精品解析：吉林省辽源市田家炳高级中学校2026-2027学年高二上学期10月期中考试数学试题

田家炳高中2026—2027第一学期期中考试题 高二数学试卷 本试卷共19题，满分150分，共4页．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内． 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意要求．） 1. 直线的倾斜角为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将给定直线方程转化为斜截式方程，从而得到直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系以及倾斜角的取值范围求出倾斜角. 【详解】对于直线方程，得到,斜率. 设直线的倾斜角为，，根据直线倾斜角与斜率的关系， 已知斜率，所以. 在这个范围内，正切值等于的角只有，所以. 故选：B. 2. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行可得，运算求解并代入检验即可. 【详解】若直线与平行， 则，整理可得，解得或， 若，则与平行，符合题意； 若，则与重合，不合题意； 综上所述：. 故选：B 3. 已知直线，，若，则实数a的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直的公式计算可得结果. 【详解】∵， ∴，解得. 故选：C. 4. 直线与直线间的距离是（ ） A. B. C. D. １ 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线方程为，直线方程为， 所以所求距离为. 故选：B 5. 在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】直线与平面垂直则直线的方向向量与平面的法向量平行，再根据空间中两平行向量的坐标关系进行求解. 【详解】因为，所以∥，则，解得. 故选：A. 6. 点到直线的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线的距离等于. 故选：C 7. 以为端点的线段的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】线段的垂直平分线过线段中点，且斜率与线段所在直线斜率相乘等于，据此即可求出线段垂直平分线方程. 【详解】因为 则， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 又线段的中点为，即， 所以线段中垂线方程为：，即. 故选：C． 8. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出、，再由向量的夹角公式计算可得答案. 【详解】因为平面，底面是正方形， 故以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 因为点E为SC中点，所以， 所以，， 设异面直线EB与AC所成角为， 则. 故选：A. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分．） 9. 在如图所示的空间直角坐标系中，为棱长是1的正方体，下列结论正确的是（　　） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线的一个方向向量为 C. 平面的一个法向量为 D. 平面的一个法向量为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出点的坐标，即可求出直线的方向向量与平面的法向量. 【详解】依题意，，，，，，， 所以，所以直线的一个方向向量为，故A正确； ，所以直线的一个方向向量为，故B正确； ，又平面，所以平面的一个法向量为，故C正确； 又，，因为，所以， 所以向量不是平面的法向量，故D错误； 故选：ABC 10. 已知向量，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算直接验证各选项的准确性. 【详解】向量，， ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：BC 11. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 【答案】CD 【解析】 【分析】由倾斜角的定义判断A，由两直线位置关系判断B，由点到直线距离公式判断C，由平行求得平行线方程判断D． 【详解】对于A，直线的斜率，故直线的倾斜角是，故A错误； 对于B，因为直线的斜率， 故直线与直线不垂直，故B错误； 对于C，点到直线的距离，故C正确； 对于D，过与直线平行的直线方程是， 整理得：，故D正确. 故选：CD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为_____________. 【答案】 【解析】 【详解】由两点间斜率计算公式可得，故答案为. 13. 点A（1，2）与点B（2，3）之间的距离|AB|=_____________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用两点间的距离公式计算得到结果. 【详解】由两点间的距离公式得. 【点睛】本小题主要考查两点间的距离公式，即，属于基础题. 14. 若直线l的方向向量为，向量是平面的一个法向量，则直线l与平面所成角的大小为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线面角的向量法求解. 【详解】设直线l与平面所成角为，依题意，， 所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 根据下列条件，写出直线方程的一般式： （1）经过点，且倾斜角为； （2）经过点和点 （3）经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【答案】（1） （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）由题知直线的斜率为，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可； （2）根据斜率公式得直线斜率为，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可； （3）分截距为0和不为0两种情况求解. 【小问1详解】 因为直线经过点，且倾斜角为， 所以直线的斜率为，则直线方程为， 所以直线的一般方程为； 【小问2详解】 因为直线经过点和点， 所以直线斜率为，直线方程为， 所以直线的一般式方程为； 【小问3详解】 当直线在x，y轴上截距都为0时， 设直线方程为，则，得， 设直线方程为，即； 当直线在x，y轴上截距都不为0时， 由题设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的一般式方程为, 综上所述，所求直线为或. 16. 已知三条直线：，：，：． （1）求直线，的交点的坐标； （2）求过点且与直线平行的直线方程； （3）求过点且与直线垂直的直线方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立直线方程，即可求解； （2）根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解； （3）根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解； 【小问1详解】 联立，解得， 故交点坐标为； 【小问2详解】 所求直线与直线平行， 则所求直线可设， 所求直线过点， 则，解得， 故所求直线方程为； 【小问3详解】 所求直线与直线垂直， 则所求直线可设， 所求直线过点， 则，解得， 故所求直线方程为． 17. 如图，已知正方体的棱长为2，点E是棱AD的中点 （1）求直线CE与直线所成角的余弦值； （2）求直线到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出直线方向向量，利用向量夹角公式计算可得； （2）由点到平面的向量公式可得. 【小问1详解】 以D为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设直线与直线所成角为， 所以， 即直线与直线所成角的余弦值为． 【小问2详解】 由于，平面，平面，故平面， 因此直线到平面的距离与点到平面的距离相等． ，，， 设平面的法向量为，则， 且，令，则． 又，故到平面的距离为， 因此直线到平面的距离为． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，M是的中点，平面，且，．求： （1）与平面所成角的正弦值； （2）平面与平面夹角的余弦值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过条件准确建立空间直角坐标系，正确求得相关点坐标及平面的法向量，利用向量数量积公式顺利求出线面角的正弦值； （2）求得平面的法向量，代入平面夹角的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以，，因为底面是矩形，所以， 所以两两垂直，所以以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，． 所以，，， 设平面的一个法向量，则有， 取，得，设与平面所成角为θ， 则， 所以与平面所成角的正弦值为． 【小问2详解】 设平面PCB的一个法向量为，因为， 则有， 取，得，， 所以平面MCB与平面PCB夹角的余弦值为． 19. 如图，四棱锥．中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，且，点E是的中点，连接． （1）证明：平面； （2）若，证明：平面； （3）若二面角的正弦值为，求的长 【答案】（1）如图，取的中点F，连接，，因为E为中点， 所以且，又因为， 且，所以且，故四边形为平行四边形， 故，平面，平面，所以平面． （2）如图，取的中点，连接，则， 因为，，所以， 又因为，，,所以四边形为正方形， 所以，且， 在三角形中，， 在三角形中，因为，故， 又因为底面，底面ABCD，所以， 又因为，且平面，所以平面． （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点F，连接，，利用线面平行的判定定理即可证明结论． （2）找的中点G，连接，证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明． （3）首先作辅助线，找出二面角的平面角，利用正弦函数定理即可求得结果． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 如图，作交于M，作交于点N，连接， 由，，所以，所以， 又因为底面，且底面，所以， 又，且平面，所以平面， 因为平面，所以，又，且， 平面，所以平面， 因为平面，所以，又，， 平面，所以平面， 所以二面角的平面角为，所以， 设，在三角形中，利用等面积法得， 在三角形中，，利用等面积法得， 所以，整理得：， 即，， 故或（舍），所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 田家炳高中2026—2027第一学期期中考试题 高二数学试卷 本试卷共19题，满分150分，共4页．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内． 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意要求．） 1. 直线的倾斜角为（   ） A. B. C. D. 2. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 3. 已知直线，，若，则实数a的值为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 直线与直线间的距离是（ ） A. B. C. D. １ 5. 在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. -2 6. 点到直线的距离等于（ ） A. B. C. D. 7. 以为端点的线段的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分．） 9. 在如图所示的空间直角坐标系中，为棱长是1的正方体，下列结论正确的是（　　） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线的一个方向向量为 C. 平面的一个法向量为 D. 平面的一个法向量为 10. 已知向量，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为_____________. 13. 点A（1，2）与点B（2，3）之间的距离|AB|=_____________． 14. 若直线l的方向向量为，向量是平面的一个法向量，则直线l与平面所成角的大小为_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 根据下列条件，写出直线方程的一般式： （1）经过点，且倾斜角为； （2）经过点和点 （3）经过点，在x，y轴上有相等的截距． 16. 已知三条直线：，：，：． （1）求直线，的交点的坐标； （2）求过点且与直线平行的直线方程； （3）求过点且与直线垂直的直线方程． 17. 如图，已知正方体的棱长为2，点E是棱AD的中点 （1）求直线CE与直线所成角的余弦值； （2）求直线到平面的距离． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，M是的中点，平面，且，．求： （1）与平面所成角的正弦值； （2）平面与平面夹角的余弦值 19. 如图，四棱锥．中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，且，点E是的中点，连接． （1）证明：平面； （2）若，证明：平面； （3）若二面角的正弦值为，求的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $