17.2 用公式法分解因式（高频考点讲义）2026-2027年新人教版八年级数学上册

17.2 用公式法分解因式 学习目标和重难点 1、理解平方差公式、完全平方公式的逆向运用，知道公式法分解因式与整式乘法的关系。 2、能根据多项式的项数、符号和结构特征，判断是否可用平方差公式或完全平方公式分解。 3、能用公式法分解因式，并会结合提公因式法进行综合分解，做到分解彻底。 重点：平方差公式 a²−b²=(a+b)(a−b) 和完全平方公式 a²±2ab+b²=(a±b)² 的逆向应用；准确识别符合公式结构的多项式。 难点：在系数、符号、指数变化时准确识别公式结构；把多项式看作整体进行代换；先提公因式再用公式，并确保分解彻底。 高频考点题型◆归纳 知识梳理 针对训练 题型1 判断能否用公式法分解因式 题型2 平方差公式分解因式 题型3 完全平方公式分解因式 题型4 综合运用公式法分解因式 题型5 综合提公因式和公式法分解因式 题型6 因式分解在有理数简算中的应用 题型7 十字相乘法 题型8 分组分解法 题型9 因式分解的应用 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 洞悉◆教材核心知识 知识点01 用平方差公式分解因式 1.平方差公式的等号两边互换位置，得()() 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 【针对训练】 【例1】小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是，则这个指数的可能结果共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【变式1-1】因式分解： (1) (2) 【变式1-2】若多项式在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解，则的值不可能是（   ） A．1 B．5 C．9 D．16 【变式1-3】课堂上老师在黑板上布置了如下框所示的题目：涛涛发现其中有一道题目错了，错误的题目是（    ） 用平方差公式分解因式： （1） （2） （3） （4） A．第（1）题 B．第（2）题 C．第（3）题 D．第（4）题 知识点02 用完全平方公式分解因式 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得, 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3.公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 【针对训练】 【例2】若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】把下列各式因式分解： (1) (2) (3) 【变式2-2】下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】分解因式：． 分析：由于常数项数值较大，所以采用变为差的平方形式进行分解： ． 请按照上面的方法分解因式：． 高频考题典例精析 题型1：判断能否用公式法分解因式 【典例精讲】下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）   （2）   （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 题型2：平方差公式分解因式 【典例精讲】因式分解： (1) (2) 【变式训练】因式分解： (1)； (2)． 题型3：完全平方公式分解因式 【典例精讲】若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【变式训练】分解因式： (1) (2) 题型4：综合运用公式法分解因式 【典例精讲】（1）已知的平方根是，b是8的立方根，c是的整数部分，求的算术平方根． （2）已知，，求的值． 【变式训练】在实数范围内因式分解： 题型5：综合提公因式和公式法分解因式 【典例精讲】因式分解 (1) (2) 【变式训练】分解因式： (1)． (2)． 题型6：因式分解在有理数简算中的应用 【典例精讲】利用公式简便运算： (1)； (2)． 【变式训练】 ． 题型7：十字相乘法 【典例精讲】下列因式分解正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式训练】分解因式： (1)； (2)； (3)； 题型8：分组分解法 【典例精讲】因式分解： ． 【变式训练】（1）分解因式：；           （2）分解因式：． （3）三边a，b，c满足，判断的形状． 题型9：因式分解的应用 【典例精讲】若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．因为． 再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请说明29是“完美数”． (2)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)如果数m，n都是“完美数”，试说明也是“完美数”． (4)已知实数x，y满足，则的最小值等于______． 【变式训练】【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，有最小值． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)若，求的最小值； (3)已知，求的值． 1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．下列因式分解正确的是（　） A． B． C． D． 5．计算：的值为（    ） A． B． C． D． 6．若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 7．已知，则___________． 8．若，则_____． 9．根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 10．计算或因式分解： (1)因式分解：； (2)计算：． (3)计算： 11．如图，有三种不同形状的卡片①②③各若干张．现用2张卡片①、8张卡片②和6张卡片③无重叠无缝隙地拼成一个长方形．已知该长方形的一边长为，则另一边长为（     ） A． B． C． D． 12．整式因式分解的结果是（     ） A． B． C． D． 13．下列说法正确的是（     ） A．是二次单项式 B．是二次整式 C．0是单项式 D．是一个整式的平方 14．小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个从左到右的变形属于因式分解的等式，则该等式是（     ） A． B． C． D． 15．下列从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 16．下列因式分解正确的为（        ） A． B． C． D． 17．已知，则整式的值为________． 18．若多项式，则A的最小值是_______． 19．若关于的多项式能被整除，则的值为_________． 20．已知，，，那么代数式的值是_____． 21．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值； (2)已知，则________； (3)已知有理数、满足，求的最小值． 22．若一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，则称这个数是“公正数”，例如：，，则16，24均为“公正数”，那么所有不超过2026的公正数之和为（     ） A．257048 B．257068 C．255054 D．255024 23．已知整式，其中，，，，均为非零整数，为正整数，，且，若，下列说法正确的个数有（     ） ①若，满足条件的整式共有8个； ②若，则所有满足条件的整式都能被整除； ③所有满足条件的整式共有48个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 24．定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（     ） A．17是“和谐数” B．（a，b是整数）一定是“和谐数” C．如果m，n都是和谐数（m≠n），则也是“和谐数” D．当（x，y是整数）是“和谐数”时， 25．若实数x，y，z满足等式：，则的值是_____________． 26．已知实数p，q满足，，且，则_________． 27．我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“两倍数”．例如：四位数5211，因，所以5211是“两倍数”．按照这个规定，最小的“两倍数”是_________；一个“两倍数”，去掉个位数字得到一个新的数，记，若是11的倍数，则满足条件的中，的最大值与最小值之差为_________． 28．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下： ．这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)； (2)已知、、分别是三条边的长，则的值能否大于？ (3)已知、、分别是三条边的长，且，判断的形状，并说明理由． 29．在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为整点，我们经常用整式乘法和因式分解来解决整数和整点问题． 如下图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别是，，，．点为正方形内部（边界或者顶点除外）的动点，设点的坐标为． (1)若整数，满足，，则点的坐标为__________； (2)设的三边长分别为，，（其中为的长度），整数，满足：，则周长为__________； (3)若整点满足（其中表示的面积），则称点为“好点”，则正方形内部的好点的个数为__________个． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.2 用公式法分解因式 学习目标和重难点 1、理解平方差公式、完全平方公式的逆向运用，知道公式法分解因式与整式乘法的关系。 2、能根据多项式的项数、符号和结构特征，判断是否可用平方差公式或完全平方公式分解。 3、能用公式法分解因式，并会结合提公因式法进行综合分解，做到分解彻底。 重点：平方差公式 a²−b²=(a+b)(a−b) 和完全平方公式 a²±2ab+b²=(a±b)² 的逆向应用；准确识别符合公式结构的多项式。 难点：在系数、符号、指数变化时准确识别公式结构；把多项式看作整体进行代换；先提公因式再用公式，并确保分解彻底。 高频考点题型◆归纳 知识梳理 针对训练 题型1 判断能否用公式法分解因式 题型2 平方差公式分解因式 题型3 完全平方公式分解因式 题型4 综合运用公式法分解因式 题型5 综合提公因式和公式法分解因式 题型6 因式分解在有理数简算中的应用 题型7 十字相乘法 题型8 分组分解法 题型9 因式分解的应用 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 洞悉◆教材核心知识 知识点01 用平方差公式分解因式 1.平方差公式的等号两边互换位置，得()() 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 【针对训练】 【例1】小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是，则这个指数的可能结果共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】D 【分析】能利用平方差公式分解因式，说明漏掉的是平方项的指数，只能是偶数，又只知道该数为不大于10的正整数，则该指数可能是2、4、6、8、10五个数． 【详解】解：∵当这个指数是偶次方时，这个多项式能利用平方差公式因式分解， 又因为该指数为不大于10的正整数， ∴该指数可能是2、4、6、8、10五个数． 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法．能熟练掌握平方差公式的特点，是解答这道题的关键，还要知道不大于就是小于或等于． 【变式1-1】因式分解： (1) (2) 【答案】(1)． (2) 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． （1）直接利用平方差公式分解因式，再提公因式分解因式即可； （2）用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1-2】若多项式在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解，则的值不可能是（   ） A．1 B．5 C．9 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，根据平方差公式的公式结构对各选项分析判断即可．熟记平方差公式的公式结构是解题的关键． 【详解】解：A、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意； B、时，，不可以用平方差公式分解因式，故该选项符合题意； C、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意； D、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】课堂上老师在黑板上布置了如下框所示的题目：涛涛发现其中有一道题目错了，错误的题目是（    ） 用平方差公式分解因式： （1） （2） （3） （4） A．第（1）题 B．第（2）题 C．第（3）题 D．第（4）题 【答案】B 【分析】本题考查了用公式法进行因式分解，根据平方差公式分别判断即可． 【详解】解：（1）； （3）； （4）； 故（1）（3）（4）都可以用平方差公式进行因式分解，（2）不能用平方差公式进行因式分解， 故选：B． 知识点02 用完全平方公式分解因式 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得, 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3.公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 【针对训练】 【例2】若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式分解因式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中间，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，无法用完全平方公式进行因式分解，符合题意； 故选D． 【变式2-1】把下列各式因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解，正确选用因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式直接提取公因式即可； （2）原式先运用平方差公式进行因式分解，再运用完全平方公式分解即可； （3）原式整理后．运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2-2】下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查用完全平方公式进行因式分解，熟练运用完全平方公式．是解题的关键 利用完全平方公式逐项判断即可解答． 【详解】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； C、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、，能用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2-3】分解因式：． 分析：由于常数项数值较大，所以采用变为差的平方形式进行分解： ． 请按照上面的方法分解因式：． 【答案】 【分析】根据举例利用公式法进行因式分解即可； 【详解】， ． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，准确计算是解题的关键． 高频考题典例精析 题型1：判断能否用公式法分解因式 【典例精讲】下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）   （2）   （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了因式分解中的公式法，具体包括平方差公式和完全平方公式．依次对每个多项式进行判断是否符合公式特征，从而确定能分解的个数． 【规范解答】解：（1），符合题意； （2）不能运用公式法分解因式，不符合题意； （3），符合题意； （4）不能运用公式法分解因式，不符合题意． ∴能运用公式法分解因式的有2个． 故选：B． 【变式训练】下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了分式因式，熟知分解因式的方法是解题的关键，公式法为． 【规范解答】解：A． ：可提取公因式得，属于提公因式法，非公式法，不符合题意． B． ：平方和无法在实数范围内用公式法分解，不符合题意． C． ：可利用平方差公式分解为，符合题意． D． ：可提取公因式得，同样属于提公因式法，非公式法，不符合题意． 故选：C． 题型2：平方差公式分解因式 【典例精讲】因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了因式分解，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （2）先运用平方差公式进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： 【变式训练】因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解方法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． （1）直接运用平方差公式即可解答； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 题型3：完全平方公式分解因式 【典例精讲】若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【思路点拨】本题考查了完全平方式，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式即可得解． 【规范解答】解：∵可以用完全平方式来分解因式， ， 即， ，解得或． 故选：D ． 【变式训练】分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式时首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：； （2）先去括号，再利用完全平方公式分解因式即可． 【规范解答】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 题型4：综合运用公式法分解因式 【典例精讲】（1）已知的平方根是，b是8的立方根，c是的整数部分，求的算术平方根． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题主要考查平方根、立方根、无理数的估算、乘法公式及实数的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，然后问题可求解． 【规范解答】解：（1）∵的平方根是，b是8的立方根， ∴， ∴， ∵，且c是的整数部分， ∴， ∴， ∴的算术平方根为； （2）∵，， ∴，， ∴． 【变式训练】在实数范围内因式分解： 【答案】 【思路点拨】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．把看作整体，再因式分解为，最后再次进行因式分解即可． 【规范解答】解： ． 题型5：综合提公因式和公式法分解因式 【典例精讲】因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式x，再利用平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因式x，再利用完全平方公式因式分解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】此题考查了因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）提公因式后利用平方差公式进行因式分解即可； （2）提公因式后用完全平方公式分解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 题型6：因式分解在有理数简算中的应用 【典例精讲】利用公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)900 【思路点拨】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【规范解答】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式训练】 ． 【答案】246 【思路点拨】本题考查利用平方差公式进行简算，逆用乘法分配律和平方差公式进行计算即可． 【规范解答】解：原式； 故答案为：246 题型7：十字相乘法 【典例精讲】下列因式分解正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了因式分解，关键是熟练应用因式分解的方法． A：用平方差公式进行因式分解； B：用公式法进行因式分解； C：用公式法进行因式分解； D：用十字相乘法进行因式分解． 【规范解答】选项A：∵ ， ∴ A错误． 选项B：∵ ， ∴ B正确． 选项C：∵ ， ∴ C错误． 选项D：∵ ， ∴ D错误． 故选：B． 【变式训练】分解因式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了多项式的因式分解： （1）直接提取公因式，进而分解因式得出即可； （2）首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可； （3）直接利用十字相乘法分解因式得出即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 题型8：分组分解法 【典例精讲】因式分解： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查运用公式法分解因式，先分组并用完全平方公式分解，再用平方差公式分解． 【规范解答】 ． 故答案为：． 【变式训练】（1）分解因式：；           （2）分解因式：． （3）三边a，b，c满足，判断的形状． 【答案】（1）；（2）；（3）是等腰三角形． 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的定义，因式分解的应用，因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法，分组分解法等． （1）先分组分解，再综合提公因式法和平方差公式进行分解； （2）先分组分解，再综合完全平方公式和平方差公式分解； （3）先将等号左边进行因式分解得到，那么或者，则或者，再根据等腰三角形的定义判断即可． 【规范解答】解：（1） ； （2） ； （3）， ∴， ∴， ∴或者， 即：或者， ∴是等腰三角形． 题型9：因式分解的应用 【典例精讲】若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．因为． 再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请说明29是“完美数”． (2)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)如果数m，n都是“完美数”，试说明也是“完美数”． (4)已知实数x，y满足，则的最小值等于______． 【答案】(1)是 (2) (3)见解析 (4)9 【思路点拨】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据29是“完美数”定义证明即可； （2）利用完全平方公式，将配成完美数，可求的值， （3）设，，再证明即可; （4）由得到，，那么，再由完全平方的非负性求解最值． 【规范解答】（1）解：∵， ∴29是“完美数”； （2）解：，是完美数，理由如下： ， ∵是整数， ∴也是整数， ∴当，即，是完美数； （3）证明：设，，，，，为整数）， ， ∵是整数， ∴都是整数， 是完美数． （4）解： ， ∴， ∵， ∴，即， 故的最小值等于，当时取得最小值， 故答案为：9． 【变式训练】【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，有最小值． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)若，求的最小值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）原式常数项化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可； （3）分别对、、用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质确定、、的值即可求出结果． 【规范解答】（1）解： ， 故答案为：； （2） ∵， ∴当时，有最小值； （3）∵， ∴， 即， ∴，，， ∴，，， ∴， 即的值为． 一、系统分组_加入顺序 1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：为平方和，不符合要求； 选项B：为平方和的相反数，不符合要求； 选项C：符合平方差形式，可使用平方差公式分解因式； 选项D：为平方和，不符合要求． 2．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从因式分解的恒等性与分解彻底性入手，结合平方差公式逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、∵，∴此选项错误； B、∵，变形正确且分解彻底，∴此选项正确； C、∵，原式未分解彻底，∴此选项错误； D、∵，∴此选项错误． 3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】需从左边为多项式、右边为几个整式的积两个维度，判断变形是否为因式分解． 【详解】解：对于选项A，∵右边为，不是整式的积的形式，∴本选项不符合题意； 对于选项B，∵变形是从整式的积化为多项式，属于整式乘法，∴本选项不符合题意； 对于选项C，∵右边的不是整式，∴本选项不符合题意； 对于选项D，∵多项式变形为，是几个整式的积的形式，∴本选项符合题意． 4．下列因式分解正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可． 【详解】解：A、，故此选项正确； B、，故此选项错误； C、，原式漏项，故此选项错误； D、，不是因式分解，是整式的乘法，故此选项错误； 故选：A． 5．计算：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分解因式的运用，先将分子进行因式分解，再化简即可求解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 【详解】原式 ， 故选：C． 6．若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式与添括号将代数式变形，然后把，代入即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴原式． 7．已知，则___________． 【答案】 【分析】将所求多项式因式分解，整理为含的形式，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：先对多项式因式分解：， ∵， ∴代入得：． 8．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．对等式左边进行分组分解，前两项用平方差公式进行因式分解，然后两组提取公因式 ，从而求出 ． 【详解】解： ， 与右边 比较，可得： ． 故答案为：． 9．根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 【答案】()() 【分析】利用拼图前后面积相等，将多项式因式分解为长方形的长乘宽． 【详解】解：据图可知，左边图形的面积为， 右边图形的面积为， 故． 10．计算或因式分解： (1)因式分解：； (2)计算：． (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 11．如图，有三种不同形状的卡片①②③各若干张．现用2张卡片①、8张卡片②和6张卡片③无重叠无缝隙地拼成一个长方形．已知该长方形的一边长为，则另一边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三种卡片的面积之和等于拼成的长方形面积，通过因式分解求出长方形的另一边长． 【详解】解：所有卡片的总面积为 而 ∵长方形面积长宽，且已知一边长为， ∴另一边长为． 12．整式因式分解的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 13．下列说法正确的是（     ） A．是二次单项式 B．是二次整式 C．0是单项式 D．是一个整式的平方 【答案】C 【分析】根据单项式、整式的相关定义，逐一计算每个选项中代数式的次数、化简结果，结合完全平方公式判断各说法的正误，选出正确选项． 【详解】解：选项，的次数为，是三次单项式，错误． 选项，，是一次整式，错误． 选项，单独的数是单项式，正确． 选项，不能表示为一个整式的平方，错误． 故选：． 14．小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个从左到右的变形属于因式分解的等式，则该等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积相等，面积的不同表示方法，建立等式解答即可． 【详解】解：根据题意，得原图形的面积为：，新图形的面积为， 故． 15．下列从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过“结果是否为整式的积”排除形式不符的选项，再验证剩余选项的变形是否正确． 【详解】解：A选项：不是因式分解，错误． B选项：右边为，不是整式的积的形式，错误． C选项：提取公因式，得，变形正确，符合因式分解要求，正确． D选项：提取公因式，得，与选项结果不符，错误． 16．下列因式分解正确的为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，与选项A的等式右边不符， ∴A错误． ∵，选项B分解不彻底， ∴B错误． ∵因式分解的结果需为整式的积，选项C中的右边为和的形式， ∴C错误． ∵由完全平方公式得，符合因式分解要求， ∴D正确． 17．已知，则整式的值为________． 【答案】9 【详解】解：∵， ∴原式， ， ， ， ． 18．若多项式，则A的最小值是_______． 【答案】13 【分析】利用配方法将多项式变形为完全平方式与常数的和，结合完全平方式的非负性求解最小值． 【详解】解： ． ． ． ∵，． ∴当两个完全平方式的值均为0时，取得最小值． ∴的最小值为． 19．若关于的多项式能被整除，则的值为_________． 【答案】 【分析】对除式进行因式分解，结合多项式整除的性质，代入对应根建立关于、的方程，求解后计算的值． 【详解】解：∵． ∵多项式能被整除． ∴当、时，． 将代入多项式得． 整理得①． 将代入多项式得． 整理得②． 联立①②，两式相加得． 解得． 将代入②式得． 解得． ∴． 20．已知，，，那么代数式的值是_____． 【答案】3 【分析】先计算、、的差值，将原式拆分为含差值的整式形式，消去含x的项后代入计算即可． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ， 将a、b、c的表达式代入上式． ． 21．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值； (2)已知，则________； (3)已知有理数、满足，求的最小值． 【答案】(1) 最小值为 (2) (3) 最小值为 【分析】（1）对二次三项式配方，利用平方的非负性求最小值； （2）将等式左边按,分组配方，根据非负数的和为的性质求解； （3）用含的代数式表示，代入后配方，结合平方的非负性求最小值. 【详解】（1）解：， ∵， ∴当时，取最小值， ∴，即的最小值为； （2）解：， ∵，，且， ∴，， 解得，， ∴； （3）解： 由，得， ∴， 配方得：， ∵， ∴当时，取最小值， ∴，即的最小值为. 22．若一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，则称这个数是“公正数”，例如：，，则16，24均为“公正数”，那么所有不超过2026的公正数之和为（     ） A．257048 B．257068 C．255054 D．255024 【答案】A 【分析】先根据定义，利用平方差公式推导“公正数”的特征，再找出不超过2026的最大公正数对应的奇数，最后利用裂项相消法计算所有公正数的和． 【详解】解：设两个连续奇数分别为和（为正整数）， 。 要求公正数不超过2026，即， 得， 最大取，此时最大的奇数为， 所有不超过2026的公正数之和为： ． 23．已知整式，其中，，，，均为非零整数，为正整数，，且，若，下列说法正确的个数有（     ） ①若，满足条件的整式共有8个； ②若，则所有满足条件的整式都能被整除； ③所有满足条件的整式共有48个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】①求出或，，进而得到，即可得出结果；②根据题意得到，，进而得到，进行判断即可；③分情况讨论进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或； ∵，， ∴， ①当时，则，或；， ∵，，，，均为非零整数， ∴， 故满足条件的整式共有个；故①错误； ②当时，则，， ∴ ； ∴所有满足条件的整式都能被整除；故②正确； ③当时，或，共2种情况； 当时，由①可知，共有16种情况； 当时，则， ∴， ∴， ∴满足条件的整式共有个； 当时，则， ∴， ∴，， ∴满足条件的整式共有个； 当时，则， ∴， ∴，， ∴满足条件的整式共有个； 当时，则， ∴， ∵，，，，均为非零整数， ∴不存在，满足条件的整式共有0个； 当时，不存在满足条件的整式， 综上：所有满足条件的整式共有个．故③错误； 故正确的只有②，共1个. 24．定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（     ） A．17是“和谐数” B．（a，b是整数）一定是“和谐数” C．如果m，n都是和谐数（m≠n），则也是“和谐数” D．当（x，y是整数）是“和谐数”时， 【答案】D 【分析】根据和谐数定义，结合完全平方公式，通过配方、因式分解逐项判断． 【详解】解：A、∵， ∴17是和谐数，不符合题意； B、∵，且，是整数， ∴，均为整数， ∴一定是和谐数，不符合题意； C、∵， 又∵，都是和谐数，设，（，，，为整数）， ∴ ， ∴是和谐数，即原式是和谐数，不符合题意； D、∵ ， 若该式是和谐数，则需，即， ∴当该式是和谐数时，的说法错误，符合题意． 25．若实数x，y，z满足等式：，则的值是_____________． 【答案】6 【分析】观察等式中根号项与对应变量的结构，通过拆分项将等式转化为多个完全平方式的和为0的形式，利用平方的非负性求解各变量值，再计算的值. 【详解】解：∵ ， ∴ 对左侧变量进行拆分，匹配根号的平方形式， ，，， 将拆分后的式子代入原等式，整理得： ， 根据完全平方公式，将上式分组配方： ， 即， ∵ 平方数具有非负性，即，，， ∴ 每个完全平方式的值均为0， 即，解得， ，解得，即， ，解得，即， ∴ . 26．已知实数p，q满足，，且，则_________． 【答案】 【分析】将已知等式变形构造出关于和的关系式，利用因式分解结合得到的值，再整体代入计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ，等式两边同乘得 ， ∴ ； ∴ ， 移项整理得 ， 因式分解得 ， 即 ； ∵ ， ∴ ； ∴ ， 代入得 ． 27．我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“两倍数”．例如：四位数5211，因，所以5211是“两倍数”．按照这个规定，最小的“两倍数”是_________；一个“两倍数”，去掉个位数字得到一个新的数，记，若是11的倍数，则满足条件的中，的最大值与最小值之差为_________． 【答案】 1011 7 【分析】要求最小的“两倍数”，令，，则，可令，，则M的最小值是1011；，整理化简得，，则，得是11的倍数，考虑b、d的取值范围，则或17；因为，所以，则的取值有以下5种情况：，；，；，；，；，；于是的取值可求得． 【详解】解：四位数中，，， 要求最小的两倍数，则， ∵， ∴， 要求最小的两倍数，则尽可能小，取， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴M的最小值是1011； ， ∵， ∴， ∴， ∵是11的倍数， ∴是11的倍数， ∵， ∴，即， ∵是11的倍数， ∴或； ∵，且最大都是9， ∴， ∴，即； 若，即时， ∴， 又， ∴可取0，1，2，3， ∴当时，，且，； 当时，，且，； 当时，，且，； 当时，，且，； 若，则，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，，； 当时，（不合题意，舍去）， ∴的最大值为7，最小值为0， ∴的最大值与最小值之差为． 28．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下： ．这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)； (2)已知、、分别是三条边的长，则的值能否大于？ (3)已知、、分别是三条边的长，且，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) 不能大于． 证明： ∵是的三边长 ∴， ∴， ∴ 即原式的值不能大于． (3) 是等边三角形. 理由： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 即 ∴是等边三角形． 【分析】把多项式恰当分组，凑出完全平方式，再用平方差公式或者利用平方的非负性解题； 小问结合三角形三边关系、平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）略 （3）略 29．在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为整点，我们经常用整式乘法和因式分解来解决整数和整点问题． 如下图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别是，，，．点为正方形内部（边界或者顶点除外）的动点，设点的坐标为． (1)若整数，满足，，则点的坐标为__________； (2)设的三边长分别为，，（其中为的长度），整数，满足：，则周长为__________； (3)若整点满足（其中表示的面积），则称点为“好点”，则正方形内部的好点的个数为__________个． 【答案】(1)或 (2)45 (3)37 【分析】（1）把10进行正整数因数分解，，其中满足的有所以有两个点． （2）把进行因式分解，得，由为正整数且，确定或2500，即或50，再排除的情况，所以． （3）设的坐标为，则四个三角形的面积都能用或表示，计算得，因式分解得，所以或，再确定在条件限制下可以取的值． 【详解】（1）解：∵为整数，且， 或或或， ， ∴或符合题意， ∴点的坐标为或． （2）解：， ∵为整数，，，分别为的三边长，为的长度，， ∴， 且为整数， 或625或1250或2500， ∵为整数， 或，即或， 当，即时，，能构成三角形， 当，即时，，不能构成三角形， ； （3）解：过点作于于于于， 在正方形中，，， 设， 则， ， ， ， 整理得：， ， ， ∴或， ∴或，且为整数， 当时，满足的值至19，共19个， 当时，满足的值至19，共19个，其中重复一次，算18个， ∴在正方形内部的“好点”的个数为37个． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $