题转化为抛物线上的动点到定点的最短距离， ， 当时取最小值 ，即， 即， 即的最小值为. 9．（2025·上海崇明·一模）已知椭圆，分别是的左右焦点，点均在上，且点是第一象限点，直线经过点，直线均经过点． (1)求椭圆的离心率； (2)若，直线的方程； (3)求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合椭圆离心率的定义，即可求解； （2）设，得到，由，代入求得，结合，结合直线的点斜式方程，即可求解； （3）设的方程为，联立方程组求得，再设的方程为，联立方程组，求得，，同理求得，，结合，化简得到，即可得证. 【详解】（1）解：由椭圆，可得，则， 所以，所以椭圆的离心率为. （2）解：由（1）知，椭圆的左焦点， 设，其中，则， 则向量，可得， 将代入得，解得，则，即， 可得， 又由过点，所以的方程为，即. （3）证明：设直线的斜率为，则方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 由直线过，设其直线方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 因为在直线上，可得，化简得，则， 同理可得：设，可得，则， 又因为， 又由， 即，所以. 10．（2026·上海长宁·二模）双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的离心率； (2)设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； (3)若、关于原点对称，证明：直线经过定点. 【答案】(1) (2) (3)设，由 关于原点对称得， 计算得直线 的斜率可得 所以有， 设直线，联立， 可得：， 设， 由韦达定理得， 由可得：， 整理得：， 所以， 所以， 代入韦达定理可得：， 所以， 所以， 所以， 所以，则或， 当时，直线恒过点，不符合题意， 故，此时直线恒过点. 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线向量共线比例问题、求直线与双曲线的交点坐标 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程求得，进而利用公式可得离心率； （2）设出点的坐标，利用坐标运算，结合向量关系，联立求解即可； （3）先求得，设直线，与双曲线方程联立，由韦达定理得，即可求解定点. 【详解】（1）将代入双曲线方程可得：， 因为双曲线中 ，所以， 即离心率： ； （2） 设 ，直线 方程为， 令 ，得，即可知， 令，得，即可知， 由，可得：， 则由纵坐标对应相等可得 ， 由（1）知双曲线化简为，代入得， 解得或 （因为此时与点 重合故舍去），即； （3）略 11．（2025·上海浦东新·三模）设有椭圆和直线．椭圆的左、右焦点分别为、．是上位于第一象限内的一点． (1)当时，求椭圆的离心率； (2)若且点在直线上，求的值； (3)设点满足，其中是点到的距离．当变化时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）求出和，求出即可求解； （2）设，求出，求出和，求出和，根据椭圆的定义即可求解； （3）求出，设，对于每一个固定的设点到的距离为，利用点到直线距离公式求出，利用辅助角公式求出，证明是第一象限的角，据此即可求解. 【详解】（1）由题可知，， ， 所以椭圆的离心率为； （2） 如图，设， ， 又， 是第一象限上的点， ，即解得， ， 由椭圆的定义知，. （3）由椭圆的定义知． ，设， 对于每一个固定的设点到的距离为， 利用点到直线距离公式有， 由辅助角公式得， 是第一象限内的一点， ，注意到， 是第一象限的角， 设， 当时为在固定下的最小值， 由题意知对于有解， ， 两边平方可得， 要求的最小值，即求的最大值， ，当时取到． 12．（2026·上海·三模）已经双曲线：的渐近线方程为，焦距为4，直线：与双曲线交于不同的两点，（异于双曲线的顶点）． (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线的右顶点，若以为直径的圆过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (3)若，在双曲线的右支上，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、求双曲线中的弦长、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据题意列方程组，即可得出双曲线的方程； （2）将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，由题意可得，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可得出所满足的关系式，即可求出定点坐标； （3）求出线段的垂直平分线方程，将点的坐标代入此直线方程，可得出，由此可得出线段的中点的坐标，结合弦长公式可求出的取值范围，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得，解得， 则双曲线：； （2）设，，联立， 消去得：， 由题意，，且，即， ， 已知，以为直径的圆过，则， ，即， ， ， 展开并整理得：，即， 当时，直线，过定点，但此时直线过双曲线右顶点，不符合题意； 当时，直线，过定点，符合题意； 所以直线过定点． （3）因为在右支， 所以， 可得，， 设中点为，则， 的垂直平分线方程为：， 已知过，代入得： 化简得：，此时，， ，， ， ， ， ，则． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 平面解析几何 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 19 考点一 直线的方程与两直线的位置关系 19 考点二 圆的方程与直线、圆的位置关系 20 考点三 椭圆的标准方程与性质 23 考点四 双曲线的标准方程与性质 27 考点五 抛物线的标准方程与性质 31 考点六 圆锥曲线的综合问题（高频考点） 35 04 实战演练 42 考情解读 考试要求 ①理解直线的倾斜角与斜率，掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、一般式，会用待定系数法求直线方程． ②掌握两条直线平行与垂直的判定条件，会求两条直线的夹角与点到直线的距离；掌握圆的标准方程与一般方程，会判断直线与圆、圆与圆的位置关系． ③理解椭圆、双曲线、抛物线的定义，掌握它们的标准方程与几何性质，能由方程求焦点、离心率、渐近线、准线等基本量． ④会处理圆锥曲线中的弦长、中点弦、面积、定点定值及最值问题，能综合运用代数与几何方法解题． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 直线与圆 5年3考 2026年上海市春季高考 第4题 斜率与倾斜角、直线方程、直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式 2026年上海市春季高考第4题考查点到直线的距离公式；预测2027年仍在填空题中考查直线与圆的基础计算 椭圆 5年4考 2026年上海市春季高考 第11题 椭圆的标准方程、离心率、焦点三角形与弦长 椭圆的标准方程、对称性与两曲线的交点 2026年上海市春季高考第11题考查椭圆的对称性与两曲线的交点；预测2027年在解答题中考查椭圆与直线的位置关系 双曲线 5年4考 2026年上海市春季高考 第20题 渐近线、离心率、弦长与定点定值问题 双曲线的离心率与直线和双曲线的位置关系 2026年上海市春季高考第20题考查双曲线的离心率与参数范围；预测2027年继续以离心率、渐近线为考查重点 抛物线 5年3考 2026年上海市春季高考 第8题 焦半径公式、焦点弦、最值与切线 抛物线的焦半径公式 2026年上海市春季高考第8题考查抛物线的焦半径公式；预测2027年在填空题中考查焦点弦的性质 知识梳理 知识点1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1. 直线的倾斜角与斜率 （1）设直线与轴相交于点，将轴绕点按逆时针方向旋转至与直线重合时所成的最小正角叫做直线的倾斜角。当直线与轴平行或重合时，规定倾斜角为，故； （2）当时，角的正切值叫做直线的斜率，记作，当时，斜率不存在； （3）直线过点、（），则直线的斜率。 2. 直线方程的形式（注意方程形式的局限性） （1）点斜式：「直线过点，斜率为」； （2）斜截式：（直线在轴上截距为，斜率为）； （3）两点式：「直线过、两点，且、」； （4）一般式：（、不同时为零）； （5）点法式：「直线的一个法向量为，、不同时为零」。 3. 求直线方程的方法 （1）根据以上形式直接写出直线方程； （2）待定系数法； （3）利用直线方程的定义。 自主检测（2025·上海嘉定·一模）已知直线经过点、，则的倾斜角为 _____. 知识点2 两条直线的位置关系 1. 两条直线位置关系的判断 方法一：利用系数比 方法二：利用法向量 方法三：利用斜率、截距 2. 两条直线垂直的判断 （、不同时为零） （、不同时为零） （1）； （2）当、的斜率都存在，分别设为、，则。 3. 两条直线的夹角 （1）设直线和（、不全为零，、不全为零），与的夹角为，则； （2）设两条直线、的斜率分别为、，与的夹角为，则。 4. 点到直线的距离 点到直线（、不全为零）的距离为。 5. 两平行线之间的距离 设直线和（、不全为零），则它们之间的距离为。 自主检测（2025·上海黄浦·一模）若直线与平行，则_______． 知识点3 圆的方程 1. 圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。 2. 圆的标准方程 （1）若圆心为，半径为，则该圆的标准方程为：； （2）方程表示圆心为，半径为的圆； （3）单位圆的方程：。 3. 圆的一般方程 （1）任意一个圆的方程都可化为：，这个方程就叫做圆的一般方程； （2）对方程： ① 若，则方程表示以为圆心，为半径的圆； ② 若，则方程只表示一个点； ③ 若，则方程不表示任何图形。 说明：类似地，可研究方程表示圆的充要条件。 提示：，，，请写出此时的圆心坐标和半径。 4. 点与圆的位置关系 （1）点在圆内； （2）点在圆上； （3）点在圆外。 5. 求圆的方程，采用待定系数法 （1）若已知条件与圆心和半径有关，可设圆的标准方程； （2）若已知条件没有明确给出圆心和半径，可选择圆的一般方程。 6. 在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质： （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （2）圆心在任一弦的垂直平分线上。 自主检测（2025·上海杨浦·一模）圆的圆心到直线的距离为______. 知识点4 直线与圆、圆与圆的位置关系 1. 直线与圆相切 （1）直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点； （2）几何法：圆心到直线的距离等于半径，即； （3）代数法：，方程组有一组不同的解。 2. 直线与圆相交及弦长 （1）直线与圆相交：直线与圆有两个公共点； （2）几何法：圆心到直线的距离小于半径，即； （3）代数法：，方程组有两组不同的解。 相离 相切 相交 图形 方程观点 几何观点 3. 圆与圆的位置关系 设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、（）。 （1）两圆相离：无公共点；，方程组无解； （2）两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解； （3）两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解； （4）两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解； （5）两圆内含：无公共点；，方程组无解。特别地，时，为两个同心圆。 自主检测（2025·上海闵行·一模）过点的直线被圆截得的最短弦长为________ 知识点5 椭圆 1. 椭圆的概念 （1）定义：平面上到两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫椭圆。这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 （2）集合的记号表示：集合。 ① 若，则集合为椭圆； ② 若，则集合为线段； ③ 若，则集合为空集。 2. 椭圆的标准方程 （1）焦点在轴：； （2）焦点在轴：。 3. 椭圆的性质 条件 图形 标准方程 范围 对称性 曲线关于轴，原点对称 曲线关于轴，原点对称 顶点 长轴顶点， 短轴顶点 长轴顶点， 短轴顶点 焦点 焦距 离心率 ，其中 通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为 4. 直线与椭圆位置关系的判断 （1）代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去，整理得到关于的方程。记该一元二次方程根的判别式为，① 若，则直线与椭圆相交；② 若，则直线与椭圆相切；③ 若，则直线与椭圆相离； （2）几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图像和性质可判断直线与椭圆的位置关系。 5. 直线与椭圆的相交问题 （1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点，则弦长公式为或； 说明：或，此方法是典型的化归思想之应用。 （2）焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小（近日点与远日点）。 6. 焦点三角形 椭圆上的点与两焦点构成的叫做焦点三角形，，的面积为，则在椭圆中 （1）当为短轴端点时，最大； （2），当时，即点为短轴端点时，取最大值，最大值为； （3）焦点三角形的周长为。 7. 焦点弦（过焦点的弦） 焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长。 自主检测（2026·上海崇明·二模）已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（   ） A． B． C． D． 知识点6 双曲线 1. 双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线： （1）在平面上； （2）动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； （3）这一定值一定要小于两定点的距离。 2. 双曲线的标准方程 标准方程 图形 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 渐近线 ，可由而得 ，可由而得 离心率 ，其中 实虚轴 线段叫作双曲线的实轴，它的长；线段叫作双曲线的虚轴，它的长；叫作双曲线的实半轴长，叫作双曲线的虚半轴长 的关系 3. 渐近线与离心率 的一条渐近线的斜率为。可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小。 4. 直线和双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为。如消去，可得：。 若，即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若，即， ①直线和双曲线相交，有两个交点； ②直线和双曲线相切，有一个公共点； ③直线和双曲线相离，无公共点。 5. 几个重要结论 （1）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径； （2）与双曲线有共同渐近线的方程可表示为； （3）双曲线的焦点到其渐近线的距离为； （4）若是双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，则，。 6. 重要思想方法 （1）待定系数法求双曲线方程的常用方法 ① 与双曲线共渐近线的可设为； ② 若渐近线方程为，则可设为； ③ 若过两个已知点，则设为。 （2）应用双曲线的定义需注意的问题： 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”。若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支。同时注意定义的转化应用。 （3）求双曲线方程时，一是标准形式判断；二是注意的关系易错易混。 （4）双曲线的标准方程中对的要求只是，易误认为与椭圆标准方程中的要求相同。 若，则双曲线的离心率； 若，则双曲线的离心率； 若，则双曲线的离心率。 （5）等轴双曲线的离心率与渐近线关系 双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）等轴双曲线的方程为，即。 自主检测（2026·上海奉贤·二模）已知双曲线的方程为，则（   ） A．渐近线与无关 B．实轴长与无关 C．焦距与无关 D．焦点与无关 知识点7 抛物线 1.抛物线及其简单性质 （1）抛物线的定义：平面上到一个定点和到一条定直线（不在上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。过点作准线的垂线，设垂足为，则线段的中点称为此抛物线的顶点。 （2）抛物线的标准方程及其性质 图形 标准方程 顶点 范围 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 2.抛物线的综合问题 （1）直线和抛物线的位置关系 将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为。如消去，可得：。 - 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； - 若， ①直线和抛物线相交，有两个交点； ②直线和抛物线相切，有一个公共点； C ③直线和抛物线相离，无公共点。 （2）直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点、两点，则，同理可得（）。 （3）常用思想方法 （1）抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用（用抛物线的定义可化斜为直）； （2）利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关。实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化： ① 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解； ② 将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决。 （4）常见与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点。设、，则： ① 焦点弦长或（为的倾斜角）； ②，； ③，其中叫做焦半径，。 自主检测（2026·上海·春考）已知点为抛物线上一点，若点到的焦点的距离是到轴的距离的两倍，则点的横坐标是____________. 知识点8 圆锥曲线的综合问题 1.圆锥曲线中的范围、最值问题 （1）直线和圆锥曲线的位置关系 判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程（不同时为0）代入圆锥曲线的方程，消去（也可以消去）得到一个关于变量（或变量）的一元方程。 即消去，得。 ①当时，设一元二次方程的判别式为， 则直线与圆锥曲线相交； 直线与圆锥曲线相切； 直线与圆锥曲线相离。 ②当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合。 （2）弦长问题和中点弦问题 ①弦长公式 设斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点，、，则（其中是方程中二次项的系数）。 ②处理中点弦问题常用的求解方法 点差法： 设出弦的两端点坐标为、后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率（此方法为整体消元，体现数学的整体思想）。 根与系数的关系： 联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，消元化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解。 注意：中点弦问题常用的两种求解方法，各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足（缺少位置关系的判断）。 （3）求解范围、最值问题的常见方法 a.利用判别式来构造不等关系； b.利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系； c.利用隐含或已知的不等关系建立不等式； d.利用基本不等式。 2.圆锥曲线中的定点、定值、探究性问题 （1）动线过定点问题的两大类型及解法 ①动直线过定点问题，解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点； ②动曲线过定点问题，解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点。 （2）求解定值问题的两大途径 ①由特例得出一个值（此值一般就是定值）→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数（某些变量）无关（将一般问题特殊化，体现“退步简化条件”的思想）； ②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值。 （3）探索性问题的求解策略 ①若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律； ②若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述的问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论。 自主检测（2026·上海静安·二模）双曲线的两条渐近线夹角大小为______．（结果用反三角函数值表示） 必记结论 （1）直线：斜率（），，；点到直线的距离． （2）圆：标准方程，弦长（为圆心到直线的距离）；判断直线与圆的位置关系用与比较，比联立方程更快． （3）圆锥曲线的定义与基本量：椭圆、；双曲线、，渐近线；抛物线． ✅注意：椭圆中，双曲线中，两者不能混淆；求弦长时别忘了乘，用“设而不求”时必须先写出判别式大于零的条件． ⚠️概念辨析 ①“直线的倾斜角越大，斜率越大”是错的：倾斜角在 上增大时斜率增大，在 上增大时斜率也增大，但跨过 时斜率由正无穷突变到负无穷． ②“过定点的直线都能写成点斜式”是错的：当直线垂直于 轴时斜率不存在，只能用 表示，设直线方程时要先讨论斜率是否存在． ③“双曲线上的点到两焦点的距离之差为 ”是错的：应为差的绝对值等于 ，若不加绝对值，只能得到双曲线的一支． ⚠️避坑指南 ❌ 设直线方程为 时没有讨论斜率不存在的情形，导致漏解． ❌ 把椭圆中的 与双曲线中的 记混，离心率、渐近线全部算错． 考点精讲 考点一：直线的方程与两直线的位置关系 例1（2025·上海金山·一模）已知的三个顶点，则边上的高所在的直线方程为___________． 例2（2025·上海静安·一模）已知直线与，则直线与的夹角大小是___________． 解题策略 直线的方程与位置关系 （1）求直线方程先定“已知什么”：已知点和斜率用点斜式，已知两点先求斜率，已知截距用斜截式；最后化为一般式，便于判断位置关系． （2）平行、垂直的判定要检验：且截距不等才平行，垂直则；用一般式时，平行看． （3）求夹角、求距离都用公式直接代入，注意倾斜角的范围是，夹角取锐角，必要时用． 【变式1】（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算______________． 【变式2】（2025·上海奉贤·一模）已知向量，则经过点且与垂直的直线方程为______． 考点二：圆的方程与直线、圆的位置关系 例3（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 例4（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为________． 解题策略 圆的方程与位置关系 （1）求圆的方程用“待定系数 + 几何条件”：已知圆心和半径用标准式，已知三点用一般式，注意才是圆． （2）直线与圆：先算圆心到直线的距离，再与比较；弦长用，比联立方程快得多． （3）圆与圆：看圆心距与、的关系；“有公共点”即，再结合参数条件求最值． 【变式1】（2026·上海杨浦·二模）设集合，，若，则实数的取值范围是______. 【变式2】（2025·上海黄浦·一模）若图形上的每个点都在圆C上或在圆C内部，则称圆C为的一个覆盖圆．设由函数与的图像所组成，则的最小覆盖圆的半径为_______． 考点三：椭圆的标准方程与性质 例5（2025·上海浦东新·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线交于两点.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例6（2026·上海长宁·二模）等腰的三个顶点均在椭圆上，且、、中有且仅有两个点是椭圆的顶点，则满足条件的共有________个 解题策略 椭圆的方程与性质 （1）椭圆的两个定义要会用：用于求轨迹和焦点三角形周长；第二定义（到焦点与到准线距离之比为）用于求最值． （2）焦点三角形：由余弦定理与联立，可求面积与顶角． （3）离心率的取值范围由、、的关系确定，求离心率本质上是找一个关于、的齐次方程． 【变式1】（2025·上海徐汇·一模）设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·上海·春考）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 考点四：双曲线的标准方程与性质 例7（2025·上海徐汇·二模）已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为________. 例8（2025·上海虹口·一模）已知双曲线的焦点分别为和，若点为上的点，且满足，，则点到的一条渐近线的距离为 ____ 解题策略 双曲线的方程与性质 （1）双曲线的、、满足，与椭圆相反；渐近线是最常考的量，由方程直接读出、即可． （2）与渐近线有关的问题抓住“渐近线夹角”与“离心率”的互相转化：，渐近线斜率的绝对值就是． （3）双曲线上的点到焦点的距离用定义转化：，注意判断点在左支还是右支，避免符号出错． 【变式1】（2026·上海黄浦·三模）双曲线的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则该双曲线两条渐近线夹角的余弦值为________． 【变式2】（2025·上海崇明·二模）已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则__________． 考点五：抛物线的标准方程与性质 例9（2025·上海黄浦·三模）抛物线的焦点F，准线l，点A、B是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点M在l上的投影是N，则的最小值为________． 例10（2026·上海·三模）设抛物线上的一点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为__________． 解题策略 抛物线的方程与性质 （1）抛物线只有一个焦点、一条准线，定义（为到准线的距离）是求最值的关键：把到焦点的距离转化为到准线的距离，常能“化折为直”． （2）焦点弦：过焦点的弦长，焦半径，这两个公式要能随手写出． （3）抛物线中的最值常用“两点之间线段最短”与基本不等式，注意取到最值时点的位置是否符合题意． 【变式1】（2026·上海·二模）已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________． 【变式2】（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线与斜率为1的直线相交于，两点．是的焦点．是上异于，的一点． (1)证明：； (2)若是的顶点且，求直线的方程； (3)设且的外接圆与有异于，，的公共点．证明：直线斜率为定值，并求出此定值． 考点六：圆锥曲线的综合问题【高频考点】 例11（2026·上海·春考）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 例12（2025·上海金山·一模）已知椭圆，点为坐标原点，点为椭圆上一点． (1)求椭圆的离心率； (2)已知点为椭圆的右焦点，直线，证明：点到点的距离与到直线的距离之比为定值； (3)过线段中点的直线交椭圆于两点，求的最大值． 解题策略 圆锥曲线综合 （1）联立消元的固定流程：设直线，代入曲线方程得一元二次方程，写出与韦达定理、，再用它们表示目标量． （2）弦长与面积：弦长，面积常用（为点到直线的距离）． （3）定点定值问题：先把目标量表示为参数的函数，若结果与参数无关即为定值；过定点则把直线方程整理成的一次式，令系数为零求出定点． 【变式1】（2025·上海闵行·一模）已知双曲线，直线过点，，且与的右支交于P、Q两点，与的两条渐近线分别交于A、B两点，其中A、P在第一象限，B、Q在第四象限． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)若为的右焦点，求的面积的最小值； (3)若，求的取值范围． 【变式2】（2025·上海徐汇·二模）已知抛物线，点是抛物线的焦点． (1)求点的坐标及点到准线的距离； (2)过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值； (3)过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值. 实战训练 1．（2026·上海静安·二模）双曲线的两条渐近线夹角大小为______．（结果用反三角函数值表示） 2．（2025·上海普陀·一模）设，直线经过点，若向量，则点到直线的距离为___________． 3．（2025·上海杨浦·三模）已知三角形的，则三角形的面积的取值范围是_________． 4．（2026·上海·一模）已知，，方程组无解，则的取值范围为______. 5．（2025·上海奉贤·一模）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值是______． 6．（2026·上海静安·二模）若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______． 7．（2026·上海静安·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为_____________ 8．（2026·上海虹口·三模）已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为______． 9．（2025·上海崇明·一模）已知椭圆，分别是的左右焦点，点均在上，且点是第一象限点，直线经过点，直线均经过点． (1)求椭圆的离心率； (2)若，直线的方程； (3)求证：为定值． 10．（2026·上海长宁·二模）双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的离心率； (2)设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； (3)若、关于原点对称，证明：直线经过定点. 11．（2025·上海浦东新·三模）设有椭圆和直线．椭圆的左、右焦点分别为、．是上位于第一象限内的一点． (1)当时，求椭圆的离心率； (2)若且点在直线上，求的值； (3)设点满足，其中是点到的距离．当变化时，求的最小值． 12．（2026·上海·三模）已经双曲线：的渐近线方程为，焦距为4，直线：与双曲线交于不同的两点，（异于双曲线的顶点）． (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线的右顶点，若以为直径的圆过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (3)若，在双曲线的右支上，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $