精品解析：上海市闵行区莘松中学2026-2027学年第一学期七年级数学期中试卷

2026学年第一学期七年级数学学科期中试卷 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分，每题只有一个选项正确） 1. 下列代数式①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨中，整式的个数有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 2. 下列各组单项式中，同类项是（） A. 与 B. 4与 C. 与 D. 与 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式的因式分解中正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 记则x+1=（ ） A. 一个奇数 B. 一个质数 C. 一个整数的平方 D. 一个整数的立方 6. 今天是6月28日，小吴用如图①所示的三张长方形纸片分别剪出数字6、2、8（如图②③④），剪成的数字可以分割成一些相同的白色长方形和一个黑色长方形（所有长方形的宽度相等），小吴用其中一个白色长方形和数字8中的黑色长方形拼成图形⑤，将数字6中剪去的两部分（、）拼成长方形⑥，经过测量和计算，小吴发现长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，则黑色长方形中长与宽的比是（ ） A. 11:3 B. 5:1 C. 7:2 D. 4:1 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 若a为正整数，则_______________ 8. 计算：__________． 9. 计算：__________． 10. 因式分解：__________． 11. 已知单项式与单项式的和仍是单项式，则__________． 12. 若，则__________(结果用含的代数式表示)． 13. 随着科技的进步，纳米技术的运用越来越广泛．，那么． 14. 已知代数式的积中不含x的一次项，则________． 15. 已知关于的整式是某个关于的整式的平方，则__________． 16. 若等式成立，则整数______． 17. 北宋沈括在《梦溪笔谈》中首创“隙积术”，引出一个酒坛问题：如图，酒馆店家将酒坛一层层堆放，第一层长有4个酒坛，宽有3个酒坛，往下每一层长宽皆比上一层多一个酒坛，则第n层酒坛的个数比第一层酒坛的个数多_____个．（用含n的代数式表示） 18. 如图，正方形的边长为，将此正方形按照下面的方法进行剪贴：第一次操作，先沿正方形的对边中点连线剪开，然后粘贴为一个长方形，其中叠合部分长为1；第二次操作，再沿所得长方形的对边(长方形的宽)中点连线剪开，然后粘贴为一个新的长方形，其中叠合部分长为1；……；如此继续下去，第次操作后得到的长方形的长为__________．(用含的代数式表示) 三、简答题（本大题共6题，19、20、21题6分，22、23题7分，24题8分，共40分） 19. 计算：x2•（﹣x）2•（﹣x）2+（﹣x2）3 20. 计算：． 21. 分解因式：． 22. 已知，求的值． 23. 先化简，再求值：，其中 24. 已知． （1）计算：； （2）计算：（结果按降幂排列）． 四、解答题（本大题共2题，25题8分，26题10分，共18分） 25. 【文化赏析】北宋数学家贾宪于公元11世纪在其著作《黄帝九章算法细草》中创立“开方作法本源”三角形图表．南宋数学家杨辉在13世纪所著《详解九章算法》中引用了此图表（见图1），人们称这个三角形图表为“贾宪三角”或“杨辉三角”．如图2，此表呈现出（为非负整数）的展开式的系数规律． （1）【初步感知】写出的展开式：__________； （2）【尝试体会】利用上面的规律计算：； （3）【实际应用】今天是星期二，那么天后是星期__________． 26. 数学中有很多恒等式可以用图形的面积来给出解释．现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）请写出图1和图2的阴影部分所验证的关于、的恒等式：图1表示__________；图2表示__________； （2）若，则__________． （3）如图3，学校有一块四边形空地，已知于点，，．该校计划在和区域内种植花卉，在和区域内铺设草坪．经测量种植花卉区域的面积和为平方米，又已知米，求铺设草坪区域面积． （4）如图4，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右边的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式：__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期七年级数学学科期中试卷 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分，每题只有一个选项正确） 1. 下列代数式①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨中，整式的个数有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵分母中含有字母的代数式不是整式， ∴⑥、⑦、⑧均不是整式．①、②、⑤、 ③、④、⑨均属于整式． 综上，整式共有6个． 2. 下列各组单项式中，同类项是（） A. 与 B. 4与 C. 与 D. 与 【答案】A 【解析】 【分析】注意同类项与字母排列顺序无关，仅依据所含字母及相同字母的指数是否均相同判断． 【详解】解：A．与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项． B、C．两组单项式所含字母均不同，不是同类项． D．与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对选项A，∵，∴A错误； 对选项B，∵，∴B正确； 对选项C，∵，∴C错误； 对选项D，∵，∴D错误． 4. 下列各式的因式分解中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的判断，把一个多项式表示成几个整式的积的形式叫做因式分解；根据因式分解的定义进行判断即可． 【详解】解：A、是多项式的乘法，不是因式分解，故不符合题； B、不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； C、是几个整式的积的形式，是因式分解，故符合题意； D、是积的形式，但不是整式的积，不是因式分解，故不符合题意； 故选：C． 5. 记则x+1=（ ） A. 一个奇数 B. 一个质数 C. 一个整数的平方 D. 一个整数的立方 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，先把原式乘以因式（2-1），然后依次利用平方差公式计算，最后得出x+1=2512． 【详解】 = （2-1） =（-1） =（-1） =-1 则x+1=−1+1=. 故答案为：C. 【点睛】本题考查平方差公式.,关键是先把原式乘以因式（2-1）． 6. 今天是6月28日，小吴用如图①所示的三张长方形纸片分别剪出数字6、2、8（如图②③④），剪成的数字可以分割成一些相同的白色长方形和一个黑色长方形（所有长方形的宽度相等），小吴用其中一个白色长方形和数字8中的黑色长方形拼成图形⑤，将数字6中剪去的两部分（、）拼成长方形⑥，经过测量和计算，小吴发现长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，则黑色长方形中长与宽的比是（ ） A. 11:3 B. 5:1 C. 7:2 D. 4:1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减的应用；设黑色小长方形纸片的长为b，宽为a，根据已知条件长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，求出比值即可． 【详解】解：设黑色小长方形纸片的长为b，宽为a，则白色长方形的长为，宽为， ∴⑤的周长为， ⑥的长为，宽为， ∴⑥的周长为， 又∵长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍， ∴，即， ∴黑色长方形中长与宽的比是， 故选：B． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 若a为正整数，则_______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂运算的定义及幂的乘方．根据乘法的定义：个相乘表示为，再利用幂的乘方即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】将转化为分数形式，拆分高次幂构造同指数项，逆用积的乘方法则简化运算． 【详解】解： 原式 9. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可得到结果． 【详解】解： ． 10. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：原式 ． 11. 已知单项式与单项式的和仍是单项式，则__________． 【答案】 8 【解析】 【分析】两个单项式的和仍为单项式，说明二者为同类项，根据同类项定义求出、的值，代入计算即可. 【详解】解：∵两个单项式的和仍是单项式， ∴这两个单项式是同类项， 根据同类项定义，相同字母的指数相等． 可得，． 解得，． ∴． 12. 若，则__________(结果用含的代数式表示)． 【答案】 【解析】 【分析】将所求式子的底数统一为3，利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则，结合已知条件转化为含、的代数式即可． 【详解】解：． 13. 随着科技的进步，纳米技术的运用越来越广泛．，那么． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算．根据有理数的乘方运算法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 14. 已知代数式的积中不含x的一次项，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法，先根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，再使含x的一次项系数为0求解即可． 【详解】解： ， ∵该代数式的积中不含x的一次项， ∴，解得， 故答案为：． 15. 已知关于的整式是某个关于的整式的平方，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据完全平方式的结构特征，由平方项确定对应的两个数，匹配中间一次项的系数建立关于的方程求解． 【详解】解：∵关于的整式是某个关于的整式的平方． ∴该式满足完全平方公式的结构，即． ∵． ∴等式两边一次项系数相等，可得． 当时，解得． 当时，解得． 16. 若等式成立，则整数______． 【答案】或2或0 【解析】 【分析】本题考查幂的运算．考虑等式 成立的条件，分三种情况讨论：指数为零且底数不为零、底数为1、底数为且指数为偶数． 【详解】解：要使 成立，需考虑以下情况： 1. 当指数时，即，此时底数，故，成立． 2. 当底数时，即，此时指数，故，成立． 3. 当底数时，即，此时指数为偶数，故，成立． 其他情况均不满足等式，故整数的值为． 故答案为：或2或0． 17. 北宋沈括在《梦溪笔谈》中首创“隙积术”，引出一个酒坛问题：如图，酒馆店家将酒坛一层层堆放，第一层长有4个酒坛，宽有3个酒坛，往下每一层长宽皆比上一层多一个酒坛，则第n层酒坛的个数比第一层酒坛的个数多_____个．（用含n的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式的表示和计算，以及对数据变化规律的观察能力．根据题意得出第n层酒坛数量的表达式是本题的关键． 通过上面三层酒坛的排列规律，得出第n层酒坛数量的表达式，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，第一层酒坛数量为：； 第二层酒坛数量为：； 第三层酒坛数量为：； 以此类推，第n层酒坛数量为：． 则第n层酒坛与第一层酒坛的差为：． 故答案为：． 18. 如图，正方形的边长为，将此正方形按照下面的方法进行剪贴：第一次操作，先沿正方形的对边中点连线剪开，然后粘贴为一个长方形，其中叠合部分长为1；第二次操作，再沿所得长方形的对边(长方形的宽)中点连线剪开，然后粘贴为一个新的长方形，其中叠合部分长为1；……；如此继续下去，第次操作后得到的长方形的长为__________．(用含的代数式表示) 【答案】 【解析】 【分析】分别计算第一次、第二次、第三次操作后长方形的长，观察长与操作次数  及边长  的关系，归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：第一次操作后，长方形的宽为 ，长为 ， 第二次操作后，长方形的宽为 ，长为 ， 第三次操作后，长方形的宽为 ，长为 ，    观察规律可知，第  次操作后，长中a的系数为 ，常数项为 ， 则第  次操作后得到的长方形的长为 ． 三、简答题（本大题共6题，19、20、21题6分，22、23题7分，24题8分，共40分） 19. 计算：x2•（﹣x）2•（﹣x）2+（﹣x2）3 【答案】0 【解析】 【分析】现根据幂的性质化简，然后再根据同底数幂相乘和幂的乘方化简，最后运算即可. 【详解】解: x2•（﹣x）2•（﹣x）2+（﹣x2）3 = x2• x2• x2+（﹣x6） = x6﹣x6 =0 【点睛】本题只要考查了同底数幂相乘和幂的乘方,运用幂的性质对代数式化简是解答本题的关键． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】把看成一个整体，先用平方差公式计算，再对使用完全平方公式展开，最后去括号化简得到结果． 【详解】解：原式 21. 分解因式：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 22. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】将已知等式配方为三个完全平方式的和，利用平方的非负性求出的值，代入代数式计算． 【详解】解：， ， ， ∵平方数为非负数， ∴，，， 解得， ． 23. 先化简，再求值：，其中 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，时， 原式， ， ， ， 24. 已知． （1）计算：； （2）计算：（结果按降幂排列）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用整式的加减混合运算法则进行计算，即可求解； （2）先计算乘法，再计算加减，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 四、解答题（本大题共2题，25题8分，26题10分，共18分） 25. 【文化赏析】北宋数学家贾宪于公元11世纪在其著作《黄帝九章算法细草》中创立“开方作法本源”三角形图表．南宋数学家杨辉在13世纪所著《详解九章算法》中引用了此图表（见图1），人们称这个三角形图表为“贾宪三角”或“杨辉三角”．如图2，此表呈现出（为非负整数）的展开式的系数规律． （1）【初步感知】写出的展开式：__________； （2）【尝试体会】利用上面的规律计算：； （3）【实际应用】今天是星期二，那么天后是星期__________． 【答案】（1） （2） （3）三 【解析】 【分析】（1）根据“杨辉三角”的规律写出展开式，即可求解； （2）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可； （3）由，可得出都能被7整除，则除以余，则可得出答案． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 （，，等为各项的系数）， 都能被7整除， 除以余， 今天是星期二，往后推一天是星期三． 26. 数学中有很多恒等式可以用图形的面积来给出解释．现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）请写出图1和图2的阴影部分所验证的关于、的恒等式：图1表示__________；图2表示__________； （2）若，则__________． （3）如图3，学校有一块四边形空地，已知于点，，．该校计划在和区域内种植花卉，在和区域内铺设草坪．经测量种植花卉区域的面积和为平方米，又已知米，求铺设草坪区域面积． （4）如图4，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右边的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式：__________． 【答案】（1）， （2） （3）铺设草坪区域面积表示为平方米 （4） 【解析】 【分析】（1）用不同的方式表示图形的面积即可求解； （2）设，，则，，， 根据，即可求解； （3）设，，根据题意可得，，即，铺设草坪区域面积表示为，根据求出，即可求解； （4）左边的几何体的体积表示为，右边的几何体的体积表示为，即可求解． 【小问1详解】 解：两种方式表示图1的面积为，， 图1可以验证的公式为； 两种方式表示图2的面积为，， 图2可以验证的公式为 【小问2详解】 解：设，， 则，，， ， ， ； 【小问3详解】 解：设，， 种植花卉区域的面积和为平方米，米， ，， 即， 铺设草坪区域面积表示为， ， ， ， 即铺设草坪区域面积表示为平方米； 【小问4详解】 解：左边的几何体的体积表示为， 右边的几何体的体积表示为， ； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $