7.2 用公式法分解因式（预习讲义）2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学因式分解核心知识点，系统梳理平方差公式、完全平方公式及十字相乘法，以“先提公因式再用公式”为步骤支架，衔接基础公式判断、单一公式应用到综合公式运用，形成从概念到应用的递进学习脉络。 资料通过分层题型设计（如公式判断、综合分解）和数形结合实例（图形面积解释因式分解），培养抽象能力与几何直观。结合“和谐数”“密码学”等应用问题，发展应用意识与创新意识。课中辅助教师分层教学，课后巩固练习含各地期中题，助力学生查漏补缺。

第十七章 因式分解 02讲 用公式法分解因式 题型归纳 【题型1. 公式法分解因式的判断 3】 【题型2. 平方差公式分解因式 5】 【题型3. 完全平方公式分解因式 6】 【题型4. 综合运用公式法分解因式 7】 【题型5. 十字相乘法 11】 【题型6. 因式分解的应用 14】 【巩固练习 18】 知识清单 知识点1 平方差公式 1.公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 知识点2 完全平方公式 1.公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 知识点3 用公式法分解因式 1.步骤：先提出公因式，再用公式法. 2.公式扩展：① 立方和公式：（a+b）（a2－ab+b2）=a3+b3 ② 立方差公式：（a－b）（a2+ab+b2）=a3－b3 ③ 完全立方公式：（ab）3=a33a2b+3ab2b3 ④ 三项完全平方：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ⑤ 欧拉公式：（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－bc－ca）=a3+b3+c3－3abc 知识点4 十字相乘法 1.二次项系数为1： 方法：拆常数项，凑一次项. 例：分解因式 1 2当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的负号与一次项系数的符号相同. 1 3 12+13=5 = = 分解因式 1 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因式的符号与一次项系数的符号相同. 1 1 11+1() =5 = = 2.二次项系数不为1： 方法：拆两头，凑中间. 分解因式当二次项系数为正数且常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同. 2 3 1 23+31 =9 = 分解因式当二次项系数为正数且常数项为负数时，应分解为两异号因数，其中绝对值较大的因式符号与一次项系数的符号相同. 2 － 3 1 2+31 = = 分解因式 2 －当二次项系数为负数时，先提出负号，再按照上面的方法求解. 3 1 2+31 = == = 题型专练 题型1. 公式法分解因式的判断 【例1】下列各式中不能用平方差公式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】A．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； B．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； C．，不具备平方差公式的结构特征，故此多项式不能用平方差公式分解，符合题意； D．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意． 故选：C． 【变式1】在因式①；②；③；④；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握公式法分解因式的方法是解题的关键． 根据乘法公式，分解因式的概念“把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做分解因式”进行判定即可求解． 【详解】解：①，不能用公式法分解因式，不符合题意； ②，能用公式法分解因式，符合题意； ③，不能用公式法分解因式，不符合题意； ④，不能用公式法分解因式，不符合题意； ⑤，能用公式法分解因式，符合题意； 综上所述，能用公式法分解因式的有②⑤，共2个， 故选：A ． 【变式2】下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键． 利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可． 【详解】解：A、不能用公式法因式分解，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式3】下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式分解因式的条件：多项式为三项，两项为符号相同的平方项，第三项为两平方项底数乘积的2倍，逐一判断即可. 【详解】解：∵选项A的多项式中，两个平方项与符号不同，不符合要求，∴A错误； ∵选项B的多项式只有两项，不符合完全平方公式分解的要求，∴B错误； ∵选项C的多项式中，一次项不是，不满足条件，∴C错误； ∵选项D的多项式，符合完全平方公式，∴D正确. 题型2. 平方差公式分解因式 【例1】因式分解：__________． 【答案】 【详解】解：． 【例2】分解因式：__________． 【答案】 【详解】解：． 【变式1】分解因式：_____． 【答案】 【分析】将原式变形为两个整式的平方差，运用平方差公式分解因式后，再合并同类项化简即可． 【详解】解： ． 【变式2】利用平方差公式计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，先将原式利用平方差公式变形，再进行计算，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键．利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4】若，且，则值是________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟记平方差公式． 根据平方差公式解答即可． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 题型3. 完全平方公式分解因式 【例1】分解因式：_____． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的因式分解，掌握完全平方公式是解题关键． 该二次三项式符合完全平方公式的形式，通过观察系数和常数项即可直接分解． 【详解】解：已知，其结构符合完全平方公式：， 其中： ，即； ，即； 中间项； 直接套用完全平方公式分解得：． 故答案为：． 【变式1】分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先展开得到二次三项式，然后合并常数项，最后利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为． 【变式2】分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式在因式分解中的应用，解题的关键是识别式子符合完全平方公式的形式． 观察式子，看是否符合完全平方公式的结构，若符合，直接运用公式分解． 【详解】符合完全平方公式的形式，可分解为． 故答案为：． 【变式3】若可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为_______． 【答案】9 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】解：可以用完全平方公式来分解因式， ． 故答案为：9． 题型4. 综合运用公式法分解因式 【例1】把因式分解得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可. 【详解】解：； 故选：C. 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键. 【例2】因式分解． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用提公因式法求解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （3）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （4）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式1】下列因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据提公因式法、公式法进行因式分解，逐项判断即可． 【详解】解：A、，因式分解正确，故不符合题意； B、，因式分解正确，故不符合题意； C、不能进行因式分解， D、，因式分解正确，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解；熟练掌握提公因式法和公式法正确进行因式分解是解题的关键． 【变式2】把下列各式分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可； （3）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式3】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键． （1）利用提取公因式法，再利用完全平方公式继续分解得出答案； （2）利用提取公因式法分解得出答案； （3）利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解得出答案； （4）把看作整体，利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4】把下列各式因式分解： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了用公式法进行因式分解，因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解即可； （2）先展开，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型5. 十字相乘法 【例1】将多项式进行因式分解，结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．原式利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：， 故选：C． 【例2】因式分解：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，直接利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】因式分解：（1）______；（2）______． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1） 故答案为：； （2） 故答案为：． 【变式2】因式分解：_____． 【答案】 【分析】本题考查利用十字相乘法因式分解，熟练因式分解的方法是解题的关键．利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】在实数范围内分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解；利用十字相乘法求解即可． 【详解】 故答案为：． 【变式4】“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先利用平方差公式因式分解，然后利用提公因式法因式分解即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 【变式5】【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：， ④______． (2)如果，其中均为整数，求的值． 【答案】(1)；；3； (2)或 【分析】(1) 首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可． （2）根据前面计算方式，列式解答即可． 本题考查了因式分解的新方法，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】（1）解：把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，根据， 故． 故答案为：；；3；． （2）解：∵，把二次项系数1写成，，满足，或 故m的值为：或． 题型6. 因式分解的应用 【例1】数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】D 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 【例2】已知，，，那么的值为______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．设，根据因式分解，先求的值，再求． 【详解】解：∵，， ， ∴， ， ， 设， 则 ， ． 的值为7． 故答案为：7． 【变式1】下面有六张写着不同整式的卡牌，如图所示 游戏：从六张卡牌中选取若干张用加号或减号连接组成一个多项式，并将你所组成的多项式分解因式__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．选取，利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：选取，组成， 则， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】已知分别是的三边长，且满足，判断的形状是___ 【答案】等边三角形 【分析】本题主要查考因式分解的应用．先根据完全平方公式进行变形，再求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴且， ∴， ∴为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【变式3】如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形．且．（以上长度单位：） (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________． (2)若每块小长方块的面积为，四个正方形的面积和为．求的值． 【答案】(1) (2)41 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式： （1）利用数形结合的思想，表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论； （2）由题意，得到，，利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：表示大长方形的面积， 大长方形的边长分别为：， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意，得：，， ∴， ∴． 【变式4】数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解．下面图1中共有三种卡片：型卡片是边长为的正方形；型卡片是长为，宽为的长方形；型卡片是边长为的正方形． (1)用1张型卡片、2张型卡片拼成如图2的图形，根据图2，多项式因式分解的结果为________． (2)请用1张型卡片、2张型卡片、1张型卡片拼成一个大正方形，在下面的虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解． 写出一个多项式的因式分解：________ (3)若仍要用这三种卡片紧密拼成一个大正方形，用1张型卡片、4张型卡片，求所需的型卡片的数量． 【答案】(1) (2) 依题意，如下图所示， (3)需要型卡片的数量为4张 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式在几何图形中的应用，多项式乘多项式与图形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题意以及图形，则，即可作答． （2）模仿题干，作图，再列式，即可作答． （3）结合题意，仍要用这三种卡片紧密拼成一个大正方形，用1张型卡片、4张型卡片，故，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，用1张型卡片、2张型卡片拼成如图2的图形， ∴， 根据图2，多项式因式分解的结果为， 故答案为：； （2）略 （3）解：∵仍要用这三种卡片紧密拼成一个大正方形，用1张型卡片、4张型卡片， ∴， ∴需要型卡片的数量为4张． 巩固练习 1．（2026·山东临沂·一模）下列各因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，运用平方差公式、完全平方公式、提取公因式法，对各选项逐一验证即可得到结果． 【详解】解：对选项A： 由平方差公式得 A正确． 对选项B： B错误． 对选项C： ，正确因式分解为 C错误． 对选项D： ，而 D错误． 2．（2026·安徽合肥·一模）下列因式分解错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用十字相乘法、完全平方公式、平方差公式验证各选项，找出分解错误的选项即可． 【详解】解：A，对用十字相乘法分解，得，A分解正确； B，是完全平方式，得，B分解正确； C，利用平方差公式分解，得，C分解正确； D，整理得，根据平方差公式： D分解错误． 3．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）琪琪借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，星星发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 【答案】B 【详解】解：①； ②，无法使用平方差公式进行因式分解； ③； ④， 该题是②无法使用平方差公式进行因式分解． 4．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用平方差公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26八年级下·河南信阳·月考）若，则的值等于（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用非负数的性质求解，算术平方根和完全平方都是非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此求出a，b的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， 解得 ，， ∴． 6．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】D 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 7．（25-26九年级下·广西玉林·期中）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 4 … 明文 … 玉 家 美 林 乡 爱 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．玉林美 B．家乡美 C．爱美丽 D．爱玉林 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的实际应用，先对密文用提取公因式法和平方差公式因式分解，再结合表格对应关系得到明文即可． 【详解】解： 根据表格对应关系，对应“家”，对应“美”，对应“乡” 则组合后明文为“家乡美”． 8．（25-26七年级下·山东济南·期中）定义如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（　　） A．28是“豫数” B．32是“豫数” C．所有“豫数”都是6的倍数 D．最小的“豫数”是2 【答案】A 【分析】先设两个连续偶数，利用平方差公式推导出“豫数”的一般形式，再结合各选项判断正误． 【详解】解：设两个连续偶数分别为和（为整数，）， ∵ “豫数”可表示为两个连续偶数的平方差， ∴ 豫数 豫数是乘以奇数． 对选项逐一判断： A、，是奇数，且，符合“豫数”定义，选项正确； B、，是偶数，不符合“豫数”定义，选项错误； C、当时，得到最小豫数为，不是的倍数，选项错误； D、最小豫数为，选项错误． 9．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）年“强基计划”报名工作于4月启动，山东大学新增“密码科学与技术”专业．在密码学中，有一种用“因式分解”法产生的密码：对多项式因式分解后，再对其中字母赋值，计算各因式结果，再将各因式的结果按不同顺序排列，即可得到密码．例如：对多项式因式分解，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对多项式因式分解，代入已知，得到三个因式的结果，密码由这三个结果排列得到，对比选项即可得到不可能的密码． 【详解】解：∵ ∴将，代入各因式得，，， ∴三个因式的结果为，，，密码由这三个数按不同顺序排列得到， 对比选项，只有选项包含，缺少，不符合题意． 10．（25-26九年级下·重庆沙坪坝·期中）已知整式，其中为正整数，为自然数，且整式从左到右的奇数项系数的和与偶数项系数的和的乘积为，下列说法： ①满足条件的所有整式中存在单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，不存在其中的两个分解因式后含有相同的多项式因式； ③当时，满足条件的整式共有36个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设奇数项系数和为，偶数项系数和为，由题意得 ，均为正整数，依次判断三个说法的正误，统计正确结论的个数即可． 【详解】解：设从左到右奇数项系数和为，偶数项系数和为， ， ， ，，即均为正整数． 判断①： ，，说明奇数项至少有一个非零系数，偶数项也至少有一个非零系数，因此整式至少有两项，不存在单项式，故①错误． 判断②：当时， ，，其中，，存在两个整式：，，分解后都含有因式，故②错误． 判断③：当时， ，左到右依次为(奇项)， (偶项)，(奇项)，(偶项)，因此，，，为自然数．所有正整数对为，，，分别计算个数： ： ，自然数解共组； ，，解共 组，共个； ： ，解共组； ，，解共组，共个； ： ，解共组； ，，解共组，共个； ： ，解共组；，，解共组，共个； 总个数为 ，故③正确． 综上，只有个说法正确． 11．（25-26七年级下·江苏常州·期中）若，则__________． 【答案】1 【分析】先利用完全平方公式对所求多项式因式分解，再把已知条件代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 12．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）已知，，则的值为___________． 【答案】 【分析】先对所求代数式运用提取公因式法因式分解，再将已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：对因式分解，得 ， 将，代入得 ． 13．（25-26七年级下·湖南常德·期中）若，则表示的多项式是_____． 【答案】 / 【分析】先将等式右侧的多项式利用平方差公式因式分解，即可求出多项式． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 14．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：_______． 【答案】 【分析】根据图形可知，大长方形的面积等于各个小长方形和正方形面积之和，同时也等于大长方形的长乘以宽，利用面积相等建立等式即可求解． 【详解】解：由图可知，大长方形的面积可以表示为， 又大长方形的长为，宽为， 根据长方形的面积公式可得，大长方形的面积还可表示为， 所以． 15．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知，，则代数式________． 【答案】 【分析】先对所求代数式进行因式分解，再将已知，代入计算即可． 【详解】解： 将，代入得，原式 ． 16．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 17．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）将下列各式分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式； （2）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（25-26八年级下·江苏南京·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提取公因式法和完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； （4）利用平方差公式、合并同类项法则、提取公因数进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．（2026·北京东城·一模）已知，求代数式的值． 【答案】3 【详解】解：∵ ∴ ． 20．（25-26八年级下·北京·期中）已知，求代数式的值． 【答案】的值为． 【分析】根据完全平方公式把因式分解，然后将代入求解即可． 【详解】解：， ∴原式 ， ∴的值为． 21．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）我们知道，和这样的式子可以运用完全平方公式进行因式分解．有些多项式不是完全平方式，我们可以用配方法将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：①分解因式：； 解：原式 ； ②求代数式的最小值． 解：原式， ∵，∴， ∴当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)当x为何值时，有最小值？最小值为多少？ (3)求证：无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 【答案】(1) (2)当时，代数式取最小值 (3)见解析 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵ ∴ 当时，代数式取最小值； （3）解： ∵， ∴ ∴无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 22．（25-26八年级下·山东济南·期中）我国古代数学名著《九章算术》里记载：“圆环形的面积为两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积”． 小明设圆环形的面积为S，外圆的半径为R，外圆的周长为p，内圆的半径为r，内圆的周长为q，他想利用相关知识证明：． 小明做出以下思考： 利用圆的周长公式可得，， 利用圆的面积公式可得，圆环形的面积 …… 请根据以上信息，利用因式分解继续补充证明．    【答案】见解析 【详解】证明：利用圆的周长公式可得，， 利用圆的面积公式可得， 圆环形的面积 ． 23．（25-26七年级下·四川成都·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； (3)已知，，试比较P，Q的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据例题用配方法，得出，即可求解； （2）将已知等式用完全平方公式因式分解得出，根据非负数的性质求得，再根据三角形的三边关系，即可求解； （3）利用作差法得出，即可求解． 【详解】（1）解： 当，即时，的最小值为 （2）解：∵ ∴，即 ∵ ∴ ∵ ∴ （3）解：∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ 24．（25-26七年级下·广东深圳·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：32 “和谐数”，2026 “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)“和谐数”能被8整除．理由见解析 (3)阴影面积为20000 【分析】（1）根据“和谐数”的定义进行判定即可； （2）将化简，得到，根据k是正整数，得到能被8整除，即可解答； （3）推导出，则原式可化为，继而计算求解即可． 【详解】（1）解：， 是“和谐数”； 设， 解得：，不是整数， 不是“和谐数”． （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解：由（2）可知，， ∴阴影部分的面积为 ∴阴影面积为20000． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 因式分解 02讲 用公式法分解因式 题型归纳 【题型1. 公式法分解因式的判断 3】 【题型2. 平方差公式分解因式 4】 【题型3. 完全平方公式分解因式 4】 【题型4. 综合运用公式法分解因式 4】 【题型5. 十字相乘法 5】 【题型6. 因式分解的应用 7】 【巩固练习 9】 知识清单 知识点1 平方差公式 1.公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 知识点2 完全平方公式 1.公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 知识点3 用公式法分解因式 1.步骤：先提出公因式，再用公式法. 2.公式扩展：① 立方和公式：（a+b）（a2－ab+b2）=a3+b3 ② 立方差公式：（a－b）（a2+ab+b2）=a3－b3 ③ 完全立方公式：（ab）3=a33a2b+3ab2b3 ④ 三项完全平方：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ⑤ 欧拉公式：（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－bc－ca）=a3+b3+c3－3abc 知识点4 十字相乘法 1.二次项系数为1： 方法：拆常数项，凑一次项. 例：分解因式 1 2当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的负号与一次项系数的符号相同. 1 3 12+13=5 = = 分解因式 1 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因式的符号与一次项系数的符号相同. 1 1 11+1() =5 = = 2.二次项系数不为1： 方法：拆两头，凑中间. 分解因式当二次项系数为正数且常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同. 2 3 1 23+31 =9 = 分解因式当二次项系数为正数且常数项为负数时，应分解为两异号因数，其中绝对值较大的因式符号与一次项系数的符号相同. 2 － 3 1 2+31 = = 分解因式 2 －当二次项系数为负数时，先提出负号，再按照上面的方法求解. 3 1 2+31 = == = 题型专练 题型1. 公式法分解因式的判断 【例1】下列各式中不能用平方差公式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在因式①；②；③；④；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 题型2. 平方差公式分解因式 【例1】因式分解：__________． 【例2】分解因式：__________． 【变式1】分解因式：_____． 【变式2】利用平方差公式计算：______． 【变式3】因式分解：__________． 【变式4】若，且，则值是________． 题型3. 完全平方公式分解因式 【例1】分解因式：_____． 【变式1】分解因式：______． 【变式2】分解因式：______． 【变式3】若可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为_______． 题型4. 综合运用公式法分解因式 【例1】把因式分解得（    ） A． B． C． D． 【例2】因式分解． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】下列因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】把下列各式分解因式： (1) (2) (3) 【变式3】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】把下列各式因式分解： (1) (2) 题型5. 十字相乘法 【例1】将多项式进行因式分解，结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【例2】因式分解：________． 【变式1】因式分解：（1）______；（2）______． 【变式2】因式分解：_____． 【变式3】在实数范围内分解因式：______． 【变式4】“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1) (2)； 【变式5】【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：， ④______． (2)如果，其中均为整数，求的值． 题型6. 因式分解的应用 【例1】数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【例2】已知，，，那么的值为______． 【变式1】下面有六张写着不同整式的卡牌，如图所示 游戏：从六张卡牌中选取若干张用加号或减号连接组成一个多项式，并将你所组成的多项式分解因式__________． 【变式2】已知分别是的三边长，且满足，判断的形状是___ 【变式3】如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形．且．（以上长度单位：） (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________． (2)若每块小长方块的面积为，四个正方形的面积和为．求的值． 【变式4】数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解．下面图1中共有三种卡片：型卡片是边长为的正方形；型卡片是长为，宽为的长方形；型卡片是边长为的正方形． (1)用1张型卡片、2张型卡片拼成如图2的图形，根据图2，多项式因式分解的结果为________． (2)请用1张型卡片、2张型卡片、1张型卡片拼成一个大正方形，在下面的虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解． 写出一个多项式的因式分解：________ (3)若仍要用这三种卡片紧密拼成一个大正方形，用1张型卡片、4张型卡片，求所需的型卡片的数量． 巩固练习 1．（2026·山东临沂·一模）下列各因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·一模）下列因式分解错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）琪琪借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，星星发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 4．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 5．（25-26八年级下·河南信阳·月考）若，则的值等于（    ） A． B．0 C．2 D．3 6．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 7．（25-26九年级下·广西玉林·期中）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 4 … 明文 … 玉 家 美 林 乡 爱 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．玉林美 B．家乡美 C．爱美丽 D．爱玉林 8．（25-26七年级下·山东济南·期中）定义如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（　　） A．28是“豫数” B．32是“豫数” C．所有“豫数”都是6的倍数 D．最小的“豫数”是2 9．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）年“强基计划”报名工作于4月启动，山东大学新增“密码科学与技术”专业．在密码学中，有一种用“因式分解”法产生的密码：对多项式因式分解后，再对其中字母赋值，计算各因式结果，再将各因式的结果按不同顺序排列，即可得到密码．例如：对多项式因式分解，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（） A． B． C． D． 10．（25-26九年级下·重庆沙坪坝·期中）已知整式，其中为正整数，为自然数，且整式从左到右的奇数项系数的和与偶数项系数的和的乘积为，下列说法： ①满足条件的所有整式中存在单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，不存在其中的两个分解因式后含有相同的多项式因式； ③当时，满足条件的整式共有36个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（25-26七年级下·江苏常州·期中）若，则__________． 12．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）已知，，则的值为___________． 13．（25-26七年级下·湖南常德·期中）若，则表示的多项式是_____． 14．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：_______． 15．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知，，则代数式________． 16．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）因式分解： (1)； (2)． 17．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）将下列各式分解因式． (1) (2) 18．（25-26八年级下·江苏南京·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 19．（2026·北京东城·一模）已知，求代数式的值． 20．（25-26八年级下·北京·期中）已知，求代数式的值． 21．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）我们知道，和这样的式子可以运用完全平方公式进行因式分解．有些多项式不是完全平方式，我们可以用配方法将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：①分解因式：； 解：原式 ； ②求代数式的最小值． 解：原式， ∵，∴， ∴当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)当x为何值时，有最小值？最小值为多少？ (3)求证：无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 22．（25-26八年级下·山东济南·期中）我国古代数学名著《九章算术》里记载：“圆环形的面积为两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积”． 小明设圆环形的面积为S，外圆的半径为R，外圆的周长为p，内圆的半径为r，内圆的周长为q，他想利用相关知识证明：． 小明做出以下思考： 利用圆的周长公式可得，， 利用圆的面积公式可得，圆环形的面积 …… 请根据以上信息，利用因式分解继续补充证明．    23．（25-26七年级下·四川成都·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； (3)已知，，试比较P，Q的大小． 24．（25-26七年级下·广东深圳·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：32 “和谐数”，2026 “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $